1、备战备战 2021 年中考复习重难点与压轴题型专项训练年中考复习重难点与压轴题型专项训练 专题 06 圆的综合问题 【专题训练】 一、解答题一、解答题 1(2020 柳州市柳林中学中考真题)如图，AB 为O 的直径，C 为O 上的一点，连接 AC、BC，ODBC 于点 E，交O 于 点 D，连接 CD、AD，AD 与 BC 交于点 F，CG 与 BA 的延长线交于点 G (1)求证： ACDCFD； (2)若CDAGCA，求证：CG 为O 的切线； (3)若 sinCAD 1 3 ，求 tanCDA 的值 【答案】 (1)证明：ODBC， CD BD , CADFCD， 又ADCCDF， AC
2、DCFD； (2)证明：连接 OC，如图 1 所示： AB 是O 的直径， ACB90， ABC+CAB90， OBOC， OBCOCB， CDAOBC，CDAGCA， OCBGCA， OCGGCA+OCAOCB+OCA90， CGOC， OC 是O 的半径， CG 是O 的切线； (3)解：连接 BD，如图 2 所示： CADCBD， ODBC， sinCADsinCBD 1 3 DE BD ，BECE， 设 DEx，ODOBr，则 OErx，BD3x 在 Rt BDE 中，BE 2222 92 2BDDExxx ， BC2BE4 2x, 在 Rt OBE 中，OE2+BE2OB2， 即(r
3、x)2+(2 2x)2r2， ， 解得：r 9 2 x， AB2r9x， 在 Rt ABC 中，AC2+BC2AB2， AC2+(4 2x)2(9x)2， AC7x 或 AC7x(舍去)， tanCDAtanCBA 7 4 2 ACx BCx 7 2 8 【点睛】 本题考查了切线的判定，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定，三角函数等知识本题综合性比较强，熟练掌握圆周 角定理，垂径定理是解题的关键 2 (2020 四川中考真题)如图， 在O 中， 弦 AB 与直径 CD 垂直， 垂足为 M， CD 的延长线上有一点 P， 满足PBDDAB 过 点 P 作 PNCD，交 OA 的延长线于点 N
4、，连接 DN 交 AP 于点 H (1)求证：BP 是O 的切线； (2)如果 OA5，AM4，求 PN 的值； (3)如果 PDPH，求证：AHOPHPAP 【答案】 (1)如图，连接 BC，OB CD 是直径， CBD=90， OC=OB， C=CBO， C=BAD，PBD=DAB， CBO=PBD， OBP=CBD=90， PBOB， PB 是O 的切线； (2)CDAB， CD 垂直平分 AB， PA=PB， OA=OB，OP=OP， PAOPBO(SSS)， OAP=OBP=90， AMO=90， OM= 22 OAAM = 22 54 =3， AOM=AOP，OAP=AMO， AO
5、MPOA， OA OP = OM OA ， 5 OP = 3 5 ， OP= 25 3 ， PNPC， NPC=AMO=90， AM PN = OM OP ， 4 PN = 3 25 3 ， PN=100 9 (3)PD=PH， PDH=PHD， PDN=PHD=AHN， NPC=90，OAP=90， NAH =NPD=90， NAHNPD， AH PD = NA NP ， APN+PNA=POA+PNA=90， APN=POA， 又PAN=PAO=90， PANOAP， PN OP = AN AP ， NA NP = AP OP ， AH PD = AH PH = AP OP ， AHOP=
6、HPAP 【点睛】 本题综合考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识， 解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题 3 (2020 广东广州市 中考真题)如图，O为等边ABC的外接圆， 半径为 2， 点D在劣弧AB上运动(不与点,A B重合)， 连接DA，DB，DC (1)求证：DC是ADB的平分线； (2)四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由； (3)若点,M N分别在线段CA，CB上运动(不含端点)，经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，DMN 的周
7、长 有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值 【答案】 (1)ABC 为等边三角形,BC=AC， ACBC ,都为 1 3 圆， AOC=BOC=120， ADC=BDC=60， DC 是ADB 的角平分线 (2)是 如图，延长 DA 至点 E，使得 AE=DB 连接 EC，则EAC=180DACDBC AEDB，EACDBC,ACBC， EACDBC(SAS)， E=CDB=ADC=60， 故 EDC 是等边三角形， DC=x，根据等边三角形的特殊性可知 DC 边上的高为 3 2 x 2 133 (2 34) 224 DBCADCEACADCCDE SSSSSSxx
8、xx (3)依次作点 D 关于直线 BC、AC 的对称点 D1、D2,根据对称性 C DMN=DM+MN+ND=D1M+MN+ND2 D1、M、N、D 共线时 DMN 取最小值 t,此时 t=D1D2, 由对称有 D1C=DC=D2C=x，D1CB=DCB，D2CA=DCA, D1CD2=D1CB+BCA+D2CA=DCB+60+DCA=120 CD1D2=CD2D1=60， 在等腰 D1CD2中,作 CHD1D2， 则在 Rt D1CH 中，根据 30特殊直角三角形的比例可得 D1H= 1 33 22 CDx ， 同理 D2H= 2 33 22 CDx t=D1D2= 33DCx x 取最大
9、值时,t 取最大值 即 D 与 O、C 共线时 t 取最大值,x=4 所有 t 值中的最大值为4 3 【点睛】 本题考查圆与正多边形的综合以及动点问题，关键在于结合题意作出合理的辅助线转移已知量 4(2020 辽宁盘锦市 中考真题)如图，BC是O的直径，AD是O的弦，AD交BC于点E，连接,AB CD，过点 E作EFAB ，垂足为F，AEFD (1)求证：ADBC； (2)点G在BC的延长线上，连接 ,2AGDAGD 求证：AG与O相切； 当 2 ,4 5 AF CE BF 时，直接写出CG的长 【答案】 (1)证明： ACAC BD ， DAEP BAEF EFAB 90BFE 90BBEF
10、 90AEFBEF 即 90AEB ADBC (2)连接AO ACAC 2AOED AOEDAG ADBC 90AEO 90AOEOAE 90DAGOME 即90OAG AGAO AO是O的半径 AG 与O相切 如图， BC 为直径，EFAB， BAC=BFE=90， ACFE， 2 5 CEAF BEBF ， CE=4， BE=10， BC=14， OA=OC=7， 7 43OE ， 在 Rt AOE 中，由勾股定理，得 22 732 10AE ， AOEDAG，90AEOAEG， AEOGEA， OEAE AEGE ，即 32 10 2 10GE ， 40 3 GE ， 4028 4 33
11、 CGGECE 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，以及等角的余角相等，解题的关键是熟 练掌握所学的知识，正确作出辅助线，从而进行解题 5(2020 山东淄博市 中考真题)如图， ABC 内接于O，AD 平分BAC 交 BC 边于点 E，交O 于点 D，过点 A 作 AFBC 于点 F，设O 的半径为 R，AFh (1)过点 D 作直线 MNBC，求证：MN 是O 的切线； (2)求证：ABAC2Rh； (3)设BAC2，求 ABAC AD 的值(用含 的代数式表示) 【答案】 解：(1)证明：如图 1，连接 OD， AD 平分BAC，BADCA
12、D， 又OD 是半径，ODBC， MNBC，ODMN，MN 是O 的切线； (2)证明：如图 2，连接 AO 并延长交O 于 H， AH 是直径，ABH90AFC， 又AHBACF， ACFAHB， ACAF AHAB ， ABACAFAH2Rh； (3)如图 3，过点 D 作 DQAB 于 Q，DPAC，交 AC 延长线于 P，连接 CD， BAC2，AD 平分BAC， BADCAD，BDCD， BADCAD，DQAB，DPAC，DQDP， Rt DQBRt DPC(HL)，BQCP， DQDP，ADAD， Rt DQARt DPA(HL)，AQAP， AB+ACAQ+BQ+AC2AQ， c
13、osBAD AQ AD ，AD cos AQ ， ABAC AD 2 cos AQ AQ 2cos (1)连接 OD， 由角平分线的性质可得BADCAD， 可得， 由垂径定理可得 ODBC， 可证 ODMN， 可得结论； (2)连接 AO 并延长交O 于 H， 通过证明 ACFAHB， 可得 ACAF AHAB ， 可得结论； (3)由“HL”可证 Rt DQBRt DPC， Rt DQARt DPA，可得 BQCP，AQAP，可得 AB+AC2AQ，由锐角三角函数可得 AD cos AQ ，即可求解 【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三
14、角形的判定和性质， 添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是本题的关键 6(2020 黑龙江大庆市 中考真题)如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交BC于点D，连接AD，过 点D作DMAC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N (1)求证：MN是O的切线； (2)求证： 2 DNBNBNAC； (3)若6BC ， 3 cos 5 C ，求DN的长 【答案】 (1)如图，连接 OD， AB 为O的直径， ADB=90， AB=AC， BD=CD，点 D 为 BC 的中点， 又AO=BO， OD 为 ABC 的中位线， ODAC， DMAC， ODMN， 故MN是O的切线 (2)ADB=
15、90， 1+3=90， DMAC， 3+5=90，2+3=90， 2=5， AB=AC，ADBC， 4=5， 1=2， 1=4， N=N， BNDDNA， BNDN DNAN ， AB=AC， BNDNDN DNBNABBNAC ， 2 DNBNBNAC (3)6BC ， BD=CD=3， 3 cos 5 C ， AC=5 cos CD C ， AB=5， 由勾股定理可得 AD=4，, 由(2)可得， BNDDNA， 3 4 BNDNBD DNANAD 3 4 BDDN， 3 4 DN AN ， 3 4 DN ABBN ，即 3 3 4 5 4 DN DN ， 解得： 60 7 DN 【点睛】
16、 本题考查圆的切线的判定、相似三角形的性质与判定和解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相关性质和判定并灵活应用 7(2020 湖南娄底市 中考真题)如图，点 C 在以AB为直径的O上，BD平分ABC交O于点 D，过 D 作BC的垂 线，垂足为 E (1)求证：DE与O相切； (2)若5,4ABBE，求BD的长； (3)请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由 【答案】 解：(1)连OD，据题意得OBOD， ODBOBD ， BD平分ABC， CBDOBD， CBDODB， /OD BC， 又DE BC ， DEOD， DE与O相切 (2)AB为O的直径可得：90ADB， 据(1)CBD OBD
17、 且90DEB， 在DBE和ABD中， EBDABDDEBADB， ， DBE ABD ， 2 BDAB BE ， 又5,4ABBE， 202 5BD (3)CEABBE 由EBDABD 得CDAD， 90 ,90ADBCED ， 2222 CDADABBD ， 222 DEBDBE ， 2222222 2()CECDDEABBEBDABBE， 由,Rt DBE Rt ABD得AB BDBE ， CEAB BE- 【点睛】 本题主要考查了圆的综合应用，结合三角形相似的知识点进行求解是解题的关键 8(2020 广西中考真题)如图，在ACE中，以AC为直径的O交CE于点,D连接,AD且,DAEAC
18、E 连接 OD并延长交AE的延长线于点,P PB与O相切于点B (1)求证：AP是O的切线： (2)连接AB交OP于点F，求证：FADDAEV: V； (3)若 1 2 tan OAF，求 AE AP 的值 【答案】 (1)证明：AC为直径 90 ,ADC 90 ,ACECAD 又 90DAEDAC o ,OAAP AP 为O的切线 2连 ,OB,PA PB为圆的切线 ,PAPB 又,OBOA OPOP OBPOAP SSSVV ,BODDOA AD 弧DB弧 FADACE ,OFAB 又,ACEDAE Q ,90FADDAEAFDADE o FADDAE AA V: V 3在RtOFA中，
19、1 2 tan OAF 设：,2 ,5OFx AFx OAx， 故 22 5APOAx 51DFODOFOAOFxQ 且FADDAEV: V ,FADDAEACE ,tan ACEtan FAD 即 51 2 x AEDF ACAFx 51555AExx 55 5 1 22 5 x AE APx 【点睛】 本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、切线长定理、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综 合性强，有一定难度，熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定与性质是解决问题的关键 9 (2020 湖北恩施土家族苗族自治州 中考真题)如图，AB是O的直径， 直线AM与O相切于点A，
20、直线BN与O 相切于点B，点C(异于点A)在AM上，点D在O上，且CDCA，延长CD与BN相交于点 E，连接AD并延 长交BN于点F (1)求证：CE是O的切线； (2)求证：BEEF； (3)如图，连接EO并延长与O分别相交于点G、H，连接BH若6AB，4AC ，求tanBHE 【答案】 (1)连接 OD， CDCA， CAD=CDA， OA=OD OAD =ODA， 直线AM与O相切于点A， CAO=CAD+OAD=90 ODC=CDA+ODA=90 CE 是O的切线； (2)连接 BD OD=OB ODB=OBD， CE 是O的切线，BF 是O的切线， OBD=ODE=90 EDB=EB
21、D ED=EB AMAB，BNAB AMBN CAD=BFD CAD=CDA=EDF BFD=EDF EF=ED BE=EF (3)过 E 点作 ELAM 于 L，则四边形 ABEL 是矩形， 设 BE=x，则 CL=4-x，CE=4+X (4+x)2=(4-x)2+62 解得：x= 9 4 9 3 4 tan 34 BE BOE OB BOE=2BHE 2 2tan3 tan 1tan4 BHE BOE BHE 解得：tanBHE= 1 3 或-3(-3 不和题意舍去) tanBHE= 1 3 【点睛】 本题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角函数/，
22、勾股定理等知识，熟练掌 握这些知识点并能熟练应用是解题的关键 10(2020 湖北孝感市 中考真题)已知ABC内接于O，ABAC，ABC的平分线与O交于点D，与AC交 于点E，连接CD并延长与O过点A的切线交于点F，记BAC (1)如图 1，若60， 直接写出 DF DC 的值为_； 当O的半径为 2 时，直接写出图中阴影部分的面积为_； (2)如图 2，若60，且 2 3 DF DC ，4DE ，求BE的长 【答案】 解：(1) 60BAC，ABAC ABC 是等边三角形， BD 平分ABC， DBC= 1 2 ABC=30， BDC=BAC=60 BCD=180-DBC-BDC=90 BD
23、 是直径， BAD=90，CD=AD 连接 AO 并延长交 BC 于 H 点， AO=BO BAH=ABO=30， AHB=180-BAH-ABC=90 AHBC AF 是O的切线 AFAH 四边形 AHCF 是矩形 AFCF ADB=BDC=60 ADF=180-ADB-BDC=60 FAD=90-ADF=30 1 2 DFDF DCAD ； 半径为 2， AO=OD=2， DBC=30， CD= 1 2 BD=2=AD， DF= 1 2 AD=1, AF= 2222 213ADDF , AOB=180-2ABO=120， AOD=180-AOB=60， 22 16016023 32 ()(
24、2 1)3 2360236023 AODFAOD AO SSSAODFAF 梯形扇形阴影 故答案为： 1 2 ； 3 32 23 ； (2)如图，连接AD，连接AO并延长交O于点H，连接DH，则90ADH， 90DAHDHA AF与O相切， 90DAHDAFFAO DAFDHA BD平分ABC， ABDCBD DHADAC， DAFDAC ABAC， AABCCB 四边形ABCD内接于O， 180ABCADC 又 180ADFADC， ADFABC 又ADB ACBABC ， ADFADB 又AD公共， ASAADFADE， 4DFDE 2 3 DF DC ， 6DC DCEABDDBC，CD
25、E公共， DCEDBC CDDE DBCD ，即 64 6DB ， 9DB 5BEDBDE 【点睛】 此题主要考查切线的判定与性质综合， 解题的关键是熟知切线的性质、 等边三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质 11(2020 湖北鄂州市 中考真题)如图所示：O与ABC的边BC相切于点 C，与AC、AB分别交于点 D、E， /DE OBDC是O的直径连接OE，过 C 作/CG OE交O于 G，连接DG、EC，DG与EC交于点 F (1)求证：直线AB与O相切； (2)求证：AE EDAC EF； (3)若 1 3,tan 2 EFACE时，过 A 作/AN CE交O于 M、N 两点(M 在
26、线段AN上)，求AN的长 【答案】 (1)DE/OB，BOC=EDC， CG/OE，DEO=BOE， 又DEO=EDC，DEO=BOE， 由题意得：EO=CO，BO=BO， BOEBOC(SAS), BEO=BCO=90, AB 是O 的切线 (2) 如图所示 DG 与 OE 交点作为 H 点, EO/GC, EHD=DGC=90, 又由(1)所知AEO=90, AE/DF, AECDFC, AEDF ACDC , 由圆周角定理可知EDG=ECG,EOD=2ECD, DO/GC, EOD=GCD=GCE+ECD, ECD=GCE=EDF, 又FED=DEC, FEDDEC, DFEF DCED
27、 , AEEF ACED ,即AE EDAC EF (3) 1 3,tan 2 EFACE,与ACE 相等角的 tan 值都相同 ED=6,则 EC=12, 根据勾股定理可得 22 36 1446 5CDEDEC EO=DO=CO=3 5 由(2)可得 1 2 AEEF ACED , 在 Rt AEO 中,可得 222 AOAEEO ,即 2 22 ACOCAEEO, 22 2 23 53 5AEAE , 解得 AE=4 5,则 AC=8 5,AO=5 5 连接 ON,延长 BO 交 MN 于点 I,根据垂径定理可知 OIMN, AN/CE,CAN=ACE 在 Rt AIO 中,可得 222
28、AOAIIO ,即 2 2 2 5 52OIOI , 解得 OI=5,则 AI=10, 在 Rt OIN 中, 222 ONINIO ,即 2 22 3 55IN , 解得 IN=2 5 AN=AI+IN=10+2 5 【点睛】 本题考查圆的综合知识及相似全等,关键在于根据条件结合知识点,特别是辅助线的做法要迎合题目给出的条件 12(2020 江西中考真题)已知MPN的两边分别与圆O相切于点A，B，圆O的半径为r (1)如图 1，点C在点A，B之间的优弧上， 80MPN ，求ACB的度数； (2)如图 2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，APB的度数应为多少？请说明理由
29、； (3)若PC交圆O于点D，求第(2)问中对应的阴影部分的周长(用含r的式子表示) 【答案】解：(1)如图 1，连接 OA、OB PA，PB 为O 的切线 PAO=PBO=90 AOB+MPN=180 MPN=80 AOB=180-MPN=100 AOB=100= 1 2 ACB=50； (2)当APB=60时，四边形 APBC 为菱形，理由如下： 如图 2：连接 OA、OB 由(1)可知AOB+APB=180 APB=60 AOB=120 ACB=60=APB 点 C 运动到 PC 距离最大 PC 经过圆心 PA、PB 为O 的切线 四边形 APBC 为轴对称图形 PA=PB，CA=CB，
30、PC 平分APB 和ACB. APB=ACB=60 APO=BPO=ACP=BCP=30 PA =PB=CA =CB 四边形 APBC 为菱形； (3)O 的半径为 r OA=r，OP=2 r AP= 3r，PD=r AOP=60 60 1803 AD r lr C阴影31 3 D PAPDlr 【点睛】 本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、菱形的判定、弧长公式以及有关圆的最值问题，考查知识点较多，灵活应用所学 知识是解答本题的关键 13(2020 内蒙古鄂尔多斯市 中考真题)我们知道，顶点坐标为(h，k)的抛物线的解析式为 ya(xh)2+k(a0)今后我们还会 学到，圆心坐标为(a，b)
31、，半径为 r 的圆的方程(xa)2+(yb)2r2，如：圆心为 P(2，1)，半径为 3 的圆的方程为(x+2)2+(y 1)29 (1)以 M(3，1)为圆心， 3为半径的圆的方程为 (2)如图，以 B(3，0)为圆心的圆与 y 轴相切于原点，C 是B 上一点，连接 OC，作 BDOC，垂足为 D，延长 BD 交 y 轴于 点 E，已知 sinAOC 3 5 连接 EC，证明：EC 是B 的切线； 在 BE 上是否存在一点 Q，使 QBQCQEQO？若存在，求点 Q 的坐标，并写出以 Q 为圆心，以 QB 为半径的Q 的 方程；若不存在，请说明理由 【答案】 解：(1)以 M(3，1)为圆心
32、， 3为半径的圆的方程为(x+3) 2+(y+1)23， 故答案为：(x+3)2+(y+1)23； (2)OE 是B 切线， BOE90， CBOB，BDCO， CBEOBE， 又BCBO，BEBE， CBEOBE(SAS)， BCEBOE90， BCCE， 又BC 是半径， EC 是B 的切线； 如图，连接 CQ，QO， 点 B(3，0)， OB3， AOC+DOE90，DOE+DEO90， AOCBEO， sinAOC 3 5 sinBEO BO BE 3 BE ， BE5， OE 22 BEOB 259 4， 点 E(0，4)， QBQCQEQO， 点 Q 是 BE 的中点， 点 B(3
33、，0)，点 E(0，4)， 点 Q( 3 2 ，2)， 以 Q 为圆心，以 QB 为半径的Q 的方程为(x+ 3 2 )2+(y2)2 25 4 【点睛】 本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，理解圆的方程定义是本题的关 键 14(2020 四川绵阳市 中考真题)如图，在矩形 ABCD 中，对角线相交于点 O，M 为 BCD 的内切圆，切点分别为 N，P， Q，DN4，BN6 (1)求 BC，CD； (2)点 H 从点 A 出发，沿线段 AD 向点 D 以每秒 3 个单位长度的速度运动，当点 H 运动到点 D 时停止，过点 H 作 HIBD 交 AC
34、 于点 I，设运动时间为 t 秒 将 AHI 沿 AC 翻折得 A H I， 是否存在时刻 t， 使点 H 恰好落在边 BC 上？若存在， 求 t 的值； 若不存在， 请说明理由； 若点 F 为线段 CD 上的动点，当 OFH 为正三角形时，求 t 的值 【答案】 解：(1)M 为 BCD 的内切圆，切点分别为 N，P，Q，DN4，BN6， BPBN6，DQDN4，CPCQ，BDBN+DN10， 设 CPCQa，则 BC6+a，CD4+a， 四边形 ABCD 是矩形， BCD90， BC2+CD2BD2，即(6+a)2+(4+a)2102， 解得：a2， BC6+28，CD4+26； (2)存
35、在时刻 t 25 12 s，使点 H恰好落在边 BC 上；理由如下： 如图 1 所示： 由折叠的性质得：AHIAHI，AHAH3t， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC8，ADBC，BCD90，OAOC 1 2 AC，OBOD 1 2 BD，ACBD， ACBD 22 BCCD 22 86 10，OAOD5， ADOOAD， HIBD， AHIADO， AHIAHIADOOADACH， AIHAHC， AH AC AI AH ， AH2AIAC， HIBD， AIHAOD， AI AO AH AD ，即 5 AI 3 8 t ， 解得：AI 15 8 t， (3t)2 15 8 t10， 解
36、得：t 25 12 ， 即存在时刻 t 25 12 s，使点 H恰好落在边 BC 上； 作 PHOH 于 H，交 OF 的延长线于 P，作 OMAD 于 M，PNAD 于 N，如图 2 所示： 则 OMCDPN，OMHHNP90，OM 是 ACD 的中位线， OM 1 2 CD3， OFH 是等边三角形， OFFH，OHFHOF60， FHPHPO30， FHFPOF，HP 3OH， DF 是梯形 OMNP 的中位线， DNDM4， MHO+MOHMHO+NHP90， MOHNHP， OMHHNP， OM HN OH HP 1 3 ， HN 3OM33， DHHNDN3 34， AHADDH1
37、23 3， t AH 3 4 3， 即当 OFH 为正三角形时，t 的值为(4 3)s 【点睛】 本题是圆的综合题目，考查了切线长定理、矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等边三角形的 性质、含 30角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握切线长定理、 相似三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键 15(2020 四川广元市 中考真题)在Rt ABC中， 90ACB ，OA 平分BAC交 BC 于点 O，以 O 为圆心，OC 长为 半径作圆交 BC 于点 D (1)如图 1，求证：AB 为O的切线； (2)如图 2，AB 与
38、O相切于点 E，连接 CE 交 OA 于点 F 试判断线段 OA 与 CE 的关系，并说明理由 若:1:2,3OF FCOC，求tanB的值 【答案】 解：(1)如图，过点 O 作 OGAB，垂足为 G， OA 平分BAC交 BC 于点 O， OG=OC， 点 G 在O上， 即 AB 与O相切； (2)OA 垂直平分 CE，理由是： 连接 OE， AB 与O相切于点 E，AC 与O相切于点 C， AE=AC， OE=OC， OA 垂直平分 CE； :1:2,3OF FCOC， 则 FC=2OF，在 OCF 中， 2 22 23OFOF， 解得：OF= 3 5 5 ，则 CF= 6 5 5 ，
39、由得：OACE， 则OCF+COF=90，又OCF+ACF=90， COF=ACF，而CFO=ACO=90， OCFOAC， OCOFCF OAOCAC ，即 3 56 5 3 55 3OAAC ， 解得：AC=6， AB 与圆 O 切于点 E， BEO=90，AC=AE=6，而B=B， BEOBCA， BEOEBO BCACAB ，设 BO=x，BE=y， 则 3 366 yx xy ， 可得： 693 6318 yx xy ， 解得： 5 4 x y ，即 BO=5，BE=4， tanB= OE BE = 3 4 . 【点睛】 本题考查了圆的综合，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，
40、二元一次方程组的应用，有一定难度，解题要合理选 择相似三角形得出结论. 16 (2020 黑龙江哈尔滨市 中考真题)已知O是ABC的外接圆， AD 为O的直径，ADBC， 垂足为 E， 连接 BO， 延长 BO 交 AC 于点 F (1)如图 1，求证：3BFCCAD ； (2)如图 2，过点 D 作/DGBF，交O于点 G，点 H 为 GD 的中点，连接 OH，求证：BEOH； (3)如图 3，在(2)的条件下，连接 CG，若,DGDEAOF的面积为 9 2 5 ，求线段 CG 的长 【答案】 解：(1)AD 为O的直径，ADBC， =BD CD，BE=CE， BAD=CAD， BOD=2B
41、AD， BOD=2CAD， BOD=AOF， AOF=2CAD， BFC=AOF+CAD， BFC=2CAD+CAD=3CAD； (2)连接 OG， 点 H 为 GD 的中点，OG=OD， DH=GH，OHDG， ADBC， AEB=OHD=90， DGBF， BOH=OHD=90， 即DOH+BOD=90， BOD+OBE=90， OBE=DOH， 又OB=OD， OBEDOH， BE=OH； (3)如图，连接 AG，过 A 点作 AMCG 于点 M，过 F 点作 FNAD 于点 N， 由(2)可知 DH=OE， DG=2DH=2OE，DG=DE， DE=2OE， 设 OE=m，则 DE=2
42、m， OB=OD=OA=3m， AE=4m， 在 Rt OBE 中，BE= 22 OBOE =2 2m， CE=BE=2 2m，tanBOE= BE OE = 2 2m m =2 2，tanEAC= CE AE = 2 2 4 m m = 2 2 ， tanAOF=tanBOE=2 2， NF ON =2 2， 设 ON=a，则 NF=2 2a， tanEAC= 2 22 2 NFa ANAN ， AN=4a， AN+NO=AO， 4a+a=3m， a= 3 5 m， FN=2 2 3 5 m= 6 2 5 m， S AOF= 1 2 OA FN= 9 2 5 ， 1 2 3m6 2 5 m=
43、 9 2 5 ， m2=1， m=1， m0， m=1， DH=1，OD=3，由(2)得 BE=CE=OH=2 2，AE=4， 在 Rt AEC 中 AC 22 AECE =2 6， OD=OA，DH=HG， AG=2OH=4 2， ADG+ACG=180，ACM+ACG=180， ADG=ACM， cosADG=cosACM， DHCM DOAC ， 1 = 32 6 CM ， CM= 2 6 3 ， 在 Rt ACM 中，AM= 22 ACCM = 8 3 3 ， 在 Rt AGM 中，GM= 22 AGAM = 4 6 3 ， CG=GM-CM= 2 6 3 【点睛】 本题考查了圆周角定
44、理，全等三角形的性质和判定，锐角三角函数，垂径定理，勾股定理，掌握知识点灵活运用是解题关键 17(2020 四川成都市 中考真题)如图，在ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画O，O 与边AB 相切于点D，ACAD，连接OA交O 于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F (1)求证：AC 是O 的切线； (2)若10AB， 4 tan 3 B ，求O 的半径； (3)若F是AB的中点，试探究BDCE 与AF的数量关系并说明理由 【答案】 解：(1)如图，连接 OD， O 与边 AB 相切于点 D， ODAB，即ADO=90， AO=AO，AC=AD，OC=OD， ACOADO(SS
45、S)， ADO=ACO=90， 又OC 是半径， AC 是O 的切线； (2)在 Rt ABC 中，tanB= 4 3 = AC BC ， 设 AC=4x，BC=3x， AC2+BC2=AB2， 16x2+9x2=100， x=2， BC=6， AC=AD=8，AB=10， BD=2， OB2=OD2+BD2， (6-OC)2=OC2+4， OC= 8 3 ， 故O 的半径为 8 3 ； (3)连接 OD，DE， 由(1)可知： ACOADO， ACO=ADO=90，AOC=AOD， 又CO=DO，OE=OE， COEDOE(SAS)， OCE=ODE， OC=OE=OD， OCE=OEC=O
46、ED=ODE， DEF=180-OEC-OED=180-2OCE， 点 F 是 AB 中点，ACB=90， CF=BF=AF， FCB=FBC， DFE=180-BCF-CBF=180-2OCE， DEF=DFE， DE=DF=CE， AF=BF=DF+BD=CE+BD 【点睛】 本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识， 灵活运用这些性质进行推理是本题的关键 18 (2020 四川遂宁市 中考真题)如图， 在 Rt ABC 中， ACB90， D 为 AB 边上的一点， 以 AD 为直径的O 交 BC 于点 E， 交 AC 于点 F，过点 C 作 CGAB 交 AB 于点 G，交 AE 于点 H，过点 E 的弦 EP 交 AB 于点 Q(EP 不是直径)，点 Q 为弦 EP 的中点，连结 BP，BP 恰好为O 的切线 (1)求证：BC 是O 的切线 (2)求证：EF ED (3)若 si
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