1、备战备战 2021 年中考复习重难点与压轴题型专项训练年中考复习重难点与压轴题型专项训练 专题 14 二次函数中点的存在性问题 【专题训练】 一、解答题一、解答题 1(2020 四川广安市 中考真题)如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A(一 1，0)，B(3，0)两点，过点 A 的直线 l 交抛物线于点 C(2，m) (1)求抛物线的解析式 (2)点 P 是线段 AC 上一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 E，求线段 PE 最大时点 P 的坐标 (3)点 F 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 D，使得以点 A，C，D，F 为顶点的四边形是平行四边形？如果存
2、在，请直 接写出所有满足条件的点 D 的坐标；如果不存在，请说明理由 【答案】 解：(1)将 A(一 1，0)，B(3，0)两点坐标分别代入抛物线解析式中，得 01 093 bc bc ；解得： 2 3 b c 抛物线的解析式为 2 23yxx； (2)将点 C(2，m)代入抛物线解析式中，得 2 243m =-3 点 C 的坐标为(2，-3) 设直线 AC 的解析式为 y=kxd 将 A(一 1，0)和点 C(2，-3)的坐标分别代入，得 0 32 kd kd ；解得： 1 1 k d 直线 AC 的解析式为1yx 设点 P 的坐标为(x，1x )，易知点 E 的坐标为(x， 2 23xx
3、)且-1x2 PE=1x 2 23xx = 2 2xx = 2 19 24 x -10 抛物线的开口向下， 当 1 2 x 时，PE 有最大值，最大值为 9 4 此时点 P 的坐标为( 1 2 ， 3 2 )； (3)存在， 设点 D 的坐标为(n，0)，点 F 的坐标为(t， 2 23tt ) 若 AD 和 CF 为平行四边形的对角线时， AD 的中点即为 CF 的中点 2 12 22 323 00 22 nt tt 解，得 1 17t ， 2 17t 将 17t 代入，解得：n=4 7 ； 将 17t 代入，解得：n=4 7 ； 此时点 D 的坐标为(4 7 ，0)或(4 7 ，0)； 若
4、 AC 和 DF 为平行四边形的对角线时， AC 的中点即为 DF 的中点 2 12 22 023 03 22 nt tt 解，得 1 0t ， 2 2t (此时点 F 和点 C 重合，故舍去) 将0t 代入，解得：n=1； 此时点 D 的坐标为(1，0)； 若 AF 和 CD 为平行四边形的对角线时， AF 的中点即为 CD 的中点 2 12 22 023 03 22 tn tt 解，得 1 0t ， 2 2t (此时点 F 和点 C 重合，故舍去) 将0t 代入，解得：n=-3； 此时点 D 的坐标为(-3，0)； 综上：存在，此时点 D 的坐标为(4 7 ，0)或(4 7 ，0)或(1，
5、0)或(-3，0) 【点睛】 此题考查的是二次函数与几何图形的综合大题，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、利用二次函数求 最值和平行四边形的性质是解题关键 2(2020 柳州市柳林中学中考真题)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，批物线 yx24xa(a0)与 y 轴交于点 A，与 x 轴 交于 E、F 两点(点 E 在点 F 的右侧)，顶点为 M直线 2 3 yxa与 x 轴、y 轴分别交于 B、C 两点，与直线 AM 交于点 D (1)求抛物线的对称轴； (2)在 y 轴右侧的抛物线上存在点 P，使得以 P、A、C、D 为顶点的四边形是平行四边形，求 a 的值； (3)如
6、图，过抛物线顶点 M 作 MNx 轴于 N，连接 ME，点 Q 为抛物线上任意一点，过点 Q 作 QGx 轴于 G，连接 QE当 a5 时，是否存在点 Q，使得以 Q、E、G 为顶点的三角形与 MNE 相似(不含全等)？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存 在，请说明理由 【答案】 解：(1)yx24xa(x2)2a4， 抛物线的对称轴为直线 x2； (2)由 y(x2)2a4 得：A(0，a)，M(2，a4)， 由 y 2 3 xa 得 C(0，a)， 设直线 AM 的解析式为 ykxa， 将 M(2，a4)代人 ykxa 中，得 2kaa4， 解得 k2， 直线 AM 的解析式为 y2xa，
7、 联立方程组得 2 2 3 yxa yxa ，解得 3 4 1 2 xa ya ， D( 3 4 a， 1 2 a)， a0， 点 D 在第二象限， 又点 A 与点 C 关于原点对称， AC 是以 P、A、C、D 为顶点的平行四边形的对角线，则点 P 与点 D 关于原点对称， 即 P( 3 4 a， 1 2 a)， 将点 P( 3 4 a， 1 2 a)代入抛物线 yx24xa，解得 a 56 9 或 a0(舍去)， a 56 9 ； (3)存在， 理由如下：当 a5 时，yx24x5(x2)29，此时 M(2，9)， 令 y0，即(x2)290，解得 x11，x25， 点 F(1，0)E(5
8、，0)， ENFN3 MN9， 设点 Q(m，m24m5)，则 G(m，0)， EG|m5|QG|m24m5|， 又 QEG 与 MNE 都是直角三角形，且MNEQGE90， 如图所示，需分两种情况进行讨论： i)当 EGEN31 = QGMN93 时，即 2 -5 -4-5 m mm 1 3 ， 解得 m2 或 m4 或 m5(舍去)； 当 m2 时点 Q 与点 M 重合，不符合题意，舍去， 当 m4 时，此时 Q 坐标为点 Q1(4，27)； ii)当 QGEN31 = EGMN93 时，即 2 -4-5 -5 mm m 1 3 ， ， 解得 m 2 - 3 或 m 4 3 或 m5(舍去
9、)， 当 m 2 - 3 时，Q 坐标为点 Q2( 2 - 3 ， 17 - 9 )， 当 m 4 3 ，Q 坐标为点 Q3( 4 3 ，19 9 )， 综上所述，点 Q 的坐标为(4，27)或( 2 3 ， 17 9 )或( 4 3 ，19 9 ) 【点睛】 本题考查二次函数的图象和性质，平行四边形的性质和判断，相似三角形的判断和性质，综合性强，能力要求高，注意“分类 讨论”、“数形结合”数学思想的应用 3(2020 山东济南市 中考真题)如图 1，抛物线 yx2bxc 过点 A(1，0)，点 B(3，0)与 y 轴交于点 C在 x 轴上有一动 点 E(m，0)(0m3)，过点 E 作直线
10、lx 轴，交抛物线于点 M (1)求抛物线的解析式及 C 点坐标； (2)当 m1 时，D 是直线 l 上的点且在第一象限内，若 ACD 是以DCA 为底角的等腰三角形，求点 D 的坐标； (3)如图 2，连接 BM 并延长交 y 轴于点 N，连接 AM，OM，设 AEM 的面积为 S1， MON 的面积为 S2，若 S12S2，求 m 的 值 【答案】 解：(1)将点 A、B 的坐标代入抛物线表达式得 -1-b+c=0 -9+3b+c=0 ，解得 b=2 c=3 ， 故抛物线的表达式为 yx22x3， 当 x0 时，y3，故点 C(0，3)； (2)当 m1 时，点 E(1，0)，设点 D
11、的坐标为(1，a)， 由点 A、C、D 的坐标得，AC 22 0+1+ 3-0= 10， 同理可得：AD 2 a +4，CD 2 1+ a-3 ， 当 CDAD 时，即 2 a +4 2 1+ a-3 ，解得 a1； 当 ACAD 时，同理可得 a 6 (舍去负值)； 故点 D 的坐标为(1，1)或(1， 6)； (3)E(m，0)，则设点 M(m，m22m3)， 设直线 BM 的表达式为 ysxt，则 2 -m +2m+3=sm+t 0=3s+t ，解得： 1 s=- m+1 3 t= m+1 ， 故直线 BM 的表达式为 y 1 m+1 x 3 m+1 ， 当 x0 时，y 3 m+1 ，
12、故点 N(0， 3 m+1 )，则 ON 3 m+1 ； S1 1 2 AEyM 1 2 (m1)(m22m3)， 2S2ONxM 3 m+1 mS1 1 2 (m1)(m22m3)， 解得 m2 7(舍去负值)， 经检验 m 72 是方程的根， 故 m 72 【点睛】 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中(2)，要注意分类求解， 避免遗漏 4(2020 青海中考真题)如图 1(注：与图 2 完全相同)所示，抛物线 2 1 2 yxbxc 经过 B、D 两点，与 x 轴的另一个交 点为 A，与 y 轴相交于点 C (1)求抛物线的解析式 (2
13、)设抛物线的顶点为 M，求四边形 ABMC 的面积(请在图 1 中探索) (3)设点 Q 在 y 轴上，点 P 在抛物线上要使以点 A、B、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点 P 的坐标 (请在图 2 中探索) 【答案】 解：(1)根据题意，抛物线 2 1 2 yxbxc 经过 B、D 两点， 点 D 为(2， 5 2 )，点 B 为(3，0)， 则 2 2 15 ( 2)2 22 1 330 2 bc bc ，解得： 1 3 2 b c ， 抛物线的解析式为 2 13 22 yxx ； (2) 22 131 (1)2 222 yxxx， 点 M 的坐标为(1，2) 令 2
14、 13 0 22 xx， 解得： 1 1x ， 2 3x ， 点 A 为(1 ，0)； 令0 x，则 3 2 y ， 点 C 为(0， 3 2 )； OA=1，OC= 3 2 ， 过点 M 作 MEAB 于点 E，如图： 2ME ，1OE ，2BE ， 111 () 222 ABMC SOA OCOCMEOEBEME 四边形 ， 13131379 1(2) 12 22 22222442 ABMC S 四边形 ； (3)根据题意，点 Q 在 y 轴上，则设点 Q 为(0，y)， 点 P 在抛物线上，且以点 A、B、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形， 如图所示，可分为三种情况进行分析： AB 为
15、对角线时，则 11 PQ为对角线； 由平行四边形的性质， 点 E 为 AB 和 11 PQ的中点， E 为(1，0)， 点 Q1为(0，y)， 点 P1的横坐标为 2； 当2x时，代入 2 13 22 yxx ， 3 2 y ， 点 1 3 (2, ) 2 P； 当 BQ2是对角线时，AP 也是对角线， 点 B(3，0)，点 Q2(0，y)， BQ2中点的横坐标为 3 2 ， 点 A 为(1，0)， 点 P2的横坐标为 4， 当4x时，代入 2 13 22 yxx ， 5 2 y ， 点 P2的坐标为(4， 5 2 )； 当 AQ3为对角线时，BP3也是对角线； 点 A 为(1，0)，点 Q3
16、(0，y)， AQ3的中点的横坐标为 1 2 ， 点 B(3，0)， 点 P3的横坐标为 4， 当4x时，代入 2 13 22 yxx ， 21 2 y ， 点 P3的坐标为( 4， 21 2 )； 综合上述，点 P 的坐标为： 3 (2, ) 2 或(4， 5 2 )或(4， 21 2 ) 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，解一元二次方程，以及坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握二次函 数的性质进行解题，注意利用分类讨论和数形结合的思想进行分析 5(2020 贵州黔东南苗族侗族自治州 中考真题)已知抛物线 yax2+bx+c(a0)与 x 轴交于 A、B 两点(点 A
17、在点 B 的左边)，与 y 轴交于点 C(0，3)，顶点 D 的坐标为(1，4) (1)求抛物线的解析式 (2)在 y 轴上找一点 E，使得 EAC 为等腰三角形，请直接写出点 E 的坐标 (3)点 P 是 x 轴上的动点，点 Q 是抛物线上的动点，是否存在点 P、Q，使得以点 P、Q、B、D 为顶点，BD 为一边的四边形 是平行四边形？若存在，请求出点 P、Q 坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 解：(1)抛物线的顶点为(1，4)， 设抛物线的解析式为 ya(x1)24， 将点 C(0，3)代入抛物线 ya(x1)24 中，得 a43， a1， 抛物线的解析式为 ya(x1)24x22x3
18、； (2)由(1)知，抛物线的解析式为 yx22x3， 令 y0，则 x22x30， x1 或 x3， B(3，0)，A(1，0)， 令 x0，则 y3， C(0，3)， AC 10， 设点 E(0，m)，则 AE 2 1m ，CE|m+3|， ACE 是等腰三角形， 当 ACAE 时， 10 2 1m ， m3 或 m3(点 C 的纵坐标，舍去)， E(3，0)， 当 ACCE 时， 10|m+3|， m3 10， E(0，3+ 10)或(0，310)， 当 AECE 时， 2 1m |m+3|， m 4 3 ， E(0， 4 3 )， 即满足条件的点 E 的坐标为(0，3)、(0，3+ 1
19、0)、(0，310)、(0， 4 3 )； (3)如图，存在，D(1，4)， 将线段 BD 向上平移 4 个单位，再向右(或向左)平移适当的距离，使点 B 的对应点落在抛物线上，这样便存在点 Q，此时点 D 的对应点就是点 P， 点 Q 的纵坐标为 4， 设 Q(t，4)， 将点 Q 的坐标代入抛物线 yx22x3 中得，t22t34， t1+2 2或 t122， Q(1+2 2，4)或(122，4)， 分别过点 D，Q 作 x 轴的垂线，垂足分别为 F，G， 抛物线 yx22x3 与 x 轴的右边的交点 B 的坐标为(3，0)，且 D(1，4)， FBPG312， 点 P 的横坐标为(1+2
20、 2)21+22或(122)2122， 即 P(1+2 2，0)、Q(1+22，4)或 P(122，0)、Q(122，4) 【点睛】 此题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键 6(2020 江苏宿迁市 中考真题)二次函数 2 3yaxbx的图象与 x 轴交于 A(2，0)，B(6，0)两点，与 y 轴交于点 C，顶 点为 E (1)求这个二次函数的表达式，并写出点 E 的坐标； (2)如图，D 是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当 BD 的垂直平分线恰好经过点 C 时，求点 D 的坐标； (3)如图，P 是该二次函数图象上的一个动点，
21、连接 OP，取 OP 中点 Q，连接 QC，QE，CE，当 CEQ 的面积为 12 时， 求点 P 的坐标 【答案】 (1)将 A(2，0)，B(6，0)代入 2 3yaxbx， 得 4230 36630 ab ab ，解得 1 4 2 a b ， 二次函数的解析式为 2 1 23 4 yxx； 2 2 11 2341 44 yxxx， E(4，1)； (2)如图 1，图 2，连接 CB，CD，由点 C 在线段 BD 的垂直平分线 CN 上，得 CB=CD， 设 D(4，m)， 当0 x时， 2 1 233 4 yxx， C(0，3)， 2 CD = 2 CB ，由勾股定理可得： 2 2 43
22、m= 22 63 ， 解得 m=3 29， 满足条件的点 D 的坐标为(4，3+ 29)或(4，3-29)； (3)如图 3，设 CQ 交抛物线的对称轴于点 M， 设 P(n， 2 1 23 4 nn)，则 Q( 1 2 n， 2 13 82 nn)， 设直线 CQ 的解析式为3ykx，则 2 131 3 822 nnnk， 解得 13 2 4 kn n ， 于是直线 CQ 的解析式为： 13 23 4 ynx n ， 当4x时， 1312 4235 4 ynn nn ， M(4， 12 5n n )，ME= 12 51n n = 12 4n n ， S CQE=S CEM+S QEM= 11
23、121 412 222 Q ME xnn n ， 2 4600nn ， 解得10n或6n ， 当10n时，P(10，8)， 当6n 时，P(6，24) 综合以上可得，满足条件的点 P 的坐标为(10，8)或(-6，24) 【点睛】 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的面积；熟练掌 握二次函数的性质及方程思想是解题的关键 7(2020 四川绵阳市 中考真题)如图，抛物线过点 A(0，1)和 C，顶点为 D，直线 AC 与抛物线的对称轴 BD 的交点为 B( 3， 0)，平行于 y 轴的直线 EF 与抛物线交于点 E，与直线 AC 交于点
24、 F，点 F 的横坐标为 4 3 3 ，四边形 BDEF 为平行四边形 (1)求点 F 的坐标及抛物线的解析式； (2)若点 P 为抛物线上的动点，且在直线 AC 上方，当 PAB 面积最大时，求点 P 的坐标及 PAB 面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上取一点 Q，同时在抛物线上取一点 R，使以 AC 为一边且以 A，C，Q，R 为顶点的四边形为平行四边 形，求点 Q 和点 R 的坐标 【答案】 解：(1)设抛物线的解析式为 yax2+bx+c(a0)， A(0，1)，B( 3，0)， 设直线 AB 的解析式为 ykx+m， 3km0 m1 ，解得 3 3 1 k m ， 直线 AB
25、的解析式为 y 3 3 x+1， 点 F 的横坐标为 4 3 3 ， F 点纵坐标为 34 3 33 +1 1 3 ， F 点的坐标为( 4 3 3 ， 1 3 )， 又点 A 在抛物线上， c1， 对称轴为：x3 2 b a ， b2 3a， 解析式化为：yax22 3ax+1， 四边形 DBFE 为平行四边形 BDEF， 3a+116 3 a8a+1( 1 3 )， 解得 a1， 抛物线的解析式为 yx2+2 3x+1； (2)设 P(n，n2+2 3n+1)，作 PPx 轴交 AC 于点 P， 则 P(n， 3 3 n+1)， PPn2+ 7 3 3 n， S ABP 1 2 OBPP
26、2 37 22 n n 2 3749 3 6 +3 224 n ， 当 n 7 3 6 时， ABP 的面积最大为 49 3 24 ，此时 P( 7 3 6 ， 47 12 ) (3) 2 3 1 3 2 31 yx yxx ， x0 或 x 7 3 3 ， C( 7 3 3 ， 4 3 )， 设 Q( 3，m)， 当 AQ 为对角线时， R( 47 3, 33 m)， R 在抛物线 y 2 (3)x +4 上， m+ 7 3 2 4 33 3 +4， 解得 m 44 3 ， Q 44 3, 3 ，R 437 3, 33 ； 当 AR 为对角线时， R(10 7 3, 33 m)， R 在抛物
27、线 y 2 (3)x +4 上， m 2 710 33 33 +4， 解得 m10， Q( 3，10)，R( 1037 3, 33 ) 综上所述，Q 44 3, 3 ，R 437 3, 33 ；或 Q( 3，10)，R( 1037 3, 33 ) 【点睛】 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识， 熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题的关键 8(2020 广西中考真题)如图，已知抛物线 ya(x+6)(x2)过点 C(0，2)，交 x 轴于点 A 和点 B(点 A 在点 B 的左侧)，抛物线的 顶点为 D，对称
28、轴 DE 交 x 轴于点 E，连接 EC (1)直接写出 a 的值，点 A 的坐标和抛物线对称轴的表达式； (2)若点 M 是抛物线对称轴 DE 上的点，当 MCE 是等腰三角形时，求点 M 的坐标； (3)点 P 是抛物线上的动点，连接 PC，PE，将 PCE 沿 CE 所在的直线对折，点 P 落在坐标平面内的点 P处求当点 P恰好 落在直线 AD 上时点 P 的横坐标 【答案】 (1)抛物线 ya(x+6)(x2)过点 C(0，2)， 2a(0+6)(02)， a 1 6 ， 抛物线的解析式为 y 1 6 (x+6)(x2) 1 6 (x+2)2+ 8 3 ， 抛物线的对称轴为直线 x2；
29、 (2)如图 1，由(1)知，抛物线的对称轴为 x2， E(2，0)， C(0，2)， OCOE2， CE 2OC22，CED45， CME 是等腰三角形， 当 MEMC 时， ECMCED45， CME90， M(2，2)， 当 CECM 时， MM1CM2， EM14， M1(2，4)， 当 EMCE 时， EM2EM32 2， M2(2，2 2)，M3(2，22)， 即满足条件的点 M 的坐标为(2，2)或(2，4)或(2，2 2)或(2，22)； (3)如图 2， 由(1)知，抛物线的解析式为 y 1 6 (x+6)(x2) 1 6 (x+2)2+ 8 3 ， D(2， 8 3 )，
30、令 y0，则(x+6)(x2)0， x6 或 x2， 点 A(6，0)， 直线 AD 的解析式为 y 2 3 x+4， 过点 P 作 PQx 轴于 Q，过点 P作 PQDE 于 Q， EQPEQP90， 由(2)知，CEDCEB45， 由折叠知，EPEP，CEPCEP， PQEPQE(AAS)， PQPQ，EQEQ， 设点 P(m，n)， OQm，PQn， PQn，EQQEm+2， 点 P(n2，2+m)， 点 P在直线 AD 上， 2+m 2 3 (n2)+4， 点 P 在抛物线上， n 1 6 (m+6)(m2)， 联立解得，m 13241 2 (舍)或 m 13241 2 ， 即点 P
31、的横坐标为 13241 2 【点睛】 本题主要考查了二次函数的应用，结合等腰三角形、全等三角形等几何图形，熟练运用数形结合利用几何关系寻找等量关系 是解题的关键 9(2020 甘肃兰州市 中考真题)如图，抛物线 2 4yaxbx经过 A(3，6)，B(5，4)两点，与 y 轴交于点 C，连接 AB， AC，BC (1)求抛物线的表达式； (2)求证：AB 平分CAO； (3)抛物线的对称轴上是否存在点 M，使得ABM是以 AB 为直角边的直角三角形若存在，求出点 M 的坐标；若不存在， 说明理由 【答案】 解:(1)将 A(-3，0)，B(5，-4)两点的坐标分别代入， 得 9340, 255
32、44 ab ab ， 解得 1 , 6 5 , 6 a b 故抛物线的表达式为 y 2 15 4 66 yxx (2)证明：AO=3，OC=4， AC= 22 34 =5 取 D(2，0)，则 AD=AC=5 由两点间的距离公式可知 BD= 22 (52)( 40) =5 C(0，-4)，B(5，-4)， BC=5 BD=BC 在 ABC 和 ABD 中，AD=AC，AB=AB，BD=BC， ABCABD， CAB=BAD， AB 平分CAO； (3)存在如图所示：抛物线的对称轴交 x 轴与点 E，交 BC 与点 F 抛物线的对称轴为 x= 5 2 ，则 AE=11 2 A(-3，0)，B(5
33、，-4)， tanEAB= 1 2 MAB=90 tanMAE=2 ME=2AE=11， M( 5 2 ，11) 同理：tanMBF=2 又BF= 5 2 ， FM=5， M( 5 2 ，-9) 点 M 的坐标为( 5 2 ，11)或( 5 2 ，-9) 【点睛】 本题考查了二次函数的综合应用，主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的性质和判定、锐角三角函数的 定义，求得 FM 和 ME 的长是解题的关键 10(2020 辽宁葫芦岛市 中考真题)如图，抛物线 2 9 (0) 4 yaxxca与x轴相交于点( 1,0)A 和点B，与y轴 相交于点(0,3)C，作直线BC (1)求抛物
34、线的解析式； (2)在直线BC上方的抛物线上存在点D，使2 DCBABC，求点D的坐标； (3)在(2)的条件下，点F的坐标为 7 0, 2 ，点M在抛物线上，点N在直线BC上，当以,D F M N为顶点的四边形是 平行四边形时，请直接写出点N的坐标 【答案】 解：(1)：抛物线 2 9 4 yaxxc经过点( 1,0), (0,3)AB 9 0 4 3 ac c ，解得 3 4 3 a c 抛物线的解析式为 2 39 3 44 yxx (2)过点C作/CEx轴交抛物线于点E，则ECBABC 过点C作DCEABC交抛物线于点D 过点D作DHCE于点H，则90DHC 2DCBDCEECBABC
35、90 ,DHCCOBDCHABC DCHCBO DHCH COBO 设点D的横坐标为t，则 2 39 ,3 44 D ttt (0,3)C 2 39 44 DHtt 点B是 2 39 3 44 yxx 与x轴的交点 2 39 30 44 xx， 解得 12 4,1xx B 的坐标为(4,0)4OB， 2 39 44 34 tt t 解得 1 0t (舍去)， 2 2t 点D的纵坐标为： 2 399 3 442 tt 则点D坐标为 9 2, 2 (3)设直线 BC 的解析式为：ykxb， 将 C(0,3)，B(4，0)分别代入得， 3 04 b kb ，解得 3 3 4 b k ， 直线 BC
36、的解析式为： 3 3 4 yx ， 设 3 ( ,3) 4 N nn-+， 当 FD 为平行四边形的边时， 如图，当 N 点在 M 点左侧时， 则 MNDF MNDF xxxx yyyy 即 2 3 (3)1 4 M M xn yn 整理得 2 3 4 4 M M xn yn ，即 3 (2,4) 4 Mnn+-+, 故 2 39 ()()3 4 422 44 3 nnn ， 解得： 6 3 n= ? ， 此时 12 6666 ,3,3 3434 NN ； 同理当 N 点在 M 点右侧时可得 3 (2,2) 4 M nn-+， 故 2 3 222 4 39 ()()3 44 nnn ， 解得
37、66 4 3 n=? ， 此时 34 66666666 4,4, 3434 NN ； 当 FD 为平行四边形的对角线时， 则 MNDF MNDF xxxx yyyy ,即 022 9733 (3)5 2244 M M xnn ynn 故 2 39 ()()3 4 3 522 44 nnn，整理得 2 320n += ， 该方程无解 综上所述： 12 6666 ,3,3 3434 NN ， 34 66666666 4,4, 3434 NN 【点睛】 本题考查二次函数综合，分别考查了求二次函数解析式，相似三角形的性质，和二次函数与平行四边形问题(1)中直接代入 点的坐标即可，难度不大；(2)中能正
38、确作辅助线，构造相似三角形是解题关键；(3)中能分类讨论是解题关键，需注意平行四 边形对边平行且相等，可借助这一点结合图象表示 M 点坐标 11 (2020 辽宁阜新市 中考真题)如图， 二次函数 2 yxbxc的图象交 x 轴于点30A ,，10B ,， 交 y 轴于点 C 点 ,0P m是 x 轴上的一动点，PMx轴，交直线AC于点 M，交抛物线于点 N (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点 P 仅在线段AO上运动，如图 1求线段MN的最大值； 若点 P 在 x 轴上运动，则在 y 轴上是否存在点 Q，使以 M，N，C，Q 为顶点的四边形为菱形若存在，请直接写出所有 满足条件的点 Q
39、 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 解：(1)把( 3,0), (1,0)AB代入 2 yxbxc中，得 093, 01. bc xc 解得 2, 3. b c 2 23yxx (2)设直线AC的表达式为ykx b，把( 3,0),(0, 3)AC代入ykxb 得， 03, 3. kb b 解这个方程组，得 1, 3. k b 3yx 点,0P m是 x 轴上的一动点，且PMx 轴 2 ( ,3),23M mmN m mm 2 (3)23MNmmm 2 3mm 2 39 24 m 10a ， 此函数有最大值 又点 P 在线段OA上运动，且 3 30 2 当 3 2 m 时，MN有最大值
40、9 4 点,0P m是 x 轴上的一动点，且PMx轴 2 ( ,3),23M mmN m mm 2 (3)23MNmmm 2 3mm (i)当以 M，N，C，Q 为顶点的四边形为菱形，则有 MN=MC，如图， C(0，-3) MC= 222 (0)(33)2mmm 22 3 = 2mmm 整理得， 432 670mmm 2 0m ， 2 670mm ， 解得， 1 32m ， 2 32m 当 32m 时，CQ=MN=3 2 2 ， OQ=-3-(3 2 2 )= 3 2 1 Q(0， 3 2 1 )； 当 m= 32 时，CQ=MN=-3 2 2 ， OQ=-3-(-3 2 2 )=3 2 1
41、 Q(0，3 2 1 )； (ii)若 2MCMN ，如图， 则有 22 3 = 22mmm 整理得， 432 650mmm 2 0m ， 2 650mm ， 解得， 1 1m ， 2 5m 当 m=-1 时，MN=CQ=2， Q(0，-1)， 当 m=-5 时，MN=-100(不符合实际，舍去) 综上所述，点 Q 的坐标为 123 (0, 3 21),(0, 1),(0,3 21)QQQ 【点睛】 本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是待定系数法；解(2)的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的 性质，解(3)的关键是利用菱形的性质得出关于 m 的方程，要分类讨论，以防遗漏
42、 12(2020 内蒙古鄂尔多斯市 中考真题)如图 1，抛物线 yx2+bx+c 交 x 轴于 A，B 两点，其中点 A 的坐标为(1，0)，与 y 轴交 于点 C(0，3) (1)求抛物线的函数解析式； (2)点 D 为 y 轴上一点，如果直线 BD 与直线 BC 的夹角为 15，求线段 CD 的长度； (3)如图 2，连接 AC，点 P 在抛物线上，且满足PAB2ACO，求点 P 的坐标 【答案】 解：(1)抛物线 yx2+bx+c 交 x 轴于点 A(1，0)，与 y 轴交于点 C(0，3)， 01 3 bc c ，解得： 2 3 b c ， 抛物线解析式为：yx2+2x3； (2)抛物
43、线 yx2+2x3 与 x 轴于 A，B 两点， 点 B(3，0)， 点 B(3，0)，点 C(0，3)， OBOC3， OBCOCB45， 如图 1，当点 D 在点 C 上方时， DBC15， OBD30， tanDBO OD BO 3 3 ， OD 3 3 3 3， CD3 3； 若点 D 在点 C 下方时， DBC15， OBD60， tanDBO OD BO 3， OD3 3， DC3 33， 综上所述：线段 CD 的长度为 3 3或 333； (3)如图 2，在 BO 上截取 OEOA，连接 CE，过点 E 作 EFAC， 点 A(1，0)，点 C(0，3)， OA1，OC3， AC
44、 22 OAOC 1 9 10， OEOA，COECOA90，OCOC， OCEOCA(SAS)， ACOECO，CEAC 10， ECA2ACO， PAB2ACO， PABECA， S AEC 1 2 AEOC 1 2 ACEF， EF 2 3 10 3 10 5 ， CF 22 CEEF 18 10 5 4 10 5 ， tanECA EF CF 3 4 ， 如图 2，当点 P 在 AB 的下方时，设 AO 与 y 轴交于点 N， PABECA， tanECAtanPAB ON AO 3 4 ， ON 3 4 ， 点 N(0， 3 4 )， 又点 A(1，0)， 直线 AP 解析式为：y
45、3 4 x 3 4 ， 联立方程组得： 2 33 44 23 yx yxx ， 解得： 1 1 1 0 x y 或 2 2 9 4 39 16 x y ， 点 P 坐标为：( 9 4 ， 39 16 ) 当点 P 在 AB 的上方时，同理可求直线 AP 解析式为：y 3 4 x+ 3 4 ， 联立方程组得： 2 33 44 23 yx yxx ， 解得： 1 1 1 0 x y 或 2 2 15 4 57 16 x y ， 点 P 坐标为：(15 4 ， 57 16 )， 综上所述：点 P 的坐标为(15 4 ， 57 16 )，( 9 4 ， 39 16 ) 【点睛】 本题是二次函数综合题， 考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，锐角三角函数等知识， 求出 tanECA=tanPAB= 3 4 是本题的关键 13 (2020 四川眉山市 中考真题)如图 1， 抛物线 2 yxbxc 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐 标为(3,0)，点C坐标为(0,3) (1)求抛物线的表达式； (2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当PBC的面积最大时，求点P的坐标； (3)如图 2，点M为该抛物线的顶点，直线MDx轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距 离等于点N到点A的距离？若存在，求出点A的坐标；若
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