1、2021 年广东省茂名市高考数学第二次综合测试试卷（年广东省茂名市高考数学第二次综合测试试卷（4 月份）月份） 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题）小题）. 1设集合 Ax|x22x30，Bx|log2x1，则 AB（ ） A（1，2） B（1，3） C（2，3） D（1，+） 2“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，推动着新能源汽车产业的迅速发展如 表是 2020 年我国某地区新能源乘用车的前 5 个月销售量与月份的统计表： 月份代码 x 1 2 3 4 5 销售量 y（万辆） 0.5 0.6 1 1.4 1.5 由上表可知其线性回归方程为 0.28x+a，则 a 的值
2、为（ ） A0.16 B1.6 C0.06 D0.8 3“m0”是“函数 f（x）lnxmx 在（0，1上为增函数”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准震级（M）是用距震中 100 千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的里氏震级的计算公式为：Mlg （其中 A0（常数）是距震中 100 公里处接收到的 0 级地震的地震波的最大振幅；Amax 是指我们关注的 这个地震在距震中 100 公里处接收到的地震波的最大振幅），地震的级数就是当地震发生时，以地震波 的
3、形式放出的能量的指示参数 E104.8101.5M焦耳， 其中 M 为地震级数， 它直接同震源中心释放的能量 （热能和动能）大小有关，震源放出的能量越大，震级就越大已知汶川地震最大振幅是玉树地震最大 振幅的 100.9倍，若玉树地震波产生的能量为 E，则汶川地震波产生的能量为（ ） A101.35E B1.35E C100.9E D90E 5已知三角形 ABC 的边长分别为 AB3，AC4，BC5，3，则（ ） A1 B C3 D 6 设 O 为坐标原点， F 为抛物线 C： x28y 的焦点， P 为 C 上一点， 若|PF|6， 则POF 的面积为 （ ） A2 B4 C4 D4 7已知数
4、列an满足 3an2an1an+1，且 a10，a62021，则 a2（ ） A B C D 8在三棱锥 ABCD 中，AB2，ABCACD60，E、F 分别为 BC、AD 的中点，且 EFBC，EF AD，BCAD，则异面直线 BF 与 DE 所成角的余弦值为（ ） A B C D 二、选择题（共二、选择题（共 4 小题）小题）. 9给出如下数据： 第一组：3，11，5，13，7，2，6，8，9 第二组：12，20，14，22，16，11，15，17，18 则这两组数据的（ ） A平均数相等 B中位数相等 C极差相等 D方差相等 10已知函数 f（x）sinx 和 g（x）cosx，则下列正
5、确的是（ ） Af（x）的图象可由 g（x）的图象向右平移个单位得到 Bx（，）时，|g（x）|f（x）| Ch（x）f（x）+g（x）的对称轴方程为：x+k（kZ） D若动直线 xa 与函数 f（x）sinx 和 g（x）cosx 的图象分别交于 M，N 两点，则|MN|的最大值为 11传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱 的高相等这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，于是留下遗言：他死后，墓 碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形设圆柱的体积与球的体积之比为 m，圆柱的表面积与球的表 面积之比为 n，若 f（x）（x3）8
6、，则（ ） Af（x）的展开式中的常数项是 56 Bf（x）的展开式中的各项系数之和为 0 Cf（x）的展开式中的二项式系数最大值是 70 Df（i）16，其中 i 为虚数单位 12已知 F1，F2分别为双曲线 C：1（a0，b0）的左、右焦点，C 的一条渐近线 l 的方程为 yx，且 F1到 l 的距离为 3 ，点 P 为 C 在第一象限上的点，点 Q 的坐标为（2，0），PQ 为F1PF2 的平分线，则下列正确的是（ ） A双曲线的方程为1 B 2 C|3 D点 P 到 x 轴的距离为 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 1
7、31748 年，数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，得到公式 eixcosx+isinx，这个公式在复变 论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据此公式，可以得到“最美的数学公式”：ei+1 14写出一个对称中心为（，0）的函数 f（x） 15在矩形 ABCD 内有 E、F 两点，其中 AB120cm，AE100cm，EF80cm，FC60cm， AEFCFE60，则该矩形 ABCD 的面积为 cm2（答案如有根号可保留） 16已知 x0，f（x）x2+ex，g（x）（m2+1）x+lnx，若 f（x）g（x）恒成立，则实数 m 的取值范围 是 四、解答题：共四、解答题：共
8、70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17在ABC，它的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，_，cos（A+2B）+2sin（A+B）sinB， 且ABC 外接圆的半径为 1 在b+c3，sinC2sinB，角 B 的平分线交 AC 于点 D且 CD：AD：2请在这三个条件中 任选一个，补充在上面问题的横线中，求角 A 和ABC 的面积 18已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，S990，a1020，数列bn满足 b16，bn+13bn4n，Tn为数列 bn的前 n 项和 （1）求数列an的通项公式； （2）求证：数列bnan1为
9、等比数列； （3）若 Tn3690 恒成立，求 n 的最小值 19如图，四棱锥 PABCD 中，PA矩形 ABCD，其中 AD2，AB1，PA，点 E 为矩形 ABCD 的 边 BC 上一动点 （1） F 为线段 PD 上一点， |PD|3|DF|， 是否存在点 E， 使得 EF平面 PAB， 若存在， 请求出 CE 的长， 若不存在，请说明理由； （2）若 DEPE，求直线 PC 与平面 PED 所成角的余弦值 20茂名市是著名的水果之乡， “高农业”蓬勃发展，荔枝，华李、香蕉、龙眼等“岭南佳果”驰名中外某 商铺推出一款以新鲜水果为原料的加工产品，成本为每份 10 元，然后以每份 20 元的
10、价格出售如果当 天卖不完，剩下的作垃圾处理 （1）若商铺一天准备 170 份这种产品，求当天的利润 y（单位：元）关于当天需求量 n 份（nN*）的函 数解析式 （ 2 ） 商 铺 记 录 了100天 这 种 产 品 的 日 需 求 量 （ 单 位 ： 份 ） ， 整 理 得 图 若商铺计划一天准备 170 份或 180 份这种产品， 用 X 表示准备 170 份的利润， Y 表示准备 180 份的利润， 你认为应准备哪个数量更合理？请说明理由（以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概 率） 21已知点 N 为圆 C1：（x+1）2+y216 上一动点，圆心 C1关于 y 轴的对
11、称点为 C2，点 M，P 分别是线段 C1N，C2N 上的点，且0，2 （1）求点 M 的轨迹方程； （2）过点 A（2，0）且斜率为 k（k0）的直线与点 M 的轨迹交于 A，G 两点，点 H 在点 M 的轨迹 上，GAHA，当 2|AG|AH|时，证明：k2 22已知函数 f（x）mlnx+cos（x+），g（x）f（x）xcos（x+） （1）当 x1 时，若不等式 g（x）ex1x1 恒成立，求实数 m 的取值范围； （2）若存在两个不相等的正数 x1，x2，使得 f（x1）+x1f（x2）+x2，证明：2m 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题）小题）. 1设集合
12、 Ax|x22x30，Bx|log2x1，则 AB（ ） A（1，2） B（1，3） C（2，3） D（1，+） 解：Ax|1x3，Bx|x2， AB（1，+） 故选：D 2“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，推动着新能源汽车产业的迅速发展如 表是 2020 年我国某地区新能源乘用车的前 5 个月销售量与月份的统计表： 月份代码 x 1 2 3 4 5 销售量 y（万 辆） 0.5 0.6 1 1.4 1.5 由上表可知其线性回归方程为 0.28x+a，则 a 的值为（ ） A0.16 B1.6 C0.06 D0.8 解：由题意可知， 因为线性回归方程过点（）， 所以有 1
13、0.283+a， 故 a0.16 故选：A 3“m0”是“函数 f（x）lnxmx 在（0，1上为增函数”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解：若 f（x）lnxmx 在（0，1上为增函数， 则 f（x）m0 在（0，1上恒成立， 即 m，m1， （，0（，1， m0 是 f（x）lnxmx 在（0，1上为增函数的充分不必要条件 故选：A 4地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准震级（M）是用距震中 100 千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的里氏震级的计算公式为：Mlg （其中 A0（常数
14、）是距震中 100 公里处接收到的 0 级地震的地震波的最大振幅；Amax 是指我们关注的 这个地震在距震中 100 公里处接收到的地震波的最大振幅），地震的级数就是当地震发生时，以地震波 的形式放出的能量的指示参数 E104.8101.5M焦耳， 其中 M 为地震级数， 它直接同震源中心释放的能量 （热能和动能）大小有关，震源放出的能量越大，震级就越大已知汶川地震最大振幅是玉树地震最大 振幅的 100.9倍，若玉树地震波产生的能量为 E，则汶川地震波产生的能量为（ ） A101.35E B1.35E C100.9E D90E 解：设玉树地震最大振幅为 Amax，则汶川地震最大振幅为 100.
15、9Amax， M玉树lg ，M汶川lg 0.9+lg0.9+M玉树， E玉树104.8 ， E汶川104.8 104.8 101.50.9E玉树101.35101.35E， 故选：A 5已知三角形 ABC 的边长分别为 AB3，AC4，BC5，3，则（ ） A1 B C3 D 解：三角形 ABC 的边长分别为 AB3，AC4，BC5，3， A90， （）（）（+（）（）（+）（ ）42032， 故选：D 6 设 O 为坐标原点， F 为抛物线 C： x28y 的焦点， P 为 C 上一点， 若|PF|6， 则POF 的面积为 （ ） A2 B4 C4 D4 解：由抛物线方程得准线方程为：y2，
16、焦点 F（0，2）， 又 P 为 C 上一点，|PF|6，可得 yP4， 代入抛物线方程得：|xP|4， SPOF|OF|xP|4 故选：B 7已知数列an满足 3an2an1an+1，且 a10，a62021，则 a2（ ） A B C D 解：由题意 3an2an1an+1，可得 an+1an2（anan1）， 若 anan10，则 a6a5a10，与题中条件矛盾， anan10， a2a1a2， 数列an+1an是以 a2为首项，2 为公比的等比数列， a n+1 ana22n1， a6a5+a5a4+a2a1 ， a631a2， ， 故选：A 8在三棱锥 ABCD 中，AB2，ABCA
17、CD60，E、F 分别为 BC、AD 的中点，且 EFBC，EF AD，BCAD，则异面直线 BF 与 DE 所成角的余弦值为（ ） A B C D 解：连结 AE，DE，BF，CF，如图所示， 因为 BCEF，BCAD，又 EFADF，EF，AD平面 AED， 所以 BC平面 AED，又 AE，DE平面 AED， 所以 BCAE，BCDE， 又因为 E 为 BC 的中点， 所以 ABAC，DBDC， 同理可得，ABBD，ACCD， 又因为ABCACD60， 所以ABC 和ADC 都是等边三角形， 故 ABBDACCDBCAD， 则三棱锥 ABCD 是正四面体， 取 CF 的中点 G，连结 E
18、G，则 EGBF， 所以GED 为直线 BF 与 DE 所成的角（或其补角）， 因为 AB2，所以 EG， 在EGD 中，由余弦定理可得， 所以异面直线 BF 与 DE 所成角的余弦值为 故选：B 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部 选对的得选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分 9给出如下数据： 第一组：3，11，5，13，7，2，6，8，9 第二组：12，20，14，22，16，11，15，
19、17，18 则这两组数据的（ ） A平均数相等 B中位数相等 C极差相等 D方差相等 解：对于 A，第一组数据的平均数为， 第二组数据的平均数为， 所以两组数据的平均数不相等， 故选项 A 错误； 对于 B，第一组数据的中位数是 7，第二组数据的中位数是 16，所以两组数据的中位数不相等，故选项 B 错误； 对于 C， 第一组数据的极差为 13211， 第二组数据的极差为 221111， 所以两组数据的极差相等， 故选项 C 正确； 对于 D，第一组数据的方差为（3）2+（11）2+（5）2+（13）2+（7） 2+（2 ）2+（6）2+（8）2+（9）2 4.112+3.892+2.112+
20、5.892+0.112+5.112+1.112+0.892+1.892， 第二组数据的方差为（12）2+（20）2+（14）2+（22）2+（16） 2+（11 ）2+（15）2+（17）2+（18）2 4.112+3.892+2.112+5.892+0.112+5.112+1.112+0.892+1.892， 所以两组数据的方差相等 故选：CD 10已知函数 f（x）sinx 和 g（x）cosx，则下列正确的是（ ） Af（x）的图象可由 g（x）的图象向右平移个单位得到 Bx（，）时，|g（x）|f（x）| Ch（x）f（x）+g（x）的对称轴方程为：x+k（kZ） D若动直线 xa 与
21、函数 f（x）sinx 和 g（x）cosx 的图象分别交于 M，N 两点，则|MN|的最大值为 解：函数 f（x）sinx 和 g（x）cosx， 函数 f（x）sinx 的图象由函数 g（x）cosx 的图象向右平移个单位，得到 ycos（x）sinx 的图象，故 A 正确； 对于 B：函数|f（x）|sinx|和|g（x）|cosx|，当时，如图所示： 故 B 正确； 对于 C：h（x）f（x）+g（x）sinx+cosx， 令（kZ），解得 x（kZ），故 C 正确； 对于 D：若动直线 xa 与函数 f（x）sinx 和 g（x）cosx 的图象分别交于 M，N 两点， 故|MN|s
22、inxcosx|sin（x）|， 当 xk（kZ）时，|MN|的最大值为 ，故 D 正确； 故选：ABCD 11传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱 的高相等这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，于是留下遗言：他死后，墓 碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形设圆柱的体积与球的体积之比为 m，圆柱的表面积与球的表 面积之比为 n，若 f（x）（x3）8，则（ ） Af（x）的展开式中的常数项是 56 Bf（x）的展开式中的各项系数之和为 0 Cf（x）的展开式中的二项式系数最大值是 70 Df（i）16，其中 i 为虚数单位
23、解：设球的半径为 R，则圆柱的底面半径为 R，高为 2R， 则圆柱的体积，球的体积，可得 m， 圆柱的表面积， 球的表面积为，则 n，可得 f（x）（x3）8（x3）8， 其二项展开式的通项为， 令 244r0，得 r6，常数项为，故 A 错误； 各项系数和为 f（1）0，故 B 正确； 二项式系数的最大值为，故 C 正确； f（i） ，故 D 错误 故选：BC 12已知 F1，F2分别为双曲线 C：1（a0，b0）的左、右焦点，C 的一条渐近线 l 的方程为 yx，且 F1到 l 的距离为 3 ，点 P 为 C 在第一象限上的点，点 Q 的坐标为（2，0），PQ 为F1PF2 的平分线，则下
24、列正确的是（ ） A双曲线的方程为1 B 2 C|3 D点 P 到 x 轴的距离为 解：渐近线 l 的方程为 yx， F1（c，0）到 l 的距离为 3 ，3 b， a3， 双曲线的标准方程为1，即选项 A 正确； c6， F1（6，0），F2（6，0）， 由角分线定理知，2，即选项 B 正确； 由双曲线的定义知，|PF1|PF2|2a6， |PF1|12|F1F2|，|PF2|6， 在等腰PF1F2中，cosPF2F1 ， sinPF2F1 ， xP|OF2|PF2|cosPF2F166 ， yP|PF2|sinPF2F16，即选项 D 正确； |OP|3， |+ |2|2|OP|6，即选项
25、 C 错误 故选：ABD 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 131748 年，数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，得到公式 eixcosx+isinx，这个公式在复变 论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据此公式，可以得到“最美的数学公式”：ei+1 0 解：因为公式 eixcosx+isinx， 所以 ei+1cos+isin+11+10， 故答案为：0 14写出一个对称中心为（，0）的函数 f（x） ysin（x） 解：ysin（x），答案不唯一，正确即可 15在矩形 ABCD 内有 E、F 两点，其中
26、 AB120cm，AE100cm，EF80cm，FC60cm， AEFCFE60，则该矩形 ABCD 的面积为 14400 cm2（答案如有根号可保留） 解： 在AEF 中， 由余弦定理可得 AF2 （100） 2+ （80 ） 22 25200， 可得 AF60cm， 由正弦定理可得，解得 sinAFE， 所以 cosAFE， 所以 cos（AFE+60）cosAFEcos60sinAFEsin60， 在AFC 中，由余弦定理可得 AC2AF2+FC22AFFCcosAFC 25200+36003+26057600， 所以 BC120cm， 则矩形 ABCD 的面积为 S1201201440
27、0cm2 故答案为：14400 16已知 x0，f（x）x2+ex，g（x）（m2+1）x+lnx，若 f（x）g（x）恒成立，则实数 m 的取值范围 是 ， 解：f（x）g（x）恒成立x2+exg（m2+1）x+lnx（x0）恒成立（m2+1） （x0） 恒成立， 令 h（x）x+， 则 h（x）， 再令 t（x）（x1）ex+x2+lnx1（x0）， 则 t（x）xex+2x+0 恒成立， yt（x）在（0，+）上单调递增，又 t（1）h（1）0， 当 x（0，1）时，t（x）0，即 h（x）0，h（x）在（0，1）上单调递减； 当 x（1，+）时，t（x）0，即 h（x）0，h（x）在（
28、1，+）上单调递增； h（x）minh（1）1+e， m2+11+e， 解得：， 故答案为：， 四、解答题：共四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17在ABC，它的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，_，cos（A+2B）+2sin（A+B）sinB， 且ABC 外接圆的半径为 1 在b+c3，sinC2sinB，角 B 的平分线交 AC 于点 D且 CD：AD：2请在这三个条件中 任选一个，补充在上面问题的横线中，求角 A 和ABC 的面积 解：因为 cos（A+2B）+2sin（A+B）sinB， 所以 cos
29、（A+B）+B+2sin（A+B）sinB， 所以 cos（A+B）cosBsin（A+B）sinB+2sin（A+B）sinB， 即 cos（A+B）cosB+sin（A+B）sinB， 所以 cosA， 因为 A 为三角形内角， 所以 A， 因为ABC 外接圆的半径为 1， 所以 a2sinA， 选b+c3， 由余弦定理得 a23b2+c2bc（b+c）23bc93bc， 所以 bc2， SABC； sinC2sinB， 由正弦定理得 c2b， 由余弦定理得 a23b2+c2bc3b2， 所以 b1，c2， SABC； 角 B 的平分线交 AC 于点 D且 CD：AD：2， 所以， 所以
30、c2， 由余弦定理得 a23b2+c2bc， 所以 b22b+10，即 b1， SABC 18已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，S990，a1020，数列bn满足 b16，bn+13bn4n，Tn为数列 bn的前 n 项和 （1）求数列an的通项公式； （2）求证：数列bnan1为等比数列； （3）若 Tn3690 恒成立，求 n 的最小值 解：（1）等差数列an为等差数列，设首项为 a1，公差为 d， 则有，解这个方程组可得， 数列an的通项公式即为：an2n（nN*） （2）根据题意，可得 bn+1an+11bn+12（n+1）13bn4n2n213bn6n3， ， 即得数列bnan
31、1是以 bb1a116213 为首项，公比为 3 的等比数列 （3）由上可得，（nN*）， ， ， 3n+1+2n+30， Tn随着 n 的增大而增大， 又T4144，T5398， 所以使 Tn3690Tn369 恒成立的 n 的最小值为 5 19如图，四棱锥 PABCD 中，PA矩形 ABCD，其中 AD2，AB1，PA，点 E 为矩形 ABCD 的 边 BC 上一动点 （1） F 为线段 PD 上一点， |PD|3|DF|， 是否存在点 E， 使得 EF平面 PAB， 若存在， 请求出 CE 的长， 若不存在，请说明理由； （2）若 DEPE，求直线 PC 与平面 PED 所成角的余弦值
32、解：（1）存在点 E 满足 EF平面 PAB，此时. 证明如下： 在线段 PA 上取一点 M，使得 PA3MA， 因为 PA3MA，PD3FD，所以 MFAD 且 MF， 又因为 BEAD 且 BE， 所以 BEMF 且 BEMF， 故四边形 BEFM 是平行四边形， 所以 EFMB，又 EF平面 PAB，MB平面 PAB， 所以 EF平面 PAB； （2）因为 PA平面 ABCD，又 DE平面 ABCD， 所以 PADE，又 DEPE，PAPEP，PA，PE平面 PAE， 所以 DE平面 PAE，又 AE平面 PAE， 所以 DEAE， 设 CEx，因为 DE2+AE2AD2，解得 x1，即
33、 E 为 BC 的中点， 以点 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以， 设平面 PED 的法向量为， 则有，即， 令 x1，则 y1，故， ， 所以直线 PC 与平面 PED 所成角的正弦值为， 故直线 PC 与平面 PED 所成角的余弦值为 20茂名市是著名的水果之乡， “高农业”蓬勃发展，荔枝，华李、香蕉、龙眼等“岭南佳果”驰名中外某 商铺推出一款以新鲜水果为原料的加工产品，成本为每份 10 元，然后以每份 20 元的价格出售如果当 天卖不完，剩下的作垃圾处理 （1）若商铺一天准备 170 份这种产品，求当天的利润 y（单位：元）关于当天需求量 n 份（nN*）的函 数
34、解析式 （ 2 ） 商 铺 记 录 了100天 这 种 产 品 的 日 需 求 量 （ 单 位 ： 份 ） ， 整 理 得 图 若商铺计划一天准备 170 份或 180 份这种产品， 用 X 表示准备 170 份的利润， Y 表示准备 180 份的利润， 你认为应准备哪个数量更合理？请说明理由（以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概 率） 解：（1）由题意可知 y（nN）， （2）若准备 170 份时，X 的可能取值为 1100，1300，1500，1700， P（X1100）0.1； P（X1300）0.2； P（X1500）0.2； P（X1700）0.5； E（X）110
35、00.1+13000.2+15000.2+17000.51520； 若准备 180 份时，Y 的可能取值为 1000，1200，1400，1600，1800， P（Y1000）0.1； P（Y1200）0.2； P（Y1400）0.2； P（Y1600）0.14； P（Y1800）0.36； E（Y）10000.1+12000.2+14000.2+16000.14+18000.361492， 以为 E（X）E（Y），所以商铺应该准备 170 份 21已知点 N 为圆 C1：（x+1）2+y216 上一动点，圆心 C1关于 y 轴的对称点为 C2，点 M，P 分别是线段 C1N，C2N 上的点，
36、且0，2 （1）求点 M 的轨迹方程； （2）过点 A（2，0）且斜率为 k（k0）的直线与点 M 的轨迹交于 A，G 两点，点 H 在点 M 的轨迹 上，GAHA，当 2|AG|AH|时，证明：k2 解：（1）如图示： 2，P 为 C2N 的中点， 0， 点 M 在 C2N 的垂直平分线上，|MN|MC2|， |MN|+|MC1|MC2|+|MC2|42， 点 M 在以 C1，C2为焦点的椭圆上，a2，c1，b ， 故 M 的轨迹方程是+1； （2）证明：将直线 AG 的方程 yk（x+2）（k0）代入+1， 得：（3+4k2）x2+16k2x+16k2120， 由 x1（2） ，得：x1，
37、 故 AG|x1+2|， 而 GAHA，得直线 AH 的方程为：y（x+2）， 故同理可得 AH， 由 2|AG|AH|得：， 即 4k36k2+3k80， 设 f（t）4t36t2+3t8，则 k 是 f（t）的零点， f（t）12t212t+33（2t1）20， 故 f（t）在（0，+）上单调递增， 又 f（）15260，f（2）60， 故 f（t）在（0，+）上有唯一的零点，且零点 k 在（，2）内， 故k2，原命题成立 22已知函数 f（x）mlnx+cos（x+），g（x）f（x）xcos（x+） （1）当 x1 时，若不等式 g（x）ex1x1 恒成立，求实数 m 的取值范围； （
38、2）若存在两个不相等的正数 x1，x2，使得 f（x1）+x1f（x2）+x2，证明：2m 解：（1）当 x1 时，g（x）ex1x1 恒成立等价于 mlnxex1+10， 令 h（x）mlnxex1+1，则 ， 当 m1 时，xex11，mxex10，h（x）0，h（x）在1，+）上单调递减， 所以 h（x）maxh（1）0，所以 h（x）0 恒成立 当 m1 时，令 t（x）mxex1（x1），t（x）ex1xex10， 所以 t（x）在1，+）上单调递减，t（x）maxt（1）m10，t（m）m（1em 1）0， 由零点存在性定理知，x01，m，使得 t（x0）0，且 x（1，x0）时，t（x）0，h（x）0， h（x）在（1，x0）上单调递增，所以 h（x）h（1）0，不满足题意，舍去， 综上，m1 （2）证明：不妨设 0 x1x2，则 lnx2lnx10， 因为 f（x1）+x1f（x2）+x2，所以 ， 令 P（x）xsinx（x0）， P（x）1cosx0，P（x）在（0，+）上单调递增，P（x2）P（x1）， 所以 x2sinx2x1sinx1，即 x2x1sinx2sinx1， 所以m（lnx2lnx1）x2x1 ， 即， 下证， 令，即证，只需证， 设，在（1，+）上恒成立， 所以 h（t）在（1，+）上单调递减， 所以 h（t）h（1）0， 所以2m
浙公网安备33030202001339号