1、二次函数综合练习题二次函数综合练习题 1 在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P 的横坐标和纵坐标相等，则称点 P 为完美点已知二次函数 y ax2+4x+c(a0)的图象上有且只有一个完美点(，)，且当 0 xm 时，函数 yax2+4x+c(a0)的 最小值为3，最大值为 1，则 m 的取值范围是( ) A1m0 B2m C2m4 Dm 【解答】C 【解析】令 ax2+4x+cx，即 ax2+3x+c0， 由题意，324ac0，即 4ac9， 又方程的根为， 解得 a1，c， 故函数 yax2+4x+cx2+4x3， 如图，该函数图象顶点为(2，1)，与 y 轴交点为(0，3)，由对称性，
2、该函数图象也经过点(4，3) 由于函数图象在对称轴 x2 左侧 y 随 x 的增大而增大，在对称轴右侧 y 随 x 的增大而减小，且当 0 xm 时，函数 yx2+4x3 的最小值为3，最大值为 1， 2m4， 故选：C 2 已知抛物线 yax2+bx+3 在坐标系中的位置如图所示，它与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B，点 P 是其 对称轴 x1 上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：2a+b0；x3 是 ax2+bx+30 的一个 根；PAB 周长的最小值是其中正确的是( ) A仅有 B仅有 C仅有 D 【解答】D 【解析】根据图象知，对称轴是直线，则 b2a，即 2a+b0 故正
3、确； 根据图象知，点 A 的坐标是(1，0)，对称轴是 x1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线 与 x 轴的另一个交点的坐标是(3，0)，所以 x3 是 ax2+bx+30 的一个根，故正确； 如图所示，点 A 关于 x1 对称的点是 A，即抛物线与 x 轴的另一个交点 连接 BA与直线 x1 的交点即为点 P， 则PAB 周长的最小值是(BA+AB)的长度 B(0，3)，A(3，0)， BA即PAB 周长的最小值是 故正确 综上所述，正确的结论是： 故选：D 3 如图，抛物线交 x 轴于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，交 y 轴于点 C，分别过 点 B，C 作 y 轴，
4、x 轴的平行线，两线交于点 D，将BDC 绕点 C 逆时针旋转，使点 D 旋转到 y 轴上得到 FEC，连结 BF在线段 BC 上存在点 P，使得以点 P，A，B 为顶点的三角形与BOC 相似，则点 P 的坐 标为 【解答】(2，1)或(，) 【解析】20 整理得，x26x+80， 解得，x12，x24， 当 x0 时，y2， 则点 A 的坐标为(2，0)，点 B 的坐标为(4，0)，点 C 的坐标为(0，2) OA2，OB4，OC2， 则 AB2， 如图，作 APx 轴交 BC 于 P， 当BAPBOC 时，即， 解得，AP1， 点 P 的坐标为(2，1)； 如图，作 APBC 于 P，作
5、PQAB 于 Q， 当BAPBCO 时，即， 解得，BP， PQAB，BOC90， BQPBOC， ，即， 解得，QP，BQ， OQOBBQ， 点 P的坐标为(，)， 综上所述，以点 P，A，B 为顶点的三角形与BOC 相似，点 P 的坐标为(2，1)或(，)， 故答案为：(2，1)或(，) 4 如图，已知抛物线经过原点 O，顶点为 A(1，1)，且与直线 yx2 交于 B，C 两点，若点 N 为 x 轴上 的一个动点， 过点 N 作 MNx 轴与抛物线交于点 M， 若存在以 O， M， N 为顶点的三角形与ABC 相似 请 求出点 N 的坐标 【解答】(，0)或(，0)或(1，0)或(5，0
6、) 【解析】设抛物线的解析式为：ya(x1)2+1， 抛物线经过原点， a(01)2+10， 解得，a1， 则抛物线的解析式为：y(x1)2+1x2+2x， ，解得， 点 B 的坐标为(2，0)，点 C 的坐标为(1，3)， ， AC2AB2+BC2， ABC90， 设点 N 的坐标为(n，0)，则点 M 的坐标为(n，n2+2n)， 当ONMABC 时，即， 解得，n11，n25， 当ONMCBA 时，即， 解得， 综上所述，点 N 的坐标为(，0)或(，0)或(1，0)或(5，0)， 故答案为：(，0)或(，0)或(1，0)或(5，0) 5 已知抛物线 yax22ax+c(a0)的图象过点
7、 A(3，m) (1)当 a1，m0 时，求抛物线的顶点坐标 ； (2)如图，直线 l：ykx+c(k0)交抛物线于 B，C 两点，点 Q(x，y)是抛物线上点 B，C 之间的一个动点，作 QDx 轴交直线 l 于点 D，作 QEy 轴于点 E，连接 DE设QED，当 2x4 时， 恰好满足 30 60，a 【解答】 【解析】(1)当 a1，m0 时，yx2+2x+c，A 点的坐标为(3，0)， 9+6+c0 解得 c3 抛物线的表达式为 yx2+2x+3 即 y(x1)2+4 抛物线的顶点坐标为(1，4)， 故答案为：(1，4) (2)点 Q(x，y)在抛物线上， yax22ax+c 又QD
8、x 轴交直线 l：ykx+c(k0)于点 D， D 点的坐标为(x，kx+c) 又点 Q 是抛物线上点 B，C 之间的一个动点， QDax22ax+c(kx+c)ax2(2a+k)x QEx， 在 RtQED 中， tan 是关于 x 的一次函数， a0， tan 随着 x 的增大而减小 又当 2x4 时， 恰好满足 3060，且 tan 随着 的增大而增大， 当 x2 时，60；当 x4 时，30 ，解得， 故答案为： 6 如图，抛物线 yx22x+a(a0)与 y 轴相交于 A 点，顶点为 M，直线分别与 x 轴、y 轴 相交于 B、C 两点，并且与直线 MA 相交于 N 点 (1)若直线
9、 BC 和抛物线有两个不同交点，求 a 的取值范围，并用 a 表示点 M、A 的坐标； (2)将NAC 沿 y 轴翻折，若点 N 的对称点 N恰好落在抛物线上，AN与抛物线的对称轴相交于点 D，连 接 CD，求 a 的值及NCD 的面积； (3)在抛物线上是否存在点 P，使得以 P、A、C、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 P 的坐 标；若不存在，请说明理由 【解答】(1)A(0，a)，M(1，1+a)；(2)，NCD 的面积(3)点 P和 P时，A、 C、P、N 能构成平行四边形 【解析】(1)由题意得，整理得 2x2+5x4a0， 25+32a0，解得， a0， 且 a0，
10、令 x0，得 ya， A(0，a)， yx22x+a(x+1)2+1+a， M(1，1+a) (2)设直线 MA 的解析式为 ykx+b(k0)， A(0，a)，M(1，1+a)， ，解得， 直线 MA 的解析式为 yx+a， 联立得，解得， N， 点 N是点 N 关于 y 轴的对称点， N， 将点 N的坐标代入 yx22x+a 得，解得或 a0(舍去)， A，C，M，|AC|， SNCDSNACSADC|AC|xN|AC|x0| (31) ； (3)如图，当点 P 在 y 轴左侧时， 四边形 APCN 是平行四边形， AC 与 PN 互相平分， ； 将点 P 的坐标代入 yx22x+a 得，
11、解得或 a0(舍)， P； 当点 P 在 y 轴右侧时， 四边形 ACPN 是平行四边形， NPAC 且 NPAC， N，A(0，a)，C(0，a)， P； 将点 P的坐标代入 yx22x+a 得，解得或 a0(舍)， P； 综上所述，当点 P和 P时，A、C、P、N 能构成平行四边形 7 如图，抛物线 yax2+bx+c(a0)与 x 轴交于 A(3，0)、B(1，0)两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点 为 D (1)求 a、b 之间的数量关系； (2)求 SADC：SABC的值； (3)以 OA 为直径作E，若ACD90，问：在 y 轴左侧的抛物线上是否存在点 P，过点 P 作 x
12、轴的平行 线与E 交于点 M、N(M 在 N 的左侧)，与抛物线交于另一点 Q，使得 PM+QNMN？若存在，求点 P 的坐 标；若不存在，请说明理由 【解答】(1)b2a；(2)SADC：SABC1：2；(3)P或 【解析】(1)抛物线 yax2+bx+c(a0)与 x 轴交于 A(3，0)、B(1，0)两点， ， 解得：b2a， a、b 之间的数量关系为 b2a (2)抛物线 yax2+bx+c(a0)与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为 D，且 b2a，a+b+c0， 3a+c0，即 c3a C(0，3a)， 抛物线的解析式为 yax2+2ax3aa(x+1)24a， D(1，4a)，
13、A(3，0)、B(1，0)， AB4， SABCABOC43a6a 如图 1，连接 OD， SADCSOAD+SOCDSOAC， SADC SADC：SABC1：2 (3)如图 2，过点 D 作 DHy 轴于点 H， ACD90， ACO+DCH90， ACO+CAO90， DCHCAO， AOCDHC90， OACHCD， ， 由(2)可知，OC3a，CH4a3aa，DH1， ， 解得 a1 或 a1(舍去)， 抛物线的解析式为 yx2+2x3， 如图 3，过点 E 作 EFPQ 于点 F，连接 ME， 设点 P 坐标为(a，a2+2a3)，则点 Q 坐标为(2a，a2+2a3)，点 F 坐
14、标为(，a2+2a3)， 则 PQ22a， PM+QNMN， MNPQ1a， MFMNa， 在 RtEFM 中，MF2+EF2EM2， 即(a)2+(a2+2a3)2， (a22a4)(4a2+8a7)0， 解得 a1(不合题意舍去)，a2，a3(不合题意舍去)，a4， 当 a2时，有 a2+2a40，则 a2+2a4，则 ya2+2a3431； P(，1) 当 a4时，有 a2+2a，则 ya2+2a33 P(，) 综上所述，点 P 坐标为或 8 如图，已知二次函数 yax28ax+6(a0)的图象与 x 轴分别交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 D 在 抛物线的对称轴上，且四边形
15、 ABDC 为平行四边形 (1)求此抛物线的对称轴，并确定此二次函数的表达式； (2)点 E 为 x 轴下方抛物线上一点，若ODE 的面积为 12，求点 E 的坐标； (3)在(2)的条件下，设抛物线的顶点为 M，点 P 是抛物线的对称轴上一动点，连接 PE、EM，过点 P 作 PE 的垂线交抛物线于点 Q，当PQEEMP 时，求点 Q 到抛物线的对称轴的距离 【解答】(1)x ，yx24x+6；(2)(3，)；(3)点 Q 到对称轴的距离为 4 或 【解析】(1)对称轴为直线 x，则 CD4， 四边形 ABDC 为平行四边形， DCAB，DCAB， DCAB4， A(2，0)，B(6，0)，
16、 把点 A(2，0)代入得 yax28ax+12 得 4a16a+60，解得 a， 二次函数解析式为 yx24x+6； (2)如图 1，设 E(m，m24m+6)，其中 2m6， 作 ENy 轴于 N，如图 1， S梯形CDENSOCDSOENSODE， (4+m)(6m2+4m6)46m(m2+4m6)12， 化简得：m211m+240，解得 m13，m28(舍)， 点 E 的坐标为(3，)； (3)、当点 Q 在对称轴右侧时，如图 2， 过点 E 作 EFPM 于 F，MQ 交 x 轴于 G， PQEPME， 点 E，M，Q，P 四点共圆， PEPQ， EPQ90， EMQ90， EMF+
17、HMG90， HMG+HGM90， EMFHGM， 在 RtEFM 中，EF1，FM，tanEMF2， tanHGM2， ， HGHM1， 点 G(5，0)， M(4，2)， 直线 MG 的解析式为 y2x10， 二次函数解析式为 yx24x+6， 联立解得，(舍)或， Q(8，6)， 点 Q 到对称轴的距离为 844； 、当点 Q 在对称轴左侧时，如图 3， 过点 E 作 EFPM 于 F，过点 Q 作 QDPM 于 D， DQP+QPD90， EPQ90， DPQ+FPE90， DQPFPE， PDQEFP， PDQEFP， ， 由知，tanPQE2， EF1， ， DP，PF2QD， 设
18、 Q(n，n24n+6)， DQ4n，DHn24n+6， PFDH+FHDPn24n+6+ n24n+7， n24n+72(4n)， n(舍)或 n， DQ4n， 即点 Q 到对称轴的距离为 4 或 9 二次函数 y1ax2+bx5 与 x 轴交于 A、D 两点，D(5，0)，与直线 y22x5 交于 B、E 两点，点 B 在 y 轴上，E(6，n) (1)求二次函数的解析式； (2)在抛物线上有一点 P，若APE 的面积为 28，求点 P 的横坐标； (3)点 F 在第四象限的抛物线上运动，连接 AF， 与直线 BE 交于点 Q，连接 BF，AB 设ABQ 的面积为 S1， FBQ 的面积为
19、 S2，求的最大值 【解答】 (1)yx24x5； (2)或或或； (3)当 m3 时，的最大值为 【解析】(1)直线 y22x5 过 E 点， 将点 E 的坐标代入上式并解得：n7，故点 E(6，7)， 将点 D、E 的坐标代入抛物线表达式得：，解得， 故抛物线的表达式为：yx24x5； (2)如图 1，过点 P 作 y 轴的平行线交 BE 于点 H， 设点 P(m，m24m5)，则点 H(m，2m5)， APE 的面积 SSPHA+SPHEPH(xExA)|m24m52m+5|(6+1)28， 解得：m或， 故点 P 的横坐标为或或或； (3)如图 2，分别过点 A、点 F 作 y 轴的平
20、行线交 BE 于点 M、N， 设 F(m，m24m5)，则点 N(m，2m5)，则 NF2m5(m24m)m2+6m， 当 x1 时，y22x57，故点 M(1，7)，即 AM7， ABQ 和FBQ 等高， S2：S1QF：AQ， AMy 轴NF， QNFQMA， QF：AQNF：AM， NF：AM(m2+6m)， 0，故有最大值， 当 m3 时，的最大值为 10如图，抛物线 yax2+bx2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，已知 A(1，0)，直线 BC 的解 析式为，过点 A 作 ADBC 交抛物线于点 D，点 E 为直线 BC 下方抛物线上一点，连接 CD， DB，B
21、E，CE (1)求抛物线的解析式； (2)求四边形 DBEC 面积的最大值，以及此时点 E 的坐标； (3)点 M 为直线 CD 上一点，点 N 为抛物线上一点，若以 B，C，M，N 为顶点，以线段 BC 为边的四边形是 平行四边形，求点 M 的坐标 【解答】(1)；(2)当 m2 时，S 的最大值为 9，此时点 E(2，3)；(3)(3，5)或 或 【解析】(1)yx2，令 x0，则 y2，令 y0，则 x4， 故点 B、C 的坐标分别为：(4，0)、(0，2)， 将点 A、B、C 的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为：； (2)ADBC， 设直线 AD 的表达式为， 将点
22、A 的坐标代入上式并解得， 故直线 AD 的表达式为 而直线 BC 的解析式为， 联立并解得：x5，故点 D(5，3)， 由点 C、D 的坐标得，直线 CD 的表达式为：yx2， 过点 B 作 y 轴的平行线交 CD 于点 N(4，2)，过点 E 作 y 轴的平行线交 BC 于点 M， 设点 E(m，m2m2)，则点 M(m，m2)， 四边形 DBEC 面积SSBCE+SCBDSMEC+SMEB+SBNC+SNBDME(xBxC)+， NB(xDxC)(m 2m2+m+2)4+25m2+4m+5， 10，故 S 有最大值，当 m2 时，S 的最大值为 9，此时点 E(2，3)； (3)设点 M(m，m2)，点 N(n，s)，sn2n2， 点 C 向右平移 4 个单位向上平移 2 个单位得到 B， 同样点 M(N)向右平移 4 个单位向上平移 2 个单位得到 N(M)， 故 m+4n，m2+2s 或 m4n，m22s 且， 解得：n1 或 4 或；m3 或， 故点 M 的坐标为：(3，5)或或
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