1、2021 年广西贵港市港南区中考数学一模试卷年广西贵港市港南区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，共小题，共 36.0 分）分） 1 （3 分）2021 的倒数为（ ） A B C2021 D2021 2 （3 分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A B C D 3 （3 分）某同学在今年的中考体育测试中选考跳绳考前一周，他记录了自己五次跳绳的 成绩 （次数/分钟） ： 247， 253， 247， 255， 263 这五次成绩的平均数和中位数分别是 （ ） A253，253 B255，253 C253，247 D255，247 4 （3 分）下列
2、计算正确的是（ ） A+ Bx6x3x2 C2 Da2（a2）a4 5 （3 分）某商品的标价为 200 元，8 折销售仍赚 40 元，则商品进价为（ ）元 A140 B120 C160 D100 6 （3 分）已知 2 是关于 x 的方程 x22mx+3m0 的一个根，并且这个方程的两个根恰好是 等腰三角形 ABC 的两条边长，则三角形 ABC 的周长为（ ） A10 B14 C10 或 14 D8 或 10 7 （3 分）下列命题中真命题是（ ） A内错角相等 B反比例函数 y的图象性质是 y 随 x 的增大而减小 C对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D数 0.00000069 可以表示
3、 6.910 6 8 （3 分）关于 x 的不等式组有 3 个整数解，则 a 的取值范围是（ ） A2a1 B2a1 C3a2 D3a2 9 （3 分）如图，O 的半径为 2，点 A 为O 上一点，半径 OD弦 BC 于 D，如果BAC 60，那么 OD 的长是（ ） A2 B C D1 10 （3 分）如图，在ABC 中，C90，BC1，AC2，BD 是ABC 的平分线，设 ABD，BCD 的面积分别是 S1，S2，则 S1：S2等于（ ） A2：1 B：1 C3：2 D2： 11 （3 分）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 E，F 分别是 BC，CD 边上的动点，满 足 BEC
4、F则 AE+AF 的最小值为（ ） A B C D 12 （3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AD2AB，F 是 BC 的中点，作 AECD 于点 E， 连接 EF、AF，下列结论：2BAFBAD；EFAF；SABFSAEF；BFE 3CEF其中一定成立的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，共小题，共 18.0 分）分） 13 （3 分）计算： 14 （3 分）分解因式：x2+3x 15 （3 分）一口袋内装有编号分别为 1，2，3，4，5，6，7 的七个球（除编号外都相同） ， 从中随机摸出一个球，则摸出编号为偶数
5、的球的概率是 16 （3 分）如图，DE 是ABC 的边 AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交 AC 于点 E，且 AC8，BC5则BEC 的周长是 17 （3 分）如图，四边形 ABCD 是矩形，AB4，AD2，以点 A 为圆心，AB 长为半径 画弧，交 CD 于点 E，交 AD 的延长线于点 F，则图中阴影部分的面积是 18 （3 分）如图，点 A 是双曲线 y在第二象限分支上的一个动点，连接 AO 并延长交 另一分支于点 B，以 AB 为底作等腰ABC，且ACB120，点 C 在第一象限，随着 点 A 的运动，点 C 的位置也不断变化，但点 C 始终在双曲线 y上运动，则 k 的值
6、为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 66.0 分）分） 19 （5 分）计算： （） 2230.125+30+|12 |； 20 （5 分）先化简（a+1）+，然后 a 在1，1，2 三个数中任选一个合 适的数代入求值 21 （5 分）已知，在ABC 中，BC2 （1）用尺规作图求作点 P，使 PBPC，且点 P 到 AB、BC 的距离相等； （要求：保留作 图痕迹，不写作法） （2）若ABC60，则 BP 22 （6 分） 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 与 x 轴交于点 A， 与 y 轴交于点 C （0， 2） ，且与反比例函数在第一象限内
7、的图象交于点 B，且 BDx 轴于点 D，OD2 （1）求直线 AB 的函数解析式； （2）设点 P 是 y 轴上的点，若PBC 的面积等于 6，直接写出点 P 的坐标 23 （8 分）中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读 书， 读好书” ， 某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查， 整理调查结果发现， 学生课外阅读的本书最少的有 5 本，最多的有 8 本，并根据调查结果绘制了不完整的图 表，如图所示： 本数（本） 频数（人数） 频率 5 a 0.2 6 18 0.36 7 14 b 8 8 0.16 合计 c 1 （1）统计表中的 a ，b ，c ；
8、（2）请将条形统计图补充完整； （3）求所有被调查学生课外阅读的平均本数； （4）若该校八年级共有 1200 名学生，请你分析该校八年级学生课外阅读 7 本及以上的 人数 24 （8 分）资中某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和台式电脑经招投标， 购买一台电子白板比购买 2 台台式电脑多 3000 元， 购买 2 台电子白板和 3 台台式电脑共 需 2.7 万元 （1）求购买一台电子白板和一台台式电脑各需多少元？ （2）根据该校实际情况，购买电子白板和台式电脑的总台数为 24，并且台式电脑的台数 不超过电子白板台数的 3 倍问怎样购买最省钱？ 25 （8 分）如图，AD 是O 的直径
9、，AB 为O 的弦，OPAD，OP 与 AB 的延长线交于 点 P，过 B 点的直线交 OP 于点 C，且CBPADB （1）求证：BC 为O 的切线； （2）若 OA2，AB，求线段 BP 的长 26 （11 分）如图，已知抛物线 yax2+bx3 的图象与 x 轴交于点 A（1，0）和 B（3，0） ， 与 y 轴交于点 C，D 是抛物线的顶点，对称轴与 x 轴交于 E （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，在抛物线的对称轴 DE 上求作一点 M，使AMC 的周长最小，并求出点 M 的坐标和周长的最小值 （3）如图 2，点 P 是 x 轴上的动点，过 P 点作 x 轴的垂线分别交抛物线
10、和直线 BC 于 F、 G，使FCG 是等腰三角形，直接写出 P 的横坐标 27 （10 分） （1）如图，在矩形 ABCD 中，AB6，BC4，E，F 分别是 BC，AB 上的点， 且 DFAE，求的值； （2）如图，在矩形 ABCD 中k（k 为常数） ，将矩形 ABCD 沿 GF 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 E 处，得到四边形 EFGH，EH 交 CD 于点 P，连接 AE 交 GF 于点 O， 求的值； （3）在（2）的条件下，连接 CH，当 k时，若 tanCGH，GF2，求 CP 的长 2021 年广西贵港市港南区中考数学一模试卷年广西贵港市港南区中考数学一模试卷 参考答
11、案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，共小题，共 36.0 分）分） 1 （3 分）2021 的倒数为（ ） A B C2021 D2021 【分析】直接利用倒数的定义分析得出答案 【解答】解：2021 的倒数为： 故选：A 2 （3 分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A B C D 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可 【解答】解：A因为的被开方数中含有分母，所以它不是最简二次根式，所以 A 选项不符合题意； B因为的被开方数中含有可以开方的因数 4，所以它不是最简二次根式，所以 B 选 项不符合题意； C，它的被开方数中含有
12、可以开方的因数 9， 所以它不是最简二次根式， 所以 C 选项不符合题意； D符合最简二次根式的定义，它是最简二次根式，所以 D 选项符合题意； 故选：D 3 （3 分）某同学在今年的中考体育测试中选考跳绳考前一周，他记录了自己五次跳绳的 成绩 （次数/分钟） ： 247， 253， 247， 255， 263 这五次成绩的平均数和中位数分别是 （ ） A253，253 B255，253 C253，247 D255，247 【分析】根据中位数、众数的计算方法，分别求出结果即可 【解答】解： （247+253+247+255+263）5253， 这 5 个数从小到大，处在中间位置的一个数是 25
13、3，因此中位数是 253； 故选：A 4 （3 分）下列计算正确的是（ ） A+ Bx6x3x2 C2 Da2（a2）a4 【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断 【解答】解：A、原式不能合并，错误； B、原式x3，错误； C、原式2，正确； D、原式a4，错误， 故选：C 5 （3 分）某商品的标价为 200 元，8 折销售仍赚 40 元，则商品进价为（ ）元 A140 B120 C160 D100 【分析】设商品进价为每件 x 元，则售价为每件 0.8200 元，由利润售价进价建立 方程求出其解即可 【解答】解：设商品的进价为每件 x 元，售价为每件 0.8200 元，由题意，得 0.
14、8200 x+40， 解得：x120 故选：B 6 （3 分）已知 2 是关于 x 的方程 x22mx+3m0 的一个根，并且这个方程的两个根恰好是 等腰三角形 ABC 的两条边长，则三角形 ABC 的周长为（ ） A10 B14 C10 或 14 D8 或 10 【分析】先将 x2 代入 x22mx+3m0，求出 m4，则方程即为 x28x+120，利用 因式分解法求出方程的根 x12，x26，分两种情况：当 6 是腰时，2 是底边；当 6 是底边时，2 是腰进行讨论注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验 【解答】解：2 是关于 x 的方程 x22mx+3m0 的一个根， 224m+3
15、m0，m4， x28x+120， 解得 x12，x26 当 6 是腰时，2 是底边，此时周长6+6+214； 当 6 是底边时，2 是腰，2+26，不能构成三角形 所以它的周长是 14 故选：B 7 （3 分）下列命题中真命题是（ ） A内错角相等 B反比例函数 y的图象性质是 y 随 x 的增大而减小 C对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D数 0.00000069 可以表示 6.910 6 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得 出答 【解答】解：A、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题； B、反比例函数 y的图象性质是在每个象限上，y 随 x 的增
16、大而减小，原命题是假命 题； C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，是真命题； D、数 0.00000069 可以表示 6.910 7，原命题是假命题； 故选：C 8 （3 分）关于 x 的不等式组有 3 个整数解，则 a 的取值范围是（ ） A2a1 B2a1 C3a2 D3a2 【分析】分别求出每个不等式的解集，结合不等式组整数解的个数可得 a 的取值范围 【解答】解：解不等式 xa0，得：xa， 解不等式 1x2x5，得：x2， 则不等式组的解集为 ax2， 不等式组有 3 个整数解， 不等式组的整数解为 1、0、1， 则2a1， 故选：B 9 （3 分）如图，O 的半径为 2，点 A
17、 为O 上一点，半径 OD弦 BC 于 D，如果BAC 60，那么 OD 的长是（ ） A2 B C D1 【分析】由于BAC60，根据圆周角定理可求BOC120，又 ODBC，根据垂 径定理可知COD60，在 RtCOD 中，利用直角三角形 30 度的性质易求 OD 【解答】解：BAC60， BOC2BAC120， OD弦 BC，OBOC， ODC90，CODBOD60， OCD30， ODOC1， 故选：D 10 （3 分）如图，在ABC 中，C90，BC1，AC2，BD 是ABC 的平分线，设 ABD，BCD 的面积分别是 S1，S2，则 S1：S2等于（ ） A2：1 B：1 C3：2
18、 D2： 【分析】由已知条件可得点 D 到ABC 两边距离相等，即两三角形的高相等，要求三角 形的面积比，只要求出两个三角形的底的比即可 【解答】解：过 D 作 DEAB 于 E，则 DEDC 又C90，BC1，AC2， AB， S1：S2AB：BC：1 故选：B 11 （3 分）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 E，F 分别是 BC，CD 边上的动点，满 足 BECF则 AE+AF 的最小值为（ ） A B C D 【分析】 连接 DE， 作点 A 关于 BC 的对称点 A， 连接 BA、 EA， 易得 AE+AFAE+DE AE+DE，当 D、E、A在同一直线时，AE+AF 最
19、小，利用勾股定理求解即可 【解答】解：连接 DE， 根据正方形的性质及 BECF， DCEADF（SAS） ， DEAF， AE+AFAE+DE， 作点 A 关于 BC 的对称点 A，连接 BA、EA， 则 AEAE， 即 AE+AFAE+DEAE+DE， 当 D、E、A在同一直线时，AE+AF 最小， AA2AB4， 此时，在 RtADA中，DA， 故 AE+AF 的最小值为 故选：D 12 （3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AD2AB，F 是 BC 的中点，作 AECD 于点 E， 连接 EF、AF，下列结论：2BAFBAD；EFAF；SABFSAEF；BFE 3CEF其中一定成
20、立的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判 定得出MBFECF，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案 【解答】解：F 是 BC 的中点， BFFC， 在ABCD 中，AD2AB， BC2AB2CD， BFFCAB， AFBBAF， ADBC， AFBDAF， BAFFAB， 2BAFBAD，故正确； 延长 EF，交 AB 延长线于 M， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， MBFC， F 为 BC 中点， BFCF， 在MBF 和ECF 中， ， MBFECF（ASA） ， F
21、EMF，CEFM， CEAE， AEC90， AECBAE90， FMEF， EFAF，故正确； EFFM， SAEFSAFM， E 与 C 不重合， SABFSAEF，故错误； 设FEAx，则FAEx， BAFAFB90 x， EFA1802x， EFB90 x+1802x2703x， CEF90 x， BFE3CEF，故正确， 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，共小题，共 18.0 分）分） 13 （3 分）计算： 【分析】先把化简为 2，再合并同类二次根式即可得解 【解答】解：2 故答案为 14 （3 分）分解因式：x2+3x x（x+3） 【分析】观察原式，
22、发现公因式为 x；提出后，即可得出答案 【解答】解：x2+3xx（x+3） 15 （3 分）一口袋内装有编号分别为 1，2，3，4，5，6，7 的七个球（除编号外都相同） ， 从中随机摸出一个球，则摸出编号为偶数的球的概率是 【分析】用袋子中编号为偶数的小球的数量除以球的总个数即可得 【解答】解：从袋子中随机摸出一个球共有 7 种等可能结果，其中摸出编号为偶数的 球的结果数为 3， 摸出编号为偶数的球的概率为， 故答案为： 16 （3 分）如图，DE 是ABC 的边 AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交 AC 于点 E，且 AC8，BC5则BEC 的周长是 13 【分析】根据线段垂直平分线
23、的性质得到 EAEB，根据三角形的周长公式计算，得到答 案 【解答】解：DE 是线段 AB 的垂直平分线， EAEB， BEC 的周长BC+CE+EBBC+CE+EABC+AC13， 故答案为：13 17 （3 分）如图，四边形 ABCD 是矩形，AB4，AD2，以点 A 为圆心，AB 长为半径 画弧，交 CD 于点 E，交 AD 的延长线于点 F，则图中阴影部分的面积是 88 【分析】根据题意可以求得BAE 和DAE 的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积 就是矩形的面积与矩形中间空白部分的面积之差再加上扇形EAF与ADE的面积之差的 和，本题得以解决 【解答】解：连接 AE， ADE90，
24、AEAB4，AD2， sinAED， AED45， EAD45，EAB45， ADDE2， 阴 影 部 分 的 面 积 是 ：（ 4 ） + （）88， 故答案为：88 18 （3 分）如图，点 A 是双曲线 y在第二象限分支上的一个动点，连接 AO 并延长交 另一分支于点 B，以 AB 为底作等腰ABC，且ACB120，点 C 在第一象限，随着 点 A 的运动，点 C 的位置也不断变化，但点 C 始终在双曲线 y上运动，则 k 的值为 3 【分析】连接 CO，过点 A 作 ADx 轴于点 D，过点 C 作 CEx 轴于点 E，证明AOD OCE，根据相似三角形的性质求出AOD 和OCE 面积
25、比，根据反比例函数图象上 点的特征求出 SAOD，得到 SEOC，求出 k 的值 【解答】解：连接 CO，过点 A 作 ADx 轴于点 D，过点 C 作 CEx 轴于点 E， 连接 AO 并延长交另一分支于点 B，以 AB 为底作等腰ABC，且ACB120， COAB，CAB30， 则AOD+COE90， DAO+AOD90， DAOCOE， 又ADOCEO90， AODOCE， tan60， （）23， 点 A 是双曲线 y在第二象限分支上的一个动点， SAOD|xy|， SEOC，即OECE， kOECE3， 故答案为：3 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 6
26、6.0 分）分） 19 （5 分）计算： （） 2230.125+30+|12 |； 【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得 出答案 【解答】解：原式480.125+1+21 41+1+21 3+2 20 （5 分）先化简（a+1）+，然后 a 在1，1，2 三个数中任选一个合 适的数代入求值 【分析】根据分式的运算法则先化简原式，然后将 a2 代入化简后的式子求值即可 【解答】解：（a+1）+ + + a1 且 a1， 当 a2 时，原式5 21 （5 分）已知，在ABC 中，BC2 （1）用尺规作图求作点 P，使 PBPC，且点 P 到 AB、BC 的
27、距离相等； （要求：保留作 图痕迹，不写作法） （2）若ABC60，则 BP 2 【分析】 （1）根据线段垂直平分线的性质和角平分线的性质即可用尺规作图求作点 P， 使 PBPC，且点 P 到 AB、BC 的距离相等； （2）根据ABC60，结合（1）得 BP 平分ABC，PD 是 BC 的垂直平分线，即可 求出 BP 的长 【解答】解： （1）如图， 点 P 即为所求； （2）ABC60， BP 平分ABC， PBD30， PD 是 BC 的垂直平分线， PDB90，BDDCBC， BP2， 故答案为：2 22 （6 分） 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 与 x 轴交于点
28、A， 与 y 轴交于点 C （0， 2） ，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点 B，且 BDx 轴于点 D，OD2 （1）求直线 AB 的函数解析式； （2）设点 P 是 y 轴上的点，若PBC 的面积等于 6，直接写出点 P 的坐标 【分析】 （1）由 BDx 轴，OD2，即可求得点 B 的坐标，然后利用待定系数法即可求 得此一次函数的解析式； （2）由点 P 是 y 轴上的点，若PBC 的面积等于 6，可求得 CP 的长，继而求得点 P 的 坐标 【解答】解： （1）BDx 轴，OD2， 点 D 的横坐标为 2， 将 x2 代入，得 y4， B（2，4） ， 设直线 AB 的函数解析式
29、为 ykx+b（k0） ， 将点 C（0，2） 、B（2，4）代入 ykx+b 得， ， 直线 AB 的函数解析式为 yx+2； （2）点 P 是 y 轴上的点，若PBC 的面积等于 6，B（2，4） ， 即 SPBCCP26， CP6， C（0，2） ， P（0，8）或 P（0，4） 23 （8 分）中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读 书， 读好书” ， 某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查， 整理调查结果发现， 学生课外阅读的本书最少的有 5 本，最多的有 8 本，并根据调查结果绘制了不完整的图 表，如图所示： 本数（本） 频数（人数） 频率 5
30、 a 0.2 6 18 0.36 7 14 b 8 8 0.16 合计 c 1 （1）统计表中的 a 10 ，b 0.28 ，c 50 ； （2）请将条形统计图补充完整； （3）求所有被调查学生课外阅读的平均本数； （4）若该校八年级共有 1200 名学生，请你分析该校八年级学生课外阅读 7 本及以上的 人数 【分析】 （1）根据百分比计算即可； （2）求出 a 组人数，画出直方图即可； （3）根据平均数的定义计算即可； （4）利用样本估计总体的思想解决问题即可； 【解答】解： （1）由题意 c180.3650， a500.210，b0.28， 故答案为 10，0.28，50 （2）条形统计图
31、如图所示 （3）所有被调查学生课外阅读的平均本数6.4（本） （4）该校八年级共有 1200 名学生，该校八年级学生课外阅读 7 本及以上的人数有 1200 528（名） 24 （8 分）资中某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和台式电脑经招投标， 购买一台电子白板比购买 2 台台式电脑多 3000 元， 购买 2 台电子白板和 3 台台式电脑共 需 2.7 万元 （1）求购买一台电子白板和一台台式电脑各需多少元？ （2）根据该校实际情况，购买电子白板和台式电脑的总台数为 24，并且台式电脑的台数 不超过电子白板台数的 3 倍问怎样购买最省钱？ 【分析】 （1）先设购买一台电子白板需
32、x 元，一台台式电脑需 y 元，根据购买一台电子 白板比购买 2 台台式电脑多 3000 元，购买 2 台电子白板和 3 台台式电脑共需 2.7 万元列 出方程组，求出 x，y 的值即可； （2）先设需购买电子白板 a 台，则购买台式电脑（24a）台，根据台式电脑的台数不 超过电子白板台数的 3 倍列出不等式，求出 a 的取值范围，再设总费用为 w 元，根据一 台电子白板和一台台式电脑的价格列出 w 与 a 的函数解析式，根据一次函数的性质，即 可得出最省钱的方案 【解答】解： （1）设购买一台电子白板需 x 元，一台台式电脑需 y 元， 根据题意得：，解得： 答：购买一台电子白板需 9000
33、 元，一台台式电脑需 3000 元； （2）设需购买电子白板 a 台，则购买台式电脑（24a）台， 根据题意得：24a3a， 解得：a6， 设总费用为 w 元，则 w9000a+3000（24a）6000a+72000， 60000， w 随 x 的增大而增大， a6 时，w 有最小值 答：购买电子白板 6 台，台式电脑 18 台最省钱 25 （8 分）如图，AD 是O 的直径，AB 为O 的弦，OPAD，OP 与 AB 的延长线交于 点 P，过 B 点的直线交 OP 于点 C，且CBPADB （1）求证：BC 为O 的切线； （2）若 OA2，AB，求线段 BP 的长 【分析】 （1）连接
34、OB，如图，根据圆周角定理得到ABD90，再根据等腰三角形的 性质和已知条件证出OBC90，即可得出结论； （2）证明AOPABD，然后利用相似比求 BP 的长 【解答】 （1）证明：连接 OB，如图， AD 是O 的直径， ABD90， A+ADB90， OAOB， AOBA， CBPADB， OBA+CBP90， OBC1809090， BCOB， BC 是O 的切线； （2）解：OA2， AD2OA4， OPAD， POA90， P+A90， PD， AA， AOPABD， ， 即， 解得：BP 26 （11 分）如图，已知抛物线 yax2+bx3 的图象与 x 轴交于点 A（1，0）和
35、 B（3，0） ， 与 y 轴交于点 C，D 是抛物线的顶点，对称轴与 x 轴交于 E （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，在抛物线的对称轴 DE 上求作一点 M，使AMC 的周长最小，并求出点 M 的坐标和周长的最小值 （3）如图 2，点 P 是 x 轴上的动点，过 P 点作 x 轴的垂线分别交抛物线和直线 BC 于 F、 G，使FCG 是等腰三角形，直接写出 P 的横坐标 【分析】 （1）将 A（1，0）和 B（3，0）代入 yax2+bx3 即可； （2）求出 C 坐标及 BC 解析式，BC 与对称轴交点即为 M，AC+BC 即是AMC 的最小 周长； （3）设 P（m，0） ，用
36、 m 表示出FCG 的三边长，分类列方程求解 【解答】解（1）将 A（1，0）和 B（3，0）代入 yax2+bx3 得： ，解得， 抛物线的解析式 yx2+4x3； （2）连接 BC 交直线 DE 于 M，如答图 1： 抛物线的解析式 yx2+4x3 中令 x0 得 y3，令 y0 得 x1 或 3， C（0，3） ，A（1，0） ，B（3，0） ，且顶点 D（2，1） ，对称轴 x2， AC，BC3， AMC 的周长最小，即是 AM+CM 最小，而 M 在对称轴上， AMBM，AM+CM 最小就是 BM+CM 最小， 此时 M 与 M重合，AM+CM 最小值即是 BC 的长度即 AM+CM
37、 最小值为 3， AMC 的周长最小为 3+， 设直线 BC 解析式为 ykx+n，将 C（0，3） ，B（3，0）代入得： ，解得， 直线 BC 解析式为 yx3，令 x2 得 y1， M（2，1） ； （3）设 P（m，0） ， 过 P 点作 x 轴的垂线分别交抛物线和直线 BC 于 F、G， F（m，m2+4m3） ，G（m，m3） ， 而 C（0，3） ， CF2m2+（m2+4m）2，CG2m2+m22m2，FG2（m2+3m）2， FCG 是等腰三角形，分三种情况： CFCG 时，m2+（m2+4m）22m2，解得 m0 或 m3 或 m5， m0 时 F、G 与 C 重合，舍去；
38、m3 时，F、G 与 B 重合，舍去， m5，P（5，0） ， CFFG 时，m2+（m2+4m）2（m2+3m）2，解得 m0（舍去）或 m4， P（4，0） ， CGFG 时，2m2（m2+3m）2，解得 m0（舍去）或 m3或 m3+， P（3，0）或 P（3+，0） ， 总上所述，FCG 是等腰三角形，P 的坐标是： （5，0）或（4，0）或（3，0）或 （3+，0） 27 （10 分） （1）如图，在矩形 ABCD 中，AB6，BC4，E，F 分别是 BC，AB 上的点， 且 DFAE，求的值； （2）如图，在矩形 ABCD 中k（k 为常数） ，将矩形 ABCD 沿 GF 折叠，使
39、点 A 落在 BC 边上的点 E 处，得到四边形 EFGH，EH 交 CD 于点 P，连接 AE 交 GF 于点 O， 求的值； （3）在（2）的条件下，连接 CH，当 k时，若 tanCGH，GF2，求 CP 的长 【分析】 （1）利用同角的余角相等判断出BAEADF，进而得出ABEDAF，即 可得出结论； （2）过点 G 作 GMAB 于 M，同（1）的方法，判断出ABEGMF，即可得出结论； （3）由（2）结论求出 AE，再利用等角的余角相等判断出BFEPECPGH，进 而根据三角函数表示出 BE3n，BF4n，EF5n，进而得出 AB9n，利用勾股定理求 出 n，得出和 BE3，AB9
40、，求出 CE，即可得出结论 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是矩形，AB6，BC4， CBDA4， ABEDAF90， DAE+BAE90， DFAE， DAE+ADF90， BAEADF， ABEDAF， ； （2）如图中， 过点 G 作 GMAB 于点 M GFAE， GMF90ABE， AFO+FGM90， GFAE， AOF90， BAE+AFO90， BAEFGM， ABEGMF， ， AMGDDAM90， 四边形 AMGD 是矩形， GMADBC， ； （3） 由（2）知， k，GF2， AE3， 由折叠知，PHGPEF90， BCDABE90， PGH+GPH90， GPHCPE， PGH+CPE90， PEC+CPE90， PGHPEC， PEC+BEF90， PGF+BEF90， BEF+BFE90， BFEPGH， tanCGH， tanBFE， 设 BE3n，BF4n，根据勾股定理得，EF5n， 由折叠知，EFAF5n， AB9n， 在 RtABE 中，AB2+BE2AE2， （9n）2+（3n）2（3）2， n1 或1（舍去） ， BE3，AB9， ， BC6， CEBCBE3， PGHPEC， tanPECtanPGH， 在 RtPCE 中，CE3，tanPEC， ， CP
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