1、考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（9） 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。求的。 1已知集合 |(1)Ax ylnx， 2 |0 x Bx x ，则(AB ) A(1，2 B(0，2 C0，1) D(0,1) 2已知复数 15 1 i z i ，则复数z的虚部为( ) A2 B2 C2i D2i 3某企业在举行的安全知识竞答活动中，随机抽取了 30 名员工，统计了他们的测试成绩（单位：分） ，并 得到如图
2、所示的统计图，设这 30 名员工的测试成绩的中位数为m，众数为n，平均数为x，则( ) Amnx Bmnx Cnmx Dnxm 4 234234 01234 (1 3 )(1 2 )(1)xxxaa xa xa xa x，则 01234 (aaaaa ) A49 B56 C59 D64 5已知由正整数组成的无穷等差数列中有三项是 13、25、41，下列各数一定是该数列的项的是( ) A2019 B2020 C2021 D2022 6已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且 5 sinsincos 4 aABbbA，10bc，ABC的 面积为 25 3 4 ，则(a ) A2 3 B5
3、 C8 D2 2 7设 1 F， 2 F是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得 2 | | (F POPO为坐标原点） ，且 12 |3|PFPF，则双曲线的离心率为( ) A21 B31 C 21 2 D 31 2 8已知( )f x是定义在R上的奇函数，其导函数为( )fx，且当0 x 时， ( ) ( )0 f x fxlnx x ，则不等式 2 (1) ( )0 xf x的解集为( ) A( 1,1) B(，1)(0，1) C(，1)(1，) D( 1，0)(1，) 二、二、选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小
4、题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的对分，部分选对的对 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9已知函数( )cos3sin(0)f xxx的部分图象如图所示，则下列选项正确的是( ) A2 B函数( )f x的单调增区间为 7 12 k ，() 12 kkZ C函数( )f x的图象关于 7 ( 12 ，0)中心对称 D函数( )f x的图象可由2cosyx图象向右平移 6 个单位长度得到 10已知PAB中，2AB ，PAPB，C是边AB
5、的中点，Q为PAB所在平面内一点，若CPQ是边长 为 2 的等边三角形，则AP BQ的值可能是( ) A33 B13 C33 D13 11当0 x ，0y 时，下列不等式中恒成立的有( ) A 2xy xy xy B 114 xyxy C 112 xyxy D 22 33 4x y xy xy 12在梯形ABCD中，222ABADDCCB，将BDC沿BD折起，使C到 C 的位置(C与 C 不重合） ， E，F分别为线段AB， AC 的中点，H在直线 DC 上，那么在翻折的过程中( ) A DC 与平面ABD所成角的最大值为 6 BF在以E为圆心的一个定圆上 C若BH 平面ADC，则3DHC H
6、 D当AD 平面BDC时，四面体C ABD的体积取得最大值 三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13已知向量(1, 3)a ，(2,1)bm，若(2)abb，则m 142021 年 2 月初，我国黑龙江省S市发现由境外输入病例引起的多起新冠肺炎病例某疾控中心派出 5 名(4男 1 女）工作人员前往疫情较严重的A，B，C三个村庄进行抗疫工作，若要求每个村庄安排 1 名男 工作人员，则不同的分配方法有 种 15设抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，过点F且倾斜角为45的直线交抛物线C于A，B两点，过 点F作x轴垂线在x轴的上
7、方与抛物线C交于点M， 记直线MA，MB的斜率分别为 1 k，2k， 则 12 kk 16函数 11 ( )sin(,0) xx f xeeax xR a 存在唯一的零点，则实数a的取值范围是 四、四、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17已知函数( )sin()(0f xMxM，0，) 22 的部分图象如图所示 （1）求( )f x的解析式； （2）在ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 2 bac，求f（B）的取值范围 18已知数列 n a的前n项和为 n S，且 6
8、，2 n S， n a成等差数列 （1）求 n a； （2）是否存在*mN，使得 12231 6 nnm a aa aa aa 对任意*nN成立？若存在，求m的所有取值； 否则，请说明理由 19如图，在四棱锥SABCD中，四边形ABCD是边长为 2 的菱形，60ABC，90ASD，ASSD 且2SC （1）证明：平面SAD 平面ABCD； （2）当四棱锥SABCD的体积最大时，求二面角BSCD的余弦值 20在某学校某次射箭比赛中，随机抽取了 100 名学员的成绩（单位：环） ，并把所得数据制成了如下所示 的频数分布表： 成绩分组 4，5) 5，6) 6，7) 7，8) 8，9) 9，10 频数
9、 5 18 28 26 17 6 （1）求抽取的样本平均数x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ； （2）已知这次比赛共有 2000 名学员参加，如果近似地认为这次成绩Z服从正态分布 2 ( ,)N （其中近 似为样本平均数x， 2 近似为样本方差 2 1.61)s ，且规定 8.27 环是合格线，那么在这 2000 名学员中，合 格的有多少人？ （3）已知样本中成绩在9，10的 6 名学员中，有 4 名男生和 2 名女生，现从中任选 3 人代表学校参加全 国比赛，记选出的男生人数为，求的分布列与期望E 附：若 2 ( ,)ZN ，则()0.6827PZ，(22 )0.9545PZ，1
10、.611.27， 结果取整数部分 21已知函数 2 ( )(23 ) x f xemxx （1）若曲线( )yf x在点 0 (1,)Py处的切线为:(1)0lexyn，求m，n； （2）当1m 时，若关于x的不等式 2 5 ( )(3)1 2 f xxax在1，)上恒成立，试求实数a的取值范围 22已知 1 F， 2 F分别是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点，A为椭圆的上顶点， 12 AFF是面积为 4 的直角三角形 （1）求椭圆C的方程； （2）设圆 22 8 : 3 O xy上任意一点P处的切线l交椭圆C于点M，N，问：PM PN是否为定值？若是， 求出此定
11、值；若不是，说明理由 考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（9）答案）答案 1解：由A中的不等式变形得：10 x，解得1x ，即(,1)A ， 2 |0(0 x Bx x x ，2， 则(0,1)AB ， 故选：D 2.解：复数 15(15 )(1) 32 1(1)(1) iii zi iii ， 故复数z的虚部为2 故选：B 3解：根据题中给出的统计图可知， 中位数为(8090)285m ， 众数80n ， 平均数 1 (40506070280 109091006)80.3 30 x ， 所以nxm 故选：D 4解： 234234 01234 (1 3 )(1 2 )(
12、1)xxxaa xa xa xa x， 令1x 可得： 234 01234 43259aaaaa 故选：C 5解：由正整数组成的无穷等差数列中有三项是 13、25、41， 可得：25131234 ，41251644， 可得公差4d ， 不妨取 1 13a ， 则通项公式13(1)449 n ann， 可知： n a为奇数，排除BD 令492019n，解得 1 502 2 n ，舍去 令492021n ，解得503n ， 下列各数一定是该数列的项的是 2021 故选：C 6解：因为 5 sinsincos 4 aABbbA， 由正弦定理可得 5 sinsinsinsinsincos 4 AABB
13、BA， 因为0B，所以sin0B ， 所以 2 5 sincos 4 AA，可得 2 5 1coscos 4 AA， 即 2 (2cos1)0A，解得 1 cos 2 A ，所以 3 sin 2 A， 因为 125 3 sin 24 ABC SbcA ，所以25bc ， 又10bc， 所以 2222 2cos()31003 2525abcbcAbcbc ， 所以5a 故选：B 7解：由双曲线的定义可得 12 | 2PFPFa， 又 12 |3|PFPF， 解得 2 | | ( 31)PFOPa， 即有 2 OPF为底边为c的等腰三角形， 可设( 2 c P， 2 2 (42 3) 4 c a，
14、 由P在双曲线上，可得 222 22 (168 3) 1 44 cac ab ， 由 c e a ， 222 bca， 可得 2 2 22 11 (42 3)1 414(1) e e ee ， 化简可得 42 4128 30ee， 解得 2 42 3e ， 即有13e 故选：B 8解：令( )( )g xf x lnx，则 ( ) ( )( )0 f x g xfx lnx x ， ( )g x在(0,)时单调递增，又g（1）f（1）10ln ， (0,1)x 时，( )0g x ，(1,)x时，( )0g x ， 当(0,1)x时，0lnx ，( )0g x ，( )0f x， (1,)x时
15、，0lnx ，( )0g x ，( )0f x， ( )0f x在(0,)上恒成立， 又( )f x是奇函数，(0)0f， ( )0f x在(,0)上恒成立， 当0 x 时，( )0f x ， 2 10 x ，即01x， 当0 x 时，( )0f x ， 2 10 x ，即1x ， 由得不等式的解集是(，1)(0，1)， 故选：B 9解：( )cos3sin2cos() 3 f xxxx ， 由图像得： 353 () 43124 T ， 故 2 T ，故2，故A错误； 令222 3 kxk 剟得： 2 36 kx k 剟， 故函数( )f x的单调递增区间是 2 3 k ，() 6 kkZ ，
16、故B错误； 7 ()0 12 f ，故C错误； ( )f x的图像可由2cosyx图像向左平移 6 个单位长度得到，故D错误； 故选：AC 10解：如图，若Q与B在CP的同侧时， 则() ()101 1 2cos22cos31 63 AP BQACCPBCCQAC CQCP CQ ， 如图，若Q与B在CP的异侧时， 则() ()10AP BQACCPBCCQAC CQCP CQ 5 1 1 2cos22cos31 63 ， 故选：BD 11解：因为0 x ，0y ， 所以2xyxy ， 所以()2xyxyxy，即 2xy xy xy ，当且仅当xy时取等号，A正确； 2224 xyxyyxxy
17、 xyxyyx ，当且仅当 yx xy 时取等号，B正确； 因为2xyxy ， 所以 2 2()112 0 xyxyxy xyxyxyxy ，故 112 xyxy ，C错误； 3333 2xyx y，2xyxy ，当且仅当xy时取等号， 故 3322 ()() 4xyxyx y， 所以 22 33 4x y xy xy ，D正确 故选：ABD 12解：如图，在梯形ABCD中，因为/ /ABCD，222ABADDCCB， 所以得到ADDB， 3 DAB ， 6 BDCDBC ， 在将BDC沿BD翻折至BDC的过程中，BDC与DBC的大小保持不变， 由线面角的定义可知， DC 与平面ABD所成角的
18、最大值为 6 ，故选项A正确； 因为DBC大小不变，所以在翻折的过程中， C 的轨迹在以BD为轴的一个圆锥的底面圆周上， 而EF使ABC的中位线，所以点F的轨迹在一个圆锥的底面圆周上， 但此圆的圆心不是点E，故选项B不正确； 当BH 平面ADC时，BHDH，因为 3 HC B ， 所以2DCBCC H，所以3DHC H，故选项C正确； 在翻折的过程中，BC D的面积不变，故 当AD 平面BDC时，四面体C ABD的体积取得最大值，故选项D正确 故选：ACD 13解：向量(1, 3)a ，(2,1)bm，若(2)abb， 则 22 (2)22(233)(421)0abba bbmmm， 1m 或
19、3m ， 故答案为：1 或 3 14解：由题意可得A，B，C有一个村庄需安排 5 名男工作人员， 则先安排男工作人员到A，B，C村庄，共有 23 43 36C A 种， 1 名女工作人员到A，B，C村庄共有 3 种情况， 所以共有363108种， 故答案为：108 15解：抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F为( 2 p ，0)，可得直线AB的方程为 2 p xy， 由 2 2 2 p xy ypx ，消去x可得 22 20ypyp， 12 2yyp， 2 12 y yp， 点M的坐标为( 2 p ，)p， 11 1 1 1 2 ypyp k p y x ， 同理 2 2 2 yp
20、k y ， 2 1212 12 2 121212 ()112 2()224 ypypp yyp kkp yyypy yp ， 故答案为：4 16解：函数 11 ( )sin(,0) xx f xeeax xR a 存在唯一的零点， 等价于函数( )sinxax与函数 11 ( ) xx g xee 只有唯一一个交点， （1）0，g（1）0， 函数( )sinxax与函数 11 ( ) xx g xee 唯一交点为(1,0)， 又 11 ( ) xx g xee ，且 1 0 x e ， 1 0 x e ， 11 ( ) xx g xee 在R上恒小于零，即 11 ( ) xx g xee 在R
21、上为单调递减函数， 又( )sin(0)xax a是最小正周期为 2，最大值为a的正弦函数， 可得函数( )sinxax与函数 11 ( ) xx g xee 的大致图象如图： 要使函数( )sinxax与函数 11 ( ) xx g xee 只有唯一一个交点，则（1）g（1） ， （1）cosaa ，g（1） 1 11 1 2ee ， 2a，解得 2 a ， 又0a ，实数a的范围为(0， 2 故答案为：(0， 2 17解： （1）由图象知2M ， 115 2() 1212 T ，2， ( )2sin(2)f xx 图象过 5 ( 12 ，2)，将点 5 ( 12 ，2)代入，得 5 sin
22、()1 6 ， 5 2 62 k ，kZ，2 3 k ，kZ， | 2 ， 3 ， ( )2sin(2) 3 f xx （2）f（B）2sin(2) 3 B 由 2 bac， 22 2acac， 根据余弦定理，得 22222 1 cos 2222 acbacacac B acacac ， 当且仅当ac时取等号， 1 cos 2 B， (0, )B，(0B， 3 ，2( 33 B ， 3 ， 3 sin(2)( 32 B ， 3 2 ， f（B）(3 ，3， 18解： （1）数列 n a的前n项和为 n S，且 6，2 n S， n a成等差数列 故46 nn Sa， 当1n 时，解得 1 2a
23、 ， 当2n时， 11 46 nn Sa ， 得： 1 1 3 n n a a （常数） ， 所以数列 n a是以 2 为首项， 1 3 为公比的等比数列； 所以 1 1 2() 3 n n a （2）由（1）得： 21 1 1 4() 3 n nn a a ， 所以 13211 12231 11 ()(1) 1111 39 4 ()()()412() 1 3333 1 9 n nm nn a aa aa a ， 所以 2 311 (1)() 893 m n 对任意的nN恒成立 由于 1 11 9n 且n时， 1 11 9n ， 所以 2 13 () 38 m ，故m为偶数， 当2m 时成立，
24、 当4m时， 2 11 () 39 m ， 故2m 19解： （1）证明：如图，取AD的中点O，连接SO、CO、AC， 60ADCABC ，且ADDC， 又2ADCD，则ACD为正三角形，COAD，3CO ， 又90ASD，ASD为直角三角形， 1 1 2 SOAD， 在ACS中， 222 COSOSC，则COSO， 又ADSOO，AD、SO 平面ADS， CO平面ADS， 又CO 平面ABCD，平面SAD 平面ABCD （2）90ASD，则点S在以AD为直径的圆上，且1SO ， 设点S到平面ABCD的距离为d， 1 3 SABCDABCD VSh 菱形 ， 而 1 222602 3 2 AB
25、CD Ssin 菱形 ， 当d取最大值时四棱锥SABCD的体积最大， 此时SO 平面ABCD， 又由（1）可知COAD，如图建系， 则( 3, 2,0)B，(0S，0，1)，( 3C，0，0)，(0D，1，0)， 则(3BS ，2，1)，( 3SC ，0，1)，(0SD ，1，1)， 设平面SBC的法向量为(mx，y，) z， 则 320 30 m BSxyz m SCxz ，取1x ，则(1m ，0，3)， 设平面SCD的法向量为(na，b，)c， 则 30 0 n SCac n SDbc ，取1a ，得(1, 3, 3)n ， 则 42 7 cos, | |72 7 m n m n mn
26、， 设二面角BSCD的平面角为，经观察为钝角， 则 |2 7 cos | |7 m n mn ， 故二面角BSCD的余弦值为 2 7 7 20解： （1）由所得数据列成的频数分布表， 得样本平均数4.50.055.50.186.50.287.50.268.50.179.50.067x （2）由（1）知(7,1.61)ZN，所以 10.6827 (8.27)0.15865 2 P Z ， 所以在这 2000 名学员中，合格的有20000.15865317人 （3）由已知得的可能取值为 1，2，3， 12 42 3 6 1 (1) 5 C C P C ， 21 42 3 6 3 (2) 5 C C
27、 P C ， 30 42 3 6 1 (3) 5 C C P C ， 所以的分布列为： 1 2 3 P 1 5 3 5 1 5 所以 131 ( )1232 555 E （人) 21解： （1）函数 2 ( )(23 ) x f xemxx的导数( )(43) x fxemx， 根据函数导数的几何意义，可得 f （1）1eme，即1m 则 2 ( )23 x f xexx，点P坐标为(1,1)e 点P在直线:(1)0lexyn上 2n 故1m ，2n （2）当1m 时， 2 ( )23 x f xexx 关于x的不等式 2 5 ( )(3)1 2 f xxax在1，)上恒成立， 1 2 x e
28、x a xx ， 设 1 ( ) 2 x ex g x xx ，则 222 (1)11(1)11 ( ) 22 xx exex g x xxx ， 由1 x yex的导数为1 x ye ， 可得0 x 时，0y， 函数1 x yex递增，0 x 时， 函数1 x yex 递减，则1 0 x ex ，即10 x ex ， 当1x时， 22 (1)11(1)(1)111 0 222 x exxx xx ， 则 1 ( ) 2 x ex g x xx 在1，)递增，可得 3 ( )(1) 2 min g xge， 则 3 2 a e 22解： （1）由为椭圆的上顶点，是面积为 4 的直角三角形 可得
29、：，且， 解得：，所以， A 12 AFF 1 24 2 c bbc 2bc 22 28ab 所以椭圆的方程为：； （2）当切线 的斜率不存在时，其方程， 将代入椭圆的方程：得，设， 又，所以， 同理可得，也有， 当切线 的斜率存在时，设方程为：，设， 直线 与圆相切，所以，即，联立，整理可得： ， ， 又因为， 又， 因为， 所以， 综上所述： 22 1 84 xy l 2 6 3 x 2 6 3 x 22 1 84 xy 2 6 3 y 2 6 ( 3 M 2 6 ) 3 2 6 ( 3 N 2 6 ) 3 2 6 ( 3 P0) 8 3 PM PN 2 6 3 x 8 3 PM PN l
30、ykxm 1 (M x 1) y 2 (N x 2) y l 22 8 : 3 O xy 2 |2 6 3 1 m k 22 388mk 22 1 84 ykxm xy 222 (12)4280kxkmxm 12 2 4 12 km xx k 2 12 2 28 12 m x x k 22 () () |()|PM PNPOOMPOONPOOMONOPOM ONPOON OM 222222 222 121212121212 222 (1)(28)4388 ()()(1)() 121212 kmk mmk OM ONx xy yx xkxm kxmkx xkm xxmm kkk 22 388mk 0OM ON 8 3 PM PN
浙公网安备33030202001339号