1、2021 年湖南省郴州市高考数学第三次教学质量监测试卷年湖南省郴州市高考数学第三次教学质量监测试卷 一、单项选择题（共一、单项选择题（共 8 小题） 小题） 1. 已知集合 2 560Ax xx， 2Bx yx，则AB等于（ ） A. (2,3) B. 2,3) C. 2,6) D. ( 1,2 【答案】C 2. 若复数z满足( )11zii ，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为（ ） A. 1 B. 1 C. i D. i 【答案】A 3. 设非零向量, a b满足 1 | 4|,cos,()30 4 aba baab，则|b （ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 【答案】A 4.
2、 地铁某换乘站设有编号为 1 m， 2 m， 3 m， 4 m的四个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散 1000 名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 1 m， 2 m 2 m， 3 m 3 m， 4 m 1 m， 3 m 疏散乘客时间（s） 120 140 190 160 则疏散乘客最快一个安全出口的编号是（ ） A. 1 m B. 2 m C. 3 m D. 4 m 【答案】B 5. 函数 2 ( ) 1 x x f x e 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 6. 习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键，要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业.2020年 1
3、月 8 日，人力资源和社会保障部、财政部、农业农村部印发关于进一步推动返乡入乡创业工作的意见意见 指出，要贯彻落实党中央、国务院的决策部署，进一步推动返乡入乡创业，以创新带动创业，以创业带动 就业促进农村一、二、三产业融合发展，实现更充分、更高质量就业为鼓励返乡创业，某镇政府决定投 入“创业资金”和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成 一个等差数列 n a（单位：万元，n N） ，每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金 1 a的 3 倍，已知 22 12 72aa则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（ ） A. 72 万元 B. 96
4、 万元 C. 120万元 D. 144万元 【答案】C 7. 设点( 3,3)M在圆 222( 0)xyrr外，若圆O上存在点N，使得 4 OMN ，则实数r取值 范围是（ ） A. 3,2 2 B. 2 2,2 3) C. 6,2 2) D. 6,2 3) 【答案】D 8. 已知4ln3a ，3ln4b ， 3 4lnc，则a，b，c大小关系是 A. cba B. bca C. bac D. abc 【答案】B 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多分，在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要
5、求全部选对的得项符合题目要求全部选对的得 5分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9. 2.5PM是评估空气质量的一个重要指标， 我国2.5PM标准采用世卫组织设定的最宽限值， 即2.5PM日 均值在 3 35/g m以下空气质量为一级，在 3 3575/g m:之间空气质量为二级，在 3 75/g m以上空气 质量为超标.如图为某地区 2019 年 10 月 1 日到 10 月 12 日的2.5PM日均值（单位： 3 /g m）的统计图， 则下列叙述正确的是（ ） A. 该地区这 12 天中空气质量超标的日期为 10 月 6 日 B. 该地区这 12
6、天2.5PM日均值的中位数为 3 51/g m C. 该地区这 12 天2.5PM日均值的平均数为 3 53/g m D. 该地区从 10 月 6 日到 10 月 11 日的2.5PM日均值持续减少 【答案】AC 10. 已知函数( )sin cos(0,0)f xxax a的最大值为 2 则使函数( )f x在区间0,3上至少取得 两次最大值的充分不必要条件是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】BCD 11. 如图，正方形ABCD的边长为 1，MN、分别为BCCD、的中点，将正方形沿对角线AC折起，使点 D不在平面ABC内，则在翻折过程中，以下结论正确的是（ ） A. 异
7、面直线AC与MN所成的角为定值 B. 存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 C. 三棱锥NACM与BACD体积之比值为定值 D. 四面体ABCD外接球体积为 2 3 【答案】ACD 12. 已知函数 | | ( )sin x f xex，则下列结论正确是（ ） A. ( )f x是周期为的奇函数 B. ( ) f x在 3 , 44 上为增函数 C. ( ) f x在( 10 ,10 ) 内有 20 个极值点 D. 若 ( )f xax 在0, 4 上恒成立，则 4 2 2e a 【答案】BCD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分
8、分 13. 已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为 45，侧面积为4 3，则该棱锥的体积为_ 【答案】 4 2 3 14. 若 6 2 1 x ax 的展开式中 3 x的系数是3，则它的展开式中的常数项为_ 【答案】15 4 15. 已知直线y kx 与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab )相交于不同的两点A，B，F为双曲线C的左焦点， 且满足3AFBF，OAb(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为_. 【答案】3 16. 托勒密（Ptolemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指 出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘
9、积已知凸四边形ABCD的四个顶点在同一 个圆的圆周上，,AC BD是其两条对角线，ABAD，120BAD，6AC ，则四边形ABCD的面 积为_ 【答案】9 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 在条件sin cos 6 aBbA ， 2 5 coscos 24 AA ，sinsin 2 BC A 中任选一个， 补充到下面问题中，并给出问题解答 问题：在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，3,3,AB ACabc，_，求bc 【答案】选择见解析；3bc 18
10、. 已知数列 n a的首项 1 1a ，前n项和为 n S，且数列 n S n 是以 1为公差的等差数列 （1）求数列 1 1 nn a a 的前n项和 n T； （2）设等比数列 n c的首项为 2，公比为(0)q q ，其前n项和为 n P，若存在正整数m，使得 3 S是 m S 与 3 P的等比中项，求q的值 【答案】 （1） 21 n n T n ； （2）存在； 151 2 q 或 62 4 19. 如图所示，在四棱锥PABCD中，/ABCD， 1 2 ADABCD， 60DAB，点 ,E F分别为 CD AP,的中点 （1）证明：/ /PC面BEF； （2）若PAPD，且PAPD，
11、面PAD 面ABCD，求二面角CBEF的余弦值 【答案】 （1）证明见解析； （2） 2 39 13 20. 2019 年春节期间， 我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”某路桥公司为掌握春节期间车辆出 行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了大年初三上午 9:2010:40 这一时间段内通过的车辆数，统计发 现这一时间段内共有 600 辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其 中时间段 9:209:40 记作区间20,40，9:4010:00 记作40,60，10:0010:20 记作60,80，10:2010:40 记作80,100.例如：10 点 04
12、 分，记作时刻 64. （1）估计这 600 辆车在 9:2010:40 时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的 中点值代表） ； （2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这 600 辆车中抽取 10 辆，再从这 10 辆车中随机抽取 4 辆，设抽到的 4 辆车中，在 9:2010:00 之间通过的车辆数为 X，求 X 的分布列与数学期望； （3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻 T 服从正态分布 2 ,N ，其中可用这 600 辆车在 9:2010:40 之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替， 2 可用样本的方差近似代替（同一组中的 数据用该组
13、区间的中点值代表） ，已知大年初五全天共有 1000 辆车通过该收费点，估计在 9:4610:40 之间 通过的车辆数（结果保留到整数）. 参考数据：若 2 ,TN ，则0.6827PT，220.9545PT， 330.9973PT. 【答案】 （1）10 点 04 分（2）分布列见解析， 8 5 E X （3）819 辆 21. 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F P是椭圆E上的一动点，且 1 PF的最 小值是 1，当 1 PF垂直长轴时， 1 3 2 PF （1）求椭圆E的方程； （2） 是否存在斜率为1的直线l与以线段 12 FF为直径的圆相交于,A B两点， 与椭圆E相交于 C D、两点， 且 24 2 | | 7 CDAB 若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由 【答案】 （1） 22 1 43 xy ； （2）存在； 1yx 或1yx 22. 已知函数 2 1 ln1 2 f xxax （1）若曲线( )yf x在1x 处的切线与直线0 xy垂直，求函数( )yf x在(0,1最大值； （2）当1a 时，设函数 ( )f x的两个零点为 12 ,x x，试证明： 12 2xx 【答案】 （1） 21 ln 22 ； （2）证明见解析
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