1、几何最值几何最值之瓜豆原理巩固练习之瓜豆原理巩固练习(基础基础) 1. 如图，ABCD 是正方形场地，点 E 在 DC 的延长线上，AE 与 BC 相交于点 F，有甲、乙、丙三名同学 同时从点 A 出发，甲沿着 ABFC 的路径行走至 C，乙沿着 AFECD 的路径行走至 D，丙沿 着 AFCD 的路径行走至 D，若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序(由 先至后)是( ) A甲乙丙 B甲丙乙 C乙丙甲 D丙甲乙 【解答】B 【解析】四边形 ABCD 是正方形，ABBCCDAD，B90 ， 甲行走的距离是 ABBFCFABBC2AB； 乙行走的距离是 AFEFECCD；
2、丙行走的距离是 AFFCCD， BECF90 ，AFAB，EFCF， AFFCCD2AB，AFFCCDAFEFECCD， 甲比丙先到，丙比乙先到，即顺序是甲丙乙，故选 B 2. 如图，点 P(3，4)，圆 P 半径为 2，A(2.8，0)，B(5.6，0)，点 M 是圆 P 上的动点，点 C 是 MB 的中点， 则 AC 的最小值是_ 【解答】1.5 【解析】由题意可知 M 点为主动点，C 点为从动点，B 点为定点 C 是 BM 中点，可知 C 点轨迹为取 BP 中点 F，以 F 为圆心，FC 为半径作圆，即为点 C 轨迹，如图所示： 由题中数据可知 OP5，又点 A、F 分别是 OB、BP
3、的中点，AF 是BPO 的中位线，AF2.5， 当 M 运动到如图位置时，AC 的值最小，此时 A、C、O 三点共线，AC2.511.5. 3. 如图，在等腰 RtABC 中，ACBC2 2，点 P 在以斜边 AB 为直径的半圆上，M 为 PC 的中点，当 半圆从点 A 运动至点 B 时，点 M 运动的路径长为_ 【解答】 【解析】当点 P 位于弧 AB 的中点时，M 为 AB 的中点， ， 设分别为 AC、BC 的中点，连接交 CP 于点 O，如图所示： ， 当点 P 沿半圆从点 A 运动至点 B 时 ，点 M 的运动路径是以 O 为圆心，1 为半径的半圆，如图蓝色半圆， 点 M 的运动路径
4、长为. 4. 如图，正方形 ABCD 中，2 5AB ，O 是 BC 边的中点，点 E 是正方形内一动点，OE2， 连接 DE，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90 得 DF，连接 AE、CF求线段 OF 长的最小值 【解答】 【解析】法一、OE2，点 E 可以看成是在以 O 为圆心，2 为半径的半圆上运动，延长 BA 至 点 P，使得 APOC，连接 PE，如图所示： AECF，PAEOCF，PAEOCF，PEOF， 当 O、E、P 三点共线时，PE 的值最小， ， ， OF 的最小值是. 法二、E 是主动点，F 是从动点，D 是定点，E 点满足 EO2，故 E 点轨迹是以 O 为圆心，
5、2 为半 径的圆 考虑 DEDF 且 DEDF， 故作 DMDO 且 DMDO， F 点轨迹是以点 M 为圆心， 2 为半径的圆 直接连接 OM，与圆 M 交点即为 F 点，此时 OF 最小可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股 定理求得 OM，减去 MF 即可得到 OF 的最小值 5. ABC 中，AB4，AC2，以 BC 为边在ABC 外作正方形 BCDE，BD、CE 交于点 O，则 线段 AO 的最大值为_ 【解答】 【解析】如图，以 AO 为直角边作等腰直角三角形 AOF，且AOF90 ，则 AOFO， 四边形 BCDE 是正方形，BOCO，BOC90 ， BOCAOF90 ，AOBCO
6、F，AOBFOC，CFAB4， 若点 A、C、F 三点不共线时 ，AFACCF， 若点 A、C、F 三点共线时，AFACCF， AFACCF246，AF 的最大值是 6， ，AO 的最大值是； 法二、考虑到 AB、AC 均为定值，可以固定其中一个，比如固定 AB，将 AC 看成动线段，由此引 发正方形 BCED 的变化，求得线段 AO 的最大值 根据 AC2，可得 C 点轨迹是以点 A 为圆心，2 为半径的圆 接下来题目求 AO 的最大值，所以确定 O 点轨迹即可，观察BOC 是等腰直角三角形，锐角顶点 C 的轨迹是以点 A 为圆心，2 为半径的圆，所以 O 点轨迹也是圆，以 AB 为斜边构造
7、等腰直角三 角形，直角顶点 M 即为点 O 轨迹圆圆心 连接 AM 并延长与圆 M 交点即为所求的点 O，此时 AO 最大，根据 AB 先求 AM，再根据 BC 与 BO 的比值可得圆 M 的半径与圆 A 半径的比值，得到 MO，相加即得 AO 6. 如图，已知点 A 是第一象限内横坐标为2 3的一个定点，ACx 轴于点 M，交直线 yx 于点 N，若点 P 是线段 ON 上的一个动点，APB30 ，BAPA，则点 P 在线段 ON 上运动时， A 点不变，B 点随之运动求当点 P 从点 O 运动到点 N 时，点 B 运动的路径长是_ 【解答】 【分析】根据PAB90 ，APB30 可得：AP
8、:AB，故 B 点轨迹也是线段，且 P 点轨 迹路径长与 B 点轨迹路径长之比也为，P 点轨迹长 ON 为，故 B 点轨迹长为 7. 如图，在平面直角坐标系中，A(3，0)，点 B 是 y 轴正半轴上一动点，点 C、D 在 x 正半轴 上，以 AB 为边在 AB 的下方作等边ABP，点 B 在 y 轴上运动时，求 OP 的最小值 【解答】 【解析】求 OP 最小值需先作出 P 点轨迹，根据ABP 是等边三角形且 B 点在直线上运动，故可知 P 点轨迹也是直线 取两特殊时刻：(1)当点 B 与点 O 重合时，作出 P 点位置 P1；(2)当点 B 在 x 轴上方且 AB 与 x 轴 夹角为 60
9、 时，作出 P 点位置 P2连接 P1P2，即为 P 点轨迹 根据ABP60 可知：与 y 轴夹角为 60 ，作 OP，所得 OP 长度即为最小值，OP2 OA3，所以 8. 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 BC 上一点，且 BE1，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF，以 EF 为边向右侧作等边EFG，连接 CG，求 CG 的最小值是多少？ 【解答】 【解析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求 CG 最小值，可以将 F 点看成是由 点 B 向点 A 运动，由此作出 G 点轨迹： 考虑到 F 点轨迹是线段，故 G 点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻 G 点 在位置，最终 G 点在位置(不一定在 CD 边)，即为 G 点运动轨迹 CG 最小值即当 CG的时候取到，作 CH于点 H，CH 即为所求的最小值 根据模型可知：与 AB 夹角为 60 ，故 过点 E 作 EFCH 于点 F，则 HF1， 所以，因此 CG 的最小值为
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