1、高考数学考前高考数学考前 3030 天回归课本知识技法精细过（天回归课本知识技法精细过（十十） 第五节第五节 椭圆椭圆 一、必记 3 个知识点 1椭圆的定义 条件 结论 1 结论 2 平面内的动点 M 与平面内的两个定点 F1，F2 M 点的 轨迹为 椭圆 _为椭圆的焦点 |MF1|MF2|2a (2a|F1F2|) _为椭圆的焦距 2.椭圆的简单几何性质(a2b2c2) 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) y2 a2 x2 b21(ab0) 图形 性 质 范围 axa byb bxb aya 对称性 对称轴：_ 对称中心：_ 顶点 A1_，A2_ B1_，B2_ A1_，A2_ B
2、1_，B2_ 性 质 轴 长轴 A1A2的长为_ 短轴 B1B2的长为_ 焦距 |F1F2|_ 离心率 ec a_ a，b，c 的关系 _ 3.椭圆中的 4 个常用结论 (1)设椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)上任意一点 P(x， y)， 则当 x0 时， |OP|有最小值 b， 这时， P 在短轴端点处； 当 x a 时，|OP|有最大值 a，这时，P 在长轴端点处 (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中 a 是斜边长，a2b2c2. (3)已知过焦点 F1的弦 AB，则ABF2的周长为 4a. (4)若 P 为椭圆上任一点，F 为其焦点，则 ac|PF|ac
3、. 二、必明 3 个易误点 1 椭圆的定义中易忽视 2a|F1F2|这一条件， 当 2a|F1F2|其轨迹为线段 F1F2， 当 2ab0) 3注意椭圆的范围，在设椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)上点的坐标为 P(x，y)时，则|x|a，这往往在求与点 P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因 三、技法 1. 求椭圆标准方程的 2 种常用方法 定义法 根据椭圆的定义，确定 a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程 待定系 数法 若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出 a，b； 若焦点位置不明确，则需要分焦点在 x 轴和 y 轴上两种情况讨论
4、，也可 设椭圆的方程为 Ax2By21(A0，B0，AB) 2. 求椭圆离心率的三种方法 (1)直接求出 a，c 来求解 e.通过已知条件列方程组，解出 a，c 的值 (2)构造 a，c 的齐次式，解出 e.由已知条件得出关于 a，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率 e 的 一元二次方程求解 (3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率 提醒：在解关于离心率 e 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率 e(0,1)进行根的取舍，否则将产生 增根. 3. 求解最值、取值范围问题的技巧 (1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形 (2)椭圆的范围或最
5、值问题常常涉及一些不等式例如，axa，byb,0e0 时，直线与椭圆相交；当 0 时，直线与椭圆相切；当 0)的距离_为非零常数 2a(2a0，c0. ()当_时，M 点的轨迹是双曲线； ()当_时，M 点的轨迹是两条射线； ()当_时，M 点不存在 2双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21(a0，b0) y2 a2 x2 b21 (a0，b0) 图形 性 质 范围 _ yR _ xR 对称性 对称轴：_ 对称中心：_ 对称轴：_ 对称中心：_ 顶点 顶点坐标：A1_， A2_ 顶点坐标：A1_， A2_ 渐近线 _ _ 离心率 e_，e(1，)其中 c_ 实虚轴 线段
6、 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2| 21_；线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2| 22_；a 叫做双曲 线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长 a、b、c 关系 c2 23_(ca0，cb0) 3.双曲线中的 4 个常用结论 (1)双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率 e 2双曲线的两条渐近线互相垂直 (2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在 x 轴上时，渐近线斜率为 b a，当焦点在 y 轴上 时，渐近线斜率为 a b. (3)渐近线与离心率 x2 a2 y2 b21(a0，b0)的一条渐近线的斜率为 b a e 21. (4)若 P 为双曲线上一点，F 为
7、其对应焦点，则|PF|ca. 二、必明 4 个易误点 1双曲线的定义中易忽视 2a|F1F2|则轨迹不存在 2双曲线的标准方程中对 a，b 的要求只是 a0，b0，易误认为与椭圆标准方程中 a，b 的要求相同 若 ab0，则双曲线的离心率 e(1， 2)； 若 ab0，则双曲线的离心率 e 2； 若 0a 2. 3注意区分双曲线中的 a，b，c 大小关系与椭圆 a，b，c 关系，在椭圆中 a2b2c2，而在双曲线中 c2a2b2. 4易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系当焦点在 x 轴上，渐近线斜率为 b a，当焦点在 y 轴 上，渐近线斜率为 a b . 三、技法 1. 双曲线定义的应用
8、 (1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程； (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法， 建立|PF1|与|PF2|的关系 注意 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若 是双曲线的一支，则需确定是哪一支. 2. 求双曲线标准方程的一般方法 (1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数 a，b，c 的方程并求出 a，b，c 的值与双曲线x 2 a2 y2 b21 有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为： x2 a2 y2 b2(0) (2
9、)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出 a 的值，由定点位置确定 c 的值. 3. 求双曲线离心率或其范围的方法 (1)求 a，b，c 的值，由c 2 a2 a2b2 a2 1b 2 a2直接求 e. (2)列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于 b2c2a2消去 b，然后转化成关于 e 的方程(或不 等式)求解 4求双曲线的渐近线方程的方法 求双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的渐近线的方法是令 x2 a2 y2 b20，即得两渐近线方程为： x a y b0. 参考答案 之差的绝对值 焦点 焦距 2a|F1F2| xa 或 xa ya 或 ya x 轴，y
10、 轴 坐标原点 x 轴，y 轴 坐标原点 (a,0) (a,0) (0，a) (0，a) y b ax y a bx c a a2b2 212a 222b 23a2b2 第七节第七节 抛物线抛物线 一、必记 2 个知识点 1抛物线定义、标准方程及几何性质 定义(几 何条件) 平面上， 到定直线与到该定直线外一定点的距离_的点的轨迹叫 做抛物线 标准方程 y22px _ _ _ (p0) _ _ _ 图形 对称轴 x 轴 _ y 轴 _ 顶点坐标 O(0,0) O(0,0) O(0,0) O(0,0) 焦点坐标 F(p 2，0) _ _ _ 离心率 e e1 e1 _ e1 准线方程 _ xp
11、2 yp 2 _ 焦半径 公式 |PF| x0p 2 |PF| x0p 2 |PF| _ |PF| _ 范围 x0 yR x0 yR _ xR _ xR 2.抛物线焦点弦的几个常用结论 设 AB 是过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2p 2 4，y1y2p 2. (2)弦长|AB|x1x2p 2p sin2( 为弦 AB 的倾斜角) (3)以弦 AB 为直径的圆与准线相切 (4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于 2p. 二、必明 2 个易误点 1抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的
12、轨迹是过定 点且与直线垂直的直线 2抛物线标准方程中参数 p 易忽视，只有 p0，才能证明其几何意义是焦点 F 到准线 l 的距离，否则 无几何意义 三、技法 1. 应用抛物线定义的 2 个关键点 (1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化 (2)注意灵活运用抛物线上一点 P(x，y)到焦点 F 的距离|PF|x|p 2或|PF|y| p 2. 2. 求抛物线的标准方程的方法 (1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有 p，所以只需一个条件确定 p 值即可 (2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量 3确定及应用抛物线性质的技巧 (
13、1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程 (2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解. 4. 解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系 (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公 式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式 (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代 入”等解法 提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解. 参考答案 相等 y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) x 轴 y 轴 F(p 2，0) F(0， p 2) F(0， p 2) e1 x p 2 y p 2 y0 p 2 y0p 2 y0 y0
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