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    2021届高考数学考前30天冲刺模拟试卷(5)含答案

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    2021届高考数学考前30天冲刺模拟试卷(5)含答案

    1、考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷(天冲刺高考模拟考试卷(5) 一、一、选择题:本题共选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。求的。 1 (5 分)已知集合 2 |230Ax xx , |Bx xa,若 |1ABx axa,则(a ) A2 B1 C0 D1 2 (5 分)欧拉恒等式:10 i e 被数学家们惊叹为“上帝创造的等式” 该等式将数学中几个重要的数: 自然对数的底数e、圆周率、虚数单位i、自然数 1 和 0 完美地结合在一起,它是在欧拉公式:

    2、cossin () i eiR 中,令得到的根据欧拉公式, 2i e在复平面内对应的点在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 (5 分)数列 n a是等比数列,首项为 1,前三项和为 7,则前五项和等于( ) A31 B61 C31 或 61 D31 或 81 4 (5 分)已知双曲线 22 22 1 yx ab 的一条渐近线的倾斜角为 3 ,则该双曲线的离心率为( ) A 1 2 B 3 2 C 2 3 3 D2 5 (5 分)已知a,b都大于零且不等于 1,则“log1 ab ”是“(1)(1)0ab”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充

    3、分也不必要条件 6 (5 分)接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施根据实验数据,人在接种某种 病毒疫苗后,有80%不会感染这种病毒,若有 4 人接种了这种疫苗,则最多 1 人被感染的概率为( ) A 512 625 B 256 625 C 113 625 D 1 625 7 (5 分)已知抛物线 2 4yx的焦点为F,直线l过F与抛物线交于A、B两点,且点A在第一象限, | 3|AFBF,则直线l的斜率为( ) A3 B 3 3 C1 D2 8 (5 分)设数列 n x满足 2 1 2 nnn xxx , * nN,且对于任意 1 0 x ,都存在正整数n使得 n xm,则

    4、实数 m的最大值为( ) A1 5 2 B1 5 2 C2 D3 二、二、选择题:本题共选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分,部分选对的对分,部分选对的对 2 分,有选错的得分,有选错的得 0 分。分。 9 (5 分)若 3 sin 23 ,(0, ),则( ) A 1 cos 3 B 2 sin 3 C 62 3 sin() 246 D 2 36 sin() 246 10 (5 分)已知数列 n a是等比数列,下列结论正确的为

    5、( ) A若 12 0a a ,则 23 0a a B若 13 0aa,则 12 0aa C若 21 0aa,则 132 2aaa D若 12 0a a ,则 2123 ()()0aaaa 11(5 分) 南宋数学家杨辉所著的 详解九章算法商功 中出现了如图所示的形状, 后人称为 “三角垛” “三 角垛”的最上层有 1 个球,第二层有 3 个球,第三层有 6 个球,设各层球数构成一个数列 n a,则( ) A 4 12a B 1 1 nn aan C 100 5050a D 12 2 nnn aaa 12 (5 分)如图,在正方体 1111 ABCDABC D中,E,F,G分别是棱 11 AD

    6、,BC, 11 C D的中点,则下列 结论正确的是( ) AFG 平面 1 ABC BEF 平面 11 ABC D C/ /FG平面 11 BB D D D/ /EG平面 1 ACD 三、填空题:本题共填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。分。 13 (5 分)函数 3 ( )(21)f xxx的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为 14 (5 分)能使“函数( )|1|f xx x在区间I上不是单调函数,且在区间I上的函数值的集合为0,2 ” 是真命题的一个区间I为 15 (5 分)已知抛物线 2 :6C yx的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直

    7、线PF与C的一个交点, 若3FPFQ,则|QF的值是 16 (5 分)已知AB为抛物线 2 4xy的一条长度为 8 的弦,当弦AB的中点离x轴最近时,直线AB的斜率 为 四、四、解答题:本题共解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 (10 分)在ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,5bc,sin1cA ,点D是AC中点, BDAB,求c和ABC 18 (12 分)已知数列 n a的前n项和为 n S, 2 6a , 1 1 1 2 nn Sa (1)证明:数列1 n S 为等比数列,并

    8、求出 n S; (2)求数列 1 n a 的前n项和 n T 19 (12 分)如图,在直三棱柱 111 ABCABC中,1CACB, 1 2AA ,D,E分别是棱 1 CC, 1 AA的中 点,EBAD (1)证明: 1 BCEC; (2)求二面角 1 ADBB的余弦值 20 (12 分)现有甲、乙两个足球队打比赛,甲队每场赢乙队的概率为(01)pp若甲、乙两个足球队共 打四场球赛,甲队恰好赢两场的概率为( )f p,当 0 pp时,( )f p取得最大值 (1)求 0 p; (2)设 0 pp,每场球赛甲队输给乙队的概率是甲队与乙队打平局的概率的两倍,每场比赛,胜方将获得 奖励 5 万元,

    9、平局双方都将获得奖励 1 万元,败方将无奖励经过两场比赛后,设甲队获得奖励总额与乙 队获得奖励总额之差为X万元,求X的分布列及其数学期望 21 (12 分)已知椭圆 22 22 :1(1) xy Cab ab 长轴的顶点与双曲线 22 2 :1 4 xy D b 实轴的顶点相同,且C的 右焦点F到D的渐近线的距离为 21 7 (1)求C与D的方程; (2)若直线l的倾斜角是直线( 52)yx的倾斜角的 2 倍,且l经过点F,l与C交于A,B两点,与D 交于M,N两点,求 | | AB MN 22 (12 分)青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用,衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率, 曲

    10、线的曲率定义如下:若( )fx是( )f x的导函数,( )fx是( )fx的导函数,则曲线( )yf x在点(x,( )f x 处的曲率 3 2 2 |( )| (1( ) ) fx K fx 已知函数( )cos(1)(0 x f xaelnxbxa,0)b ,若0a ,则曲线( )yf x在点(1,f(1))处的曲率 为 2 2 (1)求b; (2)若函数( )f x存在零点,求a的取值范围; (3)已知1.09831.099ln, 0.048 1.050e, 0.045 0.956e,证明:1.141.15ln 考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷(天冲刺高考模拟考试卷(5)答案)答案

    11、 1解: | 13Axx , |Bx xa, |1ABx axa, 13a ,解得2a 故选:A 2解:欧拉公式:cossin () i eiR 中 根据欧拉公式, 2 cos2sin2 i ei,因为cos20,sin20, 所以 2i e在复平面内对应的点在第二象限, 故选:B 3解:由题意得 2 17qq, 解得3q 或2q , 当3q 时,前五项和为139278161, 当2q 时,前五项和为12481631 故选:C 4解:双曲线 22 22 1 yx ab 的一条渐近线的倾斜角为 3 , 它的斜率:3, 所以3 a b ,所以 2222 333abca, 解得 2 3 3 c e

    12、a 故选:C 5解:a,b都大于零且不等于 1,log1log aa ba , 若01a时,则10ab,所以(1)(1)0ab, 若1a 时,则1ba,所以(1)(1)0ab, 所以“log1 ab ”可以推出“(1)(1)0ab” ,满足充分性; 因为(1)(1)0ab,所以1a ,1b 或01a,01b, 只能推出log0 ab ,不能推出log1 ab ,不满足必要性; 所以“log1 ab ”是“(1)(1)0ab”的充分不必要条件 故选:A 6 解 : 由 题 意 可 得 随 机 变 量 服 从 二 项 分 布(4,0.2)BN, 则 最 多 1 人 被 感 染 的 概 率 为 13

    13、0 44 (1 0.8) (0.8)0.8CC 4 512 625 , 故选:A 7解:A在第一象限,且| |AFBF,直线l的斜率k存在,且0k , 设直线l的方程为(1)yk x, 1 (A x, 1) y, 2 (B x, 2) y, 1 0 x , 2 0 x , 联立 2 (1) 4 yk x yx ,得 2222 (24)0k xkxk, 12 2 4 2xx k , 12 1xx, | 3|AFBF, 12 13(1)xx ,即 12 32xx, 由解得, 1 3x , 2 1 3 x , 代入中,得 2 14 32 3k ,3k (舍负) , 3k 故选:A 8解:数列 n x

    14、满足 2 1 2 nnn xxx , * nN,且对于任意 1 0 x ,都存在正整数n使得 n xm, 若数列 n x是递增数列,则 2 1 23 nnnnn xxxxx 或0 n x , 存在正整数n使得 n xm, 故需3m,此时m的最大值为 3, 若数列 n x是递减数列,则 2 1 203 nnnnn xxxxx , 存在正整数n使得 n xm, 故需0m,此时m的最大值为 0, 综上可得:m的最大值为 3, 故选:D 9解: 3 sin 23 ,(0, ), (0,) 22 , 2 6 cos1 223 sin 则 22 31 cos1212() 233 sin ,故A正确; 36

    15、2 2 sin2sincos2 22333 ,故B错误; sin()sincoscossin 242424 326262 3 32326 ,故C正确; sin()sincoscossin 242424 326262 3 32326 ,故D错误 故选:AC 10解:数列 n a是等比数列, 对于A, 12 0a a ,即 2 1 0a q ,可得0q ,则 23 231 0a aa q,故A正确; 对于B, 2 131(1 )0aaaq,可得 1 0a ,由于 121(1 )aaaq,当1q 时, 12 0aa,当1q时, 12 0aa,故B不正确; 对于C, 21 0aa, 可得1q , 所以

    16、 22 13211 2(1 2)(1)0aaaaqqaq, 故 132 2aaa,C正确; 对于D,由 12 0a a ,可得 2 1 0a q,可得0q ,所以 2222 212311 ()()(1)()(1)0aaaaa qqqa q q, 故D不正确 故选:AC 11解:由题意可知, 1 1a , 21 212aa , 32 3123aa , 1 123 nn aann , 故 (1) 123 2 n n n an , 所以 4 4(41) 10 2 a ,故选项A错误; 因为 1 1 nn aan ,故选项B正确; 因为 100 100(1001) 5050 2 a ,故选项C正确;

    17、因为 1 2(1)(2) n ann , 2 (1)(2)(3) 4 nn n nnn a a ,所以 12 2 nnn aaa ,故选项D错误 故选:BC 12解:设正方体的棱长为 2,以D为坐标原点,分别以DA,DC, 1 DD所在直线为x,y,z轴 建立空间直角坐标系, 则(1E,0,2),(1F,2,0),(0G,1,2),(2A,0,0), 1(2 B,2,2),(0D,0,0), ( 1, 1,2)FG ,(0,2, 2)EF , 1 (0,2,2)AB ,(2,0,0)DA, 1 2420FG AB ,FG与 1 AB不垂直,则FG 平面 1 ABC错误,故A错误; 1 440E

    18、F AB,0EF DA, 1 EFAB,EFAD,有 1 ABADA, EF平面 11 ABC D,故B正确; 取 11 BC中点H,连接FH,GH,可得 1 / /FHBB, FH 平面 11 BB D D, 1 BB 平面 11 BB D D,得/ /FH平面 11 BB D D,同理/ /GH平面 11 BB D D, 又FHGHH,平面/ /FGH平面 11 BB D D,则/ /FG平面 11 BB D D,故C正确; 连接 11 AC,可得 11/ / ACAC,又 11 / /EGAC,/ /EGAC, AC 平面 1 ACD,EG平面 1 ACD,/ /EG平面 1 ACD,故

    19、D正确 故选:BCD 13解:函数 3 ( )(21)f xxx, 所以 32 ( )(21)3 (21)2fxxxx, 故 f (1)275481 故答案为:81 14解: (1),1 ( )|1| (1),1 x xx f xx x xx x , 其图像如图所示, 易得 11 ( ) 24 f,f(1)0,f(2)2, 结合图像可知,函数在区间 1 ,2 2 上符合条件 故答案为: 1 ,2 2 15解:设l与x轴的交点为M,过Q向准线l作垂线,垂足为N, 3FPFQ, 2 3 NQ MF , 又|3MFp,| 2NQ, | |NQQF,| 2QF 故答案为:2 16解:由题意得抛物线的准

    20、线方程为:1l y ,过A作 1 AAl于 1 A,过B作 1 BBl于 1 B, 设弦AB的中点为M,过M作 1 MMl于 1 M,则 111 2| |MMAABB, 设抛物线的焦点为F,则|AFBFAB,即 11 | |8AABBAFBF(当且仅当A,B,F三点 共线时等号成立) , 所以 111 | 2|8AABBMM,解得 1 |4MM, 即弦AB的中点到x轴的最短距离为:413 所以点M的纵坐标为 0 (x,3), 1 (A x, 1) y, 2 (B x, 2) y,(0,1)F, 2 11 4xy, 2 22 4xy, 所以直线AB的斜率 01212 120 3 1 420 xy

    21、yxx k xxx , 0 2x ,此时1k , 当弦AB的中点离x轴最近时,直线AB的斜率为1, 故答案为:1 17解:Rt ABD中, 22 2222 44 bc BDADABc, 所以 2 c BD , 所以 5 sin 5 BD A AD , 又因为sin1cA , 所以5c , 由55bcc, 因为 5 sin 5 A,A为锐角, 所以 2 52 5 cos1() 55 A , ABC中,由余弦定理得 22 2 5 5( 5)25510 5 a , 由正弦定理 sinsin ab AB ,即 510 sin5 5 ABC , 所以 2 sin 2 ABC, 因为(, ) 2 ABC

    22、, 所以 3 4 ABC 18 (1)证明: 1 1 1 2 nn Sa , 1 1 ()1 2 nnn SSS , 1 13(1) nn SS , 又 2 6a , 12 1 14 2 Sa , 1 130S , 数列1 n S 是首项为 3,公比为 3 的等比数列,且13n n S , 31 n n S; (2)解:由(1)可得: 1 1 131 2 n nn Sa , 1 2 3n n a , 1 2 3(2) n n an , 又 1 4a , 1 4,1 23,2 nn n a n , 1 1 ,1 1 4 1 ,2 23 n n n a n , 当1n 时, 1 1 4 T , 当

    23、2n时, 1 1 123 11 1( ) 11111111 33 1 4224 3 1 3 n n n n T aaaa , 综上, 1 11 243 n n T 19 (1)证明:连结EC,在直线棱柱 111 ABCABC中,因为D,E分别是棱 1 CC, 1 AA的中点, 所以 1 / /C DEA,且 1 C DEA, 所以四边形 1 EADC是平行四边形,故 1/ / ECAD, 又因为EBAD,所以 1 EBEC, 因为1CACB, 11 2AACC, 所以 1 2ECEC,因此 222 11 ECECCC, 所以 1 ECEC,又因为EBECE,EB,EC 平面ECB, 所以 1

    24、EC 平面ECB,因为BC 平面ECB, 所以 1 BCEC; (2)解:因为 1 CC 平面ABC,BC 平面ABC,所以 1 CCBC, 由(1)可知, 1 BCEC,又因为 11 CCECC, 1 CC, 1 EC 平面 11 A ACC, 所以BC 平面 11 A ACC,又CA 平面 11 A ACC,故BCCA, 所以CB,CA, 1 CC两两垂直, 建立空间直角坐标系如图所示, 则(1A,0,0),(0B,1,0),(0D,0,1), 1(0 B,1,2), 所以 1 (0,1,1),( 1,0,1)DBAD , 设平面 1 ADB的一个法向量为( , , )nx y z, 则有

    25、 1 0 0 n DByz n ADxz , 令1x ,则1y ,1z ,故(1, 1,1)n , 因为x轴平面 1 DB B, 所以取平面 1 DB B的一个法向量为(1,0,0)m , 所以 13 cos, |33 n m n m n m , 又因为二面角 1 ADBB是锐二面角, 所以二面角 1 ADBB的余弦值为 3 3 20解: (1) 2222222 4 11 ( )(1)6(1)6() 24 f pC ppppp, 因为当01p,所以当 1 2 p 时,( )f p取得最大值,则 0 1 2 p ; (2)因为 0 1 2 pp,每场球赛甲队输给乙队的概率是甲队与乙队打平局的概率

    26、的两倍, 所以每场球赛甲队输的概率为 1 3 ,两队平局的概率为 1 6 , 当甲连赢两场时,10X ,且 111 (10) 224 P X , 当甲赢一场平一场时,5X ,且 111 (5)2 266 P X , 当甲赢一场输一场或两队连平两场时,0X ,且 111113 (0)2 236636 P X , 当 甲 输 一 场 平 一 场 时 ,5X , 且 111 (5 )2 369 P X , 当 甲 连 输 两 场 时 ,10X , 且 111 (10) 339 P X , 所以X的分布列为: X 10 5 0 5 10 P 1 4 1 6 13 36 1 9 1 9 故X的数学期望为

    27、 1113115 ()1050510 4636993 E X 21解: (1)因为椭圆C长轴的顶点与双曲线D实轴的顶点相同, 所以2a , 双曲线D的渐近线为 2 b yx ,即20bxy, 所以右焦点( ,0)F c到渐近线20bxy的距离为 2 |21 7 4 bc b , 又 222 abc, 由解得 2 3b , 2 1c , 所以椭圆的方程为 22 1 43 xy ,双曲线的方程为 22 1 43 xy (2)设直线( 52)yx倾斜角为,则tan52, 所以 2 2 2tan2( 52)1 tan2 121( 52)tan , 所以直线l的方程为 1 (1) 2 yx, 设 1 (

    28、A x, 1) y, 2 (B x, 2) y, 3 (M x, 3) y, 4 (N x, 4) y, 联立 22 1 (1) 2 1 43 yx xy ,得 2 42110 xx, 所以 12 1 2 xx, 12 11 4 x x , 所以 222 121212 1115 |1|1()4111 444 ABkxxkxxx x, 联立 22 1 (1) 2 1 43 yx xy ,得 2 22130 xx, 所以 34 1xx , 34 13 2 x x , 所以 222 343434 13 15 |1|1()41126 42 MNkxxkxxx x, 所以 15 |15 4 |63 15

    29、 2 AB MN 22 (1)解:( )cos(1) x f xaelnxbx,若0a ,则( )cos(1)f xlnxbx , 1 ( )sin(1)fxbx x , 2 1 ( )cos(1)fxbx x , 因为曲线( )yf x在点(1,f(1))处的曲率为 2 2 , 所以 33 22 22 |(1)|1|1|2 22 2 (1 (1) )1( 1) fbb K f , 又0b ,所以1b (2)解:由(1)可得( )cos(1) x f xaelnxx, 若函数( )f x存在零点,则方程( )cos(1)0 x f xaelnxx在(0,)上有解, 即 1 cos(1) x l

    30、nxx ae e 在(0,)上有解, 1 ( ) x g xex , 1 ( )1 x g xe ,当01x时,( )0g x,( )g x单调递减, 当1x 时,( )0g x,( )g x单调递增, 所以( )g xg(1)0,当且仅当1x 时取等号, 从而 111 1cos(1) xlnx exelnxxlnx 厖?,当且仅当1x 时取等号, 所以 1 cos(1) ( )1 x lnxx h x e ,当且仅当1x 时等号成立, 当0 x 时,( )h x , 所以1ae,解得 1 a e , 即实数a的取值范围是0, 1 e (3)证明:由(2)得 1 1 x elnx , 则 1 0.048 3 1.0501131 1.0990.1 3 eelnlnlnlnln ,则1.150ln, 又 3 1 0.045 3 1 1.0981310.956lnlnlnlnee ,则1.1421.14ln, 所以1.141.15ln


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