1、备战备战 2021 年中考复习重难点与压轴题型专项训练年中考复习重难点与压轴题型专项训练 专题 07 利用锐角三角函数解实际问题 【专题训练】 一、解答题一、解答题 1(2020 江西中考真题)如图 1 是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图 2 是其侧面结构示 意图，量得托板长 AB=120mm，支撑板长 CD=80mm，底座长 DE=90mm，托板 AB 固定在支撑板顶端点 C 处，且 CB=40mm， 托板 AB 可绕点 C 转动，支撑板 CD 可绕点 D 转动(结果保留小数点后一位) (1)若DCB=80，CDE=60，求点 A 到直线 DE 的距离； (2
2、)为了观看舒适，在(1)的情况下，把 AB 绕点 C 逆时针旋转 10后，再将 CD 绕点 D 顺时针旋转，使点 B 落在直线 DE 上即 可，求 CD 旋转的角度(参考数据：sin400.643,cos400.766 ，tan400.839 ，sin26.6 0.448 ， cos26.60.894,tan26.60.500 ，31.732 ) 【答案】 (1)如图所示，过点 A 作AMDE，CNDE，CPAM， 则90CPMCMDCND , 120mmAB，40mmCB， 80mmAC， 又 80DCB ，60CDE ， 100ACD，120CDM， 360909012060PCD ， 1
3、006040ACP , sin 40800.64351.44mmAPAC ， 又 60CDN,80mmCD ， 3 sin 608040 369.28 2 CNCD mm， 69.28 51.44 120.72 120.7AMmm 点 A 到直线 DE 的距离是120.7mm (2)如图所示， 根据题意可得90DCE，40mmCB，80mmCD， 401 tan 802 BC CDB DC ， 26.6CDB， 根据(1)可得60CDE ， CD 旋转的角度=60 -26.6 =33.4 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用，准确的构造直角三角形，利用三角函数的定义求解是解题的关键 2(
4、2020 浙江宁波市 中考真题)图 1 是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成当位于顶端的小挂锁打开 时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图 1 的方式立在地面上，以阻 止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位图 2 是其示意图，经测量，钢条 ABAC50cm，ABC47 (1)求车位锁的底盒长 BC (2)若一辆汽车的底盘高度为 30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位?(参考数据：sin470.73，cos470.68， tan471.07) 【答案】 解：(1)过点 A 作 AHBC 于点 H， ABAC， BHH
5、C， 在 Rt ABH 中，B47，AB50， BHABcosB50cos47500.6834， BC2BH68cm (2)在 Rt ABH 中， AHABsinB50sin47500.7336.5， 36.530， 当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位 【点睛】 本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角函数的定义，本题属于基础题型 3(2020 浙江绍兴市 中考真题)如图 1 为搭建在地面上的遮阳棚，图 2、图 3 是遮阳棚支架的示意图遮阳棚支架由相同的菱 形和相同的等腰三角形构成，滑块 E，H 可分别沿等长的立柱 AB，DC 上下移动，AFEFFG1m (1)若移动滑块使 AEEF
6、，求AFE 的度数和棚宽 BC 的长 (2)当AFE 由 60变为 74时，问棚宽 BC 是增加还是减少？增加或减少了多少？(结果精确到 0.1m参考数据： 31.73， sin370.60，cos370.80，tan370.75) 【答案】 解：(1)AEEFAF1, AEF 是等边三角形, AFE60, 连接 MF 并延长交 AE 于 K，则 FM2FK, AEF 是等边三角形, AK 1 2 , 22 3 2 FKAFAK , FM2FK 3, BC4FM4 36.926.9(m); (2)AFE74, AFK37, KFAFcos370.80, FM2FK1.60, BC4FM6.40
7、6.92, 6.926.400.5, 答：当AFE 由 60变为 74时,棚宽 BC 是减少了，减少了 0.5m. 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用,观察图形,发现直角三角形是解题的关键. 4(2020 浙江中考真题)有一种升降熨烫台如图 1 所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度图 2 是这种升降熨烫台的平面示意图AB 和 CD 是两根相同长度的活动支撑杆，点 O 是它们的连接点，OA=OC，h(cm)表示熨烫 台的高度 (1)如图 21若 AB=CD=110cm，AOC=120，求 h 的值； (2)爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为 120c
8、m 时，两根支撑杆的夹角AOC 是 74(如图 22)求该熨烫 台支撑杆 AB 的长度(结果精确到 lcm) (参考数据：sin370.6，cos370.8，sin530.8，cos530.6) 【答案】 (1)过点 B 作 BEAC 于 E， OA=OC，AOC=120， OAC=OCA=180 120 2 =30， h=BE=ABsin30=110 1 2 =55； (2)过点 B 作 BEAC 于 E， OA=OC，AOC=74， OAC=OCA=180 74 2 =53， AB=BEsin53=1200.8=150(cm)， 即该熨烫台支撑杆 AB 的长度约为 150cm 【点睛】 本
9、题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线构造直角三角形，弄清题中的数据是解本题的关键 5(2020 四川广安市 中考真题)如图所示的是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，己知真空集热管 AB 与支架 CD 所在直线相交于水箱横断面O的圆心， 支架CD与水平线AE垂直， AB=154cm， A=30， 另一根辅助支架DE=78cm， E=60 (1)求 CD 的长度(结果保留根号) (2)求 OD 的长度(结果保留一位小数参考数据： 21.414，31.732) 【答案】 解：(1)在Rt CDE 中，6078cmCEDDE， 6039 3cmCDDE sin 答：CD的长度为39 3cm；
10、 (2)设水箱半径 OD 的长度为 x 厘米，则 CO=(39 3+x)厘米，AO=(154+x)厘米， A=30， CO= 1 2 AO， 39 3+x= 1 2 (154+x)， 解得：x=154-78 3154-135.09618.9cm 答：OD的长度为 18.9cm 【点睛】 此题考查的是解直角三角形的应用和圆的基本性质，掌握利用锐角三角函数解直角三角形和圆的半径相等是解题关键 6(2020 湖南衡阳市 中考真题)小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当是示屏的边缘线 OB 与底板的边缘线 OA 所在水 平线的夹角为 120时，感觉最舒适(如图)侧面示意图为图；使用时为了散热，他在底
11、板下面垫入散热架，如图， 点 B、O、C 在同一直线上，24cmOAOB，BCAC，30OAC (1)求 OC 的长； (2)如图，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线 OB 与水平线的夹角仍保持 120，求点 B 到 AC 的距离(结果保留根号) 【答案】 解：(1)24cmOA，BC AC ，30OAC 1 12 2 OCOAcm 即 OC 的长度为 12cm (2)如图，过点 O 作 OMAC，过点 B作 BEAC 交 AC 的延长线于点 E，交 OM 于点 D，BE 即为点 B 到AC的距离， OMAC，BEAC， BEOD， MNAC， NOA=OAC=30， AOB=120， NOB=
12、90， NOB=120， BOB=120-90=30， BCAC，BEAE，MNAE， BCBE，四边形 OCED 为矩形， OBD=BOB=30，DE=OC=12cm， 在 Rt BOD 中，OBD=30，BO=BO=24cm， BD3 cosOBD= BO2 BD= 12 3cm， BE=BD+DE= 12 312 cm， 答：点 B 到AC的距离为 12 312 cm 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定和性质和直角三角形中 30 度角所对的直角边长度是斜边的一半，解题的关键是灵 活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型 7(2020 湖南益阳市 中考真题)沿江大堤经过改造后
13、的某处横断面为如图所示的梯形 ABCD，高 DH=12 米，斜坡 CD 的坡度 1:1i ，此处大堤的正上方有高压电线穿过，PD 表示高压线上的点与堤面 AD 的最近距离(P、D、H 在同一直线上)，在点 C 处测得26DCP (1)求斜坡 CD 的坡角 (2)电力部门要求此处高压线离堤面 AD 的安全距离不低于18米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？(参考数据： sin260.44 ，tan26 0.49 ，sin71 0.95 ，tan71 2.90 ) 【答案】 解(1)tan 1:1 1i ， =45； (2)延长 AD 交 PC 于点 E，过点 E 作 EFBC 于 F，如图
14、， 则四边形 DEFH 是矩形， EF=DH=12m，DE=HF，HDE=EFH=DHF=90， =45， HDC=45， HC=DH=12m， 又PCD=26， ECF=45+26=71， tan71 EF FC ，即 12 4.14 tan712.90 EF FC m， HF=HC-CF=12-4.14=7.86m， DE=7.86m， AE/BC， PED=PCH=71， 在 Rt PDE 中，tan PD PED DE ，即 tan71 7.86 PD ， 7.86 2.9022.80 18PDm， 此次改造符合电力部门的安全要求 【点睛】 本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题
15、，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 8(2020 辽宁葫芦岛市 中考真题)如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度 AB，在观测点 C 处测得大 桥主架顶端 A 的仰角为 30，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为 14，观测点与大桥主架的水平距离 CM 为 60 米，且 AB 垂直于桥面(点 A,B,C,M 在同一平面内) (1)求大桥主架在桥面以上的高度 AM；(结果保留根号) (2)求大桥主架在水面以上的高度 AB(结果精确到 1 米) (参考数据sin140.24,cos140.97,tan140.25, 31.73 ) 【答案】 解：(1)ABQ垂直
16、于桥面 90 AMCBMC 在RtAMC中，60,30CMACM tan AM ACM CM 3 tan306020 3 3 AMCM (米) 答：大桥主架在桥面以上的高度AM为20 3米 (2)在RtBMC中，60,14CMBCM tan MB BCM CM tan1460 0.2515 MBCM ABAMMB 1520 350AB (米) 答：大桥主架在水面以上的高度 AB 约为 50 米 【点睛】 本题考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数的意义，掌握锐角三角函数的意义是解决问题的前提 9(2020 四川内江市 中考真题)为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理如图，
17、正在执行巡航任 务的海监船以每小时 60 海里的速度向正东方向航行，在 A 处测得灯塔 P 在北偏东 60方向上，海监船继续向东航行 1 小时 到达 B 处，此时测得灯塔 P 在北偏东30方向上 (1)求 B 处到灯塔 P 的距离； (2)已知灯塔 P 的周围 50 海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？ 【答案】 (1)过点 P 作 PDAB 于点 D， 由题意得，AB=60(海里)，PAB=30，PBD=60， APB=PBD-PAB=60-30=30=PAB， PB=AB=60(海里)， 答：B 处到灯塔 P 的距离为 60 海里； (2)由(1)可知APB=PAB=30，
18、PB=AB=60(海里) 在 Rt PBD 中， PD=BPsin6060 3 30 3 2 (海里)， 30 3 50 ， 海监船继续向正东方向航行是安全的 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解 题的关键 10(2020 湖北随州市 中考真题)如图，某楼房 AB 顶部有一根天线 BE，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三 点 C，D，A，在点 C 处测得天线顶端 E 的仰角为60，从点 C 走到点 D，测得 CD=5 米，从点 D 测得天线底端 B 的仰角为 45，已知 A，B，E 在同一条垂直于地
19、面的直线上，AB=25 米 (1)求 A 与 C 之间的距离； (2)求天线 BE 的高度(参考数据： 31.73 ，结果保留整数) 【答案】 (1)依题意可得，在RtABD中，45ADB ， 25ADAB 米， 5CD 米，25 530ACADCD 米. 即,A C之间的距离为 30 米 (2)在RtACE中，60ACE，30AC 米， 30 tan6030 3AE (米)， 25AB 米， 30 325)(BEAEAB 米 由 3173 并精确到整数可得27BE 米 即天线BE的高度约为 27 米 【点睛】 (1)本题主要考查等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形的性质是解答本题的关键
20、(2)本题主要考查三角函数的灵活运用，正确运用三角函数是解答本题的关键 11(2020 湖北鄂州市 中考真题)鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度 CD如图所示，一架水平飞行的 无人机在 A 处测得正前方河流的左岸 C 处的俯角为，无人机沿水平线 AF 方向继续飞行 50 米至 B 处，测得正前方河流右 岸 D 处的俯角为 30 线段 AM 的长为无人机距地面的铅直高度， 点 M、 C、 D 在同一条直线上 其中tan 2,50 3MC 米 (1)求无人机的飞行高度 AM；(结果保留根号) (2)求河流的宽度 CD(结果精确到 1 米，参考数据：21.41, 31.73) 【答案
21、】 (1)由题意可得 AFMD ACM=FAC= 在 Rt ACM 中，AM=CMtanACM=CMtan 50 3 2100 3 (米); (2)如图，过点 B 作 BHMD， 在 Rt BDH 中，BDH=FBD=30，BH=100 3 DH=BHtan30=100 3 3 3 =300 米， AMDM，AMAF 四边形 ABHM 是矩形 MH=AB=50 米 CH=CM-MH=50 3-50(米) CD=DH-CH=300-(50 3-50)=350-50 3263(米) 故河流的宽度CD为 263 米 【点睛】 此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知解直角三角形的方法 12(20
22、20 山东临沂市 中考真题)如图要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足 6075 剟 ，现有一架长 5.5m 的梯子 (1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙(结果保留小数点后一位)？ (2)当梯子底端距离墙面 2.2m 时，等于多少度(结果保留小数点后一位)？此时人是否能够安全使用这架梯子？ (参考数据：sin75 0.97 ，cos75 0.26 ，tan75 3.73 ，sin23.6 0.40 ，cos56.4 0.40 ， tan21.80.40 ) 【答案】 解：(1)当ABC=75时，梯子能安全使用且它的顶端最高； 在 Rt ABC 中，有 s
23、inABC= AC AB AC=ABsinABC=5.5sin755.3； 答：安全使用这个梯子时，梯子的顶端距离地面的最大高度 AC 约为 5.3m (2)在 Rt ABC 中，有 cosABC= BC AB = 2.2 5.5 =0.4 由题目给的参考数据cos56.4 0.40 ，可知ABC=56.4 56.460，不在安全角度内； 这时人不能安全使用这个梯子， 答：人不能够安全使用这个梯子 【点睛】 此题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练掌握并能灵活运用各锐角三角函数是解答此类题的关键 13(2020 贵州贵阳市 中考真题)脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活如图是政府给贫困户新建的
24、房屋，如图是 房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高 AB 所在的直线为了测量房屋的高度，在地面上 C 点测得屋 顶 A 的仰角为 35，此时地面上 C 点、屋檐上 E 点、屋顶上 A 点三点恰好共线，继续向房屋方向走 8m 到达点 D 时，又测 得屋檐 E 点的仰角为 60，房屋的顶层横梁 EF=12m，EFCB，AB 交 EF 于点 G(点 C，D，B 在同一水平线上)(参考数据： sin350.6，cos350.8，tan350.7， 31.7 ) (1)求屋顶到横梁的距离 AG； (2)求房屋的高 AB(结果精确到1m) 【答案】 解：(1)房屋的侧面示意图是轴对称图形
25、，AB 所在直线是对称轴，EFCB， AGEF， 1 6 2 EGEF，35AEGACB 在Rt AGE中，90AGE，35AEG， tanAEG AG EG ，6EG ，tan350.7 6tan3542AG(米) 答：屋顶到横梁的距离 AG 约是 4.2 米 (2)过点 E 作EHCB于点 H，设EHx， 在Rt EDH中，90EHD，60EDH， tan EH EDH DH ， tan60 x DH ， 在Rt ECH中，90EHC，35ECH， tan EH ECH CH ， tan35 x CH 8CHDHCD， 8 tan35tan60 xx ， tan350.7， 31.7 ，
26、解得9.52x 4.2 9.52 13.72 14ABAGBG(米) 答：房屋的高 AB 约是 14 米 【点睛】 本题主要考查了仰角的定义及其解直角三角形的应用，解题时首先正确理解仰角的定义，然后构造直角三角形利用三角函数 和已知条件列方程解决问题 14(2020 河南中考真题)位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一 某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度 如图所示， 他们在地面一条水 平步道 MP 上架设测角仪， 先在点 M 处测得观星台最高点 A 的仰角为 22，然后沿 MP 方向前进 16m 到达点 N 处，测得点 A 的仰角
27、为 45测角仪的 高度为 1.6m， (1)求观星台最高点 A 距离地面的高度(结果精确到 0.1m参考数据： 220.37,220.93,220.40,21.41sincostan )； (2)“景点简介”显示，观星台的高度为 12.6m，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议 【答案】 解：(1)如图，过点 A 作 AEMN 交 MN 的延长线于点 E，交 BC 的延长线于点 D， 设 AD 的长为 xm， AEME，BCMN， ADBD，ADC=90， ACD=45， CD=AD=xm，BD=BC+CD=(16+x)m， 由题易得，四边形 BMNC 为矩形， AEME，
28、 四边形 CNED 为矩形， DE=CN=BM=1.6m， 在 Rt ABD 中，tanABD=0.40 16 ADx BDx ， 解得：10.7x ， 即 AD=10.7m，AE=AD+DE=10.7+1.6=12.3m， 答：观星台最高点 A 距离地面的高度为 12.3m (2)本次测量结果的误差为：12.6-12.3=0.3m， 减小误差的合理化建议：多次测量，求平均值 【点睛】 本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 15 (2020 四川攀枝花市 中考真题)实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动 有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，
29、 两座圆柱后面有一斜坡， 且圆柱底部到坡脚水平线MN的距离皆为100cm 王诗嬑观测到高度90cm矮圆柱的影子落在地面上， 其长为 72cm；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线 MN 互相垂直，并视太阳光 为平行光，测得斜坡坡度1:0.75i ，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题： (1)若王诗嬑的身高为 150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少 cm？ (2)猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内请直接回答这个猜想是否正确？ (3)若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为 100cm，则高圆
30、柱的高度为多少 cm？ 【答案】 解：(1)设王诗嬑的影长为 xcm， 由题意可得： 90150 72x ， 解得：x=120， 经检验：x=120 是分式方程的解， 王诗嬑的的影子长为 120cm； (2)正确， 因为高圆柱在地面的影子与 MN 垂直，所以太阳光的光线与 MN 垂直， 则在斜坡上的影子也与 MN 垂直，则过斜坡上的影子的横截面与 MN 垂直， 而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直， 高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内； (3)如图，AB 为高圆柱，AF 为太阳光， CDE 为斜坡，CF 为圆柱在斜坡上的影子， 过点 F 作 FGCE 于点 G，
31、 由题意可得：BC=100，CF=100， 斜坡坡度1:0.75i ， 14 0.753 DEFG CECG ， 设 FG=4m，CG=3m，在 CFG 中， 22 2 43100mm， 解得：m=20， CG=60，FG=80， BG=BC+CG=160， 过点 F 作 FHAB 于点 H， 同一时刻，90cm 矮圆柱的影子落在地面上，其长为 72cm， FGBE，ABBE，FHAB， 可知四边形 HBGF 为矩形， 90 72 AHAH HFBG ， AH= 9090 160 7272 BG=200， AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280， 故高圆柱的高度为 280cm. 【点睛】 本题考查了解分式方程，解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解实际物体与影长之间的关 系解决问题，属于中考常考题型
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