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    2021年中考数学分类专题突破19 三角形综合(含答案解析)

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    2021年中考数学分类专题突破19 三角形综合(含答案解析)

    1、专题专题 19 19 三角形综合三角形综合 1直线 MN 与直线 PQ 相交于 O,POM60 ,点 A 在射线 OP 上运动,点 B 在射线 OM 上运动 (1)如图 1,BAO70 ,已知 AE、BE 分别是BAO 和ABO 角的平分线,试求出AEB 的度数 (2) 如图 2, 已知 AB 不平行 CD, AD、 BC 分别是BAP 和ABM 的角平分线, 又 DE、 CE 分别是ADC 和BCD 的角平分线,点 A、B 在运动的过程中,CED 的大小是否会发生变化?若发生变化,请说明 理由;若不发生变化,试求出其值 (3)在(2)的条件下,在 CDE 中,如果有一个角是另一个角的 2 倍

    2、,请直接写出DCE 的度数 解:(1)如图 1 中,BE 平分ABO,AE 平分BAO, EBA+EAB(ABO+BAO)(180 AOB)60 , AEB180 (EBA+EAB)120 (2)CED 的大小不变 如图 2,延长 AD、BC 交于点 F 直线 MN 与直线 PQ 垂直相交于 O, AOB60 , OAB+OBA120 , PAB+MBA240 , AD、BC 分别是BAP 和ABM 的角平分线, BADBAP,ABC ABM, BAD+ABC(PAB+ABM)120 , F60 , FDC+FCD120 , CDA+DCB240 , DE、CE 分别是ADC 和BCD 的角平

    3、分线, CDE+DCE120 , CDE 中,E180 120 60 (3)由(2)可知,EDC+ECD120 , ECD 中有一个角是另一个角的 2 倍, ECD2EDC 或EDC2ECD, DCE40 或 80 2已知:在 Rt ABC 中,ABC90 ,ABBC,以 B 为顶点作 Rt BDE,BDBE,DBE90 ,连接 AD、CE (1)如图 1,若CBE120 ,ADBD,BE2.5,求 ABC 的面积; (2)如图 2,若 F 为 AD 的中点,连接 FB 并延长交 CE 于 H,求证:FHCE; (3)如图 3,CBE120 ,G 为 AB 上一点,BGBD,连接 DG,F 为

    4、 AD 上一点,FBGFDG, 连接 FG,过 A 作 AHGF 于 H,若 S CBE36,S BDF26,GF+DF9,请直接写出 AH 的长 (1)解:如图 1 中, ABCDBE90 ,CBE120 , ABD360 90 90 120 60 , ADBD, ADB90 , BAD30 , DBBE2.5, ABBC2BD5, S ABCABBC (2)证明:如图 2 中,延长 BF 到 M,使得 FMBF,连接 AM,DM AFDF,BFFM, 四边形 ABDM 是平行四边形, AMBD,AMBD, BDBE, AMBE, ABD+CBE180 ,ABD+BAM180 , CBEBA

    5、M, BAAB, CBEBAM(SAS), BCEABM, ABM+CBH90 , BCE+CBH90 , CHB90 , FHEC (3)解:如图 3 中,过点 A 作 ANBF 交 BF 的延长线于 N在 BF 上取一点 J,使得FGJ60 CBE120 ,ABCDBE90 , DBG60 , BDBG, BDG 是等边三角形, GBGD,BGDFGJ60 , BGJDGF, GBJGDF,GBGD, GBJGDF(ASA), GJGF,BJDF, FGJ60 , GFJ 是等边三角形, FJFG, FG+DFFJ+JBFB9, 由(1)可知,S BCES ABMS平行四边形ABDMS A

    6、BD36, S BDF26, S ABF362610 9 AN, AN , GBFFDG, DFBBGD60 GFJ60 , AFH60 ,AFNDFB60 , AFHAFN, AHFG,ANFN, AHAN 3已知BAM+MDC180 ,ABAM,DCDM,连接 BC,N 为 BC 的中点 (1)定理“等边对等角”即:对于任意 ABC 若满足 ABAC,则ABC ; 如图 1 若 A、M、D 共线,若BAM70 ,求NDC 的大小; (2)如图 2,A、M、D 不共线时,求ANB+DNC 的值 解:(1)在 ABC 中,ABAC, ABCACB, 故答案为:ACB; (2)如图 1,连接 A

    7、N,并延长交 DC 的延长线于 H, BAM+MDC180 , ABCD,ADC180 BAM110 , BANCHN, 在 ABN 和 HCN 中, , ABNHCN(AAS), ABCH,ANHN, ABAM,DCDM, AM+MDCH+DC, 即 ADDH, 又ANNH, ADNHDN55 ; (3)如图 2,延长 DN 至 I 使,NIDN,连接 AI,AD, 在 DNC 和 INB 中, , DNCINB(SAS), DCIBMD,CIBN,INDN, BAM+MDC180 ,M+BAM+MDC+C+ABC540 , M+ABC+C360 , 又ABC+IBN+ABI360 , MA

    8、BI, 又ABAM,MDCDBI, AMDABI(SAS), AIAD, 又NIDN, ANDANI90 , ANB+DNC90 4如图,Rt ABC 中,BCA90 ,ACBC,点 D 是 BC 的中点,CEAD 于 E,BFAC 交 CE 的延长 线于点 F (1)求证: ACDCBF; (2)连结 DF,求证:AB 垂直平分 DF; (3)连结 AF,试判断 ACF 的形状,并说明理由 (1)证明:CEAD, BCF+ADC90 , BCA90 ,BFAC, CBF180 BCA90 , BCF+CFB90 , CFBADC, 在 ACD 和 CBF 中, ACDCBF(AAS); (2

    9、)证明:由(1)得: ACDCBF, CDBF, D 为 BC 的中点, CDBD, BFBD, BCA90 ,ACBC, ABC45 , ABF90 ABC45 , ABCABF, BFBD, AB 垂直平分 DF; (3)解: ACF 是等腰三角形,理由如下: 由(1)得: ACDCBF, ADCF, 由(2)得:AB 垂直平分 DF, ADAF, AFCF, ACF 是等腰三角形 5(1)若 ABCBAD,则BAC 对应 ,BA 对应 ; (2)如图 1,海岸上有 A,B 两个观测点,点 B 在点 A 的正东方,海岛 C 在观测点 A 的正北方,海岛 D 在观测点B的正北方, 如果从观测

    10、点A看海岛C, D的视角CAD与从观测点B看海岛C, D的视角CBD 相等,那么海岛 C,D 到观测点 A,B 所在海岸距离 CA,DB 相等,请说明理由 (3)在(2)的条件下,在 A 的正北方向有一个海岛 K,通过测量得到 KB 长度是 368 海里,如图 2 所 示求 BK 中点 G 到 A 的距离 (1)解:若 ABCBAD,则BAC 对应ABD,BA 对应 AB; 故答案为:ABD,AB; (2)证明:如图 1 所示: CADCBD,COADOB, CD, 又点 B 在点 A 的正东方,海岛 C 在观测点 A 的正北方,海岛 D 在观测点 B 的正北方, CABDBA90 , 在 C

    11、AB 和 DBA 中, CABDBA(AAS), CADB, 即海岛 C,D 到观测点 A,B 所在海岸距离 CA,DB 相等; (3)解:延长 AG 至 H,使 GHAG,连接 BH,如图 2 所示: 点 G 是 BK 的中点, GKGB, 在 KGA 和 BGH 中, KGABGH(SAS), KABH,KHBG, KABH, HBA180 KAB90 KAB, 在 KAB 和 HBA 中, KABHBA(SAS), BKAH2AG368, AG184(海里); 答:BK 中点 G 到 A 的距离为 184 海里 6在平面直角坐标系 xOy 中,O 为坐标原点,点 A 的坐标为(a,0),

    12、点 B 的坐标为(0,mn),且 m, n 满足 (1)如图 1,求点 B 的坐标; (2)如图 2,若点 C 在第一象限内直线 AB 的上方,BCOACO45 ,求 OA的长; (3)在(2)的条件下,如图 3,若 AC3BC,且 AB 与 OC 相交于点 M,延长 AC 交 y 轴于点 E,连接 EM,求点 M 的坐标及 OEM 的面积 解:(1)m,n 满足, , mn6, 点 B 的坐标为(0,6); (2)如图 2,过点 O 作 ODAC 于 D,作 OFBC,交 CB 的延长线于 F, BCOACO45 ,ODAC,OFBC, ODOF,OFCODCBCD90 , FOD90 AO

    13、B, BOFAOD, 在 AOD 和 BOF 中, , AODBOF(AAS), OBOA6; (3)如图 3,过点 M 作 MGOA 于 G,MPOB 于 P,MHAC 于 H,MNBC 于 N, AOOB, PMAO,MGOB, PMOG,MGPO, BCOACO45 ,MHAC,MNBC, MNMH, S BCMBC MN,S ACMAC MH,AC3BC, S ACM3S BCM, AM3BM, S AOM3S BOM, AO MG3 BO PM, MG3PM, OBOA6, OBAOAB45 , MGOA, GAMGMA, MGGA, GA3OG, OG,GA , PMOG,MGGA

    14、 , 点 M(,), 如图 4,过点 O 作 ODAC 于 D,作 OFBC,交 CB 的延长线于 F, 由(2)可知,ADBF,OFOD, OFCB,ODAC,BCOACO45 , FOCFCODCODOC45 , CDODCFOF, CDBF+BCBF+AD, AC3BC, AD+CDBF+AD+AD3AD, BFADCB, 在 OBF 和 EBC 中, , OBFEBC(ASA), BEBO6, S OEM (6+6) 9 7如图 1,在平面直角坐标系中,A(a,0),C(b,2),且满足|2a+4|+0,过点 C 作 CBx 轴于点 B (1)点 A 的坐标为 ;点 B 的坐标为 ;点

    15、 C 的坐标为 (2)求 ABC 的面积 (3) 过点 B 作 BDAC 交 y 轴于点 D, 且 AE, DE 分别平分CAB, ODB, 如图 2, 求AED 的度数 (4)在 y 轴上是否存在点 P,使得 ABC 和 ACP 的面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在, 说明理由 解:(1)|2a+4|+0, 又|2a+4|0,0, a2,b2, 点 A 坐标(2,0),点 B 坐标(2,0),点 C 坐标(2,2), (2)由题意得:AB4,BC2 S ABC4 2 4; (3)过点 E 作 EFAC, EFAC,ACBD, EFBD, EFAC, CABABD, BOD90 ,

    16、 ABD+BDO90 , BDO+CAB90 , BE 平分CAB, CAECAB, DE 平分BDO, EDBBDO, 又EFAC, CAEAEF, 同理可得:FEDEDB, AEDAEF+FEDEDB+CAE(CAB+BDO)45 ; (4)点 A 坐标(2,0),点 C 坐标(2,2), 直线 AC 解析式为 yx+1, BDAC,B(2,0), 直线 BD 解析式为 yx1, 点 D 坐标(0,1), BDAC, S ABCS ACD, P与 D 重合, 点 P的坐标(0,1),根据对称性得到 P(0,3)也满足条件, 点 P 坐标为(0,1)或(0,3) 故答案为(0,1)或(0,3

    17、) 8已知 Rt ABC 中,斜边 AB 上的高线 CH 与BAC 的平分线 AM 交于点 P,如图 1 (1)求证:PCCM; (2) 如图 2, 若高线 CH 与ABC 的平分线 BN 交于点 Q, PM、 QN 的中点分别是 E、 F, 求证: EFAB 解:(1)如图 1,过点 P 作 PQAC,垂足为 Q, AM 平分BAC,PQAC,CHAB, APHAPQ, 又PQAC,ACBC, APQAMC, AMCCPM, PCCM; (2)证明:如图 2,连接 CF、FH, BN 是ABC 的平分线, ABNCBN, 又CHAB, CQNBQH90 ABN90 CBNCNB, CQNC

    18、又F 是 QN 的中点, CFQN, CFB90 CHB, C、F、H、B 四点共圆 又FBHFBC, FCFH, 点 F 在 CH 的中垂线上, 同理可证,点 E 在 CH 的中垂线上, EFCH, 又ABCH, EFAB 9已知:在 Rt ABC 中,ACB90 ,D 为线段 CB 上一点且满足 CDCA,连接 AD,过点 C 作 CEAB 于点 E (1)如图 1,B30 ,BD2,AD 与 CE 交于点 P,则CPD ,AE ; (2)如图 2,若点 F 是线段 CE 延长线上一点,连接 FD若F45 ,求证:AEFE (1)解:如图 1 中,设 ACCDx ACB90 ,B30 ,

    19、BCAC, x+2x, 解得 x+1, CACD, CADCDA45 , CEAB, CEB90 , ECB90 30 60 , ACE30 , AEAC , CPDACP+CAP, CPD75 故答案为 75 , (2)证明:如图 2 中,过点 C 作 CJDF 于 J,交 AB 于 T,设 DF 交 AB 于 K CFAB,CTDE,CFD45 , FEKCETCJFKJT90 , FKETKJKTJECT45 , CEET, CAT+ACE90 ,ACE+FCD90 , CATFCD, ACCD,ATCCFD, ACTCDF(AAS), ATCF, ETCE, AEEF 10已知:如图

    20、1,在 ABC 和 ADE 中,CE,CAEDAB,BCDE (1)请说明 ABCADE (2)如图 2,连接 CE 和 BD,DE,AD 与 BC 分别交于点 M 和 N,DMB56 ,求ACE 的度数 (3)在(2)的条件下,若 CNEM,请直接写出CBA 的度数 解:(1)CAEDAB, CAE+CADDAB+CAD, 即CABEAD, 在 ABC 和 ADE 中, ABCADE(AAS); (2)ABCADE, CBAEDA,ACAE, 在 MND 和 ANB 中, EDA+MND+DMB180 , CBA+ANB+DAB180 , 又MNDANB, DABDMB56 , CAEDAB56 , ACAE, ACEAEC, ACE62 ; (3)连接 AM, 由图(1)的AC 得MEAACN, 而 AEAC,CNEM, AMEANC(SAS), AMAN,EAMCAN, EAMCAN, MADEAC56 , AMAN, AMNANM(180 MAD)(180 56 )62 BND, 由(2)知DAB56 , CBABNDDAB62 56 6


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