1、备战备战 2021 年中考复习重难点与压轴题型专项训练年中考复习重难点与压轴题型专项训练 专题 15 二次函数中线段与线段和的最值问题 【专题训练】 一、解答题一、解答题 1(2020 山东九年级二模)如图，二次函数 yax2+bx+c 交 x 轴于点 A(1，0)和点 B(3，0)，交 y 轴于点 C，抛物线上一点 D 的 坐标为(4，3) (1)求该二次函数所对应的函数解析式； (2)如图 1，点 P 是直线 BC 下方抛物线上的一个动点，PE/x 轴，PF/y 轴，求线段 EF 的最大值； (3)如图 2，点 M 是线段 CD 上的一个动点，过点 M 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 N，
2、当 CBN 是直角三角形时，请直接写出 所有满足条件的点 M 的坐标 【答案】 解：(1)设二次函数的解析式为 ya(xb)(xc)， yax2+bx+与 x 轴 r 的两个交点 A、B 的坐标分别为(1，0)和(3，0)， 二次函数解析式：ya(x1)(x3) 又点 D(4，3)在二次函数上， (43)(41)a3， 解得：a1 二次函数的解析式：y(x1)(x3)，即 yx24x+3 (2)如图 1 所示 因点 P 在二次函数图象上，设 P(p，p24p+3) yx24x+3 与 y 轴相交于点 C， 点 C 的坐标为(0，3) 又点 B 的坐标为 B(3，0)， OBOC COB 为等腰
3、直角三角形 又PF/y 轴，PE/x 轴， PEF 为等腰直角三角形 EF 2PF 设一次函数的 lBC的表达式为 ykx+b， 又B(3，0)和 C(0，3)在直线 BC 上， 30 3 kb b ，解得： 1 3 k b ， 直线 BC 的解析式为 yx+3 yFp+3 FPp+3(p24p+3)p2+3p EF 2p 2+3 2p 线段 EF 的最大值为，EFmax 09 2 4 2 9 2 4 (3)如图 2 所示： 若CNB90时，点 N 在抛物线上，作 MN/y 轴，l/x 轴交 y 轴于点 E， BFl 交 l 于点 F 设点 N 的坐标为(m，m24m+3)，则点 M 的坐标为
4、(m，3)， C、D 两点的坐标为(0，3)和(4，3)， CDx 轴 又CNENBF，CENNFB90， CNENBF CE NE NF BF ， 又CEm2+4m，NEm；NF3m，BFm2+4m3， 2 4mm m 2 3 43 m mm ， 化简得：m25m+50 解得：m1 55 2 ，m2 55 2 M 点坐标为( 55 2 ，3)或( 55 2 ，3) 如图 3 所示： 当CBN90时，过 B 作 BGCD， NBFCBG，NFBBGC90， BFNCGB BFN 为等腰直角三角形， BFFN， 0(m24m+3)3m 化简得，m25m+60 解得，m2 或 m3(舍去) M 点
5、坐标为，(2，3) 综上所述，满足题意的 M 点坐标为可以为(2，3)，( 55 2 ，3)，( 55 2 ，3) 【点睛】 本题考查待定系数法求解函数解析式，二次函数和三角函数求值，三角形相似等相关知识点；同时运用数形结合和分类讨论 的思想探究点在几何图形上的位置关系 2 (2020 重庆永川区 九年级三模)如图， 二次函数的图象交轴于两点， 交轴于点， 点的坐标为，顶点的坐标为 (1)求二次函数的解析式和直线的解析式； (2)点是直线上的一个动点，过点 作轴的垂线，交抛物线于点，当点在第一象限时，求线段长度的 最大值； (3)在抛物线上是否存在异于的点，使中边上的高为，若存在求出点的坐标；
6、若不存在请说 明理由 【答案】 (1)抛物线的顶点 C 的坐标为(1，4)，可设抛物线解析式为 y=a(x1)2+4， 点 B(3，0)在该抛物线的图象上，0=a(31)2+4，解得 a=1， 抛物线解析式为 y=(x1)2+4，即 y=x2+2x+3， 点 D 在 y 轴上，令 x=0 可得 y=3，D 点坐标为(0，3)，可设直线 BD 解析式为 y=kx+3， 把 B 点坐标代入可得 3k+3=0，解得 k=1，直线 BD 解析式为 y=x+3； (2)设 P 点横坐标为 m(m0)，则 P(m，m+3)，M(m，m2+2m+3)， PM=m2+2m+3(m+3)=m2+3m=(m)2+
7、， 当 m=时，PM 有最大值； (3)如图，过 Q 作 QGy 轴交 BD 于点 G，交 x 轴于点 E，作 QHBD 于 H， 设 Q(x，x2+2x+3)，则 G(x，x+3)， QG=|x2+2x+3(x+3)|=|x2+3x|， BOD 是等腰直角三角形，DBO=45，HGQ=BGE=45， 当 BDQ 中 BD 边上的高为 2时，即 QH=HG=2， QG=2=4，|x2+3x|=4， 当x2+3x=4 时， =9160，方程无实数根， 当x2+3x=4 时，解得 x=1 或 x=4， Q(1，0)或(4，5)， 综上可知存在满足条件的点 Q，其坐标为(1，0)或(4，5) 考点：
8、待定系数法，二次函数的性质，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系. 3(2020 贵州遵义市 九年级三模)如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线 yax2+bx+c(a0)经过 A(1，0)、B(3，0)、C(0，3) 三点，连接 BC 并延长 (1)求抛物线的解析式； (2)点 M 是直线 BC 在第一象限部分上的一个动点，过 M 作 MNy 轴交抛物线于点 N 求线段 MN 的最大值； 当 MN 取最大值时，在线段 MN 右侧的抛物线上有一个动点 P，连接 PM、PN，当 PMN 的外接圆圆心 Q 在 PMN 的边 上时，求点 P 的坐标 【答案】 解：(1)把 A、B、C 三点的坐标
9、代入抛物线 yax2+bx+c(a0)中，得 0 930 3 abc abc c ，解得， 1 4 3 a b c ， 抛物线的解析式为：yx24x+3； (2)1设直线 BC 的解析式为 ymx+n(m0)，则 30 3 mn n ， 解得， 1 3 m n ， 直线 BC 的解析式为：yx+3， 设 M(t，t+3)(0t3)，则 N(t，t24t+3)， MNt2+3t 2 39 () 24 t ， 当 t 3 2 时，MN 的值最大，其最大值为 9 4 ； 2PMN 的外接圆圆心 Q 在 PMN 的边上， PMN 为直角三角形， 由 1知，当 MN 取最大值时，M( 3 2 ， 3 2
10、 )，N( 3 2 ， 3 4 )， 当PMN90时，PMx 轴，则 P 点与 M 点的纵坐标相等， P 点的纵坐标为 3 2 ， 当 y 3 2 时，yx24x+3 3 2 ， 解得，x 410 2 ，或 x 4103 22 (舍去)， P( 410 3 22 ，)； 当PNM90时，PNx 轴，则 P 点与 N 点的纵坐标相等， P 点的纵坐标为 3 4 ， 当 y 3 4 时，yx24x+3 3 4 ， 解得，x 834 4 ，或 x 8343 42 (舍去)， P( 8343 44 ， )； 当MPN90时，则 MN 为 PMN 的外接圆的直径， PMN 的外接圆的圆心 Q 为 MN
11、的中点， Q( 3 3 , 2 8 )，半径为 19 28 MN ， 过 Q 作 QKx 轴，与在 MN 右边的抛物线图象交于点 K，如图， 令 y 3 8 ，得 yx24x+3 3 8 ， 解得，x 822 4 3 2 (舍)，或 x 822 4 ， K( 822 4 ， 3 8 )， QK 222 4 9 8 ， Q 与 MN 右边的抛物线没有交点， 在线段 MN 右侧的抛物线上不存在点 P，使 PMN 的外接圆圆心 Q 在 MN 边上； 综上，点 P 的坐标为( 410 3 22 ，)或( 834 4 ， 3 4 ) 【点睛】 本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的最值
12、的应用，直角三角形的存在性质的探究，圆的性质，第 (2)题的题关键是把 MN 表示成 t 二次函数， 用二次函数求最值的方法解决问题； 第(2)小题关键是分情况讨论 难度较大 4(2020 湖南邵阳市 九年级二模)如图，二次函数 2 yxbxc的图象与x轴交于点1,0A 和点3,0B，与y轴 交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交 于点E (1)求该抛物线的函数关系表达式； (2)当点P在线段OB(点P不与O B、重合)上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值； (3)在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MNMB、
13、请问：MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 解：(1)抛物线 2 yxbxc经过1,0A ，3,0B， 把A B、两点坐标代入上式， 10 930 bc bc ，解得： 2 3 b c ， 故抛物线函数关系表达式为 2 23yxx； (2)1,0A ，点3,0B， 1 34ABOA OB ， 正方形ABCD中，90 ,ABCPCBE， 90OPECPB， 90CPBPCB， OPEPCB， 又 90EOPPBC， POECBP， BCOP PBOE ， 设OPx，则3PBx ， 4 3 x xOE ， 2 2 1139 3 44216 OEx
14、xx ， 03x， 3 2 x 时，线段OE长有最大值，最大值为 9 16 即 3 2 OP 时，线段OE有最大值最大值是 9 16 (3)存在 如图，过点M作MHy轴交BN于点H， 抛物线的解析式为 2 23yxx， 0,3xy ， N点坐标为0, 3， 设直线BN的解析式为ykxb， 30 3 kb b ， 1 3 k b ， 直线BN的解析式为3yx， 设 2 ,23M a aa，则,3H a a， 22 3233MHaaaaa ， 2 2 111327 33 22228 MNBBMHMNH SSSMH OBaaa ， 1 0 2 ， 3 2 a 时，MBN的面积有最大值，最大值是 27
15、 8 ，此时M点的坐标为 315 , 24 【点睛】 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利 用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似比表示线段之间的关系利用数形结合的思想把代数和几何 图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键 5(2020 福建福州市 福州十八中九年级月考)如图，抛物线 yax2+2ax3a(a0)与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，且 OA=OC，直线 yx 与该抛物线交于 E，F 两点 (1)求抛物线的解析式 (2)P 是直线 EF 下方抛物线上的一个动
16、点，作 PHEF 于点 H，求 PH 的最大值 (3)以点 C 为圆心，1 为半径作圆，C 上是否存在点 D，使得 BCD 是以 CD 为直角边的直角三角形？若存在，直接 写出 D 点坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 (1)令 x0，则 y3a，可知点 C(0，3a)， OAOC 点 A(3a，0)， 令 2 230axaxa-= ，即13 =0a xx+ 解得：x13，x21 点 A(3，0)，B(1，0) 3a3 a1 抛物线的解析式 yx2+2x3 (2)过点 P 作 PNy 轴交直线 EF 于点 N， 直线 EF 的解析式为 yx， NOA45， PNH45 设点 P 2 ,23x
17、 xx，点 N, xx， PH 2 2 PN 2 2 23 2 xxx 2 2321 2 228 x ， 当 x 3 2 时，PH 的值最大为 21 2 8 ， (3)当BCD90时，如图 2 左侧图所示， 当点 D 在 BC 的右侧时， 过点 D 作 DMy 轴于点 M，则 CDOB1，OC3， tanBCO 1 3 tanCDMtan， 则 1 10 sin ， 3 10 cos， xDCDcos 3 10 10 ，同理 yD 10 3 10 ， 故点 D( 3 10 10 ， 10 3 10 )； 同理当点 D 在 BC 的左侧时，点 D 的坐标( 3 10 10 ， 10 3 10 )
18、； 当CDB90时，如图 2 右侧图所示， 当点 D 在 BC 的右侧时， CDOB1，则点 D(1，3)， 当点 D 在 BC 的左侧时，由点的对称性，同理可得：点 D( 4 5 ， 12 5 )； 综上所述，点 D 的坐标为( 3 10 10 ， 10 3 10 )或( 3 10 10 ， 10 3 10 )或(1，3)或( 4 5 ， 12 5 ) 【点睛】 本题主要考查二次函数与圆的综合问题，是中考常见的压轴题型，难度较大，熟练掌握待定系数法求解析式，线段最值的解 法，以及分类讨论的思想是解题的关键 6 (2020 山东烟台市 九年级其他模拟)如图， 抛物线 y=ax2+ 4 3 x+
19、c 的图象与 x 轴交于 A(-3， 0)， B 两点， 与 y 轴交于点 C(0， -2)， 连接 AC点 P 是 x 轴上的动点 (1)求抛物线的表达式； (2)过点 P 作 x 轴的垂线，交线段 AC 于点 D，E 为 y 轴上一点，连接 AE，BE，当 AD=BE 时，求 AD+AE 的最小值； (3)点 Q 为抛物线上一动点，是否存在点 P，使得以 A、C、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标； 若不存在，说明理由 【答案】 (1)将 A(-3，0)，C(0，-2)，代入 y=ax2+ 4 3 x+c 得， 4 930 3 2 ac c ，解得 2 3 2
20、a c ， 抛物线的表达式为 2 24 2 33 yxx； (2)令 2 24 20 33 yxx，解得 x=-3 或 1， 点 B 的坐标为(1，0)， 当 AD=BE 时，AD+AE=BE+AE， 当 A、E、B 三点共线时，BE+AE 最小，最小值为 AB 的长， 当 AD=BE 时，AD+AE 的最小值为 AB=1-(-3)=4； (3)存在设点 P 的坐标为(m，0)，点 Q 的坐标为(n， 2 24 2 33 nn)， 若 AQ 为平行四边形的对角线，则 PA=QC，QCx 轴，如图， -3-m=0-n， 2 24 22 33 nn ， 解得 n=-2 或 0(舍去)， m=-5，
21、 点 P 的坐标为(-5，0)； 若 AP 为对角线，则 AC=PQ，如图所示， 即 m-n=3， 2 24 22 33 nn， 解得 n=-1+ 7或-1-7， m=2+ 7或 2-7， 点 P 的坐标为(2+ 7，0)或(2-7，0)； 当 AC 是平行四边形的对角线时，则 AQ=PC，如图， 即 m-(-3)=0-n， 2 24 22 33 nn ， 解得 n=-2 或 0(舍去)， m=-1， 点 P 的坐标为(-1，0) 综上所述，点 P 的坐标为(-5，0)或(2+ 7，0)或(2-7，0)或(-1，0) 【点睛】 本题是二次函数的综合应用题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数
22、的图象及性质，平行四边形的性质；熟练掌握二 次函数的图象及性质，灵活应用平行四边形的性质是解题的关键第(3)问需分类讨论，以防遗漏 7(2020 浙江九年级一模)新定义：经研究发现，在平面直角坐标系上到定点0,1F与定直线(0)yb b距离相等的点 刚好组成一条抛物线，我们把满足这样条件的抛物线叫做芳华抛物线 (1)当1b时，请直接写出满足条件的一个点，并求此芳华抛物线的解析式； (2)在(1)的前提下，等边OAB三个顶点都在芳华抛物线上，O 为坐标原点，求等边OAB的边长； (3)在平面上有一定点2,1P， 在芳华抛物线上取点 M 使PMMF最小， 直接写出PMMF的最小值(结果可用含 b
23、的代数式表示) 【答案】 解：(1)设这个定点坐标为, x y，由题意得： 1b，点0,1F， 22 2 11xyy， 整理得： 2 1 4 yx， 满足条件的一个点为 1 1, 4 ； (2)由题意可作如图所示： AOB 是等边三角形， BAO=6O， 由(1)可得抛物线解析式为： 2 1 4 yx， y 轴垂直平分 AB， AOC=30， 设点 A 坐标为 2 1 , 4 aa ， AC=a，OC= 2 1 4 a， 2 1 3 4 aa，解得： 4 3a ， 8 3OA ； (3)由题意可得如图： 当抛物线与 PF 有交点时，如图： 点0,1F，点2,1P， PFx 轴， PF=2， P
24、MMFPF， 要使PMMF的值要为最小，只需满足 P、M、F 三点共线即可， PMMF的最小值为 2 当抛物线与 PF 无交点时，如图： 过点 M 作 MA 垂直直线 y=b， 点0,1F，点2,1P， PFx 轴， 由芳华抛物线可得：FM=MA， =PMMF PMMA， 要使PMMF的值要为最小，只需满足 P、M、A 三点共线即可， 1PAb ， PMMF的最小值为：1 b 【点睛】 本题主要考查二次函数的应用，关键是根据题意得到二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质进行求解即可 8(2020 湖北荆门市 中考真题)如图，抛物线 2 15 :3 24 L yxx与 x 轴正半轴交于点 A，
25、与 y 轴交于点 B (1)求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标； (2)如图 1，点 P 为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点 P 作PCx轴，垂足为 C，PC交AB于点 D，求 PDBD的最大值，并求出此时点 P 的坐标； (3)如图 2，将抛物线 2 15 :3 24 L yxx向右平移得到抛物线 L ，直线AB与抛物线 L 交于 M，N 两点，若点 A 是 线段MN的中点，求抛物线 L 的解析式 【答案】 (1)在 2 15 3 24 yxx中， 令0y ，则 2 15 30 24 xx，解得 12 3 ,4 2 xx ， (4,0)A 令0 x，则3y ，0, 3B 设直线AB
26、的解析式为ykxb，则 40 3 kb b ，解得： 3 4 3 k b ， 直线AB的解析式为 3 3 4 yx 2 2 1515121 3 242432 yxxx ， 抛物线顶点坐标为 5121 , 432 (2)如图，过点 D 作DEy轴于 E，则/DE OA 4,3OAOB， 2222 435ABOAOB ， 设点 P 的坐标为 2 155 ,34 244 xxxx ， 则点 D 的坐标为 3 ,3 4 xx ， EDx /DE OA， BDEBAO， BDED BAOA ， 54 BDx ， 5 4 BDx 而 22 3151 332 4242 PDxxxxx ， 2 22 1511
27、3113169 2 24242432 PDBDxxxxxx ， 1 0 2 ， 5 4 4 x，由二次函数的性质可知： 当 13 4 x 时，PDBD的最大值为 169 32 2 2 3531351357 33 44444432 xx ， 1357 , 432 P (3)设平移后抛物线 L 的解析式 2 1121 () 232 yxm， 联立 2 3 3 4 1121 () 232 yx yxm ， 2 31121 3() 4232 xxm， 整理，得： 22 325 20 416 xmxm ， 设 1122 ,M x yN x y，则 12 ,x x是方程 22 325 20 416 xmx
28、m 的两根， 12 3 2 4 xxm 而 A 为MN的中点， 12 8xx， 3 28 4 m ，解得： 13 4 m 抛物线 L 的解析式 2 2 1131211133 2432242 yxxx 【点睛】 本题考查二次函数的图象和性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函 数的图象和性质 9 (2020 辽宁葫芦岛市 九年级二模)如图， 二次函数 2 4yaxbx的图象过点3,0A和1,0B ， 与y轴交于点C (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该二次函数的对称轴上有一点M，使BMCM的长度最短，求出M的坐标 (3)动点D，E同时从点O出发，
29、其中点D以每秒 3 2 个单位长度的速度沿折线OAC按OAC的路线运动，点E 以每秒 4 个单位长度的速度沿折线OCA按OCA的路线运动， 当D，E两点相遇时， 它们都停止运动 设D，E 同时从点O出发t秒时，ODE的面积为S请直接写出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围 【答案】 解：(1)该函数图象过点3,0A，1,0B ， 0934 04 ab ab 解之，得 4 3 a ， 8 3 b 所求二次函数的关系式为 2 48 4 33 yxx (2) 2 48 4 33 yxx 2416 1 33 x 对称轴是1x 点B关于1x 的对称点是A，所以AC与对称轴的交点即为点M， 使B
30、MCM的长度最短 设直线AC的解析式为ykxb，将,0A C，0,4C代入，解得 4 4 3 yx 当1x 时， 8 3 y ，所以 8 1, 3 M (3)根据题意得D，E两点相遇的时间为 34524 3 11 4 2 (秒) 现分情况讨论如下： )当01t 时， 2 13 43 22 Sttt； )当12t 时，设点E的坐标为 22 ,x y 2 544 45 yt ， 2 36 16 5 t y 2 1336 161227 22555 t Sttt )当 24 2 11 t 时，设点E的标为 33 ,x y，类似可得 3 36 16 5 t y 设点D的坐标为 44 ,x y 4 3 3
31、 2 45 t y ， 4 612 5 t y AOEAOD SSS 136 161612 33 2525 tt 3372 55 t 【点睛】 本题考查二次函数综合，其中涉及待定系数法解二次函数解析式、待定系数法解一次函数解析式、根据二次函数对称性解两 点间最短距离、分类讨论、三角形面积公式等知识，难度一般，掌握相关知识是解题关键 10(2020 贵州黔西南布依族苗族自治州 中考真题)已知抛物线 yax2bx6(a0)交 x 轴于点 A(6，0)和点 B(1，0)，交 y 轴 于点 C (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)如图(1)，点 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的动点，过点 P
32、 分别作 x 轴，y 轴的平行线，交直线 AC 于点 D，E，当 PD PE 取最大值时，求点 P 的坐标； (3)如图(2)，点 M 为抛物线对称轴 l 上一点，点 N 为抛物线上一点，当直线 AC 垂直平分 AMN 的边 MN 时，求点 N 的坐标 【答案】 解：(1)抛物线 yax2bx6 经过点 A(6，0)，B(1，0)， 06 03666 ab ab ， ， 解得 a1，b5， 抛物线的解析式为 yx25x6 yx25x6(x 5 2 )2 49 4 ， 抛物线的解析式为 yx25x6，顶点坐标为( 5 2 ， 49 4 ) (2)由(1)知，抛物线的解析式为 yx25x6， C(
33、0，6)，OC6 A(6，0)， OA6，OAOC，OAC45 PD 平行于 x 轴，PE 平行于 y 轴， DPE90，PDEDAO45， PED45， PDEPED， PDPE， PDPE2PE， 当 PE 的长度最大时，PEPD 取最大值 设直线 AC 的函数关系式为 ykxd， 把 A(6，0)，C(0，6)代入得 06 6 kd d ， ， 解得 k1，d6， 直线 AC 的解析式为 yx6 设 E(t，t6)(0t6)，则 P(t，t25t6)， PEt25t6(t6)t26t(t3)29 10，当 t3 时，PE 最大，此时t25t612， P(3，12) (3)如答图，设直线
34、AC 与抛物线的对称轴 l 的交点为 F，连接 NF 点 F 在线段 MN 的垂直平分线 AC 上， FMFN，NFCMFC ly 轴， MFCOCA45， MFNNFCMFC90， NFx 轴 由(2)知直线 AC 的解析式为 yx6， 当 x 5 2 时，y 7 2 ， F( 5 2 ， 7 2 )， 点 N 的纵坐标为 7 2 点 N 在抛物线上， x25x6 7 2 ，解得，x1 535 2 或 x2 535 2 ， 点 N 的坐标为( 535 2 ， 7 2 )或( 535 2 ， 7 2 ) 【点睛】 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解一元二次方程，(2)中判断出 PD
35、=PE，(3)中 NFx 轴是解本题的关键 11(2020 四川省成都列五中学九年级三模)如图 1，抛物线 ymx23mx+n(m0)与 x 轴交于点 C(1，0)与 y 轴交于点 B(0， 3)，在线段 OA 上有一动点 E(不与 O、A 重合)，过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N，交抛物线于点 P，过点 P 作 PMAB 于点 M (1)分别求出抛物线和直线 AB 的函数表达式； (2)设 PMN 的面积为 S1， AEN 的面积为 S2，当 1 2 36 25 S S 时，求点 P 的坐标； (3)如图 2，在(2)的条件下，将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转的到 OE，旋
36、转角为 (090)，连接 EA、EB，求 EA+ 2 3 EB 的最小值 【答案】 解：(1)抛物线 ymx23mx+n(m0)与 x 轴交于点 C(1，0)与 y 轴交于点 B(0，3)， 则有 3 30 n mmn ，解得4 3 3 m n ， 抛物线 2 39 3 44 yxx ， 令 y0，得到 2 39 3 44 xx0， 解得：x4 或1， A(4，0)，B(0，3)， 设直线 AB 解析式为 ykx+b，则 3 40 b kb ， 解得 3 3 4 k b ， 直线 AB 解析式为 y 3 4 x+3 (2)如图 1 中，设 P(m， 2 39 3 44 mm)，则 E(m，0)
37、， PMAB，PEOA， PMNAEN， PNMANE， PNMANE， PMN 的面积为 S1， AEN 的面积为 S2， 1 2 36 25 S S ， 6 5 PN AN ， NEOB， ANAE ABOA ， AN 5 4 5 4 5 4 5 4 (4m)， 抛物线解析式为 y 2 39 3 44 xx， PN 2 39 3 44 mm( 3 4 m+3) 3 4 m2+3m， 2 3 3 6 4 5 5 (4) 4 mm m ， 解得 m2 或 4(舍弃)， m2， P(2， 3 2 ) (3)如图 2 中，在 y 轴上 取一点 M使得 OM 4 3 ，连接 AM，在 AM上取一点
38、E使得 OEOE OE2，OMOB 4 3 34， OE2OMOB， OEOB OMOE ， BOEMOE， MOEEOB， M EOE BEOB 2 3 ， ME 2 3 BE， AE+ 2 3 BEAE+EMAM，此时 AE+ 2 3 BE最小(两点间线段最短，A、M、E共线时)， 最小值AM 22 4 4( ) 3 4 10 3 【点睛】 本题属于二次函数综合题， 考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形， 找到线段 AM就是 AE+ 2 3 BE的最小值，属于中考压轴题 12(2020 重庆八中)如图，抛物线 y 2 4 x2+2x6 2交
39、x 轴于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，交 y 轴于 C 点，D 点是该 抛物线的顶点，连接 AC、AD、CD (1)求 ACD 的面积； (2)如图，点 P 是线段 AD 下方的抛物线上的一点，过 P 作 PEy 轴分别交 AC 于点 E，交 AD 于点 F，过 P 作 PGAD 于点 G，求 EF+ 5 2 FG 的最大值，以及此时 P 点的坐标； (3)如图，在对称轴左侧抛物线上有一动点 M，在 y 轴上有一动点 N，是否存在以 BN 为直角边的等腰 Rt BMN？若存在，求 出点 M 的横坐标，若不存在，请说明理由 【答案】 解：(1)令 x0，得 2 02 06 26 2
40、 4 y ， C(0，6 2)， 令 y0，得 2 2 26 20 4 yxx ， 解得 1 6 2x ， 2 2 2x ， A( 6 2 ，0)，点 B(2 2，0)， 设直线 AC 的解析式为：ykx+b(k0)， 则 6 20 6 2 kb b ， 1 6 2 k b ， 直线 AC 的解析式为：6 2yx ， 2 2 22 26 22 28 2 44 yxxx ， D( 2 2 ， 8 2 )， 过 D 作 DMx 轴于点 M，交 AC 于点 N，如图， 令 2 2x ， 2 26 24 2y ，则 N( 2 2 ， 4 2 )， 4 2DN ， 11 4 26 224 22 ACD
41、SDN AO； (2)如图，过点 D 作 x 轴的平行线交 FP 的延长线于点 H， 由点 A、D 的坐标得，直线 AD 的表达式为：212 2yx ， tanFDH2，则 sinFDH 22 5 55 ， HDF+HFD90，FPG+PFG90， FDHFPG， 在 Rt PGF 中，PF FG sinGFP FG sinFDH 2 5 5 FG 5 2 FG， 则 EF+ 5 2 FGEF+PFEP， 设点 P(x， 2 2 26 2 4 xx )，则点 E(x， 6 2x )， 则 EF+ 5 2 FGEF+PFEP 22 22 6 226 23 44 xxxxx ， 2 4 0，故 E
42、P 有最大值，此时 x 2 b a 3 2，最大值为 9 2 2 ； 当 x 3 2 时， 2 215 2 26 2 42 yxx ， 故点 P( 3 2 ， 15 2 2 )； (3)存在，理由： 设点 M 的坐标为(m，n)，则 2 2 26 2 4 nmm ，点 N(0，s)， 当MNB 为直角时，如图， 过点 N 作 x 轴的平行线交过点 B 与 y 轴的平行线于点 H，交过点 M 与 y 轴的平行线于点 G， MNG+BNH90，MNG+GMN90， GMNBNH， NGMBHN90，MNBN， NGMBHN(AAS)， GNBH，MGNH， 即 2 2ns 且ms， 联立并解得：
43、226m (舍去正值)， 故 226m ，则点 M( 226 ， 226 )； 当NBM 为直角时，如图， 过点 B 作 y 轴的平行线交过点 N 与 x 轴的平行线于点 G，交过点 M 与 x 轴的平行线于点 H， 同理可证： MHBBGN(AAS)， 则 BHNG，即 2 2n ， 当 2 2n 时， 2 2 26 22 2 4 mm ，解得： 2 22 6m (舍去正值)， 故 2 22 6m ，则点 M(2 2 2 6 ， 2 2 )； 综上，点 M 的横坐标为 226 或2 2 2 6 【点睛】 本题考查二次函数的综合题，涉及三角形面积的求解，用胡不归原理求最值，等腰直角三角形的存在
44、性问题，解题的关键是 需要掌握这些特定题型的特定解法，熟练运用数形结合的思想去解决问题 13(2020 四川乐山市 中考真题)已知抛物线 2 yaxbxc与x轴交于( 1,0)A ，(5 0)B ，两点，C为抛物线的顶点， 抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，且 4 tan 3 CBD，如图所示 (1)求抛物线的解析式； (2)设P是抛物线的对称轴上的一个动点 过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EFPE 交抛物线于点F，连结FB、FC，求BCF的面 积的最大值； 连结PB，求 3 5 PCPB的最小值 【答案】 解：(1)根据题意，可设抛物线的解析式为：(1)(5)ya xx，
45、CD是抛物线的对称轴， (20)D， 又 4 tan 3 CBD， tan4CDBDCBD， 即(24)C， 代入抛物线的解析式，得4(2 1)(25)a，解得 4 9 a ， 二次函数的解析式为 4 (1)(5) 9 yxx 或 2 41620 999 yxx ； (2)设直线BC的解析式为 ykx b， 05 42. kb kb ， 解得 4 3 20 . 3 k b ， 即直线BC的解析式为 420 33 yx， 设 E 坐标为 420 , 33 tt ，则 F 点坐标为 2 41620 999 ,ttt ， 22 420 3 4162042840 9999993 EFttttt ， B
46、CF的面积 2 1142840 3 22999 SEFBDtt 2 273 () 322 St ， 当 7 2 t 时， BCF 的面积最大，且最大值为 3 2 ； 如图，连接AC，根据图形的对称性可知 ACDBCD，5ACBC， 3 sin 5 AD ACD AC ， 过点P作PGAC于G，则在Rt PCG中， 3 sin 5 PGPCACDPC， 3 5 PCPBPGPB， 再过点B作BHAC于点H，则PGPHBH， 线段BH的长就是 3 5 PCPB的最小值， 11 6 412 22 ABC SAB CD ， 又 15 22 ABC SACBHBH ， 5 12 2 BH ，即 24 5 BH ， 3 5 PCPB的最小值为 24 5 【点睛】 此题主要考查了二次函数的综合题型，其中涉及了待定系数法求解析式和三角形的面积最大值求法、线段和的最值问
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