1、专题专题 25 25 四边形中的平移综合问题四边形中的平移综合问题 1、如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，且 ADBC，连接 BD，现将三角形 ABD 平移到三角形 ECF 的位 置 （1）指出平移的方向和平移的距离； （2）求证：AFAD+BC； （3）若 ADBC，三角形 ABD 的面积为 15，求四边形 ABCF 的面积 解：（1）平移的方向是点 B 到点 C 的方向，平移的距离是线段 BC 的长度； （2）ABD 平移到 ECF 的位置， DFBC， AD+DFAF， AD+BCAF （3）ADBC，三角形 ABD 的面积为 15， 三角形 BDC 的面积为， DFBC， 三角形
2、 DCF 的面积为， S梯形ABFD15+60 2、如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，且 ADBC，连接 BD，现将三角形 ABD 平移到三角形 ECF 的位 置 （1）指出平移的方向和平移的距离； （2）求证：AFAD+BC； （3）若 ADBC，三角形 ABD 的面积为 15，求四边形 ABCF 的面积 解：（1）平移的方向是点 B 到点 C 的方向，平移的距离是线段 BC 的长度； （2）ABD 平移到 ECF 的位置， DFBC， AD+DFAF， AD+BCAF （3）ADBC，三角形 ABD 的面积为 15， 三角形 BDC 的面积为， DFBC， 三角形 DCF 的面积为，
3、 S梯形ABFD15+60 3、阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题， 如图 1， 在梯形 ABCD 中， ADBC， 对角线 AC， BD 相交于点 O 若梯形 ABCD 的面积为 1，试求以 AC，BD，AD+BC 的长度为三边长的三角形的面积 小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算 其面积即可他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题他的方法是过 点 D 作 AC 的平行线交 BC 的延长线于点 E，得到的 BDE 即是以 AC，BD，AD+BC 的长度为三边长的 三角形（如图 2） 参考小伟同学的思考问题的方法，
4、解决下列问题： 如图 3， ABC 的三条中线分别为 AD，BE，CF （1） 在图 3 中利用图形变换画出并指明以 AD， BE， CF 的长度为三边长的一个三角形 （保留画图痕迹） ； （2）若 ABC 的面积为 1，则以 AD，BE，CF 的长度为三边长的三角形的面积等于 解： BDE 的面积等于 1 （1）如图以 AD、BE、CF 的长度为三边长的一个三角形是 CFP （2）平移 AF 到 PE，可得 AFPE，AFPE， 四边形 AFEP 为平行四边形， AE 与 PF 互相平分，即 M 为 PF 的中点， 又APFNBC，F 为 AB 的中点， N 为 PC 的中点， E 为 PF
5、C 各边中线的交点， PEC 的面积为 PFC 面积的 连接 DE，可知 DE 与 PE 在一条直线上 EDC 的面积是 ABC 面积的 所以 PFC 的面积是 1 3 以 AD、BE、CF 的长度为三边长的三角形的面积等于 4、操作与探究： （1）点 P 为数轴上任意一点，对点 P 进行如下操作：先把点 P 表示的数乘以，再把所得数对应的点 向右平移个单位，得到点 P 的对应点 P 点 A，B 在数轴上，对线段 AB 上的每个点进行上述操作后得到线段 AB，其中点 A，B 的对应点分别为 A，B，如图 1，若点 A 表示的数是3，则点 A表示的数是 ；若点 B表示的数是 2，则点 B 表示
6、的数是 ；已知线段 AB 上的点 E 经过上述操作后得到的对应点 E与点 E 重合，则点 E 表示的数 是 （2）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，对正方形 ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的 横、 纵坐标都乘以同一种实数 a， 将得到的点先向右平移 m 个单位， 再向上平移 n 个单位 （m0， n0） ， 得到正方形 ABCD及其内部的点，其中点 A，B 的对应点分别为 A，B，已知正方形 ABCD 内部的一个 点 F 经过上述操作后得到的对应点 F与点 F 重合，请直接写出点 F 的坐标 解：（1）点 A：3 +11+10， 设点 B 表示的数为 a，则a+12，
7、解得 a3， 设点 E 表示的数为 b，则b+1b， 解得 b； 故答案为：0，3，； （2）根据题意，得：， 解得：， 设点 F 的坐标为（x，y）， 对应点 F与点 F 重合， x+x，y+2y， 解得 x1，y4， 所以，点 F 的坐标为（1，4） 5、如图，已知射线 CDOA，点 E、点 F 是 OA 上的动点，CE 平分OCF，且满足FCAFAC （1）若OADC，判断 AD 与 OB 的位置关系，证明你的结论 （2）若OADC60 ，求ACE 的度数 （3）在（2）的条件下左右平行移动 AD，OEC 和CAD 存在怎样的数量关系？请直接写出结果（不 需写证明过程） 解：（1）CDO
8、A， BCDO， OADC， BCDCDA， ADOB； （2）OADC60 ， BCD60 ， OCD120 ， CDOA， DCACAO， FCAFAC， DCAFCA， CE 平分OCF， OCEFCE， ECF+ACFOCD60 ， ACE60 ； （3）CAD+OEC180 ， 理由：ADOC， CADOCA， OCAOCE+ACE60 +OCE， AECO+OCE60 +OCE， AECCAD， AEC+OEC180 ， CAD+OEC180 6、已知 ABCD，点 C 在点 D 的右侧，ADC60 ，ABC、ADC 的平分线交于点 E （1）若点 B 在点 A 的左侧，如图 1，
9、ABC，求BED 的大小（用含 的式子表示）； 解：过点 E 作 EFAB， ABCD ABCDEF 请完成余下的解答过程 （2）将图 1 中的线段 BC 沿 DC 方向平移，当点 B 移动到点 A 的右侧时，如图 2，设ABC，请直接 写出BED 的大小 解：（1）如图 1，过点 E 作 EFAB， ABCD， ABCDEF， ABEBEF，FEDEDC， BEDBFE+FED， BEDABE+EDC， BE、DE 分别是ABC、ADC 的平分线， ， ABC，ADC60 ， ； （2）， 理由：如图 2 所示，过 E 作 EFAB， ABCD， ABCDEF， ABEBEF，FED+EDC
10、180 ， ABC，ADC60 ，ABC、ADC 的平分线交于点 E， ABE，EDC30 ， BEFABE，DEF180 EDC150 ， BED360 BEFDEF360 150 210 7、如图 1，将线段 AB 平移至 DC，使点 A 与点 D 对应，点 B 与点 C 对应，连 AD、BC （1）填空：AB 与 CD 的位置关系为 ，BC 与 AD 的位置关系为 ； （2）点 E、G 都在直线 CD 上，AGEGAE，AF 平分DAE 交直线 CD 于 F， 如图 2，若 G、E 为射线 DC 上的点，FAG30 ，求B 的度数； 如图 3，若 G、E 为射线 CD 上的点，FAG，求
11、C 的度数 解：（1）如图 1 中， ABCD，ABCD， 四边形 ABCD 是平行四边形， BCAD， 故答案为：ABCD，ADBC （2）如图 2 中， ABCD， BAGG， EGEA， GEAG， EAGBAG， FAEFAD， BAD2FAG， FAG30 ， BAD60 ， BCAD， B+BAD180 ， B120 如图 3 中， ABCD， BAGAGE， EGEA， AGEEAG， EAGBAG， FAEFAD， BADEABEAD2（EAGEAF）2， 四边形 ABCD 是平行四边形， CBAD2 8、已知：BCOA，BA100 ，试回答下列问题： （1）如图，OB 与 A
12、C 平行吗？为什么？ （2）如图，若点 E、F 在 BC 上，且满足FOCAOC，并且 OE 平分BOF求EOC 的度数； （3）在（2）的条件下，若平行移动 AC，如图，那么OCB 与OFB 之间的关系并说明理 由 （1）证明：BCOA， B+O180 ， O180 B80 ， 而A100 ， A+O180 ， OBAC； （2）解：OE 平分BOF， BOEFOE， 而FOCAOC， EOF+COFAOB 80 40 ； （3）结论为：OFB2OCB； BCOA， OCBAOC，OFBAOF， FOCAOC， AOF2AOC， OFB2OCB 9、已知，BCOA，BA100 ，请解答下列问
13、题： （1）如图 1 所示，求证：OBAC； （2） 如图 2， 若点 E、 F 在 BC 上， 且满足FOCAOC、 BOEFOE， 则EOC 的度数为 （直 接写结果） （3）在（2）的条件下，若OEBOCA，求OCA 的度数 （4）若如图 3 向左平行移动 AC，当 AC 移动到 OB 时停止运动，在整个移动的过程中，点 E、F 始终在 直线 BC 上，且满足FOCAOC、BOEFOE请问OCB 与OFB 会有怎样的数量关系？请 说明理由 解：（1）BCOA， B+O180 ； AB， A+O180 ， OBAC （2）AB100 ， 由（1）得BOA180 B80 ； FOCAOC，并
14、且 OE 平分BOF， EOFBOF，FOC FOA， EOCEOF+FOC（BOF+FOA）BOA40 故答案为：40 ； （3）由（1）知：OBAC，OCABOC， 由（2）可以设：BOEEOF，FOCCOA， OCABOC2+ OEBEOC+ECO+2 OEBOCA 2+2 AOB80 ，20 OCA2+40 +20 60 （4）结论：OCB：OFB1：2理由为： BCOA， FCOCOA， 又FOCAOC， FOCFCO， OFBFOC+FCO2OCB， OCB：OFB1：2 10、如图 1，已知 l1l2，点 A，B 在直线 l1上，点 C，D 在 l2上，连接 AD，BCAE，CE
15、 分别是BAD， BCD 的平分线，170 ，230 （1）求AEC 的度数； （2）如图 2，将线段 AD 沿线段 CD 方向平移，其他条件不变，求AEC 的度数 解：（1）如图 1，过点 E 作 EFl1， l1l2， EFl2， l1l2， BCD， 170 ， BCD70 ， CE 是BCD 的角平分线， ECD 70 35 ， EFl2， FECECD35 ， l1l2， BAD+2180 ， 230 ， BAD150 ， AE 平分BAD， BAE 150 75 ， EFl1， BAE+AEF180 ， AEF105 ， AEC105 +35 140 ； （2）如图 2，过点 E
16、作 EFl1， l1l2， EFl2， l1l2， BCD1， 170 ， BCD70 ， CE 是BCD 的角平分线， ECD 70 35 ， EFl2， FECECD35 ， 同理可求AEF15 ， AECAEF+CEF50 11、如图，点 C、M、N 在射线 DQ 上，点 B 在射线 AP 上，且 APDQ，DABC80 ，12， AN 平分DAM （1）试说明 ADBC 的理由； （2）试求CAN 的度数； （3）平移线段 BC 试问AMD：ACD 的值是否发生变化？若不会，请求出这个比值；若会，请找出相应变化规律； 若在平移过程中存在某种位置，使得ANDACB，试求此时ACB 的度数
17、 解：（1）APDQ， D+DAB180 D80 ， DAB100 ABC80 ， DAB+ABC180 ， ADBC； （2）AN 平分DAM， NAMNADDAM 12， CAMBAM NAM+CAMDAM+BAM， 即：CANDAB DAB100 ， CAN50 ， （3）不会 APDQ， AMDMAB21，ACD1， AMD：ACD2， APDQ，ADBC， ANDNAB，ACBDAC， ANDACB， NABDAC， NABNACDACNAC， 即：1DAN 12DANMAN25 ， ACBDAC75 12、现有一副三角板，如图中，B90 ，A30 ；图中，D90 ，F45 ；图中，
18、将 DEF 的直角边 DE 与 ABC 的斜边 AC 重合在一起，并将 DEF 沿 AC 方向移动（移动开始时点 D 与点 A 重 合） （1） DEF 在移动的过程中，若 D、E 两点始终在 AC 边上， F、 C 两点间的距离逐渐 ； 连接 FC， FCE 的度数逐渐 （填“不变”、 “变大”或“变小”） FCE 与CFE 度数之和是否为定值，请加以说明； （2） DEF 在移动的过程中，如果 D、E 两点在 AC 的延长线上，那么FCE 与CFE 之间又有怎样的 数量关系，请直接写出结论； （3）能否将 DEF 移动至某位置，使 F、C 的连线与 BC 垂直？求出CFE 的度数 解：（1
19、）F、C 两点间的距离逐渐变小；连接 FC，FCE 的度数逐渐变大； 故答案为：变小，变大； FCE 与CFE 度数之和为定值； 理由：D90 ，DFE45 ， 又D+DFE+FED180 ， FED45 ， FED 是 FEC 的外角， FCE+CFEFED45 ， 即FCE 与CFE 度数之和为定值； （2）如图，FCE 与CFE 度数之和为定值； 理由：FDE90 ，F45 ， 又FDE+F+FED180 ， FED45 ， FEG 是 FEC 的外角， FCE+CFEFEG135 ， 即FCE 与CFE 度数之和为定值； （3）要使 FCBC，则需FCEA30 ， 又CFE+FCE45
20、 ， CFE45 30 15 13、如图，回答下列问题 （1）将 ABC 沿 x 轴向左移一个单位长度，向上移 2 个单位长度， 则 A1的坐标为 ，B1的坐标为 ，C1的坐标为 （2）若 ABC 与 A2B2C2关于 x 轴对称，则 A2的坐标为 ， B2的坐标为 ，C2的坐标为 解：（1）A（3，0），B（2，4），C（0，1）， 将 ABC 沿 x 轴向左移一个单位长度，向上移 2 个单位长度，则 A1的坐标为（31，0+2），B1的坐标 为（21，4+2），C1的坐标为（01，1+2）， 即：A1的坐标为（2，2），B1的坐标为（3，6），C1的坐标为（1，1）， 故答案为：（2，2）
21、，（3，6），（1，1）； （2）若 ABC 与 A2B2C2关于 x 轴对称，则 A2的坐标为（3，0）， B2的坐标为（2，4），C2的坐标为（0，1）， 故答案为：（3，0），（2，4），（0，1） 14、按要求画图 （1）在图 1 中分别画出点 A、点 B 到直线 CD 的垂线段 AE、BF （2）如图 2，已知三角形 ABC，点 D 为点 A 的对应点，过点 D 作三角形 ABC 平移后的三角形 DEF 解：（1）如图所示； （2） DEF 如图所示 15、 在平面直角坐标系中， A、 B 两点的坐标分别为 A （1， a） 、 B （b， 1） ， 且实数 a、 b 满足+ 0 （
22、1）求 a，b 的值； （2）平移线段 AB 至线段 PQ 处（A 的对应点为 P），使得点 P、Q 正好都在坐标轴上，求点 P，Q 的坐 标； （3）点 C（3，c），c0，D 是 x 轴负半轴上任一点，连接 OC，OM 平分DOC，ONOM，（ON 在 x 轴上方），CECO，交 x 轴正半轴于点 E，当 c 的值发生变化时，探究NOD 与OEC 之间的数量 关系，并说明理由 解：（1）+0， a30，4b0， a3，b4； （2）a3，b4， A（1，3）、B（4，1）， x 轴上点的纵坐标为 0，y 轴上点的横坐标为 0， 如果平移线段 AB 至线段 PQ 处（A 的对应点为 P），使得点 P、 Q 正好都在坐标轴上， 可分两种情况： P 在 y 轴上，Q 在 x 轴上， 将线段 AB 先向左平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位，此时 P（0，2），Q（3，0）； P 在 x 轴上，Q 在 y 轴上， 将线段 AB 先向下平移 3 个单位，再向左平移 4 个单位，此时 P（3，0），Q（0，2）； （3）2NOD+OEC90 理由如下： OM 平分DOC， DOMMOC，设DOMMOC ONOM， NOD90 ， EOC180 2， CECO， OCE90 ， OEC90 EOC90 （180 2）290 ， 2NOD+OEC2（90 ）+（290 ）90
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