1、备战备战 2021 年中考复习重难点与压轴题型专项训练年中考复习重难点与压轴题型专项训练 专题 05 四边形的综合问题 【专题训练】 一、解答题一、解答题 1(2020 广西贵港市 中考真题)已知：在矩形 ABCD 中，AB=6， 2 3AD ，P 是 BC 边上的一个动点，将矩形 ABCD 折叠， 使点 A 与点 P 重合，点 D 落在点 G 处，折痕为 EF (1)如图 1，当点 P 与点 C 重合时，则线段 EB=_，EF=_； (2)如图 2，当点 P 与点 B，C 均不重合时，取 EF 的中点 O，连接并延长 PO 与 GF 的延长线交于点 M，连接 PF，ME，MA 求证：四边形
2、MEPF 是平行四边形： 当 1 tan 3 MAD时，求四边形 MEPF 的面积 【答案】 解：(1)EB= 2 ，EF= 4 ； 过点 F 作 FHAB， 折叠后点 A、P、C 重合 AECE，FEAFEC， CDAB CFEFEA， CFEFEC， CFCEAE， 设 AECECFx，BEABAE6x， 在 Rt BCE 中，由勾股定理可得 222 BCBECE ，即 2 2 2 2 36xx 解得： x4，即 AECECF4 BE2、DF2， DAFHA90 四边形 DAHF 是矩形， FH 2 3AD 、EHABBEAH6222 在 Rt EFH 中，由勾股定理可得: 2 222 2
3、 32EFFHEH 4 (2)证明：如图 2， 在矩形ABCD中，/CD AB， 由折叠(轴对称)性质，得：/MG PE， MFOPEO， 点O是EF的中点，OFOE， 又FOMEOP，FOMEOP， MFPE，四边形MEPF是平行四边形： 如图 2，连接PA与EF交于点H，则EFPA且PHAH， 又由知：POMO，/MA EF，则MAPA， 又DABA，MADPAB ， 1 tantan 3 MADPAB 在Rt PAB， 1 tan 3 PB PAB AB ， 而6AB，2PB ， 又在Rt PEB中，若设PEx，则6BEx， 由勾股定理得： 2 22 62xx，则 10 3 PEx， 而
4、PGMG且 2 3PGAD ， 又四边形MEPF是平行四边形， 四边形MEPF的面积为 1020 3 2 3 33 PEPG 【点睛】 本题主要考查矩形与翻折的问题，涉及到勾股定理、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及其性质、翻折的性质、 正切的有关知识，解题的关键是熟练掌握所学知识并且学会作辅助线 2 (2020 山东青岛市 中考真题)已知： 如图， 在四边形ABCD和RtEBF中，/AB CD，CDAB， 点C在EB上， 90ABCEBF，8ABBEcm，6BCBFcm，延长DC交EF于点M，点P从点A出发， 沿AC方向匀速运动，速度为2cm s；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速
5、运动，速度为1cm s，过点P作 GHAB 于点H，交CD于点G设运动时间为 05t st 解答下列问题： (1)当t为何值时，点M在线段CQ的垂直平分线上？ (2)连接PQ，作QNAF于点N，当四边形PQNH为矩形时，求t的值； (3)连接QC，QH，设四边形QCGH的面积为 2 S cm，求S与t的函数关系式； (4)点P在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在AFE 的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由 【答案】 (1)当t= 3 2 时，点M在线段CQ的垂直平分线上，理由为： 由题意，CE=2，CMBF， CMCE BFBE 即： 2 68 CM ， 解得：CM= 3
6、 2 ， 要使点M在线段CQ的垂直平分线上， 只需 QM=CM= 3 2 ， t= 3 2 ； (2)如图，90ABCEBF，8ABBE，6BCBF， AC=10，EF=10，sinPAH= 3 5 BC AC ，cosPAH= 4 5 AB AC ，sinEFB= 4 5 BE EF ， 在 Rt APH 中，AP=2t， PH=AP sinPAH= 6 5 t， 在 Rt ECM 中，CE=2,CM= 3 2 ,由勾股定理得：EM= 5 2 ， 在 Rt QNF 中，QF=10-t- 5 2 = 15 2 t， QN=QF sinEFB=( 15 2 t) 4 5 = 4 6 5 t， 四
7、边形PQNH为矩形， PH=QN， 6 5 t= 4 6 5 t， 解得：t=3； (3)如图，过 Q 作 QNAF 于 N， 由(2)中知 QN= 4 6 5 t，AH=AP cosPAH= 8 5 t， BH=GC=8- 8 5 t， GM=GC+CM= 83198 8 5225 tt，HF=HB+BF= 8 14 5 t， QHFCMQGHFM SSSS 梯形 = 111 () 6(6) 222 GMHFHF QNCMQN = 1 19881841 34 (14) 6(14) (6)(66) 22552552 25 ttttt = 2 16157 2552 tt， S 与 t 的函数关系
8、式为： 2 16157 2552 Stt ； (4)存在，t= 7 2 证明：如图，延长 AC 交 EF 于 T， AB=BF,BC=BF, 90ABCEBF， ABCEBF， BAC=BEF， EFB+BEF=90 ， BAC+EFB=90 ， ATE=90 即 PTEF， 要使点P在AFE的平分线上，只需 PH=PT， 在 Rt ECM 中，CE=2,sinBEF= 3 5 CTBF CEEF ， CT=CE sinBEF = 6 5 ， PT=10+ 6 5 -2t= 56 2 5 t，又 PH= 6 5 t， 6 5 t= 56 2 5 t， 解得：t= 7 2 【点睛】 本题属于四边
9、形的综合题，考查了解直角三角形、锐角三角函数、垂直平分线、角平分线、矩形的性质、全等三角形的判定 与性质、多边形的面积等知识、解答的关键是认真审题，分析相关知识，利用参数构建方程解决问题，是中考常考题型 3(2020 辽宁鞍山市 中考真题)在矩形ABCD中，点 E 是射线BC上一动点，连接AE，过点 B 作BFAE于点 G， 交直线CD于点 F (1)当矩形ABCD是正方形时，以点 F 为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH，连接EH 如图 1，若点 E 在线段BC上，则线段AE与EH之间的数量关系是_，位置关系是_； 如图 2，若点 E 在线段BC的延长线上，中的结论还成立吗
10、？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由； (2)如图 3，若点 E 在线段BC上，以BE和BF为邻边作BEHF，M 是BH中点，连接GM，3AB ，2BC ， 求GM的最小值 【答案】 解：(1)四边形 ABCD 为正方形， AB=BC，ABC=BCD=90，即BAE+AEB=90， AEBF， CBF+AEB=90， CBF=BAE，又 AB=BC，ABE=BCF=90， ABEBCF(AAS)， BE=CF，AE=BF， FCH 为等腰直角三角形， FC=FH=BE，FHFC，而 CDBC， FHBC， 四边形 BEHF 为平行四边形， BFEH 且 BF=EH， AE=EH，AE
11、EH， 故答案为：相等；垂直； 成立，理由是： 当点 E 在线段 BC 的延长线上时， 同理可得： ABEBCF(AAS)， BE=CF，AE=BF， FCH 为等腰直角三角形， FC=FH=BE，FHFC，而 CDBC， FHBC， 四边形 BEHF 为平行四边形， BFEH 且 BF=EH， AE=EH，AEEH； (2)EGF=BCD=90， C、E、G、F 四点共圆， 四边形 BCHF 是平行四边形，M 为 BH 中点， M 也是 EF 中点， M 是四边形 BCHF 外接圆圆心， 则 GM 的最小值为圆 M 半径的最小值， AB=3，BC=2， 设 BE=x，则 CE=2-x， 同(
12、1)可得：CBF=BAE， 又ABE=BCF=90， ABEBCF， ABBE BCCF ，即 3 2 x CF ， CF= 2 3 x ， EF= 22 CECF = 2 22 2 3 x x = 2 13 44 9 xx ， 设 y= 2 13 44 9 xx， 当 x=18 13 时，y 取最小值 16 13 ， EF 的最小值为 4 13 13 ， 故 GM 的最小值为 2 13 13 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，二次函数的最值，圆的性质，难度较 大，找出图形中的全等以及相似三角形是解题的关键 4 (2020 内蒙古赤峰市 中考
13、真题)如图， 矩形ABCD中， 点P为对角线AC所在直线上的一个动点， 连接 PD， 过点P作PEPD， 交直线 AB 于点 E，过点 P 作 MNAB，交直线 CD 于点 M，交直线 AB 于点 N. 4 3AB ，AD =4. (1)如图 1，当点 P 在线段 AC 上时，PDM 和EPN 的数关系为:PDM_ EPN； DP PE 的值是 ； (2)如图 2，当点 P 在 CA 延长线上时，(1)中的结论是否成立?若成立，请证明；若不成立，说明理由； (3)如图 3，以线段 PD ，PE 为邻边作矩形 PEFD.设 PM 的长为 x，矩形 PEFD 的面积为 y.请直接写出 y 与 x
14、之间的函数关系 式及 y 的最小值. 【答案】 (1)PEPD， DPE=90， DPM+EPN=90， MNAB， PMD=PNE=90， PDM+DPM=90， PDM=EPN； 故答案为：=； CD= 4 3AB ，AD =4，ADC=90， tanACD= 43 34 3 AD CD , ACD=30， 设 MP=x，则 NP=4-x， MC= 3MP=3x，DM=4 3-3x=3(4-x)， PDM=EPN，PMD=PNE=90， PDMEPN， DP PE = 3(4) 4 DMx PNx = 3， 故答案为： 3； (2)成立， 设 NP=a，则 MP=4+a， ACD=30，
15、MC= 3(4+a)， MD= 3(4+a)-43=3a， 由(1)同理得PDM=EPN，PMD=PNE=90， PDMEPN， DP PE = 3 3 MDa NPa ， (3)PM=x， PN=4-x，EN= 3 3 x， 222222 34 (4)()816 33 PEPNENxxxx ， 2 4 816 3 PExx ， 2 4 3816 3 PDxx ， 矩形 PEFD 的面积为 y= 22 44 3 3(816)(3)4 3 33 PE PDxxx ， 4 3 3 0， 当 x=3 时，y 有最小值为4 3. 【点睛】 此题考查矩形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定及性质，勾股
16、定理，利用面积公式得到函数关系式及最小值，解答 此题中运用类比思想. 5(2020 湖南益阳市 中考真题)定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称 为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题： (1)如图 1， 正方形ABCD中，E是CD上的点， 将BCE绕B点旋转， 使BC与BA重合， 此时点E的对应点F在DA 的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？ (2)如图 2， 已知四边形ABCD是“直等补”四边形，5ABBC，1CD，ADAB， 点B到直线AD的距离为BE 求BE的长 若M、N分别是AB、AD
17、边上的动点，求MNC 周长的最小值 【答案】 (1)如图 1 由旋转的性质得：F=BEC，ABF=CBE，BF=BE BEC+BED=180，CBE+ABE=90， F+BED=180， ABF+ABE=90即FBE=90， 故满足“直等补”四边形的定义， 四边形BEDF为“直等补”四边形； (2)四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC， A+BCD=180，ABC=D=90， 如图 2，将 ABE 绕点 B 顺时针旋转 90得到 CBF， 则F=AEB=90，BCF+BCD=180，BF=BE D、C、F 共线， 四边形 EBFD 是正方形， BE=FD， 设 BE=x，则 CF=x-
18、1， 在 Rt BFC 中，BC=5， 由勾股定理得： 22 (1)25xx，即 2 120 xx ， 解得：x=4 或 x=3(舍去)， BE=4 (3)如图 3，延长 CD 到 P，使 DP=CD=1，延长 CB 到 T，使 TB=BC=5, 则 NP=NC，MT=MC, MNC 的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NPPT 当 T、M、N、P 共线时， MNC 的周长取得最小值 PT， 过 P 作 PHBC，交 BC 延长线于 H， F=PHC=90,BCF=PCH, BCFPCH, BCBFCF PCPHCH , 即 543 2PHCH ， 解得： 68 , 55 CHPH, 在 R
19、t PHT 中，TH= 656 55 55 , 22 8 2PTPHHT , MNC周长的最小值为8 2 【点睛】 本题是一道四边形的综合题，涉及旋转的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程、相似三角形的判定与性 质、垂直平分线性质、动点的最值问题等知识，解答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关信息的联系点，借用类比等解 题方法确定解题思路，进而进行推理、探究、发现和计算 6(2020 吉林中考真题)能够完全重合的平行四边形纸片ABCD和AEFG按图方式摆放，其中5ADAG， 9AB 点D，G分别在边AE，AB上，CD与FG相交于点H (探究)求证：四边形AGHD是菱形 (操作一)
20、固定图中的平行四边形纸片ABCD，将平行四边形纸片AEFG绕着点A顺时针旋转一定的角度，使点F与点 C重合，如图，则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为_ (操作二)四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点B重合，连接DG，CF，如图若 4 sin 5 BAD，则四边形DCFG的面积为_ 【答案】 探究：四边形ABCD和AEFG都是平行四边形 /,/AE GF AB DC，即/,/AD GH AG DH 四边形AGHD是平行四边形 又5ADAG 平行四边形AGHD是菱形； 操作一：如图，设 AE 与 DF 相交于点 H，AB 与 FG 相交于点 M 四边形ABCD
21、和AEFG是两个完全重合的平行四边形 ,ADFEDE ， 9DFAB 在ADH和FEH中， DE AHDFHE ADFE ()ADHFEH AAS AHFH ，ADH和FEH的周长相等 同理可得：ADHFEHFBMAGM ADH、FEH、FBM、AGM的周长均相等 又5,9ADDFAB ADH的周长为14 ADH LADDHAHADDHFHADDF 则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为44 1456 ADH L 故答案为：56； 操作二：如图，设 AB 与 DG 相交于点 N 四边形ABCD和AEFG是两个完全重合的平行四边形 5,9,/ADAGCDFGABBADBAG CD AB
22、FG ADG是等腰三角形，且AB平分DAG ABDG ， 1 2 DNNGDG CDDG 在Rt ADN 中， 4 sin 5 DN NAD AD ，即 4 55 DN 解得4DN 28DGDN 又/,CD FG CDFG 四边形DCFG是平行四边形 CDDG ，即90CDG 平行四边形DCFG是矩形 则四边形DCFG的面积为8 972DG CD 故答案为：72 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、菱形的判定、矩形的判定、正弦三角函数等知识点，熟记 并灵活运用各判定定理与性质是解题关键 7(2020 广东深圳市 中考真题)背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正
23、方形按背景图位置摆放(点 E，A，D 在同一条直 线上)，发现 BE=DG 且 BEDG小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答： (1)将正方形 AEFG 绕点 A 按逆时针方向旋转，(如图 1)还能得到 BE=DG 吗？如果能，请给出证明如若不能，请说明理由： (2)把背景中的正方形分别改为菱形 AEFG 和菱形 ABCD，将菱形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转，(如图 2)试问当EAG 与 BAD 的大小满足怎样的关系时，背景中的结论 BE=DG 仍成立？请说明理由； (3)把背景中的正方形改成矩形 AEFG 和矩形 ABCD，且 2 3 AEAB AGAD ，AE=4，AB=8，
24、将矩形 AEFG 绕点 A 按顺时针方 向旋转(如图 3)，连接 DE，BG小组发现：在旋转过程中， BG2+DE2是定值，请求出这个定值 【答案】 (1)证明：四边形 ABCD 为正方形 AB=AD， 90DAB 四边形 AEFG 为正方形 AE=AG， 90EAG EABGAD 在 EAB 和 GAD 中有： AEAG EABGAD ABAD EABGAD BE=DG； (2)当EAG=BAD 时，BE=DG 成立。 证明：四边形 ABCD 菱形 AB=AD 四边形 AEFG 为正方形 AE=AG EAG=BAD EAGGABDABCAB EABGAD 在 EAB 和 GAD 中有： AE
25、AG EABGAD ABAD EABGAD BE=DG； (3)连接 EB，BD,设 BE 和 GD 相交于点 H 四边形 AEFG 和 ABCD 为矩形 90EAGBAD EABGAD AEAB AGAD EABGAD AEBAGD 90GHEEAC 222222 ,DEEHHDBGGHHB 222222223322 BGDEGHHBEHHDGHEHHBHDEGBD 22222 4652EGAEAG ， 22222 BD812208ABAD 22 260BGDE 【点睛】 本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定 与性质等知
26、识点，灵活运用所学知识是解答本题的关键 8(2020 山西中考真题)综合与实践 问题情境： 如图， 点E为正方形ABCD内一点，90AEB ， 将R t A B E绕点B按顺时针方向旋转90， 得到CBE(点A 的对应点为点C)，延长AE交 CE 于点F，连接DE 猜想证明： (1)试判断四边形BE FE的形状，并说明理由； (2)如图，若DADE，请猜想线段CF与 FE 的数量关系并加以证明； 解决问题： (3)如图，若15AB，3CF ，请直接写出DE的长 【答案】 解：(1)四边形BE FE是正方形 理由：由旋转可知：90EAEB，90EBE，BEBE 又180AEBFEB，90AEB
27、90FEB 四边形BE FE是矩形 BE BE 四边形BE FE是正方形； (2)CF FE 证明：如图，过点D作DH AE ，垂足为H， 则90DHA，1390 DADE 1 2 AHAE 四边形ABCD是正方形， ABDA ，90DAB 2190 23 90AEBDHA， AEBDHA AHBE BE E F AH E F CEAE ， 1 2 FECE CF FE ； (3)如图：过 E 作 EGAD GE/AB 1=2 设 EF=x，则 BE=FE=EF=BE=x，CE=AE=3+x 在 Rt AEB 中，BE=x，AE=x+3，AB=15 AB2=BE2+AE2，即 152=x2+(
28、x+3)2，解得 x=-12(舍)，x=9 BE=9,AE=12 sin1= 93 155 BE AB ,cos1= 124 155 AE AB sin2= 3 125 AGAG AE ,cos2= 4 125 GEGE AE AG=7.2,GE=9.6 DG=15-7.2=7.8 DE= 22 7.89.61533 17 【点睛】 本题考查了正方形的性质、旋转变换、勾股定理、解三角形等知识，综合应用所学知识是解答本题的关键 9 (2020 湖南邵阳市 中考真题)已知： 如图， 将一块45角的直角三角板DEF与正方形ABCD的一角重合， 连接,AF CE， 点 M 是CE的中点，连接DM (1
29、)请你猜想AF与DM的数量关系是_ (2)如图，把正方形ABCD绕着点 D 顺时针旋转角(090a) AF与DM的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(温馨提示：延长DM到点 N，使 MNDM ，连接CN) 求证：AFDM； 若旋转角45，且2EDMMDC ，求 AD ED 的值(可不写过程，直接写出结果) 【答案】 (1)猜想AF与DM的数量关系是 AF=2DM， 故答案为：AF=2DM； (2)AF=2DM 仍然成立， 理由如下：延长DM到点 N，使MNDM，连接CN， M 是 CE 中点， CM=EM 又CMN=EMD， MNCMDE CN=DE=DF,MNC=MD
30、E CNDE， 又 ADBC NCB=EDA ADFDCN AF=DN AF=2DM ADFDCN NDC=FAD， CDA=90， NDC+NDA=90 FAD+NDA=90 AFDM 45， EDC=90-45=45 2EDMMDC ， EDM= 2 3 EDC=30， AFD=30 过 A 点作 AGFD 的延长线于 G 点，ADG=90-45=45 ADG 是等腰直角三角形， 设 AG=k,则 DG=k，AD=AGsin45= 2k， FG=AGtan30= 3k， FD=ED= 3k-k 故 AD ED = 262 23 k kk 【点睛】 此题主要考查四边形综合，解题的关键是熟知正
31、方形的性质、旋转的特点、全等三角形的判定与性质及三角函数的运用 10(2020 湖北宜昌市 中考真题)菱形ABCD的对角线,AC BD相交于点 O，060ABO，点 G 是射线OD上 一个动点，过点 G 作/GE DC交射线OC于点 E，以,OE OG为邻边作矩形EOGF (1)如图 1，当点 F 在线段DC上时，求证：DFFC； (2)若延长AD与边GF交于点 H，将GDH沿直线AD翻折 180得到MDH 如图 2，当点 M 在EG上时，求证：四边形EOGF为正方形： 如图 3，当tanABO为定值m时，设DGk DO，k 为大于 0 的常数，当且仅当2k 时，点 M 在矩形EOGF 的外部
32、，求 m 的值 【答案】 (1)证明：如图，四边形 EOGF 为矩形， /GFOC ，GFOE，/EFOD，EFOG， /GEDC， 四边形 ECFG，DGEF 是平行四边形， DFEG ，FCGE， DFFC ； (2)如图， 证明：由折叠得GDHMDH， DGDM ，56 ， DHEG ，12 ， 四边形 ABCD 为菱形， 34 ， /GECD， 31 ， 45 ， 15 ， 1590 ， 15245 ，5690 ， /DMOE，点 M 在 GE 上， 45GEO， OGOE ， 四边形 EOGF 为矩形， 矩形 EOGF 为正方形； (3)如图， 四边形 ABCD 为菱形， 126 ，
33、 /GECD， 46 ， GDHMDH ， 35 ， 123456 ， tanABOm (m 为定值)， 2GDMABO ， 点 M 始终在固定射线 DM 上并随 k 的增大向上运动， 当且仅当2k 时，M 点在矩形 EOGF 的外部， 2k 时，M 点在矩形 EOGF 上，即点 M 在 EF 上， 设OBb， OAOCmb ，2DGDMkbb，13OGkbb， 13OEm kbmb，2GHHMmkbmb， 1FHOEGHm kbmkbmb， 过点 D 作DNEF于点 N， 1809090HMFDMNDMN ，又90MDNDMN， HMFMDN ， 90FDNM， HFMMND ， :FH M
34、NMH DM ， 2: 2:mbMNmbb， MNb ， DMN是直角三角形， 222 DMDNMN ， 22 2 23bmbb， 2 1 3 m， 3 3 m (负值舍去)， 060ABO， 3 3 m 【点睛】 本题考查四边形的综合问题，涉及矩形和菱形的性质，勾股定理，锐角三角函数，解方程等知识，综合程度较高，考查学生 灵活运用知识的能力 11(2020 湖南岳阳市 中考真题)如图 1，在矩形ABCD中，6,8ABBC，动点P，Q分别从C点，A点同时以每 秒 1 个单位长度的速度出发，且分别在边,CA AB上沿CA，AB的方向运动，当点Q运动到点B时，,P Q两 点同时停止运动，设点P运动
35、的时间为( )t s，连接PQ，过点P作PEPQ，PE与边BC相交于点E，连接QE (1)如图 2，当5ts时，延长EP交边AD于点F求证：AFCE； (2)在(1)的条件下，试探究线段,AQ QE CE三者之间的等量关系，并加以证明； (3)如图 3，当 9 4 ts时，延长EP交边AD于点F，连接FQ，若FQ平分AFP，求 AF CE 的值 【答案】 (1)由题意得：1 55CP 四边形 ABCD 是矩形 /,90AD BCBADB FAPECP ，AFPCEP 6,8ABBC 22 10ACABBC 5APACCP 在AFP和CEP中， 5 FAPECP AFPCEP APCP ()AF
36、PCEP AAS AFCE ； (2) 222 AQCEQE，证明如下： 如图，连接 FQ 由(1)已证：AFPCEP FPEP PEPQ PQ 是线段 EF 的垂直平分线 QFQE 在Rt AFQ中，由勾股定理得： 222 AQAFQF 则 222 AQCEQE； (3)如图，设 FQ 与 AC 的交点为点 O 由题意得：AQt，CPt，10APAC CPt FQ平分 AFP ，,QAAD PEPQ AQPQ(角平分线的性质) APQ是等腰三角形 在AFQ和PFQ中， AQPQ FQFQ ()AFQPFQ HL AQFPQF ，即OQ是AQP的角平分线 110 , 22 t OAOPAPOQ
37、AP (等腰三角形的三线合一) 在Rt ABC中， 63 cos 105 AB BAC AC 在Rt AOQ中，cos OA OAQ AQ ，即 10 3 2 cos 5 t BAC t 解得 50 ( ) 11 ts 505060 ,10 111111 CPAP /AD BC，即/AF CE 6 5 AFAP CECP 故 AF CE 的值为 6 5 【点睛】 本题考查了三角形全等的判定定理与性质、 矩形的性质、 余弦三角函数、 平行线分线段成比例定理等知识点， 较难的是题(3)， 熟练利用三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的三线合一是解题关键 12(2020 四川成都市 中考真题)在矩
38、形ABCD的CD边上取一点E，将BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上 点F处 (1)如图 1，若2BCBA，求CBE的度数； (2)如图 2，当5AB，且10AF FD时，求BC的长； (3)如图 3，延长EF，与ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NFANFD时，求 AB BC 出的值 【答案】 (1)矩形ABCD， 90A ，/ADBC 由折叠的性质可知 BF=BC=2AB， 1 2 CBECBF， 30AFB， 30FBCAFB， 15CBE (2)由题意可得90AD ， 90AFBDFE， 90FEDDFE AFBDEF FABEDF AFAB DEDF ， 10 2 5
39、 AF DF DE AB 3EFCE， 由勾股定理得 22 325DF ， 10 2 5 5 AF ， 3 5BCADAFFD ； (3)过点N作NGBF于点G 90NGFA 又BFANFG NFGBFA NGFGNF ABFABF NFANFD，即 111 222 NFADBCBF 1 2 NGFGNF ABFABF ， 又BM 平分ABF，90NGBFA ， NG=AN， 1 2 NGANAB， 1 11 2 22 FGBFBGBCAB FAANNF ABBC 整理得： 3 5 AB BC 【点睛】 本题是一道矩形的折叠和相似三角形的综合题，解题时要灵活运用折叠的性质和相似三角形的判定与性
40、质的综合应用，是中 考真题 13(2020 贵州贵阳市 中考真题)如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点 (1)问题解决：如图，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是_，位 置关系是_； (2)问题探究：如图，AO E是将图中的AOB绕点A按顺时针方向旋转45得到的三角形，连接CE，点P，Q 分别为CE，BO的中点，连接PQ，PB判断PQB的形状，并证明你的结论； (3)拓展延伸： 如图，AO E是将图中的AOB绕点A按逆时针方向旋转45得到的三角形，连接BO，点P，Q 分别为CE，BO的中点，连接PQ，PB若正方形ABCD的边长为 1，求PQ
41、B的面积 【答案】 解：(1)点 P 和点 Q 分别为CB，BO的中点， PQ 为 BOC 的中位线， 四边形ABCD是正方形， ACBO， 1 2 PQBO，PQBO； 故答案为： 1 2 PQBO，PQBO； (2)PQB的形状是等腰直角三角形理由如下： 连接O P并延长交BC于点F， 由正方形的性质及旋转可得ABBC，90ABC ， AO E 是等腰直角三角形，/O EBC，O EO A O EPFCP ，PO EPFC 又点P是CE的中点，CPEP ()O PEFPC AAS O EFCO A，O PFP AB O ACBFC ，BOBF O BF为等腰直角三角形 BPO F，O PB
42、P BPO也为等腰直角三角形 又点Q为O B的中点， PQO B，且PQBQ PQB的形状是等腰直角三角形 (3)延长O E交BC边于点G，连接PG，O P 四边形ABCD是正方形，AC是对角线， 45ECG 由旋转得，四边形O ABG是矩形， OGABBC，90EGC EGC为等腰直角三角形 点P是CE的中点， PCPGPE，90CPG，45EGP ()O GPBCP SAS O PGBPC ，O PBP 90O PGGPBBPCGPB 90O PB O PB 为等腰直角三角形 Q是O B的中点， 1 2 PQO BBQ，PQO B 1AB ， 2 2 O A ， 22 26 ()1 22
43、O B ， 6 4 BQ 11663 224416 PQB SBQ PQ 【点睛】 本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、旋转图形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质和 勾股定理，根据题意作出辅助线构造全等三角形是解题的关键 14(2020 辽宁丹东市 中考真题)已知：菱形ABCD和菱形ABCD ，BADB A D ，起始位置点A在边A B 上，点B在A B 所在直线上，点B在点A的右侧，点 B 在点 A 的右侧，连接AC和AC ，将菱形ABCD以A为旋 转中心逆时针旋转角(0180) (1)如图 1，若点A与 A 重合，且90BADBAD ，求证：BBDD； (2)若
44、点A与 A 不重合，M是AC 上一点，当MAMA 时，连接BM和AC，BM和AC所在直线相交于点P； 如图 2，当90BADBAD 时，请猜想线段BM和线段AC的数量关系及BPC的度数； 如图 3，当60BADBAD 时，请求出线段BM和线段AC的数量关系及BPC的度数； 在的条件下，若点A与A B 的中点重合，4A B ，2AB ，在整个旋转过程中，当点P与点M重合时，请直 接写出线段BM的长 【答案】 (1)证明：如图 1，在菱形 ABCD 和菱形 ABCD中，BADBAD90， 四边形 ABCD，四边形 ABCD都是正方形， DABDAB90， DADBAB， ADAB，ADAB， AD
45、DBAB(SAS)， DDBB； (2)解：如图 2 中，结论：AC 2BM，BPC45； 理由：设 AC 交 BP 于 O， 四边形 ABCD，四边形 ABCD都是正方形， MAADAC45， AACMAB， MAMA， MAAMAA45， AMA90， AA 2AM， ABC 是等腰直角三角形， AC 2AB， AAAC AMAB = 2， AACMAB， AACMAB， A CAA BMAM = 2，ACAABM， AC 2BM， AOBCOP， CPOOAB45，即BPC45； 解：如图 3 中，设 AC 交 BP 于 O， 在菱形 ABCD 和菱形 ABCD中，BADBAD60， C
46、ABCAB30， AACMAB， MAMA， MAAMAA30， AA 3AM， 在 ABC 中，BABC，CAB30， AC 3AB， AAAC AMAB = 3， AACMAB， AACMAB， A CAA BMAM = 3，ACAABM， AC 3BM， AOBCOP， CPOOAB30，即BPC30； 如图 4 中，过点 A 作 AHAC 于 H， 由题意 ABBCCDAD2，可得 AC 3AB23， 在 Rt AAH 中，AH 1 2 AA1，AH 3AH3， 在 Rt AHC 中，CH 22 ACAH = 2 2 2 3-1 = 11， ACAHCH 311， 由可知，AC 3BM， BM1 33 3 【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识， 解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题
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