1、 第 1 页（共 20 页） 2021 年陕西省西安市长安区高考数学一模试卷（文科）年陕西省西安市长安区高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）若2zi，则 2 | (zz ) A10 B2 C26 D3 2 （5 分）设集合 2 |6 0Ax xx ， |20Bxxa ，且 | 22 ABxx 剟，则(a ) A2 B2 C4 D4 3 （5 分） “中国天眼”是我国具有自主知识产权，世界
2、最大单口径，最灵敏的球面射电望 远镜（如图） 其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为 底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积2SRh，其中R为球的半径，h为 球冠的高） ，设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积为S，则当2C，16S时， ( r R ) A 2 2572 16 B 15 8 C 2 2572 16 D 13 8 4 （5 分）已知( 2 ，)，2sin2cos21，则cos( ) A 1 5 B 5 5 C 3 3 D 2 5 5 5 （5 分）设抛物线 2 :2C ypx的焦点为F，准线为lP是抛物线C上异于O的一点，过 P作PQl于Q，
3、则线段FQ的垂直平分线( ) A经过点P B经过点O C平行于直线OP D垂直于直线OP 6 （5 分）将函数( )sinf xx（其中0)的图象向右平移 4 个单位长度，所得图象关于 第 2 页（共 20 页） 直线x对称，则的最小值是( ) A 1 3 B1 C 5 3 D 2 3 7 （5 分）某公司为了对一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销， 得到如下数据： 单价x（元 ) 4 5 6 7 8 9 销量V （件) 90 84 83 80 75 68 由表中数据求得线性回归方程为4yxa 若在这些样本点中任取一点，则它在回归 直线右上方的概率为 ( ) A 1 6 B
4、 1 3 C 1 2 D 2 3 8 （5 分）在ABC中，O为中线AM的中点，若2AM ，则()OAOBOC等于( ) A2 B2 C1 D1 9（5 分） 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且 5 sinsincos 4 aABbbA， 10bc，ABC的面积为 25 3 4 ，则(a ) A2 3 B5 C8 D2 2 10 （5 分）已知点( , )P x y是曲线 43 ( )2f xxx在点(1，f（1）)处的切线上一点，则 2 (0,0) xy xy xy 的最小值为( ) A4 B9 C5 D16 11 （5 分）已知 2 1 log 3 2 a ， 5 2log
5、 2b ，0.75c ，则a，b，c的大小关系为( ) Acab Babc Cbca Dbac 12 （5 分）已知 311 ( )(1)22 xx f xxxee ，其中e是自然对数的底数，若 ()(1)0f lnaf a，则实数a的取值范围是( ) A(0,1) B(1,) C(0,2) D(2,) 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 第 3 页（共 20 页） 13 （5 分）若x，y满足约束条件 1 1 2 y y x xy ，则2zxy的最小值是 14 （5 分）一个动圆与定圆 22 :(3)4Fxy相外切，且与直线:1
6、l x 相切，则动圆圆 心的轨迹方程为 15 （5 分）点P在双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右支上，其左、右焦点分别为 1 F、 2 F， 直线 1 PF与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段 1 PF的垂直平分线恰好过 点 2 F，则该双曲线的离心率为 16 （5 分）菱形ABCD中，2AB ，120DAB，将CBD沿BD折起，C点变为E点， 当四面体EABD的体积最大时，四面体EABD的外接球的面积为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，题为必考
7、题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）如图，四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，ABAD，/ /ABCD， 222PDABADCD，E为PA上一点，且32PEPA （）证明：平面EBC 平面PAC； （）求三棱锥PBCE的体积 18 （12 分）已知等差数列 n a中，公差0d ， 11 77S，且 2 a， 6 1a ， 11 a成等比数列 （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 n T为数列 1 1 nn a a 的前n项和，且存
8、在*nN，使得 1 0 nn Ta 成立，求实数的 取值范围 19 （12 分） “一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在“兰州马 拉松” 又成为了兰州的另一张名片， 随着全民运动健康意识的提高， 马拉松运动不仅在兰州， 而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加为此，某市对人们 第 4 页（共 20 页） 参加马拉松运动的情况进行了统计调查 其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中 随机抽取 200 人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表： 平均每周进行长跑调 练天数 不大于 2 天 3 天或 4 天 不少于 5 天 人数 3
9、0 130 40 若某人平均每周进行长跑训练天数不少于 5 天，则称其为“热烈参与者” ，否则称为“非热 烈参与者” （1）经调查，该市约有 2 万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数； （2）根据上表的数据，填写下列22列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超 过 0.01 的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关？ 热烈参与者 非热烈参与者 合计 男 140 女 55 合计 附： 2 2 () ( ()()()() n adbc kn ab cdac bd 为样本容量） 2 0 ()P kk 0.500 0.400 0.250 0.150 0.100 0.050 0.02
10、5 0.010 0.005 0.001 0 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20 （12 分）已知点P到( 5,0)M的距离与它到直线 9 5 : 5 l x 的距离之比为 5 3 （1）求点P的轨迹E的方程； （2）若A是轨迹E与x轴负半轴的交点，过点( 3,8)D 的直线l与轨迹E交于B，C两点， 求证：直线AB、AC的斜率之和为定值 21 （12 分）已知函数 2 ( )(23 ) x f xemxx （1）若曲线( )yf x在点 0 (1,)Py处的切线为:(1)0lexyn，求m，n； （
11、2）当1m 时，若关于x的不等式 2 5 ( )(3)1 2 f xxax在1，)上恒成立，试求实数 a的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 第 5 页（共 20 页） 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2 ( k k xcos t t ysin t 为参数） ，以坐标原 点 为 极 点 ，x轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 2 C的
12、极 坐 标 方 程 为 2 cos3 sin120 （1）当2k 时，求出 1 C的普通方程，并说明该曲线的图形形状 （2）当1k 时，P是曲线 1 C上一点，Q是曲线 2 C上一点，求PQ的最小值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数( ) |24|1|f xxx，xR （1）解不等式：( ) 5f x ； （2）记( )f x的最小值为M，若实数a，b满足 22 abM，试证明： 22 112 213ab 第 6 页（共 20 页） 2021 年陕西省西安市长安区高考数学一模试卷（文科）年陕西省西安市长安区高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答
13、案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）若2zi，则 2 | (zz ) A10 B2 C26 D3 【解答】解：2zi， 222 (2)4434ziiii ， 则 222 | |342| |13 |1310zziii 故选：A 2 （5 分）设集合 2 |6 0Ax xx ， |20Bxxa ，且 | 22 ABxx 剟，则(a ) A2 B2 C4 D4 【解答】解： | 23, | 2 a Axx
14、Bx x剟?，且 | 22ABxx 剟， 2 2 a ，解得4a 故选：C 3 （5 分） “中国天眼”是我国具有自主知识产权，世界最大单口径，最灵敏的球面射电望 远镜（如图） 其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为 底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积2SRh，其中R为球的半径，h为 球冠的高） ，设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积为S，则当2C，16S时， ( r R ) 第 7 页（共 20 页） A 2 2572 16 B 15 8 C 2 2572 16 D 13 8 【解答】解：由已知可得平面中心到球心的距离为Rh， 又球冠周长为22Cr
15、，所以1r ， 又216SRh，所以 8 h R ， 因为 222 ()rRhR，即 222 12RRhhR， 解得 2 64 15 R ，即 8 15 R ， 故 115 8 8 15 r R ， 故选：B 4 （5 分）已知( 2 ，)，2sin2cos21，则cos( ) A 1 5 B 5 5 C 3 3 D 2 5 5 【解答】解：( 2 ，)，2sin2cos21， 2 4sincos12sin1 ， 即2cossin 再根据 22 sincos1，cos0， 求得 5 cos 5 ， 故选：B 5 （5 分）设抛物线 2 :2C ypx的焦点为F，准线为lP是抛物线C上异于O的一
16、点，过 P作PQl于Q，则线段FQ的垂直平分线( ) A经过点P B经过点O C平行于直线OP D垂直于直线OP 第 8 页（共 20 页） 【解答】解：如图所示：， 由抛物线的定义可知，| |PFPQ， FPQ为等腰三角形，且FQ为等腰三角形FPQ的底边， 线段FQ的垂直平分线经过点P， 故选：A 6 （5 分）将函数( )sinf xx（其中0)的图象向右平移 4 个单位长度，所得图象关于 直线x对称，则的最小值是( ) A 1 3 B1 C 5 3 D 2 3 【解答】解：将函数( )f x的图象向右平移 4 个单位长度， 得sin()sin() 44 yxx ， sin() 4 yx
17、的图象关于直线x对称， 42 k ，kZ， 24 33 k，kZ， 0，的最小值为 2 3 ， 故选：D 7 （5 分）某公司为了对一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销， 得到如下数据： 第 9 页（共 20 页） 单价x（元 ) 4 5 6 7 8 9 销量V （件) 90 84 83 80 75 68 由表中数据求得线性回归方程为4yxa 若在这些样本点中任取一点，则它在回归 直线右上方的概率为 ( ) A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 2 3 【解答】解： 113 (456789) 62 x ， 1 (908483807568)80 6 y 4yxa ， 106
18、a， 回归直线方程4106yx ； 数据(4,90)，(5,84)，(6,83)，(7,80)，(8,75)，(9,68) 6 个点中有 3 个点在直线右上方，即(6,83)，(7,80)，(8,75) 其这些样本点中任取 1 点，共有 6 种不同的取法， 故这点恰好在回归直线右上方的概率 31 62 P 故选：C 8 （5 分）在ABC中，O为中线AM的中点，若2AM ，则()OAOBOC等于( ) A2 B2 C1 D1 【解答】解：由题意画出草图： 由于点M为ABC中边BC的中点， 2OBOCOM， (OA)22| |OBOCOA OMOAOM O为中线AM上的中点，即A、O、M三点共线
19、， 2AM ， (OA)2| |2 1 12OBOCOAOM 故选：A 第 10 页（共 20 页） 9（5 分） 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且 5 sinsincos 4 aABbbA， 10bc，ABC的面积为 25 3 4 ，则(a ) A2 3 B5 C8 D2 2 【解答】解：因为 5 sinsincos 4 aABbbA， 由正弦定理可得 5 sinsinsinsinsincos 4 AABBBA， 因为0B，所以sin0B ， 所以 2 5 sincos 4 AA，可得 2 5 1coscos 4 AA， 即 2 (2cos1)0A，解得 1 cos 2 A
20、 ，所以 3 sin 2 A， 因为 125 3 sin 24 ABC SbcA ，所以25bc ， 又10bc， 所以 2222 2cos()31003 2525abcbcAbcbc ， 所以5a 故选：B 10 （5 分）已知点( , )P x y是曲线 43 ( )2f xxx在点(1，f（1）)处的切线上一点，则 2 (0,0) xy xy xy 的最小值为( ) A4 B9 C5 D16 【解答】解： 43 ( )2f xxx的导数为 32 ( )46f xxx， 可得在点(1，f（1）)处的切线的斜率为2， 切点为(1, 1)，则切线的方程为12(1)yx ， 点( , )P x
21、y在切线上，可得21xy，x，0y ， 则 2212122 (2)()415229 xyxy xy xyxyxyyx ， 第 11 页（共 20 页） 当且仅当 1 3 xy时，取得等号 则 2 (0,0) xy xy xy 的最小值为 9 故选：B 11 （5 分）已知 2 1 log 3 2 a ， 5 2log 2b ，0.75c ，则a，b，c的大小关系为( ) Acab Babc Cbca Dbac 【解答】解： 22 11 log 3log 2 22 a 3 2 2 13 2log 2 24 ， 3 4 a，即ac， 22 4 13343 3 log 3log311 22444 l
22、g lglglglg a lglglglg ， 55 5 454 4 2log 2log 411 555 lg lglglg b lglglg ， 45 34 ， 45 34 lglg，又45lglg， 45 34 45 lglg lglg ，即ab， bac ， 故选：D 12 （5 分）已知 311 ( )(1)22 xx f xxxee ，其中e是自然对数的底数，若 ()(1)0f lnaf a，则实数a的取值范围是( ) A(0,1) B(1,) C(0,2) D(2,) 【解答】解： 311 ( )(1)22 xx f xxxee ， 则 211 ( )3(1)2 xx f xxee
23、 ， 11 ( )6(1) xx fxxee ， 11 ( )6 xx fxee ， 1 0 x e ， 1 0 x e ，( )0fx ，( )fx单调递增， 而f（1）0，故1x 时，( )0fx，1x 时，( )0fx， 故( )fx在(,1)递减，在(1,)递增， 故( )fxf（1）0，故( )f x在R上单调递增， 若()(1)0f lnaf a，则()(1)f lnaf a ， 由(1)(1)f afa ，得：()(1)f lnafa ， 第 12 页（共 20 页） 故1lnaa ，即10lnaa ，(0)a ， 令h（a）1(0)lnaaa，则h（a） 1 10 a ， 故h
24、（a）在(0,)单调递增， 1a 时，h（a）0， 故01a时，h（a）0，1a 时，h（a）0， 故10lnaa 的解集是(0,1)， 故选：A 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）若x，y满足约束条件 1 1 2 y y x xy ，则2zxy的最小值是 1 【解答】解：画出约束条件 1 1 2 y y x xy 表示的平面区域，如图阴影所示： 目标函数2zxy可化为2yxz ， 平移目标函数知， 当目标函数过点(0, 1)C时， 直线2yxz 在y轴上的截距最小， 此时z 取得最小值， 所以z的最小值为201
25、1 min z 故答案为：1 14 （5 分）一个动圆与定圆 22 :(3)4Fxy相外切，且与直线:1l x 相切，则动圆圆 心的轨迹方程为 2 12yx 【解答】解：定圆 22 :(3)4Fxy的圆心(3,0)F，半径为 2， 第 13 页（共 20 页） 设动圆圆心P点坐标为( , )x y，动圆得半径为r，d为动圆圆心到直线1x 的距离，即r， 则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，2PAr，dr |2PAd，即： 22 (3)21xyx， 化简得： 2 12yx 动圆圆心轨迹方程为 2 12yx 故答案为： 2 12yx 15 （5 分）点P在双曲线 22 22 1(0,0) x
26、y ab ab 的右支上，其左、右焦点分别为 1 F、 2 F， 直线 1 PF与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段 1 PF的垂直平分线恰好过 点 2 F，则该双曲线的离心率为 5 3 【解答】解：由线段 1 PF的垂直平分线恰好过点 2 F， 可得 212 | | 2PFFFc， 由直线 1 PF与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A， 可得|OAa， 设 1 PF的中点为M，由中位线定理可得 2 | 2MFa， 在直角三角形 2 PMF中，可得 22 |442PMcab， 即有 1 | 4PFb， 由双曲线的定义可得 12 | 2PFPFa， 即422bca，即2ba
27、c， 即有 22 4()bac， 即 222 4()()caac， 可得 3 5 ac， 即 5 3 e ， 故答案为： 5 3 第 14 页（共 20 页） 16 （5 分）菱形ABCD中，2AB ，120DAB，将CBD沿BD折起，C点变为E点， 当四面体EABD的体积最大时，四面体EABD的外接球的面积为 20 【解答】解：当平面EBD 平面ABD时，E到平面ABD的距离最大，由于底面BAD的面 积为定值， 所以此时四面体EABD的体积最大 设三角形ABD的外接圆的圆心为 1 O，半径 2 32 3 2 2sin1203 r ， 设四面体EABD的外接球的球心为O，三角形EBD的外接圆的
28、圆心为 2 O， 可得 2 1 23211OOr ， 所以 222 1 4 15RrOO ， 则四面体EABD的外接球的面积为 2 44520SR ， 故答案为：20 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 第 15 页（共 20 页） 60 分分 17 （12 分）如图，四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，ABAD，
29、/ /ABCD， 222PDABADCD，E为PA上一点，且32PEPA （）证明：平面EBC 平面PAC； （）求三棱锥PBCE的体积 【解答】 （）证明：PA平面ABCD，BC 平面ABCD，PABC， 在直角梯形ABCD中，/ /ABCD，ABAD，2AB ，1ADCD， 2ACBC， 222 ACBCAB， ACBC， 又PAAC，PA平面PAC， AC 平面PAC， BC平面PAC， BC 平面EBC，平面EBC 平面PAC （）解： P BCEB PCE VV ，由（1）可知BC 平面PCE， 所以三棱锥BPCE的高为2BC ， 32PEPA，2 PE AE ， 22 16 32
30、33 23 PCEPAC SS ， 162 3 2 339 P BCEB PCE VV 第 16 页（共 20 页） 18 （12 分）已知等差数列 n a中，公差0d ， 11 77S，且 2 a， 6 1a ， 11 a成等比数列 （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 n T为数列 1 1 nn a a 的前n项和，且存在*nN，使得 1 0 nn Ta 成立，求实数的 取值范围 【解答】解： （1）由题意可得 1 2 111 11 10 1177 2 (51)()(10 ) ad adad ad 即 1 57, (74 ) (75 )36 ad dd 又因为0d ，所以 1 2,
31、1 a d 所以1 n an（5 分） （2） 1 1111 (1)(2)12 nn a annnn ， 11111111 233412222(2) n n T nnnn 存在 * nN，使得 1 0 nn Ta 成立 存在 * nN，使得(2) 0 2(2) n n n 成立 即存在 * nN，使得 2 2(2) n n 成立 2 11 4 2(2)16 2(4) n n n n （当且仅当2n 时取等号） 1 16 ，即实数的取值范围是 1 (, 16 （12 分） 19 （12 分） “一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在“兰州马 拉松” 又成为了兰州的另一张名片，
32、 随着全民运动健康意识的提高， 马拉松运动不仅在兰州， 而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加为此，某市对人们 参加马拉松运动的情况进行了统计调查 其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中 随机抽取 200 人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表： 平均每周进行长跑调 练天数 不大于 2 天 3 天或 4 天 不少于 5 天 人数 30 130 40 若某人平均每周进行长跑训练天数不少于 5 天，则称其为“热烈参与者” ，否则称为“非热 烈参与者” 第 17 页（共 20 页） （1）经调查，该市约有 2 万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参
33、与者”的人数； （2）根据上表的数据，填写下列22列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超 过 0.01 的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关？ 热烈参与者 非热烈参与者 合计 男 140 女 55 合计 附： 2 2 () ( ()()()() n adbc kn ab cdac bd 为样本容量） 2 0 ()P kk 0.500 0.400 0.250 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解答】解：
34、（1）以 200 人中“热烈参与者”的频率作为概率，则该市：热烈参与者“的人 数约为： 1 200004000 5 （2） 热烈参与者 非热烈参与者 合计 男 35 105 140 女 5 55 60 合计 40 160 200 2 2 200 (35 55 105 5) 7.2926.635 40 160 140 60 K ， 故能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关 20 （12 分）已知点P到( 5,0)M的距离与它到直线 9 5 : 5 l x 的距离之比为 5 3 （1）求点P的轨迹E的方程； （2）若A是轨迹E与x轴负半轴的交点，过点( 3,8)
35、D 的直线l与轨迹E交于B，C两点， 求证：直线AB、AC的斜率之和为定值 【解答】解： （1）设点( , )P x y，由题意可得 22 (5)(0)5 39 5 | 5 xy x 第 18 页（共 20 页） 化简整理可得 22 1 94 xy ，所以点P的轨迹E的方程为 22 1 94 xy （4 分） （2）证明：由（1）可得，过点D的直线l斜率存在且不为 0， 故可设l的方程为(0)ykxm k， 1 (B x， 1) y， 2 (C x， 2) y， 由 22 1 94 ykxm xy 得 222 (49)189360kxkmxm， 22222 (18)4(49)(936)144(
36、94)0kmkmkm，即 22 94mk， 2 1212 22 18936 , 4949 kmm xxx x kk ， 而 12 12 33 ABAC yy kk xx 1221 12 (3)(3) (3)(3) y xyx xx 1221 12 ()(3)()(3) (3)(3) kxm xkxm x xx 1212 1212 2(3)()6 3()9 kx xkm xxm x xxx 2 22 2 22 93618 2(3)()6 4949 93618 3 ()9 4949 mkm kkmm kk mkm kk 8 3(3 )mk ， 由于直线l过点( 3,8)D ，所以38km， 所以
37、1 3 ABAC kk（即为定值） （12 分） 21 （12 分）已知函数 2 ( )(23 ) x f xemxx （1）若曲线( )yf x在点 0 (1,)Py处的切线为:(1)0lexyn，求m，n； （2）当1m 时，若关于x的不等式 2 5 ( )(3)1 2 f xxax在1，)上恒成立，试求实数 a的取值范围 【解答】解： （1）函数 2 ( )(23 ) x f xemxx的导数( )(43) x fxemx， 根据函数导数的几何意义，可得 f （1）1eme，即1m 则 2 ( )23 x f xexx，点P坐标为(1,1)e 第 19 页（共 20 页） 点P在直线:(
38、1)0lexyn上 2n 故1m ，2n （2）当1m 时， 2 ( )23 x f xexx 关于x的不等式 2 5 ( )(3)1 2 f xxax在1，)上恒成立， 1 2 x ex a xx ， 设 1 ( ) 2 x ex g x xx ，则 222 (1)11(1)11 ( ) 22 xx exex g x xxx ， 由1 x yex的导数为1 x ye ， 可得0 x 时，0y， 函数1 x yex递增，0 x 时， 函数1 x yex递减，则1 0 x ex ，即10 x ex ， 当1x时， 22 (1)11(1)(1)111 0 222 x exxx xx ， 则 1 (
39、 ) 2 x ex g x xx 在1，)递增，可得 3 ( )(1) 2 min g xge， 则 3 2 a e （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2 ( k k xcos t t ysin t 为参数） ，以坐标原 点 为 极 点 ，x轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 2 C的 极 坐 标 方 程 为 2
40、 cos3 sin120 （1）当2k 时，求出 1 C的普通方程，并说明该曲线的图形形状 （2）当1k 时，P是曲线 1 C上一点，Q是曲线 2 C上一点，求PQ的最小值 【解答】解： （1）曲线 1 C的参数方程为 2 ( k k xcos t t ysin t 为参数） ， 当2k 时，消t得22xy，(0,0)xy厖， 该曲线是以(2,0)A，(0,1)B为端点的线段 （2）当1k 时，曲线 1 C的普通方程为椭圆： 2 2 1 4 x y； 曲线 2 C的普通方程为直线：23120 xy； 第 20 页（共 20 页） 可知直线与椭圆相离，则PQ的最小值为P到直线的距离最小值 则 |
41、4cos3sin12|5sin()12|125sin() 131313 tttt d ， 当sin()1t时，有最小值 7 13 13 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数( ) |24|1|f xxx，xR （1）解不等式：( ) 5f x ； （2）记( )f x的最小值为M，若实数a，b满足 22 abM，试证明： 22 112 213ab 【解答】解： （1）易知 33,2 ( ) |24|1|5, 12 33,1 xx f xxxxx xx 剟 因为( ) 5f x ，所以 2 33 5 x x ，或 12 55 x x 剟 ，或 1 33 5 x x 所以 8 2 3 x ，或02x剟，或，所以 8 0 3 x剟， 所以不等式的解集为 8 |0 3 xx 剟（5 分） （2） 证明：( ) |24|1|2|(2)(1)| |2| 3 3f xxxxxxx厖， 当且仅当2x 时取等号 ( )f x的最小值为3M ，所以 22 3ab， 所以 2222 22 22222222 111111211212 ()(2)(1)(2)(22) 212162162163 baba ab abababab ， 当且仅当 22 22 12 21 ba ab ，即 2 1a ， 2 2b 时取等号 （10 分）
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