1、高三数学第 1 页（共 6 页） 20202021 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研 （二） 数学2021.05 注意事项：注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的在每小题给出的四个四个选项中，选项中， 只有一项只有
2、一项是是符合题目要求符合题目要求的的. 1若aR，则“2a ”是“复数2iza的模为2 2”(i为虚数单位)的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2若集合 2Ax yx， 2xBy y，则A B=I A(,2 B2,) C(0,2 D0,2 3从标有 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片中，不放回地随机抽取两次，每次抽取一 张 “在第一次抽到标号是 4 的条件下，第二次抽到的标号是奇数”的概率为 A 3 5 B 1 2 C 1 10 D 1 12 4已知椭圆 E： 22 22 1(0) xy ab ab 的右焦点为 2 F，左顶点为 1 A，若 E 上的
3、点 P 满足 2 PFx轴， 12 3 sin 5 PAF，则 E 的离心率为 A 1 2 B 2 5 C 1 4 D 1 5 5已知sin1a ，cos1b ，则下列不等式正确的是 Alog ba ab abBlog ab ab ba Clog ba a abbDlog ab a bab 高三数学第 2 页（共 6 页） （第 7 题图） 6已知 3sin()sin() 66 ，则cos2 A 1 7 B 1 7 C 11 13 D 11 13 7我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅 “弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正方形 所构成（如图） ，后人称其为“赵爽弦图”.在直角三
4、 角形 CGD 中， 已知4GC ，3GD ， 在线段EF上 任取一点P，线段BC上任取一点Q，则AP AQ uuu r uuu r 的 最大值为 A25 B27 C29 D31 8已知函数 2 2 2 ( )1 31 x x f xx .若存在(1,4)m使得不等式 2 (4)(3 )2fmaf mm成立,则实数 a 的取值范围是 A(,7) B(,7 C(,8) D(,8 二、选择二、选择题：本题题：本题共共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分
5、选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9某中学为了研究高三年级学生的身高和性别的相关性问题，从高三年级 800 名学 生中随机抽取 200 名学生测量身高，测量数据的列联表如下： 单位：人 性别 身高 合计 低于 170cm 不低于 170cm 女 80 16 96 男 20 84 104 合计 100 100 200 下列说法正确的有 A从列联表可以判断该样本是由分层抽样而得 B从列联表可以看出该中学高三学生身高最高的是男生 高三数学第 3 页（共 6 页） C有 99.9%的把握认为该中学高三学生的身高与性别有关联 D若该样本中男生身高 h（单位：cm）服
6、从正态分布(175,25)N，则该样本中 身高在区间 175,180内的男生超过 30 人 附 1： 2 2 () ()()()() n adbc ab cdac bd （其中nabcd ）. 临界值表： 2 0 ()Px 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 x 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 附 2：若 2 ( ,)XN ，则随机变量 X 取值落在区间(,) 上的概率约 为 68.3%. 10在数学发展史上，曾经定义过下列两种函数:1 cos称为角的正矢，记作 sinver；1 sin称为角的
7、余矢，记作sincover.则 A 20213 sin 62 ver B函数( )sinsinfvercover的最大值为 32 2 2 C存在一个，使函数( )sinsinfvercover的值为 3 2 D将函数( )sinfcover的图象向左平移 2 个单位后，可得到函数 ( )singver的图象 11 已知正四棱柱 1111 ABCDABC D的底面边长为 1， 侧棱长为 2， 点M为侧棱 1 CC 上的动点，AM 平面下列说法正确的有 A异面直线AM与 1 BC可能垂直 B直线BC与平面不可能垂直 CAB与平面所成角的正弦值的范围为 2 (0, 2 D若M且 1 CMMC，则平面
8、截正四棱柱所得截面多边形的周长 为3 2 高三数学第 4 页（共 6 页） 12已知函数( )f x的定义域为 R，且在 R 上可导，其导函数记为( )fx下列命题 正确的有 A若函数( )f x是奇函数，则( )fx是偶函数 B若函数( )fx是偶函数，则( )f x是奇函数 C若函数( )f x是周期函数，则( )fx也是周期函数 D若函数( )fx是周期函数，则( )f x也是周期函数 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分请将答案填写在请将答案填写在答题卡相应的答题卡相应的 位置上位置上 13已知抛物线 2 2(0)ypxp 的
9、焦点为 F，点(0, 2)A . 若线段 FA 的中点 B 在抛 物线上，则p的值为 14已知等差数列 n a的首项为 a，公差为 b（其中,Na b ） ，且 23 aaba，写 出一个满足条件的数列 n a的通项公式： 15已知平面向量 a，b，c 满足1bc，3bc，21 a ba c，则b与c 的夹角为 ；a等于 （第一空 2 分，第二空 3 分） 16一个组合体由上下两部分组成，上部是一个半球，下部是一个圆柱，半球的底 面与圆柱的上底面重合 若该组合体的体积为V， 则当圆柱底面半径r 时， 该组合体的表面积最小 三、三、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.
10、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 10 分） 在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且coscosabaBbA （1）求证：ab； （2）若4c ， 3 cos 5 C ，求ABC 的面积 高三数学第 5 页（共 6 页） 18 （本小题满分 12 分） 在 2 1 (1) nn nanann ，3(2) nn Sna， 1 (2) nn n na T T n 这三个条件中 任选一个补充在下面问题中，并解答下列题目 设首项为 2 的数列 n a的前n项和为 n S，前n项积为 n T，且 （1）求数列 n a
11、的通项公式； （2）设( 1)n nn ba ，求数列 n b的前n项和 19 （本小题满分 12 分） 如图，在三棱柱 111 ABCABC中，ABC 是边长为 2 的等边三角形，平面ABC 平 面 11 AAB B， 11 A AAB， 1 60A AB o，O 为AB的中点，M为 11 AC的中点 （1）求证：OM平面 11 BBC C； （2）求二面角 11 CBAC的正弦值 20 （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系xOy中， 已知动点 M 到定点( 2,0)F 的距离与到定直线l： 3 2 x 的距离之比为定值 2 3 3 （1）求动点 M 的轨迹 E 的方程； （2）过点
12、F 作互相垂直的两条直线 1 l， 2 l，其中 1 l交动点 M 的轨迹 E 于 M，N 两 点， 2 l交圆 D： 22 (4)9xy于 P，Q 两点，点 R 是 P，Q 的中点，求RMN面 积的最小值 O M CC1 B1 B A1A O M CC1 B1 B A1A O M CC1 B1 B A1A O M CC1 B1 B A1A O M CC1 B1 B A1A O M CC1 B1 B A1A O M CC1 B1 B A1A O M CC1 B1 B A1A O M CC1 B1 B A1A O M CC1 B1 B A1A （第 19 题图） O M CC1 B1 B A1A
13、 高三数学第 6 页（共 6 页） 21 （本小题满分 12 分） 某中学的一个高二学生社团打算在开学初组织部分同学打扫校园.该社团通知高二 同学自愿报名，由于报名的人数多达 50 人，于是该社团采用了在报名同学中用抽签 的方式来确定打扫校园的人员名单抽签方式如下：将 50 名同学编号，通过计算机 从这 50 个编号中随机抽取 30 个编号， 然后再次通过计算机从这 50 个编号中随机抽 取 30 个编号，两次都被抽取到的同学打扫校园 （1）设该校高二年级报名打扫校园的甲同学的编号被抽取到的次数为Y，求Y的数 学期望； （2）设两次都被抽取到的人数为变量X，则X的可能取值是哪些？其中X取到 哪
14、一个值的可能性最大？请说明理由 22 （本小题满分 12 分） 已知函数( ) ex ax f x （e为自然对数的底数） （1）若函数( )( )g xxf x在(0,)上为增函数，求实数a的取值范围； （2）证明：对任意实数a, 函数( )( )lnh xf xx有且只有一个零点 高三数学第 7 页（共 6 页） 20202021 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研 （二） 数学参考答案 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分 1A2C3A4C5D6B7C8C 二、多项选择题：全部选对得二、多项选择题：全部选对得 5 分，部
15、分选对得分，部分选对得 2 分，有选错得分，有选错得 0 分分. 9CD10BD11ABD12AC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 132 1421 n an或31 n an（形如(2) n aknk（k 为不小 于 3 的正整数） ） 15120o， 21 3 163 3 5 V 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分 17解： （1）因为coscosabaBbA， 由余弦定理得 222222 22 acbbca abab acbc ，2 分 即 ()() 0 ab abc c ，4 分 因
16、为abc，所以ab5 分 （2）若 3 4,cos 5 cC，因为 222 cos 2 abc C ab ， 则 2 2 3216 52 a a ，得 2 20a ，8 分 又因为0C ，所以 22 34 sin1cos1( ) 55 CC， 于是 114 sin208 225 ABC SabC 10 分 18解：选：因为 2 1 (1) nn nanann ，得 1 1 1 nn aa nn ，2 分 高三数学第 8 页（共 6 页） 所以数列 n a n 是等差数列，首项为2，公差为 1，4 分 则2(1) 11 n a nn n ，所以(1) n an n6 分 选：因为3(2) nn
17、Sna，当2n时， 11 3(1) nn Sna ， 则 1 3(2)(1) nnn anana ，即 1 (1)(1) nn nana ，2 分 所以 1 1 1 n n an an ，所以 1 14 3 (1) 122 1 n nn aan n nn L4 分 当1n 时， 1 2a 也满足，所以(1) n an n6 分 选：因为 1 (2) nn n na T T n ，即 1 (2) n n na a n ，2 分 所以 1 2 nn aa nn ，即 1 (2)(1)(1) nn aa nnnn ， 所以数列 (1) n a nn 是常数列，4 分 所以 1 1 (1)2 1 n
18、aa nn ，即(1) n an n6 分 （2）因为( 1)n nn ba ， 当n为偶数时， 222 12 (11)(22)() n bbbnnLL 222222 1234(1 )1234(1 )nnnnLL ( 321 )(2 ) 3721 22222 nnnnnn n L9 分 当n为奇数时， 2222 12 (11)(22)(1)(1) n bbbnnnnLL 高三数学第 9 页（共 6 页） y x z O M C C1 B1 B A1A 2 2 (1 ) (1 )(1 ) 22 nnn nn 所以 12 2 . (2) , 2 (1) , 2 n n n n bbb n n L
19、为偶数， 为奇数 12 分 19 （1）证明：取 11 BC中点E，连接BE， 11 AMC M， 11 1 2 MEAB，ME 11 A B， 三棱柱 111 ABCABC，O为AB的中点， 11 1 2 OBAB，OB 11 AB， ,OBME OBME，四边形OMEB为平行四边形， OMBE3 分 OM 平面 11 BBC C，BE 平面 11 BBC C， OM平面 11 BBC C5 分 （2）CACB，AOOB，COAB， 平面ABC 平面 11 AAB B，平面ABC I平面 11 AAB BAB， CO 平面CAB，CO 平面 11 AAB B，7 分 11 A AAB， 1
20、60AAB o， 1 AAB为等边三角形， AOOB， 1 OAAB， 1 ,OA OA OC两两垂直， 以 1 ,OA OA OC uur uuu r uuu r 为正交基底建立如 图所示的空间直角坐标系Oxyz， (1,0,0)A， 1(0, 3,0) A，( 1,0,0)B ，(0,0, 3)C， 1( 1, 3, 3) C (1,0, 3)BC uuu r ， 1 (1, 3,0)BA uuu r 设平面 1 ABC的一个法向量为 1111 (,)nx y z u r ， 111 1111 30 30 nBCxz nBAxy u r uuu r u r uuu r ， ， 取 1 3x
21、 ，得 11 1,1yz 高三数学第 10 页（共 6 页） 平面 1 ABC的一个法向量为 1 ( 3, 1, 1)n u r ，9 分 1 ( 1 ,3 , 0 )BA uuu r ， 1 (0, 3, 3)BC uuu r 设平面 11 ABC的一个法向量 2222 (,)nxyz u u r ， 2122 2122 30 330 nBAxy nBCyz u u r uuu r u u r uuu r ， ， 取 2 1y ，得 22 3,1xz 平面 11 ABC的一个法向量为 2 (3,1, 1)n u u r ，11 分 12 12 12 3 1 13 cos, 53 1 1 3
22、1 1 n n n n n n u r u u r u r u u r u r u u r， 12 4 sin, 5 n n u r u u r ，即二面角 11 CBAC的正弦值为 4 5 12 分 20解： （1）设 M（x，y） ，由题意得： 22 (2)2 3 33 2 xy x ，2 分 即 222 43 (2)() 32 xyx，化简得 E： 2 2 1 3 x y4 分 （2）若 1 l的斜率不存在，则 2 3 3 MN ，(4,0)R， 所以RMN 面积为 12 3 62 3 23 S 5 分 若 1 l的斜率存在，且不为 0，设为 1 k，则 11 :(2)lyk x， 代入
23、 2 2 :1 3 x Ey中并化简得： 2222 111 (1 3)121230kxk xk ， 设 11 (,)M x y， 22 (,)N xy，则 2 2 1 121 2 1 2 3(1) 1 13 k MNxxk k ，7 分 2 1 1 :(2 )lyx k ，即 1 20 xk y，所以 2 1 2 2 1 1 636 36 1 1 k FR k k ， 且 2 1 6 3 1k ，得 2 1 3k，9 分 所以RMN 面积为 22 11 2 1 12 3(1)1 231 kk S k ，10 分 高三数学第 11 页（共 6 页） 令 2 1 31(8,)kt ，则 2 (4)
24、(1) 6 3 54 9 2 3 12 3 tt S ttt ， 所以S的最小值为2 3，即RMN 面积的取值范围为2 312 分 21解： （1）因为甲同学在第一次被抽到的概率是 303 505 ，1 分 第二次被抽到的概率也是 3 5 ，且两次相互独立，所以 3 (2, ) 5 YB，3 分 所以 36 ( )2 55 E Y 4 分 （2）设两次都被抽到的人数的个数为随机变量X， 则1030X（X N） ，6 分 则 3030 505020 3030 5050 () nnn n CCC P Xn CC ，分 令 3030 505020 50!(50)!20! ( ) (50)! ! (3
25、0)!20! (30)!(10)! nnn n n f nCCC n nnnn 2 5 0 ! ( 3 0) ! ! (1 0 ) !nnn ， 所以 2 2 (1)50!(30)!(10)! ( )(29)! (1)!(9)!50! f nnn n f nnnn 2 (30) (1)(9) n nn ， 若 2 (30)(1)(9)909520nnnn，则17n，11 分 所以当17n时，(1)( )f nf n；当18n时，(1)( )f nf n， 所以当18n 时，( )f n最大，即(18)P X 最大， 所以参加打扫图书馆的人数最有可能是 18 人.12 分 22解:（1）因为函数
26、( )g x在(0,)上单调递增， 所以 (1) ( )10 ex ax g x 在(0,)上恒成立，1 分 所以(1)exax在(0,)上恒成立， 当1x 时，Ra， 高三数学第 12 页（共 6 页） 当1x 时， e 1 x a x 在(1,)上恒成立，令 e ( ) 1 x t x x ，则 2 e (2) ( ) (1) x x t x x ， x (1,2) 2 (2,) ( )t x 0 ( )t x 增 极大值 减 则 2 max ( )(2)et xt，所以 2 ea 当01x时， e 1 x a x 在(0,1)上恒成立，且 e ( ) 1 x t x x 在(0,1)上增
27、， 所以1a，所以 2 e1a 4 分 （2）首先证明当0 x 时，e1 x xx 证明：设( )e1 x p xx，则( )e1 x p x，令( )0p x，得0 x ， 当0 x 时，( )0p x，( )p x单调递减； 当0 x 时，( )0p x，( )p x单调递增 所以 min ( )(0)0p xp，所以( )e10 x p xx ， 所以e1 x xx 6 分 当时, 结论显然成立;7 分 当时, (1)1 ( ) ex ax h x x ， (i)当01x 时, ( )ln0 ex ax h xx恒成立， (ii)当1x 时， (1)1 ( )0 ex ax h x x
28、， 所以( )h x在区间上单调递减， . 且(1)0 e a h, e ee e(ee ) (e ) ee a aa aa a aa ha . 所以 e ee0 a a ，即(e )0 a h，所以( )h x在(1,e ) a 上只有一个零点， 所以( )h x在(0,)上只有一个零点.9 分 当时， (i) 当1x 时, ( )ln0 ex ax h xx恒成立， 高三数学第 13 页（共 6 页） (ii)当01x 时， (1)1 ( )0 ex ax h x x ， 所以( )h x在上单调递减， 且(1)0 e a h, e ee e(ee ) (e )0 ee a aa aa a aa ha ， 所以( )h x在(e ,1) a 上只有一个零点，11 分 所以( )h x在(0,)上有且只有一个零点12 分
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