1、2021 年山东省济南市市中区中考数学一模试卷年山东省济南市市中区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分）分） 12021 的相反数是（ ） A2021 B2021 C D 2如图所示的几何体，它的俯视图正确的是（ ） A B C D 3数字 98990000 用科学记数法表示为（ ） A0.9899108 B9.899107 C9.899108 D98.99106 4小明在学习平行线的性质后，把含有 60角的直角三角板摆放在自己的文具上，如图，ADBC，若2 50，则1（ ） A30 B40 C45 D50
2、5下列四幅图是垃圾分类标志图案，每幅图案下配有文字说明则四幅图案中既是轴对称图形又是中心对 称图形的是（ ） A有害垃圾 B可回收物 C厨余垃圾 D其他垃圾 6下列计算正确的是（ ） Aa2+a2a4 B （a2）3a5 C （b+2a） （2ab）4a2b2 D （a2b）3a5b3 7化简的结果是（ ） Am3 Bm+3 Cm+3 D 8某班 15 位同学每周体育锻炼时间情况如下表， 时间/h 5 6 7 8 人数（人） 2 6 5 2 其中众数和中位数分别是（ ） A6h，7h B6h，6h C7h，6h D7h，7h 9如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度，他调整自
3、己的位置，设法使斜边 DF 保持水平，边 DE 与点 B 在同一直线上，已知直角三角纸板中 DE16cm，EF12cm，测得眼睛 D 离地 面的高度为 1.8 米，他与“步云阁”的水平距距离 CD 为 104m，则“步云阁”的高度 AB 是（ ）m A75.5 B77.1 C79.8 D82.5 10关于 x 的一元二次方程 x22xk1，下列结论不正确的是（ ） A当方程有实数根时 k2 B当 k1 时，方程的实数根为 x10，x22 C当 k0 时，方程一定有两个不相等的实数根 D若 x1、x2为方程的两个实数根，则有|x11|x21| 11如图，曲线 AB 是抛物线 y4x2+8x+1
4、的一部分（其中 A 是抛物线与 y 轴的交点，B 是顶点） ，曲线 BC 是双曲线 y（k0）的一部分曲线 AB 与 BC 组成图形 W由点 C 开始不断重复图形 W 形成一 组“波浪线” 若点 P（2020，m） ，Q（x，n）在该“波浪线”上，则 m+n 的最大值为（ ） A5 B6 C2020 D2021 12在平面直角坐标系中，定义直线 yax+b 为抛物线 yax2+bx 的特征直线，C（a，b）为其特征点若 抛物线 yax2+bx 的对称轴与 x 轴交于点 D， 其特征直线交 y 轴于点 E 点 F 的坐标为 （1， 0） ， DECF 若 tanODE2，则 b 的取值范围是（
5、） Ab4 Bb0 Cb4 或b0 Db4 或b0 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 24 分填空题请直楼填写答案， ）分填空题请直楼填写答案， ） 13分解因式：x23x 14一个仅装有球的不透明布袋里共有 4 个球（只有颜色不同） ，其中 3 个是红球，1 个是黑球，从中任意 摸出一个球，是黑球的概率为 15已知一个正多边形的每个内角都是 150，则这个正多边形是正 边形 16如图，在边长为 8 的菱形 ABCD 中，DAB60，以点 D 为圆心、菱形的高 DF 为半径画弧，交 AD 于点 E，交 CD 于点 G，则图中阴影部分的面积是 17
6、 “低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙 地，她与乙地之间的距离 y（km）与出发时间 t（h）之间的函数关系如图中线段 AB 所示，在小丽出发的 同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离 s（km）与出发时间 t（h）之间的 函数关系如图中折线段 CDDEEF 所示，则 E 点坐标为 18如图，菱形 ABCD 边长为 4 厘米，A60，点 M 为 AB 的中点，点 N 是边 AD 上任一点，把A 沿 直线 MN 折叠，点 A 落在图中的点 E 处，当 AN 厘米时，BCE 是直角三角形 三、解答题（本大题共三、解答题（本
7、大题共 9 个小题，共个小题，共 78 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步 ）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步 ） 19 （6 分）计算：+（2021）04sin45 20 （6 分）解不等式组：，并写出它的所有整数解 21 （6 分）已知在矩形 ABCD 中，点 E 在 BC 边上，连接 DE，且 DEBC，过点 A 作 AFDE 于点 F求 证：ABAF 22 （8 分）加强劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，为了解学生参加各项劳动的情况，某校对 七年级部分学生进行了随机问卷调查，其中一个问题是“你每周在家参加家务劳动的时间是多少？” ，共 有如下四个选项：A1 小时以下；
8、B12 小时（不包含 2 小时） ；C23 小时（包含 2 小时） ；D3 小时以上 图、图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计国提供的信息解等以下问题 （1）填空：本次问卷调查一共调查了 名学生； （2）请将图的条形统计图补充完整； （3）求出图中 D 部分所对应的圆心角度数； （4）若该校共有 1800 名学生，请你估计全校可能有多少名学生每周在家参加家务劳动的时间在 2 小时 以上（包含 2 小时）？ 23 （8 分）如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，D 是的中点，E 为 OD 延长线上一点，AE 是O 的切线，AC 与 BD 交于点 H，与 CE 交于点 F
9、（1）求证：CAE2C； （2）若 DH9，tanC，求直径 AB 的长 24 （10 分）在抗击新冠肺炎疫情期间，玉龙社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用第一次购 买酒精和消毒液若干，酒精每瓶 10 元，消毒液每瓶 5 元，共花费了 350 元；第二次又购买了与第一次相 同数量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每瓶价格分别下降了 30%和 20%，只花费了 260 元 （1）求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？ （2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的 2 倍，现有购买 资金 200 元，则最多能购买消毒液多少瓶？ 25 （10 分）如图，在平面
10、直角坐标系中，矩形 ABCO 的顶点 A、C 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为（4，2） ，双曲线 y（x0）交 BC 于点 D，交 AB 于点 F，其中 BD （1）求反比例函数 y的表达式及 F 点坐标； （2）判断 DF 与 AC 的位置关系，并说明理由； （3）点 N 在 y 轴正半轴上，反比例函数图象上是否存在一点 M，使DMN 是以 DM 为直角边的等腰直 角三角形，若存在，直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 26 （12 分）在ABC 中，ABAC，点 D、E 分别是 BC、AC 的中点，将CDE 绕点 C 按顺时针方向旋转 一定的角度，连接 BD
11、、AE 观察猜想 （1）如图，当BAC60时，填空： ； 直线 BD、AE 所夹锐角为 ； 类比探究 （2）如图，当BAC90时，试判断的值及直线 BD、AE 所夹锐角的度数，并说明理由； 拓展应用 （3）在（2）的条件下，若 DE，将CDE 绕着点 C 在平面内旋转，当点 D 落在射线 AC 上时，请 直接写出 AE2的值 27 （12 分）如图，二次函数 yax2+bx+2 的图象与 x 轴交于点 B（1，0） 、点 C（4，0）两点，与 y 轴交 于点 A （1）求二次函数 yax2+bx+2 的表达式； （2） 连接 AC、 AB，若点 N 在线段 BC 上运动 （不与点 B、C 重合
12、） ， 过点 N 作 MNAC， 交 AB 于点 M， 当AMN 面积最大时，求 N 点的坐标； （3）在（2）的结论下，若点 Q 在第一象限，且 tanCQN2，线段 BQ 是否存在最值？如果存在，请 直接写出最值，如果不存在，请说明理由 2021 年山东省济南市市中区中考数学一模试卷年山东省济南市市中区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分）分） 12021 的相反数是（ ） A2021 B2021 C D 【分析】利用相反数的定义分析得出答案，只有符号不同的两个数叫做
13、互为相反数 【解答】解：2021 的相反数是：2021 故选：A 2如图所示的几何体，它的俯视图正确的是（ ） A B C D 【分析】找到从左面看得到的平面图形即可 【解答】解：俯视图是一个正六边形，正六边形内部有一个圆 故选：A 3数字 98990000 用科学记数法表示为（ ） A0.9899108 B9.899107 C9.899108 D98.99106 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，
14、n 是负数 【解答】解：用科学记数法表示 98990000，应记作 9.899107 故选：B 4小明在学习平行线的性质后，把含有 60角的直角三角板摆放在自己的文具上，如图，ADBC，若2 50，则1（ ） A30 B40 C45 D50 【分析】过 F 作 FGAD，则 FGBC，即可得到2EFG50，再根据AFE90，即可得出 AFG905040，进而得到1AFG40 【解答】解：如图，过 F 作 FGAD，则 FGBC， 2EFG50， 又AFE90， AFG905040， 1AFG40， 故选：B 5下列四幅图是垃圾分类标志图案，每幅图案下配有文字说明则四幅图案中既是轴对称图形又是中
15、心对 称图形的是（ ） A有害垃圾 B可回收物 C厨余垃圾 D其他垃圾 【分析】把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就 叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重 合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可 【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意； 故选：A 6下列计算正确的是（ ）
16、Aa2+a2a4 B （a2）3a5 C （b+2a） （2ab）4a2b2 D （a2b）3a5b3 【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方和积的乘方法则以及平方差公式进行计算即可进行判断 【解答】解：选项 A：a2+a22a2，不符合题意； 选项 B： （a2）3a2 3a6，不符合题意； 选项 C： （b+2a） （2ab）（2a+b） （2ab）4a2b2，符合题意； 选项 D： （a2b）3a6b3，不符合题意； 故选：C 7化简的结果是（ ） Am3 Bm+3 Cm+3 D 【分析】根据同分母的分式相加减法则求出即可 【解答】解：原式， ， m+3 故选：B 8某班 15 位同学每周
17、体育锻炼时间情况如下表， 时间/h 5 6 7 8 人数（人） 2 6 5 2 其中众数和中位数分别是（ ） A6h，7h B6h，6h C7h，6h D7h，7h 【分析】直接根据众数和中位数的概念求解即可 【解答】解：由表可知，数据 6 出现次数最多，有 6 次， 所以这组数据的众数为 6h， 这组数据的中位数是第 8 个数据，而第 8 个数据是 6h， 所以这组数据的中位数是 6h， 故选：B 9如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边 DF 保持水平，边 DE 与点 B 在同一直线上，已知直角三角纸板中 DE16cm，EF12cm，测得眼睛
18、 D 离地 面的高度为 1.8 米，他与“步云阁”的水平距距离 CD 为 104m，则“步云阁”的高度 AB 是（ ）m A75.5 B77.1 C79.8 D82.5 【分析】 先判定DEF 和DCB 相似， 然后根据相似三角形对应边成比例列式求出 BC 的长， 再加上 AC 即可得解 【解答】解：在DEF 和DCB 中， DD，DEFDCB90， DEFDCB， ， 即， 解得：BC78（m） ， AC1.5m， ABAC+BC1.8+7879.8（m） ， 即树高 79.8m， 故选：C 10关于 x 的一元二次方程 x22xk1，下列结论不正确的是（ ） A当方程有实数根时 k2 B当
19、 k1 时，方程的实数根为 x10，x22 C当 k0 时，方程一定有两个不相等的实数根 D若 x1、x2为方程的两个实数根，则有|x11|x21| 【分析】根据一元二次方程的解，结合根的判别式解答即可 【解答】解：A、原方程可以化为（x1）2k，当 k0 时，方程有实数解，故 A 不正确 B、当 k1 时，则 x22x0， 解得 x10，x22故 B 正确； C、当 k0 时，方程有实数根， 当 k0 时，方程一定有两个不相等的实数根；故 C 正确； D、当 k时，由（x1）2k 可以求得 x1， 则有|x11|x21|故 D 正确； 故选：A 11如图，曲线 AB 是抛物线 y4x2+8x
20、+1 的一部分（其中 A 是抛物线与 y 轴的交点，B 是顶点） ，曲线 BC 是双曲线 y（k0）的一部分曲线 AB 与 BC 组成图形 W由点 C 开始不断重复图形 W 形成一 组“波浪线” 若点 P（2020，m） ，Q（x，n）在该“波浪线”上，则 m+n 的最大值为（ ） A5 B6 C2020 D2021 【分析】根据题意可以求得点 A、点 B、点 C 的坐标和 k 的值，然后根据图象可知每 5 个单位长度为一 个循环，从而可以求得 m 的值和 n 的最大值 【解答】解：y4x2+8x+14（x1）2+5， 当 x0 时，y1， 点 A 的坐标为（0，1） ，点 B 的坐标为（1，
21、5） ， 点 B（1，5）在 y（k0）的图象上， k5， 点 C 在 y的图象上，点 C 的横坐标为 5， 点 C 的纵坐标是 1， 点 C 的坐标为（5，1） ， 20205404， P（2020，m）在抛物线 y4x2+8x+1 的图象上， m40+80+11， 点 Q（x，n）在该“波浪线”上， n 的最大值是 5， m+n 的最大值为 6 故选：B 12在平面直角坐标系中，定义直线 yax+b 为抛物线 yax2+bx 的特征直线，C（a，b）为其特征点若 抛物线 yax2+bx 的对称轴与 x 轴交于点 D， 其特征直线交 y 轴于点 E 点 F 的坐标为 （1， 0） ， DEC
22、F 若 tanODE2，则 b 的取值范围是（ ） Ab4 Bb0 Cb4 或b0 Db4 或b0 【分析】由题意知，当 x0 时，特征直线 yb，且其特征直线交 y 轴于点 E，得点 E 坐标，然后根据平 行线的性质得 CEDF，1+a，分当1时，当时，两种情况可得答案 【解答】解：由题意知，当 x0 时，特征直线 yb，且其特征直线交 y 轴于点 E，则点 E（0，b） DECF， D（，0） ， ， ， ， 1a或a1， DECF，CEDF， CEDF， 由题意，得 1+a， b2a22a，即 b2（a）， 当 b2（a）2时， 当1时，得， ， 当时，得， b0， 综上所述：或b0，
23、故选：D 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 24 分填空题请直楼填写答案， ）分填空题请直楼填写答案， ） 13分解因式：x23x x（x3） 【分析】原式提取 x 即可得到结果 【解答】解：原式x（x3） ， 故答案为：x（x3） 14一个仅装有球的不透明布袋里共有 4 个球（只有颜色不同） ，其中 3 个是红球，1 个是黑球，从中任意 摸出一个球，是黑球的概率为 【分析】让黑球的个数除以球的总数即为摸到黑球的概率 【解答】解：因为袋子中共有 4 个球，其中黑球只有 1 个， 所以从中任意摸出一个球，是红球的概率为， 故答案为： 15已知一个正
24、多边形的每个内角都是 150，则这个正多边形是正 十二 边形 【分析】 一个正多边形的每个内角都相等， 根据内角与外角互为邻补角， 因而就可以求出外角的度数 根 据任何多边形的外角和都是 360 度，利用 360 除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边 形的边数 【解答】解：外角是：18015030， 3603012 则这个正多边形是正十二边形 故答案为：十二 16如图，在边长为 8 的菱形 ABCD 中，DAB60，以点 D 为圆心、菱形的高 DF 为半径画弧，交 AD 于点 E，交 CD 于点 G，则图中阴影部分的面积是 3216 【分析】根据菱形的性质得出 ADDCAB8，A
25、BCD，根据平行线的性质和已知条件求出CDA 120，求出ADF30，求出 AFAD4，根据勾股定理求出 DF，根据阴影部分的面积 SS菱形 ABCDS扇形EDG求出答案即可 【解答】解：四边形 ABCD 是边长为 8 的菱形， ADDCAB8，ABCD， CDA+DAB180， DAB60， CDA120， 菱形 ABCD 的高是 DF， DFA90， DAB60， ADF30， AFAD， AD8， AF4， DF4， 即 DEDGDF4， 阴影部分的面积 SS菱形ABCDS扇形EDG843216， 故答案为：3216 17 “低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地出发
26、沿一条笔直的公路骑行前往乙 地，她与乙地之间的距离 y（km）与出发时间 t（h）之间的函数关系如图中线段 AB 所示，在小丽出发的 同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离 s（km）与出发时间 t（h）之间的 函数关系如图中折线段 CDDEEF 所示，则 E 点坐标为 （，） 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以求得小丽和小明的速度，然后即可得到点 E 的横坐标，再 根据图形中的数据，可以得到点 E 的纵坐标，从而可以得到点 E 的坐标 【解答】解：由图可得， 小丽的速度为：362.2516（km/h） ， 小明的速度为：3611620（km/h） ， 故点 E 的
27、横坐标为：3620，纵坐标是： （20+16）（1）， 故答案为： （，） 18如图，菱形 ABCD 边长为 4 厘米，A60，点 M 为 AB 的中点，点 N 是边 AD 上任一点，把A 沿 直线 MN 折叠，点 A 落在图中的点 E 处，当 AN 1 或 2 厘米时，BCE 是直角三角形 【分析】根据题意分两种情况讨论：当EBC90时，根据菱形的性质可得ANM90，进而可 得 AN 的值；当BEC90时，点 E 落在菱形对角线 AC 上，根据点 M 为 AB 的中点，MN 为折痕， 此时 BDAC 于点 E，可得 N 为 AD 的中点，进而可得 AN 的值 【解答】解：菱形 ABCD 边长
28、为 4 厘米，点 M 为 AB 的中点， AMBM2 厘米， 由翻折可知： EMAMBM， MBEMEB， 当EBC90时， A60， ABC120， MBEMEB30， BME120， AMNEMN30， MNA90， ANAM1 厘米； 当BEC90时， 点 E 落在菱形对角线 AC 上， 点 M 为 AB 的中点，MN 为折痕， 此时 BDAC 于点 E， 点 N 为 AD 的中点， ANAD2 厘米 所以当 AN1 或 2 厘米时，BCE 是直角三角形 故答案为：1 或 2 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 个小题，共个小题，共 78 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步
29、 ）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步 ） 19 （6 分）计算：+（2021）04sin45 【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案 【解答】解：原式2+14 2+12 1 20 （6 分）解不等式组：，并写出它的所有整数解 【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，再确定其整数解 【解答】解：， 解不等式得：x1， 解不等式得：x5， 原不等式组的解集为：1x5， 它的整数解为 2，3，4 21 （6 分）已知在矩形 ABCD 中，点 E 在 BC 边上，连接 DE，且 DEBC，过点 A 作 AFDE 于点
30、F求 证：ABAF 【分析】由“AAS”可证ADFDEC，可得 AFCDAB 【解答】证明：四边形 ABCD 是矩形，AFDE， ADBC，ADBC，ABCD，CAFD90， ADEDEC， DEBC， ADDE， 在ADF 和DEC 中， ， ADFDEC（AAS） ， AFCD， AFAB； 22 （8 分）加强劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，为了解学生参加各项劳动的情况，某校对 七年级部分学生进行了随机问卷调查，其中一个问题是“你每周在家参加家务劳动的时间是多少？” ，共 有如下四个选项：A1 小时以下；B12 小时（不包含 2 小时） ；C23 小时（包含 2 小时） ；D3
31、 小时以上 图、图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计国提供的信息解等以下问题 （1）填空：本次问卷调查一共调查了 200 名学生； （2）请将图的条形统计图补充完整； （3）求出图中 D 部分所对应的圆心角度数； （4）若该校共有 1800 名学生，请你估计全校可能有多少名学生每周在家参加家务劳动的时间在 2 小时 以上（包含 2 小时）？ 【分析】 （1）根据选择 B 的人数和所占的百分比，可以计算出本次问卷调查一共调查了多少名学生； （2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出选择 D 的人数，从而可以将条形统计图补 充完整； （3）根据统计图中的数据，可以计
32、算出图中 D 部分所对应的圆心角度数； （4） 根据统计图中的数据，可以计算出全校可能有多少名学生每周在家参加家务劳动的时间在 2 小时以 上 【解答】解： （1）10050%200（名） ， 即本次问卷调查一共调查了 200 名学生， 故答案为：200； （2）选择 D 的学生有：200601003010（人） ， 补全的条形统计图如右图所示； （3）图中 D 部分所对应的圆心角度数是：36018， 即图中 D 部分所对应的圆心角度数是 18； （4）1800360（名） ， 即估计全校可能有 360 名学生每周在家参加家务劳动的时间在 2 小时以上 23 （8 分）如图，AB 是O 的直径
33、，C 是O 上一点，D 是的中点，E 为 OD 延长线上一点，AE 是O 的切线，AC 与 BD 交于点 H，与 CE 交于点 F （1）求证：CAE2C； （2）若 DH9，tanC，求直径 AB 的长 【分析】 （1）根据垂径定理得到 OEAC，可得AFE90，由切线的性质可得EAO90，于是 得到结论； （2）连接 AD，解直角三角形即可得到结论 【解答】解： （1）D 是的中点， OEAC， AFE90， E+EAF90， AE 是O 的切线， EAO90， E+AOE90， EAFAOE， AOE2ACD， CAE2ACD； （2）连接 AD， 在 RtADH 中，DACC， tan
34、DACtanC， DH9， AD12， 在 RtBDA 中， tanBtanC， sinB， AB20 24 （10 分）在抗击新冠肺炎疫情期间，玉龙社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用第一次购 买酒精和消毒液若干，酒精每瓶 10 元，消毒液每瓶 5 元，共花费了 350 元；第二次又购买了与第一次相 同数量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每瓶价格分别下降了 30%和 20%，只花费了 260 元 （1）求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？ （2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的 2 倍，现有购买 资金 200 元，则最多能购买消毒液多少瓶？
35、【分析】 （1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得每次购买的酒精和消毒液分别 是多少瓶； （2）设能购买消毒液 m 瓶，则能购买酒精 2m 瓶，根据“购买的酒精数量是消毒液数量的 2 倍，现有购 买资金 200 元”列出不等式 【解答】 （1）解：设购买酒精 x 瓶，消毒液 y 瓶， 根据题意列方程组，得 解得， 答：每次购买的酒精和消毒液分别是 20 瓶，30 瓶； （2）解：设能购买消毒液 m 瓶，则能购买酒精 2m 瓶， 根据题意，得 10（130%） 2m+5（120%） m200， 解得：m11 m 为正整数， m11 所以，最多能购买消毒液 11 瓶 25 （10
36、 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCO 的顶点 A、C 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为（4，2） ，双曲线 y（x0）交 BC 于点 D，交 AB 于点 F，其中 BD （1）求反比例函数 y的表达式及 F 点坐标； （2）判断 DF 与 AC 的位置关系，并说明理由； （3）点 N 在 y 轴正半轴上，反比例函数图象上是否存在一点 M，使DMN 是以 DM 为直角边的等腰直 角三角形，若存在，直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）连接 AD，根据线段垂直平分线的性质得到 ADCD，求得 AB2，BC4设 ADCD x，则 BD4x，根据
37、勾股定理列方程求得得到点将的坐标代入中，于是得到结论； （2）将 x4 代入得，求得点根据相似三角形的性质得到BDFBCA于是得到 DFAC； （3）设 G（m， ） ，过 G 作 GHBC 于 H，求得 GH2，DHm，根据相似三角形的性质即可得到 结论 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是矩形， BCx 轴， 点 D 纵坐标和点 B 纵坐标相同， 设 D（x，2） ， 点 B（4，2） ，BD2，且点 B 在点 D 右边， 4x， x， D（，2） ， k5， 所求反比例函数表达式为：y； 点 F 在线段 AB 上，设 F（4，y） ， 将点 F 坐标代入反比例函数表达式，得 y， 点
38、 F 的坐标为（4，） ； （2）DFAC，理由如下： F（4，） ，B（4，2） ， BF， 又 BC4，AB2，BD， 又BB， BDFBCA， BDFBCA DFAC； （3）存在，M 的坐标为（，）或（， ） 理由如下： 当MDN90时， 过点 D 作 y 轴平行线，过 M、N 分别作 x 轴的平行线，与过点 D 的 y 轴平行线交于点 G、H， MDN 是等腰直角三角形， DMND，MDN90， MDG+NDH90， 又MDG+DMG90， DMGNDH， 又GH90， DMGNDH（AAS） ， NHDG， D（，2） ， H 的横坐标为， NHDG， 设 M（x，y） ，则点 G
39、 的纵坐标为 y， DGy2， y， x， 点 M 的坐标为（，） ； 当DMN90时， 过点 M 作 x 轴平行线交 y 轴于点 P，过 D 分别作 y 轴的平行线，与过点 M 的 x 轴平行线交于点 Q， MDN 是等腰直角三角形， MNDM，DMN90， PMN+QMD90， 又PMN+PNM90， PNMQMD， 又MPNQ90， MPNDQM（AAS） ， PMQD， 设 M（x，y） ，则点 Q 的纵坐标为 y， PMx，QDy2， xy2， 又 y， x+2， 解得：x（舍去负值） ， y， M（， ） ， 综上 M 的坐标为（，）或（， ） 26 （12 分）在ABC 中，AB
40、AC，点 D、E 分别是 BC、AC 的中点，将CDE 绕点 C 按顺时针方向旋转 一定的角度，连接 BD、AE 观察猜想 （1）如图，当BAC60时，填空： 1 ； 直线 BD、AE 所夹锐角为 60 ； 类比探究 （2）如图，当BAC90时，试判断的值及直线 BD、AE 所夹锐角的度数，并说明理由； 拓展应用 （3）在（2）的条件下，若 DE，将CDE 绕着点 C 在平面内旋转，当点 D 落在射线 AC 上时，请 直接写出 AE2的值 【分析】 （1）如图中，延长 BD 交 AE 的延长线于 T，BT 交 AC 于 O证明BCDACE（SAS）即 可解决问题 （2）如图中，设 AC 交 B
41、D 于 O，AE 交 BD 于 T证明BCDACE，推出，CBD CAE 可得结论 （3）分两种情形：如图1 中，当点 D 落在线段 AC 上时，作 EHAC 于 H如图2 中， 当点 D 在 AC 的延长线上时，分别利用勾股定理求解即可 【解答】解： （1）如图中，延长 BD 交 AE 的延长线于 T，BT 交 AC 于 O ABAC，BAC60， ACB 是等边三角形， CACB，ACB60， CDBC，CEAC，ECDACB60， CDCE，BCDACE， BCDACE（SAS） ， BDAE，CBDCAE， 1， BOCAOT， ATBACB60， 直线 BD、AE 所夹锐角为 60，
42、 故答案为 1，60 （2）如图中，设 AC 交 BD 于 O，AE 交 BD 于 T ABAC，BAC90， ACB 是等腰直角三角形， CBAC，ACB45， CDBC，CEAC，ECDACB45， CDCE，BCDACE， ， BCDACE， ，CBDCAE， BOCAOT， ATBACB45， 直线 BD、AE 所夹锐角为 45 （3）如图1 中，当点 D 落在线段 AC 上时，作 EHAC 于 H 由题意，DEEC，CDDE2， EHCD，CED90， EHDHHCCD1，AC2EC2， AHACCH21， 在 RtAEH 中，AE2AH2+EH2（21）2+12104 如图2 中，
43、当点 D 在 AC 的延长线上时，同法可得 AE2（2+1）2+1210+4， 综上所述，满足条件的 AE2的值为 104 27 （12 分）如图，二次函数 yax2+bx+2 的图象与 x 轴交于点 B（1，0） 、点 C（4，0）两点，与 y 轴交 于点 A （1）求二次函数 yax2+bx+2 的表达式； （2） 连接 AC、 AB，若点 N 在线段 BC 上运动 （不与点 B、C 重合） ， 过点 N 作 MNAC， 交 AB 于点 M， 当AMN 面积最大时，求 N 点的坐标； （3）在（2）的结论下，若点 Q 在第一象限，且 tanCQN2，线段 BQ 是否存在最值？如果存在，请
44、直接写出最值，如果不存在，请说明理由 【分析】 （1）利用待定系数法可求解析式 （2）设出点 N 坐标，由 MNAC，得到BMNBAC，利用相似三角形面积比等于高之比的平方可 求出BMN 的高，最后表示AMN 的面积 （3）先找到 tanCAO2，进而再找到与它相等的角 【解答】 （1）将 B（1，0） ，C（4，0）代入 yax2+bx+2，得 ， 解得：， 抛物线解析式 （2）过 M 作 MDBC 于 D 设 N（n，0） ，MDh MNBC， BMNBAC， ， AO2，SBAC， ， ， ， SAMNSABNSMBN， ， ， ， 当 此时点 N 的坐标为 （3）BQ 最小值为 解：如图： 过点 N 作 NEBC 交 AB 于点 E， 则CENCAO， tanCENtanCAO2， 以 BE 为直径，点 F 为圆心作圆 F， 可知点 Q 在F 上， CQNCEN， 当点 B、Q、F 三点共线时，BQ 最小 BQBFFQ，
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