1、考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（4） 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。求的。 1 （5 分）已知集合 3A ，2，1，2，3， |(3)(2)0Bxxx，则(AB ) A( 3，2，1，2 B 2，1，2 C 2，1 D 2，1，2，3 2 （5 分）若复数 2 (1 2 )zi，则|1| (z ) A20 B2 5 C32 D4 2 3 （5 分） “a，b，c成等比数列”是“ 2 a， 2 b，
2、2 c成等比数列”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）函数 | ( ) ln x f xx x 的图象大致为( ) A B C D 5 （5 分）将函数( )2sin coscos2f xxxx的图象向左平移 3 个单位长度，得到函数( )g x的图象，则下列 结论正确的是 ( ) A函数( )g x的最小正周期为2 B函数( )g x的图象关于直线 12 x 对称 C函数( )g x的图象关于点(,0) 4 对称 D函数( )g x在区间,0 3 上单调递增 6 （5 分）赵州桥始建于隋代，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的
3、石拱桥，由匠师李春设计建 造，距今已有 1400 余年的历史赵州桥的桥拱的跨度为 37.7 米，拱矢（拱顶至石拱两脚连线的高度）为 7.23 米设拱弧（假设桥拱的曲线是圆弧）的半径为R米，r为R精确到整数部分的近似值已知双曲线 22 2 :1(0) 192 xy Ca a 的焦距为r，则C的离心率为( )（参考数据： 22 7.2318.85407.6) A5 B6 C7 D8 7 （5 分）已知定义在R上的可导函数( )f x满足( )( )0fxf x，令 2 2 1 () () mm f mm amR e ，bf（1） ， 则有( ) Aa b Bab Ca b Dab 8 （5 分）抛
4、物线 2 4yx的焦点为F，点( , )P x y为该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与坐标轴的交 点，则 | | PA PF 的最大值是( ) A2 B2 C 2 3 3 D 3 2 二、二、选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的对分，部分选对的对 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9 （5 分）关于圆 222 1 :210 4 C xykxykk ，下列说法正确的是( ) Ak的取值范
5、围是0k B若4k ，过(3,4)M的直线与圆C相交所得弦长为2 3，其方程为125160 xy C若4k ，圆C与 22 1xy相交 D若4k ，0m ，0n ，直线10mxny 恒过圆C的圆心，则 12 8 mn 恒成立 10已知P为ABC所在平面内一点，则下列正确的是( ) A若320PAPBPC，则点P在ABC的中位线上 B若0PAPBPC，则P为ABC的重心 C若0AB AC，则ABC为锐角三角形 D若 12 33 APABAC，则ABC与ABP的面积比为3:2 11函数( )f x的定义域为I若0M使得xI 均有|( )|f xM，且函数(1)f x是偶函数，则( )f x可 以是
6、( ) A( ) | 2 x f xln x B( )sin()cos(2) 2 f xxx C 11 ( ) 224 x f x D 0, ( ) 1, RQ f x xQ 12 （5 分）将边长为 2 的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，点P为线段AD上的一动 点，下列结论正确的是( ) A异面直线AC与BD所成的角为60 BACD是等边三角形 CBCP面积的最小值为 2 6 3 D四面体ABCD的外接球的表面积为8 三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）8 名志愿者到 2 个小区参加垃圾分类宣传活动
7、，每个小区安排 4 名志愿者，则不同的安排方法 共有 种 14 （5 分）写出一个关于a与b的等式，使 22 19 ab 是一个变量，且它的最小值为 16，则该等式为 15 （5 分）已知椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 的右顶点为P，右焦点F与抛物线 2 C的焦点重合， 2 C的顶点 与 1 C的中心O重合若 1 C与 2 C相交于点A，B，且四边形OAPB为菱形，则 1 C的离心率为 16 （5 分）某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如 图所示，其中扇形OAB的半径为 10，60PBAQAB，AQQPPB，若按此方案设计，工
8、艺制造 厂发现，当OP最长时，该奖杯比较美观，此时AOB 四、四、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）在 1 31 nn SS ， 2 1 9 a ；1 nn Sa； 1 1a ， 1 21 nn aS 这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中，并完成解答 已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足_ （1）求 n a的通项公式； （2）求 1335572121nn a aa aa aaa 的值 18 （12 分）如图，在ABC中，ABAC，2ABAC，点E，F是
9、线段BC（含端点）上的动点，且 点E在点F的右下方，在运动的过程中，始终保持 4 EAF 不变，设EAB弧度 （1）写出的取值范围，并分别求线段AE，AF关于的函数关系式； （2）求EAF面积S的最小值 19 （12 分）如图，在底面为矩形的四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，E，F分别为侧棱PD，PB 的中点，且24PAADAB （1）证明：平面AEF 平面PCD （2）若PC是平面的一个法向量，求与平面AEF所成锐二面角的余弦值 20 （12 分）甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5 局 3 胜制” （即有一支球队先胜 3 局即获胜，比 赛结束） 比赛排名采用积分制，积分规则如下：比
10、赛中，以3:0或3:1取胜的球队积 3 分，负队积 0 分； 以3:2取胜的球队积 2 分，负队积 1 分，已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为 2 3 （1）甲、乙两队比赛 1 场后，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望； （2）甲、乙两队比赛 2 场后，求两队积分相等的概率 21 （12 分）在平面直角坐标系中，已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，右焦点为 2 F，上顶 点为 2 A，点( , )P a b到直线 22 F A的距离等于 1 （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线:(0)l ykxm m与椭圆C相交于A，B两点，D为AB中点，直线D
11、E，DF分别与圆 222 :(3 )W xymm相切于点E，F，求EWF的最小值 22 （12 分）已知函数 2 ( )2() sin xa f xaR x （1）若曲线( )yf x在点( 2 ，() 2 f 处的切线经过坐标原点，求实数a； （2）当0a 时，判断函数( )f x在(0, )x上的零点个数，并说明理由 考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（4）答案）答案 1解：集合 3A ，2，1，2，3， |(3)(2)0 | 32Bxxxxx ， 2AB ，1 故选：C 2解：由题设知： 2 (1 2 )1 4434ziii ， 144zi ， 22 |1|444
12、 2z， 故选：D 3解：若a，b，c成等比数列，则 2 bac， 此时 2224 ()a cacb，则 2 a， 2 b， 2 c成等比数列，即充分性成立， 反之当1a ，1b ，1c 时满足 2 a， 2 b， 2 c成等比数列，但a，b，c不成等比数列，即必要性不成立， 即“a，b，c成等比数列”是“ 2 a， 2 b， 2 c成等比数列”的充分不必要条件， 故选：A 4解：函数( )yf x为奇函数，所以B选项错误； 又因为f（1）10 ，所以C选项错误； 又因为 2 (2)20 2 ln f，所以D选项错误 故选：A 5解：将函数( )2sin coscos2sin2cos22sin
13、(2) 4 f xxxxxxx 的图象向左平移 3 个单位长度，得 到函数 5 ( )2sin2()2sin(2) 3412 g xxx 的图象， 可得函数( )g x的最小正周期为 2 2 T ，故A错误； 令 12 x ，求得 7 ()2sin2 1212 g ，故B错误； 令 4 x ，求得 11 ()2sin0 412 g ，故C错误； 在,0 3 上， 5 2( 124 x ， 5 ) 12 ，可得 5 ( )2sin(2) 12 g xx 的图象单调递增，故D正确 故选：D 6解：由题意知， 222 37.7 ()(7.23) 2 RR， 22 14.467.2318.85407.
14、6R， 28.19R， 28r， 222 192( )14196 2 r a ， 2a， 离心率 14 2 7 2 r e a 故选：C 7解：设( )( ) x g xe f x， ( )( )0fxf x， ( )( )( )0 x g xef xf x 函数( )g x为R上的增函数， 22 11 ()1 24 mmm ， 2 ()g mmg（1） ， 即 22 1 () m mm m ef ee f （1） ， 2 2 1 () mm f mm f e （1） ，即ab， 故选：D 8解：设直线PA的倾斜角为，设 PP 垂直于准线于 P ， 由抛物线的性质可得| |PPPF ， 所以则
15、 |1 |cos PAPA PFPP ， 当cos最小时，则 | | PA PF 值最大， 所以当直线PA与抛物线相切时，最大，即cos最小， 由题意可得( 1,0)A ， 设切线PA的方程为：1xmy， 2 1 4 xmy yx ，整理可得 2 440ymy， 2 16160m，可得1m ， 将1m 代入 2 440ymy，可得2y ，所以1x ， 即P的横坐标为 1，即P的坐标(1, 2)， 所以 22 |222 2PA ，| 1( 1)2PP ， 所以 | | PA PF 的最大值为： 2 2 2 2 ， 故选：B 9解：圆C的标准方程为： 22 ()(1) 2 k xyk，故A正确；
16、当4k 时，圆C的圆心(2, 1)，半径为 2， 对于选项B，当直线为3x 时，该直线过点M，此时截得弦长为2 3，故选项B不正确； 对于选项C，两圆的圆心距为 22 (20)( 1 0)5 ， 大于两圆半径之差的绝对值且小于两圆半径之和，故正确； 对于选项D，易得210mn ，即21mn，0m ，0n ， 1212 ()(2)448 nm mn mnmnmn ， 当且仅当4 nm mn ，即 1 2 2 nm时取等号，故正确 故选：ACD 10解：设AB中点D，BC中点E， 若320PAPBPC，则2()0PAPBPBPC， 所以240PDPE，即2PDPE ， 所以P为DE的三分点，A正确
17、； 若0PAPBPC， 则20PDPC， 所以P在中线CD上且2CPPD，即P为三角形重心，B正确； 若0AB AC，则A为锐角，但不能确定B，C，故ABC不一定为锐角三角形，C错误； 若 12 33 APABAC，则 12 ()()0 33 ABAPACAP， 即20PBPC， 所以P为BC上靠近C的三等分点， 所以2BPPC， 故ABC与ABP的面积比为3:2，D正确 故选：ABD 11解：当0 x 时，0 2 x x ，则 2 x ln x ，( )f x ，( )f x无界，A错误； (1)sin()cos(22 )coscos2 222 f xxxxx 为偶函数，且|(1)|2f x
18、，B正确； 因为20 x ，222 x ， 所以 111 4224 x ， 所以 1 |( )| 4 f x ，存在符合题意的M， 因为 1 11 (1) 224 x f x ， 11 1121 (1) 224224 x xx fx ， 所以 111 1121121 (1)(1)0 224224222 xx xxx fxf x ， 故(1)f x为奇函数，不符合题意； 0, ( ) 1, RQ f x xQ ，则|( )| 1f x， 因为1x 与1x 要么都是有理数，要么都是无理数， 所以(1)(1)f xfx ， 故(1)f x为偶函数，符合题意 故选：BD 12解：对于A，因为BDOA，
19、BDOC，OAOCO， 所以BD 平面AOC，AC 平面AOC， 所以BDAC，异面直线AC与BD所成的角为90，不是60，所以A错； 对于B，因为 1 2 2 OAOCAC，所以 22 ( 2)( 2)2AC ，同理2DC ， 所的ACD是等边三角形，所以B对； 对于C，因为2BC ，所以要求BCP面积的最小值， 只须求BC边上高的最小值，此最小值恰为异面直线AD与BC的距离，设为h， 因为/ /ADBC，BC 平面BC C，AD平面BC C，所以/ /AD平面BC C， 又因为BC 平面BC C，所以直线AD到平面BC C距离即为h， 即点D到平面BC C距离为h， 因为 D BCCC B
20、C D VV ，所以 22 1 11 1 2sin6022 3 23 2 h，解得 2 6 3 h ， 所以BCP面积的最小值 112 62 6 2 2233 BC h ，所以C对； 对于D，四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为2R ， 所以表面积为 2 48R，所以D对 故选：BCD 13解：由题意可得不同的安排方法共有 44 84 70C C ， 故答案为：70 14解：该等式为 22 1ab，下面证明该等式符合条件 2222 22 22222222 191999 ()()1910216 abab ab ababbaba ， 当且仅当 22 3ba时取等号， 所以 22 19 ab 是
21、一个变量，且它的最小值为 16 故答案为： 22 1ab 15解：由题意设抛物线的方程为 2 2ypx，焦点F坐标( 2 p ，0)， 由题意可得 2 p c， 由四边形OAPB为菱形可得AB与OP互相垂直平分，设A在x轴上方， 所以可得( 2 a A，2) 2 a p，即( 2 a ，2)ac， 代入椭圆的方程为： 2 22 ( ) 2 2 1 a ac ab ，而 222 bac， 整理可得： 2 3830ee，解得 1 3 e ， 故答案为： 1 3 16解：作OMQP交QP于M，交AB于C，且OCAB，设AOC， 则20sinAB，10cosOC， 设AQQPBPx，作QEAB交AB于
22、E，PFAB交AB于F， 60PBAQAB， 1 2 AEBFx， 3 2 CMPFx， EFQPx，2ABx，则20sin2ABx，即10sinx， 3 10cos10cos5 3sin 2 OMOCCMx， 22222 (10cos5 3sin )(5sin )OPOMMP 222 10075100 3sincos25cossinsin 10050 3sin2 sin2 1 ，1，当sin21，即 4 时， 2 OP最大， 也就是OP最长时， 2 AOB 故答案为： 2 17解：若选： （1） 1 31 nn SS ，当1n 时， 21 31SS，即 121 331aaa， 因为 2 1
23、9 a ，所以 1 1 3 a ， 当2n时， 1 31 nn SS ，所以 1 3 nn aa ，即 1 1 3 n n a a ， 又 2 1 1 3 a a ，所以 1 1 3 n n a a ，*nN， 所以数列 n a是以 1 3 为首项， 1 3 为公比的等比数列， 所以 1 ( ) 3 n n a （2） 4 2121 1 ( ) 3 n nn aa ， 所以 484 1335572121 111 ( )( )( ) 333 n nn a aa aa aaa 44 4 4 11 ( ) 1( ) 13 33 1 80 1( ) 3 n n 若选： （1）因为1 nn Sa，当1n
24、 时，可得 1 1 2 a ， 当2n时， 11 1 nn Sa ，可得 1 2 nn aa ，即 1 1 2 n n a a ， 所以数列数列 n a是以 1 2 为首项， 1 2 为公比的等比数列， 所以 1 ( ) 2 n n a （2） 4 2121 1 ( ) 2 n nn aa ，所以 484 1335572121 111 ( )( )( ) 222 n nn a aa aa aaa 44 4 4 11 ( ) 1( ) 12 22 1 15 1( ) 2 n n 若选： （1） 1 1a ， 1 21 nn aS ， 当1n 时， 21 213aS ， 当2n时， 1 21 nn
25、 aS ， 两式相减得 1 3 nn aa ，即 1 3 n n a a ， 又 2 1 3 a a ，所以 1 3 n n a a ，*nN， 所以数列 n a是以 1 为首项，3 为公比的等比数列， 所以 1 3n n a （2） 42 2121 3 n nn aa ，所以 2642 1 335572121 333 n nn aaa aa aaa 24 4 4 3 (1 3 )9 (31) 1 380 n n 18解： （1）由ABAC，点E，F是线段BC（含端点）上的动点， 且点E在点F的右下方， 4 EAF 不变，可知0, 4 在ABE中，由正弦定理可得 3 sinsin() 44 A
26、EAB ， 2 3 sin() 4 AE ， 在ABF中，由正弦定理可得 sinsin() 42 AFAB ， 2 cos AF ， （2）由（1）可得， 1222 |sin 3 244cos sin() 4 AEF SAEAF 22 1cos2sin2 12sin(2) 4 ，0, 4 ， 2 sin(2),1 42 ， 三角形AEF的面积的最小值为2( 21)，此时 8 19解： （1）证明：PA底面ABCD，PACD， 在矩形ABCD中，CDAD， ADPAA，CD平面PAD，则CDAE， PAAD，E为PD的中点，AEPD， 又CDPDD，AE平面PCD， AE 平面AEF，平面AEF
27、 平面PCD； （2）以A为坐标原点，分别以AP，AB，AD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系 (0A，0，0)，(4P，0，0)，(2E，0，2)，(2F，1，0)，(0C，2，4)， (2,0,2)AE ，(2,1,0)AF ，( 4,2,4)PC ， 设平面AEF的一个法向量为( , , )nx y z， 在 220 20 n AExz n AFxy ，取1x ，得(1, 2, 1)n ， 126 cos, 366 PC n 故与平面AEF所成锐二面角的余弦值为 6 3 20解： （1）随机变量X的所有可能取值为 0，1，2，3， 312 3 12111 (0)( )( ) 333
28、39 P XC， 222 4 2118 (1)( )( ) 33381 P XC， 222 4 21216 (2)( )( ) 33381 P XC， 223 3 21 2216 (3)( )( ) 33 3327 P XC， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 9 8 81 16 81 16 27 所以数学期望 181616184 ()0123 981812781 E X （2）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件A， 设第i场甲、乙两队积分分别为 i X， i Y，则3 ii XY，1i ，2， 因两队积分相等，所以 1212 XXYY，即 1212 (3)(3)XXXX，
29、则 12 3XX， 所以P（A） 12121212 (0) (3)(1) (2)(2) (1)(3) (0)P XP XP XP XP XP XP XP X 1168161681611120 927818181812796561 21解： （1）直线 22 F A的方程为10 xy bxcybc cb ( , )P a b到直线 22 F A的距离为 22 1 abbcbcab b a bc 而 3 2 c a ， 222 abc， 2a， 椭圆C的标准方程为 2 2 1 4 x y （2）设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 0 (D x， 0) y， 2 22 4()
30、4 44 ykxm xkxm xy ， 222 (14)8440kxkmxm， 2222 644(1 4)(44)0k mkm， 12 0 2 4 214 xxkm x k ， 2 4 (1 4 km D k ， 2) 14 m k ， 222 22 222222 1 sin 16161 (3 )(3) (14)14(14)14 mm EDW DW k mmk m kkkk 令 2 1 14 t k ， 222 111 sin 2 44(3)329 EDW ttttt 30EDW， 120EWF 即EWF的最小值为120 22解： （1） 2 ( )2 sin xa f x x 的导数为 2
31、2 2 sin()cos ( ) xxxax fx sin x ， 可得曲线( )yf x在点( 2 ，() 2 f 处的切线的斜率为() 2 f ， 2 ( )2 24 fa ，即切点为( 2 ， 2 2) 4 a ， 由于切线经过原点， 可得 2 2 4 2 a ，解得 2 2 4 a ； （2）因为(0, )x，所以sin0 x ， 所以 2 ( )20 sin xa f x x ，可化为 2 2sin0 xax， 设 2 ( )2sing xxax，( )22cosg xxx， 当 2 x ，)时，( )0g x，所以( )g x在 2 ，)递增； 当(0,) 2 x 时，设( )22
32、cosh xxx，( )22sin0h xx， 可得( )h x即( )g x在(0,) 2 递增， 又(0)20g ，()0 2 g ， 所以存在 0 (0,) 2 x ，使得 0 ()0g x，当 0 (0,)xx时，( )g x递减； 当 0 (xx，) 2 时，( )g x递增， 所以，对于连续函数( )g x，在 0 (0,)xx时，( )g x递减，在 0 (xx，)时，( )g x递增， 又因为(0)0ga ，当 2 ( )0ga即 2 a时，( )g x有唯一零点在 0 (x，)上， 当 2 ( )0ga 即 2 a时，( )g x在(0, )上无零点， 综上可得，当 2 0a时，函数( )f x在(0, )有唯一零点； 当 2 a时，函数( )f x在(0, )没有零点
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