1、 第 1 页（共 21 页） 2021 年陕西省榆林市高考数学第三次测试试卷（理科）年陕西省榆林市高考数学第三次测试试卷（理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合 2 |6 0Mx xx ， 1 |1Nx x ，则( MN ) A 3，1 B0，2 C 3，01，2 D 2 （5 分）已知复数 4 12 (1) i z i ，则它的虚部与实部之积为( ) A 1 8 B 1 8 C 1 4 D 1
2、 4 3 （5 分）某班 60 名同学中选出 4 人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将 60 名同学按 01，02，60 进行编号，然后从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始从 左往右依次选取两个数字，则选出的第 4 个同学的编号为( ) 0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6297 7424 6292 4281 1457 2042 5332 3732 1676 （注:表中的数据为随机数表的第一行和第二行） A24 B36 C46 D47 4 （5 分）函数 1| ( ) | ln x f x x 的图象大致为( ) A B 第 2 页
3、（共 21 页） C D 5（5 分） 在ABC中， 内角A，B，C所对边分别为a，b，c， 已知1a ，3b ， 6 A ， 则(c ) A1 或 2 B1 或3 C1 D3 6 （5 分）已知函数 1 ( )sin2 1 x f xlnax x ，且( )5f m ，则()(fm ) A5 B3 C1 D3 7 （5 分）已知抛物线 2 :2(0)C xpy p的焦点为F，抛物线C的准线与y轴交于点A，点 ( 3M， 0) y在抛物线C上， 0 7 | 4 y MF ，则MAF的面积为( ) A 2 5 B 3 3 4 C 3 2 D 4 5 8 （5 分）已知函数( )2sin2 (si
4、n2cos2 )1f xxxx，则下列说法正确的是( ) A( )f x的最小正周期为 B( )f x的最大值为 2 C( )f x在0， 6 上是增函数 D( )f x在0， 2 上有 4 个零点 9 （5 分） 如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，1ABAC， 1 4AA ，ABAC，M为 1 BB 的中点，点N在棱 1 CC上， 1 3CNNC，则异面直线 1 A N与CM所成角的正切值为( ) 第 3 页（共 21 页） A 1 2 B 3 2 C 1 3 D 3 3 10 （5 分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一每年 新春佳节，我国许多地区的人们
5、都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的， 并寄托着辞旧迎新、 接福纳祥的愿望 图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花， 已知图二中正六边形ABCDEF的边长为 4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为 2，若点 P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则PM PN的取值范围是( ) A6，12 B6，16 C8，12 D8，16 11 （5 分）阳马，中国古代算数中的一种几何体，它是底面为长方形，两个三角面与底面 垂直的四棱锥已知在阳马PABCD中，PD 平面ABCD，3PD ，且阳马PABCD的 体积为 9，则阳马PABCD外接球表面积的最小值是( ) A 9 3 2 B
6、9 3 C27 D27 3 12 （5 分）若关于x的不等式 2 ()20( ax ea xlnxee为自然对数的底数）恒成立，则实 数a的取值范围为( ) A(0, ) e B( ,)e C 1 (0, ) e D 1 ( e ，) 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 第 4 页（共 21 页） 13 （5 分）设x，y满足约束条件 1 1 1 xy xy y ，则 1 y z x 的最大值是 14 （5 分） 九章算术是中国古代的数学名著，其中方田一章给出了弧田（由圆弧和 其所对弦所围成）面积的计算公式：弧田面积 1 2 （弦
7、矢矢 2) 、公式中“弦”指圆弧所 对弦长， “矢”等于圆弧的最高点到弦的距离，如图，弧田是由圆弧AB和其所对弦AB围成 的图形，若弧田的孤AB长为 8 3 ，弧所在的圆的半径为 4，则利用九章算术中的弧田面积 公式计算出来的面积与实际面积之差为 15 （5 分）有 8 名大学生到甲、乙、丙三所学校去支教，每名大学生只去一所学校，若甲 学校需要 2 名，乙学校需要 2 名，丙学校需要 4 名，则不同安排方法的种数为 .（用数 字作答） 16 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左，右焦点分别为 1 F， 2 F，以 1 OF为直径 的圆与双曲线的一条渐近线交于点
8、M（异于坐标原点)O，若线段 1 MF交双曲线于点P，且 2/ / MFOP，则该双曲线的离心率为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17 题第题第 21 题为题为 必考题，每个考题考生必须作答。第必考题，每个考题考生必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考 题：共题：共 60 分。分。 17 （12 分）在等差数列 n a和等比数列 n b中，已知 123 aaa， 25 31aa， 214 ba a， 25 36bb （1）求
9、 n a， n b的通项公式； （2）求数列 nn ab的前n项和 n T 18 （12 分）国际学生评估项目()PISA，是经济合作与发展组织()OECD举办的，该项目的 内容是对 15 岁学生的阅读、 数学、 科学能力进行评价研究 在 2018 年的 79 个参测国家 （地 区）的抽样测试中，中国四省市（北京、上海、江苏、浙江）为一个整体在所有参测国家（地 区）取得全部 3 项科目中第一的好成绩，某机构为了分析测试结果优劣的原因，从参加测试 第 5 页（共 21 页） 的中国学生中随机抽取了 200 名参赛选手进行调研，得到如表统计数据： 成绩优秀 成绩一般 总计 家长高度重视学生教 育
10、90 x y 家长重视学生教育一 般 30 z w 总计 120 80 200 若从如表“家长高度重视学生教育”的参测选手中随机抽取一人，则选到的是“成绩一般” 的选手的概率为 4 13 （1）判断是否有99.9%的把握认为“学生取得的成绩情况”与“家长对学生的教育重视程 度”有关； （2）现从成绩优秀的选手中按照分层抽样的方法抽取 20 人，进行“家长对学生情感支持” 的调查，再从这 20 人中抽取 3 人进行“学生家庭教育资源保障”的调查记进行“学生家 庭教育资源保障”调查中抽取到“家长高度重视学生教育”的人数为X求X的分布列和 数学期望 附： 2 2 () ()()()() n adbc
11、 K ab cd ac bd ，nabcd 2 0 ()P Kk 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19 （12 分）如图，在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，点E是 1 BB的中点，点F在 棱AB上，且2AFFB，设直线 1 BD、DE相交于点G （1）证明：/ /GF平面 111 A AD D （2）求二面角 1 DCED的余弦值 第 6 页（共 21 页） 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的焦距为 8，且点 5 3
12、 ( 2 M， 1) 2 在C上 （1）求C的方程； （2）若直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OM平分，求(AOB O为坐标原 点）面积的最大值 21 （12 分）已知函数 2 ( )2f xxmlnxx （1）若( )f x在定义域内为增函数，求m的取值范围； （2）设0m，若( ) 12f xx恒成立，求m的值 (二二)选考题选考题:共共 10 分 请考生在第分 请考生在第 22、 23 题中任选一题作答，题中任选一题作答， 选修选修 4-4： 坐标系与参数方程： 坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系中，直线l的倾斜角为a，且过点(0, 2)P，以直角坐标系的
13、坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos （1）求曲线C的直角坐标方程； （2）设直线l与曲线C交于不同的两点M，N，求|PMPN的最大值 五、五、选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |()f xxaaR （1）若( )|21|f xx 的解集为0，2，求a的值； （2）若对任意xR，不等式 2 ( ) |2 |4f xxaaa恒成立，求实数a的取值范围 第 7 页（共 21 页） 2021 年陕西省榆林市高考数学第三次测试试卷（理科）年陕西省榆林市高考数学第三次测试试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本
14、题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合 2 |6 0Mx xx ， 1 |1Nx x ，则( MN ) A 3，1 B0，2 C 3，01，2 D 【解答】解： 1 | 32, |0 |01 x MxxNxxx x 剟， 3 MN ，01，2 故选：C 2 （5 分）已知复数 4 12 (1) i z i ，则它的虚部与实部之积为( ) A 1 8 B 1 8 C 1 4 D 1 4 【解答】解： 42 22 121
15、2121211 (1)(1) ( 2 )442 iiii zi iii ， 复数z的实部为 1 4 ，虚部为 1 2 ，虚部与实部之积为 111 248 故选：A 3 （5 分）某班 60 名同学中选出 4 人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将 60 名同学按 01，02，60 进行编号，然后从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始从 左往右依次选取两个数字，则选出的第 4 个同学的编号为( ) 0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6297 7424 6292 4281 1457 2042 5332 3732 1676 （注:表中的数据为
16、随机数表的第一行和第二行） A24 B36 C46 D47 【解答】解：由题知从随机数表的第 1 行第 5 列和第 6 列数字开始， 由表可知依次选取 43，36，47，46，24 故选：C 4 （5 分）函数 1| ( ) | ln x f x x 的图象大致为( ) 第 8 页（共 21 页） A B C D 【解答】解： 1|1| ()( ) | lnxln x fxf x xx ， 函数( )f x为偶函数，排除选项B和C， 当1x 时，|0ln xlnx，( )0f x，排除选项A， 故选：D 5（5 分） 在ABC中， 内角A，B，C所对边分别为a，b，c， 已知1a ，3b ，
17、6 A ， 则(c ) A1 或 2 B1 或3 C1 D3 【解答】解：由余弦定理知， 222 2cosabcbcA， 2 132 3cos 6 cc ， 化简得， 2 320cc，解得1c 或 2 第 9 页（共 21 页） 故选：A 6 （5 分）已知函数 1 ( )sin2 1 x f xlnax x ，且( )5f m ，则()(fm ) A5 B3 C1 D3 【解答】解：根据题意，函数 1 ( )sin2 1 x f xlnax x ， 则 11 ()sin()2sin2 11 xx fxlnaxlnax xx ， 则有( )()4f xfx， 故( )()5f mfm， 若(
18、)5f m ，则()1fm ， 故选：C 7 （5 分）已知抛物线 2 :2(0)C xpy p的焦点为F，抛物线C的准线与y轴交于点A，点 ( 3M， 0) y在抛物线C上， 0 7 | 4 y MF ，则MAF的面积为( ) A 2 5 B 3 3 4 C 3 2 D 4 5 【解答】解：由抛物线的定义及其性质可知， 0 0 7 | 24 yp MFy， 0 2 3 p y， 2 2 ( 3)2 3 p p， 3 2 p，即 2 3xy， 3 (0,) 4 A，( 3M，1)， 3 (0, ) 4 F， 133 3 3 224 MFA s， 故选：B 8 （5 分）已知函数( )2sin2
19、 (sin2cos2 )1f xxxx，则下列说法正确的是( ) A( )f x的最小正周期为 B( )f x的最大值为 2 C( )f x在0， 6 上是增函数 D( )f x在0， 2 上有 4 个零点 【解答】解：函数 2 ()2sin2(sin2cos2)12sin212sin2cos2sin4cos42sin(4) 4 fxxxxxxxxxx 第 10 页（共 21 页） 所以函数的周期为： 2 42 T ，所以A不正确； 函数的最大值为2，所以B不正确； 4 242 x 剟，解得 3 1616 x 剟，所以( )f x在0， 6 上是增函数，所以C正确； ( )f x在0， 2 上
20、有 2 个零点，所以D不正确 故选：C 9 （5 分） 如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，1ABAC， 1 4AA ，ABAC，M为 1 BB 的中点，点N在棱 1 CC上， 1 3CNNC，则异面直线 1 A N与CM所成角的正切值为( ) A 1 2 B 3 2 C 1 3 D 3 3 【解答】解：在棱 1 AA上取一点D，使得1AD ，连结CD，DM， 则2CDDM，6CM ， 1 / /CDA N， 所以DCM即为 1 A N与CM所成的角， 取CM的中点E，连结DE， 所以 22 62 ( 2)() 22 DE ， 故 2 3 2 tan 36 2 DE DCM CE ， 所
21、以异面直线 1 A N与CM所成角的正切值为 3 3 故选：D 第 11 页（共 21 页） 10 （5 分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一每年 新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的， 并寄托着辞旧迎新、 接福纳祥的愿望 图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花， 已知图二中正六边形ABCDEF的边长为 4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为 2，若点 P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则PM PN的取值范围是( ) A6，12 B6，16 C8，12 D8，16 【解答】解：由正六边形ABCDEF的边长为
22、 4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为 2， 故正六边形ABCDEF的内切圆半径为sin604sin602 3rOA ，外接圆半径4R 而 222 () ()| 4PM PNPOOMPOONPOOMPO 易知|rPOR剟，即| 2 3,4PO 所以PM PN的取值范围是8，12 故选：C 第 12 页（共 21 页） 11 （5 分）阳马，中国古代算数中的一种几何体，它是底面为长方形，两个三角面与底面 垂直的四棱锥已知在阳马PABCD中，PD 平面ABCD，3PD ，且阳马PABCD的 体积为 9，则阳马PABCD外接球表面积的最小值是( ) A 9 3 2 B9 3 C27 D27 3 【
23、解答】解：由题意可知阳马的体积为：19 3 AB BC PDAB BC，设阳马的外接球的半 径为R， 则 222222 49 2927RABBCPDABBCAB BC，当且仅当ABBC时等号成 立， 所以阳马的外接球的表面积 2 427R 故选：C 12 （5 分）若关于x的不等式 2 ()20( ax ea xlnxee为自然对数的底数）恒成立，则实 数a的取值范围为( ) A(0, ) e B( ,)e C 1 (0, ) e D 1 ( e ，) 【解答】解： 2 ()20 ax ea xlnxe， 2 2 ax e xlnxeax， 22 ()() axax e xln e xeln
24、e， 令( )f xxlnx，则 1 ( )10fx x ， ( )f x在(0,)上单调递增， 由 22 ()() axax e xln e xeln e，得 2 ()() ax f e xf e， 2ax e xe， 2 ()() ax ln e xln e， 2lnxax ， 2lnx a x ， 第 13 页（共 21 页） 令 2 ( ) lnx g x x ，则 2 1 ( ) ax g x x ， 1 ( )0g e ， 1 (0, )x e 时，( )0g x，( )g x单调递增， 1 (x e ，)时，( )0g x，( )g x单调递减， 1 ( )( ) max g x
25、ge e ， 2lnx a x 恒成立，( )maxag x， ae ，即( ,)ae， 故选：B 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）设x，y满足约束条件 1 1 1 xy xy y ，则 1 y z x 的最大值是 1 【解答】解：作出x，y满足约束条件 1 1 1 xy xy y 对应的平面区域如图： 1 y z xx 的几何意义为平面区域内的点到定点( 1,0)D 的斜率， 由图象知AE的斜率最大，其中(0,1)A， 则 1 1 01 z ， 故答案为：1 14 （5 分） 九章算术是中国古代的数学名著，其
26、中方田一章给出了弧田（由圆弧和 其所对弦所围成）面积的计算公式：弧田面积 1 2 （弦矢矢 2) 、公式中“弦”指圆弧所 对弦长， “矢”等于圆弧的最高点到弦的距离，如图，弧田是由圆弧AB和其所对弦AB围成 第 14 页（共 21 页） 的图形，若弧田的孤AB长为 8 3 ，弧所在的圆的半径为 4，则利用九章算术中的弧田面积 公式计算出来的面积与实际面积之差为 16 8 32 3 【解答】解：如图所示，由题意可得： 8 2 3 43 AOB ，4OA ， 在Rt AOD中，可得： 3 AOD ， 6 DAO ， 11 42 22 ODAO， 可得：矢422， 由 3 sin42 3 32 AD
27、AO ， 可得：弦24 3AD， 所以：弧田面积 1 2 （弦矢矢 22 1 )(4 322 )4 32 2 实际面积 18116 44 324 3 2323 所以 1616 4 324 38 32 33 故答案是： 16 8 32 3 15 （5 分）有 8 名大学生到甲、乙、丙三所学校去支教，每名大学生只去一所学校，若甲 学校需要 2 名，乙学校需要 2 名，丙学校需要 4 名，则不同安排方法的种数为 420 .（用 数字作答） 【解答】解：根据题意，分 3 步进行分析： 在 8 名大学生中任选 2 人，安排到甲校，有 2 8 28C 种安排方法， 在剩下的 6 人中任选 2 人，安排到乙
28、校，有 2 6 15C 种安排方法， 将最后的 4 人安排到丙学校，有 1 种安排方法， 第 15 页（共 21 页） 则有28 15420种安排方法， 故答案为：420 16 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左，右焦点分别为 1 F， 2 F，以 1 OF为直径 的圆与双曲线的一条渐近线交于点M（异于坐标原点)O，若线段 1 MF交双曲线于点P，且 2/ / MFOP，则该双曲线的离心率为 2 【解答】解：设 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c， 由 2 22 0 () 24 bxay cc xy ，解得 2 ( a M c ，) ab c ， 因为
29、 2/ / MFOP，O为 12 F F的中点， 所以P为 1 F M的中点，所以 22 ( 2 ac P c ，) 2 ab c ， 将P的坐标代入双曲线的方程，可得 2222 222 () 1 44 aca a cc ， 化简可得 22 2ca，则2 c e a 故答案为：2 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17 题第题第 21 题题为为 必考题，每个考题考生必须作答。第必考题，每个考题考生必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题为选考题，考生根据要求作答。 （一
30、）必考 题：共题：共 60 分。分。 17 （12 分）在等差数列 n a和等比数列 n b中，已知 123 aaa， 25 31aa， 214 ba a， 25 36bb （1）求 n a， n b的通项公式； （2）求数列 nn ab的前n项和 n T 【解答】解： （1）设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b中的公比为q， 由于已知 123 aaa， 25 31aa， 214 ba a， 25 36bb 建立方程组，解得 1 1ad， 1 1b ，2q ， 所以 n an，2n n b （2）由（1）得2n nn n ca bn， 所以 2 1 22 22n n Tn ， 第 1
31、6 页（共 21 页） 231 21 22 22n n Tn ， 得， 121 2222 nn n Tn ， 整理得 1 (1) 22 n n Tn 18 （12 分）国际学生评估项目()PISA，是经济合作与发展组织()OECD举办的，该项目的 内容是对 15 岁学生的阅读、 数学、 科学能力进行评价研究 在 2018 年的 79 个参测国家 （地 区）的抽样测试中，中国四省市（北京、上海、江苏、浙江）为一个整体在所有参测国家（地 区）取得全部 3 项科目中第一的好成绩，某机构为了分析测试结果优劣的原因，从参加测试 的中国学生中随机抽取了 200 名参赛选手进行调研，得到如表统计数据： 成绩
32、优秀 成绩一般 总计 家长高度重视学生教 育 90 x y 家长重视学生教育一 般 30 z w 总计 120 80 200 若从如表“家长高度重视学生教育”的参测选手中随机抽取一人，则选到的是“成绩一般” 的选手的概率为 4 13 （1）判断是否有99.9%的把握认为“学生取得的成绩情况”与“家长对学生的教育重视程 度”有关； （2）现从成绩优秀的选手中按照分层抽样的方法抽取 20 人，进行“家长对学生情感支持” 的调查，再从这 20 人中抽取 3 人进行“学生家庭教育资源保障”的调查记进行“学生家 庭教育资源保障”调查中抽取到“家长高度重视学生教育”的人数为X求X的分布列和 数学期望 附：
33、 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，nabcd 2 0 ()P Kk 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解答】解： （1）由题意可知，家长高度重视学生教育且成绩优秀的概率为 49 1 1313 ， 第 17 页（共 21 页） 所以家长高度重视学生教育的总人数为 9 90130 13 ， 40 x，130y ，40z ，70w ， 2 2 200 (904040 30) 13.18710.828 130 70 80 120 K ， 所以
34、有99.9%的把握认为“学生取得的成绩情况”与“家长对学生的教育重视程度”有关； （2）由图表可知成绩优秀的学生中家长高度重视和一般重视的比为3:1， 所以抽取的家长高度重视的人数为 3 2015 4 人，家长一般重视的有20155人， 所以X的取值为 0，1，2，3， 3 5 3 20 1 (0) 114 C P X C ； 21 515 3 20 5 (1) 38 C C P X C ； 12 515 3 20 35 (2) 76 C C P X C ； 3 15 3 20 91 (3) 228 C P X C ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 114 5 38 35 7
35、6 91 228 1535919 ()0123 11438762284 E X 19 （12 分）如图，在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，点E是 1 BB的中点，点F在 棱AB上，且2AFFB，设直线 1 BD、DE相交于点G （1）证明：/ /GF平面 111 A AD D （2）求二面角 1 DCED的余弦值 第 18 页（共 21 页） 【解答】 （1）证明：连接 1 AD，因为点E是 1 BB的中点，所以 1 2DDBE，所以 1 3BGBD， 因为2AFFB，所以3BFBA， 所以 1 / /FGAD，又因为 1 AD 平面 111 A AD D，FG平面 11
36、1 A AD D， 所以/ /GF平面 111 A AD D （2）解：建立如图所示的空间直角坐标系， (0CE ，1， 1 ) 2 ，(1CD ，0，0)， 1 (1CD ，0，1)， 设平面DCE和平面 1 CED的法向量分别为(mx，y，) z，(nu，v，)w， 1 0 2 0 CE myz CD mx ，令2z ，(0m ，1，2)， 1 1 0 2 0 CE nvw CD nuw ，令2w ，( 2n ，1，2)， 因为二面角 1 DCED为锐角， 所以二面角 1 DCED的余弦值为 |55 | |35 3 m n mn 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy C
37、ab ab 的焦距为 8，且点 5 3 ( 2 M， 1) 2 在C上 第 19 页（共 21 页） （1）求C的方程； （2）若直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OM平分，求(AOB O为坐标原 点）面积的最大值 【解答】解： （1）由焦距为 8，可知4c ， 将点 5 3 ( 2 M， 1) 2 代入椭圆C， 可得 22 22 751 1 44 16 ab ab ， 解之得 2 20a ， 2 4b ， 所以C的方程为 22 1 204 xy ； （2）设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，AB的中点为 0 (x， 0) y， 则 22 11 22 22 52
38、0 520 xy xy ，相减化简可得 0 0 3 5 AB x k y ， 设直线方程为：3yxm， 联立直线和椭圆方程可得 22 1610 35200 xmxm， 则 2 20(64)0m，即 2 64m 2 5(64) |3 1 164 m AB ，点O到直线AB的距离为 | 23 1 mm d ， 22 5(64)1 |2 5 216 AOB mm SAB d ，当且仅当 2 32m 时取等号 即AOB面积的最大值为2 5 21 （12 分）已知函数 2 ( )2f xxmlnxx （1）若( )f x在定义域内为增函数，求m的取值范围； （2）设0m，若( ) 12f xx恒成立，求
39、m的值 【解答】解： （1）函数 2 ( )2f xxmlnxx的导数为( )22 m fxx x ， ( )f x在定义域内为增函数，可得( ) 0fx对0 x 恒成立， 由22 0 m x x ，即有 2 (22 )minmxx， 第 20 页（共 21 页） 由 22 11 222() 22 yxxx，可得 1 2 x 时， 2 22yxx取得最小值 1 2 ， 所以 1 2 m，即m的取值范围是(， 1 2 ； （2）若( ) 12f xx恒成立，即为 2 1 0 xmlnx 恒成立， 设 2 ( )1g xxmlnx，( )2 m g xx x ， 因为0m，所以当 2 m x 时，
40、( )0g x，( )g x递增； 当0 2 m x递减，可得( )g x在 2 m x 处取得最小值()1 222 mmm gmln， 则1 0 22 mm mln ， 可令(0) 2 m t t，则 2 2mt，即有 22 21 0tt lnt ， 设 22 ( )21h ttt lnt，( )22(2)4h tttlntttlnt ， 当1t 时，( )0h t，( )h t递减；当01t 时，( )0h t，( )h t递增， 则( )h t在1t ，即2m 处取得最大值 0，即有 22 21 0tt lnt ， 所以 22 210tt lnt ，可得1t ，即2m (二二)选考题选考
41、题:共共 10 分 请考生在第分 请考生在第 22、 23 题中任选一题作答，题中任选一题作答， 选修选修 4-4： 坐标系与参数方程： 坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系中，直线l的倾斜角为a，且过点(0, 2)P，以直角坐标系的 坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos （1）求曲线C的直角坐标方程； （2）设直线l与曲线C交于不同的两点M，N，求|PMPN的最大值 【解答】解： （1）曲线C的极坐标方程为4cos，根据 222 cos sin x y xy ，转换为直角 坐标方程为 22 (2)4xy （2） 直线l的倾斜角为， 且过
42、点(0, 2)P， 转换为参数方程为 cos ( 2sin xt t yt 为参数） ， 代入 22 (2)4xy， 得到： 2 4(sincos )40tt， 第 21 页（共 21 页） 由于 2 16 (sincos )1616sin20， 所以0 2 ， 故| 4(sincos)4 2sin()4 2sin() 4 2 44 PMPN ，当 4 时，取得 最大值为4 2 五、五、选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |()f xxaaR （1）若( )|21|f xx 的解集为0，2，求a的值； （2）若对任意xR，不等式 2 ( ) |2 |4f xxaaa恒
43、成立，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）若( )|21|f xx的解集为0，2， 即为|21|xax，即(31)(1) 0 xaxa 的解集为0，2， 可得 0，2 是方程(31)(1)0 xaxa 的两根， 则(1)( 1)0aa ，(5)(1)0aa， 解得1a ； （2）对任意xR，不等式 2 ( ) |2 |4f xxaaa恒成立， 等价为 2 4(|2 |)minaaxaxa， 由|2 |2 | |3 |xaxaxaxaa，当()(2 ) 0 xa xa时，取得等号 所以 2 43|aaa， 当0a时， 2 70aa，解得07a剟； 当0a 时， 2 0aa ，该不等式无解 综上可得，a的取值范围是0，7
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