1、1.4二次函数的应用二次函数的应用 （第（第3课时）课时） 1.利用函数解决实际问题的基本利用函数解决实际问题的基本 思想方法思想方法?解题步骤解题步骤? 实际问题实际问题 抽象抽象 转化转化 数学问题数学问题 运用运用 数学知识数学知识 问题的解问题的解 返回解释返回解释 检验检验 创设情景创设情景,引入新课引入新课 2.二次函数应用二次函数应用的思路怎样的思路怎样? (1)理解问题理解问题 (2)分析问题中的变量和常量分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系以及它们之间的关系 (3)用数学的方式表示出它们之间的关系用数学的方式表示出它们之间的关系 (4)用数学知识求解用数学知识求解 (5
2、)检验结果的合理性检验结果的合理性,拓展等拓展等 创设情景创设情景,引入新课引入新课 (1) 直线等加速运动直线等加速运动 我们知道，在匀速直线运动中，物体运我们知道，在匀速直线运动中，物体运 动的距离等于速度与时间的乘积，用字母表示动的距离等于速度与时间的乘积，用字母表示 为为S= =vt，而在直线等加速运动（即通常所说的，而在直线等加速运动（即通常所说的 加速度）中，速度的数值是时刻在改变的，我加速度）中，速度的数值是时刻在改变的，我 们仍用们仍用S表示距离（米），用表示距离（米），用 表示初始速度表示初始速度 （米秒），用（米秒），用t表示时间（秒），用表示时间（秒），用a表示每表示每
3、秒增加的速度（米秒）秒增加的速度（米秒）. 那么直线等加速运那么直线等加速运 动位移的公式是：动位移的公式是： 就是说，当速度和每秒增加的速度一定时，距离是时间的就是说，当速度和每秒增加的速度一定时，距离是时间的 函数，但不再是正比例函数，而是二次函数函数，但不再是正比例函数，而是二次函数. 0 V 合作交流合作交流,探究新知探究新知 2 0 1 2 SV tat= 我们来看一个例子：我们来看一个例子： = =1米秒，米秒，a= =1米秒，米秒， 下面我们列表看一下和的关系下面我们列表看一下和的关系. t（秒）（秒）0 1 2 3 4 5 6 S（米）（米）0 1.5 4 7.5 12 17.
4、5 24 注意，这里的时间必须从开始等加速时开始计时，注意，这里的时间必须从开始等加速时开始计时， 停止等加速时停止计时停止等加速时停止计时. t的取值范围，很明显是的取值范围，很明显是t0， 而而S的取值范围，同样是的取值范围，同样是S0. 下面我们来看看它的图下面我们来看看它的图 象：象： 2 0 1 2 SV tat= S t O 0 v (2) 自由落体位移自由落体位移 我们知道，自由落体位移是直线等加速运动的我们知道，自由落体位移是直线等加速运动的 特殊情况，它的初始速度为特殊情况，它的初始速度为0，而每秒增加的，而每秒增加的 速度为速度为9.8米秒，我们用表示，但这个不米秒，我们用
5、表示，但这个不 是是9.8牛顿千克自由落体位移的公式为：牛顿千克自由落体位移的公式为： 我们再来看看这个函数的表格：我们再来看看这个函数的表格： t（秒）（秒） S（米）（米） 4.9 19.6 44.1 78.4 122.5 176.4 图象我们就不画了，它只是直线等加速运动的特殊情图象我们就不画了，它只是直线等加速运动的特殊情 况，图象大同小异况，图象大同小异 2 1 2 sgt= (3) 动能动能 现在我们来看另一方面的问题现在我们来看另一方面的问题. 我们知道，物体在我们知道，物体在 运动中具有的能量叫做动能，动能与物体的质量和运动中具有的能量叫做动能，动能与物体的质量和 速度有关速度
6、有关. 比如说，有个人走过来不小心撞上你，比如说，有个人走过来不小心撞上你， 或许没什么，但如果他是跑步时撞上你，说不定会或许没什么，但如果他是跑步时撞上你，说不定会 倒退几步，而假如你站在百米终点线上，想不被撞倒退几步，而假如你站在百米终点线上，想不被撞 倒都不容易倒都不容易. 这是因为对方具有的动能随速度的增这是因为对方具有的动能随速度的增 大而增大大而增大. 我们用我们用E表示物体具有的动能（焦耳）表示物体具有的动能（焦耳） ，m表示物体的质量（千克），用表示物体的质量（千克），用v表示物体的速表示物体的速 度（米秒），那么计算物体动能的公式就是：度（米秒），那么计算物体动能的公式就是：
7、 2 1 E= 2 mv 来看一个表格（来看一个表格（m= =1千克）：千克）： v（米（米/秒）秒） 0 1 2 3 4 5 6 E（焦耳）（焦耳） 0 0.5 2 4.5 8 12.5 18 v的取值范围显然是的取值范围显然是v0，E的取值范围也是的取值范围也是E0， 所以它的图象和前两个没什么区别所以它的图象和前两个没什么区别. 2 1 E= 2 mv 通过上面几个问题的研究，我们认为二次函数在物理通过上面几个问题的研究，我们认为二次函数在物理 方面的实际应用中的特点，在于物理学上对取值范围方面的实际应用中的特点，在于物理学上对取值范围 的要求大部分都是要求该数值大于等于的要求大部分都是
8、要求该数值大于等于，所以图象，所以图象 大部分是二次函数图象的一半，除原点外，图象都在大部分是二次函数图象的一半，除原点外，图象都在 第一象限第一象限. 还有，物理学上用到的公式，一般很少有还有，物理学上用到的公式，一般很少有 常数项常数项. 现在我们反过来研究：物体运动某一路程或物体自由现在我们反过来研究：物体运动某一路程或物体自由 下落到某一高度需要多少时间？下落到某一高度需要多少时间？ 例例1:一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为 10m/s,经过经过t(s)时求的高度为时求的高度为h(m). 已知物体已知物体 竖直上抛运动中，竖直上抛运动中， (v0
9、表示物体表示物体 运动上弹开始时的速度，运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取表示重力系数，取 g= =10m/s2). 问球从弹起至回到地面需多少时问球从弹起至回到地面需多少时 间？经多少时间球的高度达到间？经多少时间球的高度达到3.75m? sv tgt= 2 0 1 2 例例1:一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过，经过t(s)时求的高度时求的高度 为为h(m). 已知物体竖直上抛运动中，已知物体竖直上抛运动中， (v0表示物体运动上弹开表示物体运动上弹开 始时的速度，始时的速度，g表示重力系数，取表示重力系数，取g10m/s2).
10、问球从弹起至回到地面需多问球从弹起至回到地面需多 少时间？经多少时间球的高度达到少时间？经多少时间球的高度达到3.75m? 从图象可以看到图象与从图象可以看到图象与x轴交点横坐标轴交点横坐标0 和和2,分别就是球从地面弹起后到地面的分别就是球从地面弹起后到地面的 时间，此时时间，此时h=0,所以也是一元二次方程所以也是一元二次方程 的两个根，这两个时间差的两个根，这两个时间差 即为所求即为所求. tt= 2 1050 同样，我们只要取同样，我们只要取h= =3.75m，得一元，得一元 二次方程二次方程 根，就得到球达到根，就得到球达到3.75m高度时所经高度时所经 过的时间过的时间. .tt=
11、 2 1053 75，求出它的 ，求出它的 sv tgt= 2 0 1 2 t(s) h(m) 0 1 2 5 3.75 2 105htt= 例例1:一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过，经过t(s)时求的高度为时求的高度为h(m).已知已知 物体竖直上抛运动中，物体竖直上抛运动中， (v0表示物体运动上弹开始时的速度，表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力表示重力 系数，取系数，取g10m/s2).问球从弹起至回到地面需多少时间？经多少时间球的高度达问球从弹起至回到地面需多少时间？经多少时间球的高度达 到到3.75m? 2 0 1 2 s
12、v tgt= 2 105htt= 解解:由题意由题意,得得h(m)关于关于t(s)的二次函数的解析式的二次函数的解析式为为 2 1050tt= 取取h= =0,得一元二次方程得一元二次方程 2 1053.75tt= 取取h= =3.75, 得一元二次方程得一元二次方程 答答:球从弹起至回到地面需球从弹起至回到地面需2s,经过经过0.5s或或1.5s球的高度达到球的高度达到3.75m. 解这个方程解这个方程,得得 t1=0,t2=2 所以球从地面弹起至回到地面所需的时间为所以球从地面弹起至回到地面所需的时间为 t2-t1=2(s) 解这个方程解这个方程,得得 t1= =0.5,t2= =1.5
13、结论结论 从上例我们看到，可以利用解一元二次方程求从上例我们看到，可以利用解一元二次方程求 二次函数的图象与横轴二次函数的图象与横轴(或平行于横轴的直线或平行于横轴的直线)的交点的交点 坐标坐标. 反过来，也可以利用二次函数的图象求一元二反过来，也可以利用二次函数的图象求一元二 次方程的解次方程的解. 在直角坐标系中画出函数在直角坐标系中画出函数 的图象，的图象， 2 1yxx= 例例2 利用二次函数的图象求方程利用二次函数的图象求方程x x 1= =0的近似解的近似解 观察图得到点观察图得到点A A的横坐标的横坐标 ， 1 0.6x 点点B的横坐标的横坐标 2 1.6x 12 0.6,1.6
14、xx 2 1yxx= 解解:设设 2 10 xx= ，则方程，则方程 的解就是该函数图象与的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标 得到与得到与x轴的交点为轴的交点为A、B，则点，则点A、B的横坐标的横坐标x1、x2就是方程的就是方程的 解解 2 10 xx =的近似解为的近似解为 所以方程所以方程 1 2 1yxx= 0 1 2 x y 2 2 1 1 2 3 A B 2 1yxx= 0 1 2 x y 1 2 2 1 1 2 3 A B 想一想：将想一想：将x1= =0.6和和x2= = 1.6代入代入x x 1， 其值分别是多少？其值分别是多少？ 结论结论 我们知道，我们知道，
15、 二次函数二次函数y= =ax bx c (a0)的图象与的图象与 x轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标x1、x2就是一元二就是一元二 次方程次方程ax bx c= =0(a0)的两个根的两个根. 因此因此 我们可以通过解方程我们可以通过解方程ax bx c= =0来求来求 抛物线抛物线y= =ax bx c与与x轴交点的坐标；轴交点的坐标； 反过来，反过来， 也可以由也可以由y= =ax bx c的图象来求一元的图象来求一元 二次方程二次方程ax bx c= =0的解的解. 练一练练一练 一球从地面抛出的运动路线呈抛物线一球从地面抛出的运动路线呈抛物线,如图如图,当球离抛出当球离抛出 地的水平
16、距离为地的水平距离为30米时米时,达到最大高度达到最大高度10米米. (1)求球运动路线的函数解析式和自变量的求球运动路线的函数解析式和自变量的 取值范围取值范围 (2)求球被抛出多远求球被抛出多远 (3)当球的高度为当球的高度为5米时米时,球离抛出地的水平距离是多少球离抛出地的水平距离是多少 0 30 x(m) y(m) 10 2 3010ya x= 2 1()(0).=ya xhk a解：（）设函数的解析式为 由题意得h=30,k=10 把(0,0)代入前式,得0=900a+10 21 3010 060 90 yxx= 抛物线解析式为 12 (2)0,0,6060yxxm=当时，故抛出 2
17、 1 (3)530)105 90 =yx当时，（得 12 3015 2,3015 3.=xx 1 a= 90 2 114 11 15 2 12 x = 练一练练一练 用求根公式求出方程用求根公式求出方程x x 1= =0的近似解的近似解, 并由此检验例并由此检验例2中所给中所给图象解法的精确度图象解法的精确度. 解解: 12 1515 0.6,1.6 22 xx = 课堂小结课堂小结 1.理顺利用函数解决实际问题的基本理顺利用函数解决实际问题的基本 思想和基本思路思想和基本思路. 2.二次函数的图象与二次函数的图象与x横轴的交点的横坐标横轴的交点的横坐标 即为一元二次方程的解即为一元二次方程的
18、解,反过来也对反过来也对. 某跳水运动员进行某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一米跳台跳水训练时，身体（看成一 点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个在跳某个 规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水 面面10米，入水处距池边的距离为米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距米，同时，运动员在距 水面高度为水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整 好入水姿势，否则就会出现失误好入水姿势，否则就会出现失误. （1）求这条抛物线的解析式；）求这条抛物线的解析式； （2）在某次试跳中，测得运动员）在某次试跳中，测得运动员 在空中的运动路线是（在空中的运动路线是（1）中的抛）中的抛 物线，且运动员在空中调整好入水物线，且运动员在空中调整好入水 姿势时，距池边的水平距离为姿势时，距池边的水平距离为3米，米， 问此次跳水会不会失误？并通过计问此次跳水会不会失误？并通过计 算说明理由。算说明理由。
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