2021届高考数学考前30天冲刺模拟试卷（13）含答案

1、考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（13） 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。求的。 1已知集合 |1Ax yx， 1 |2 x By y ，0 x ，则(AB ) A |1x x B |01xx剟 C |01xx D |1x x 2设复数z满足|2 | 1zi，在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是( ) A1 B3 C5 D3 3已知 0.3 1 ( ) 3 a ， 1 3 log 0.3b ， b

2、ca，则a，b，c的大小关系为( ) Abac Bbca Ccba Dabc 4在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3a ，3 2b ，3 5c 若点M在AB 边上，且BMCM，则( AM AB ) A 1 4 B 1 3 C 3 4 D 2 3 5甲、乙、丙、丁和戊 5 名学生进行劳动技术比赛，决出第 1 名到第 5 名的名次甲、乙两名参赛者去询 问成绩，回答者对甲说： “很遗憾，你和乙都没有得到冠军” ；对乙说： “你当然不会是最差的” ，则该 5 人 可能的排名情况种数为( ) A18 B36 C54 D64 6已知函数 2 ( ) 1 x f xx e ，若正实数m、

3、n满足(9)(2 )2f mfn，则 21 mn 的最小值为( ) A8 B4 C 8 3 D 8 9 7已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab ，过C的右焦点F作垂直于渐近线的直线l交两渐近线于A，B两 点，A，B两点分别在一、四象限，若 |5 |13 AF BF ，则双曲线C的离心率为( ) A 13 12 B 13 3 C 13 5 D13 8如图E，F，G，H分别是菱形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且2BEAE，2DHHA， 2CFFB，2CGGD，现将ABD沿BD折起，得到空间四边形ABCD，在折起过程中，下列说法正确 的是( ) A直线EF，HG有可

4、能平行 B直线EF，HG一定异面 C直线EF，HG一定相交，且交点一定在直线AC上 D直线EF，HG一定相交，但交点不一定在直线AC上 二、二、选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的对分，部分选对的对 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9 某高中 2020 年的高考考生人数是 2010 年高考考生人数的 1.5 倍， 为了更好地比较该校考生的升学情况， 统计了该校 2010 年和 2020

5、年的高考升学率，得到如图柱状图： 则下列说法中正确的有( ) A与 2010 年相比，2020 年一本达线人数有所减少 B2020 年二本达线率是 2010 年二本达线率的 1.25 倍 C2010 年与 2020 年艺体达线人数相同 D与 2010 年相比，2020 年不上线的人数有所增加 10在公比q为整数的等比数列 n a中， n S是数列 n a的前n项和，若 14 18aa， 23 12aa，则下列说 法正确的是( ) A2q B数列 n lga是公差为 2 的等差数列 C 8 254S D数列2 n S 是等比数列 11已知函数( )cosf xxx，xR，则下列说法正确的是( )

6、 A( )f x是奇函数 B( )f x是周期函数 C( )f x的图象在点(，( )f处的切线方程为0 xy D( )f x在区间( 2 ，)上是减函数 12 如图所示， 在凸四边形ABCD中， 对边BC，AD的延长线交于点E， 对边AB，DC的延长线交于点F， 若BCCE，EDDA，3( ,0)ABBF ，则( ) A 31 44 EBEFEA B 1 4 C 11 的最大值为 1 D 4 9 EC AD EB EA 三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 1 (2)nx x 展开式的二项式系数之和为 32，则展开式中x的系数

7、为 （用数字填写答案） 14为巩固交通大整治的成果，某地拟在未来的连续 15 天中随机选择 4 天进行交通安全知识的抽查，则选 择的 4 天恰好为连续 4 天的概率为 .（结果用最简分数表示） 15若函数( )cos2sinf xxax在区间( 6 ，) 2 是增函数，则a的取值范围是 16已知函数 2 (1) ( ) 1(1) elnx x f xx xx ，若函数( )( ( )( )1g xf f xaf xa恰有 5 个不同的零点，则实数a的取 值范围是 四、四、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明

8、、证明过程或演算步骤。 17在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知sin4 sinaAbB， 222 5()acabc （）求cos A的值； （）求sin(2)BA的值 18已知数列 n a各项均为正数， 1 1a ， 2 n a为等差数列，公差为 2 （1）求数列 n a的通项公式 （2）求 222322 123 2222n nn Saaaa 19 如图， 三棱柱 111 ABCABC中， 1111 60B A AC A A ， 1 4AAAC，2AB ，P，Q分别为棱 1 AA， AC的中点 （1）在平面ABC内过点A作/ /AM平面 1 PQB交BC于点M，并写出作图步

9、骤，但不要求证明； （2）若侧面 11 ACC A 侧面 11 ABB A，求直线 11 AC与平面 1 PQB所成角的正弦值 202020 年将全面建成小康社会，是党向人民作出的庄严承诺目前脱贫攻坚已经进入冲刺阶段，某贫困 县平原地区家庭与山区家庭的户数之比为3:2用分层抽样的方法，收集了 100 户家庭 2019 年家庭年收入 数据（单位：万元） ，绘制的频率直方图如图所示，样本中家庭年收入超过 1.5 万元的有 10 户居住在山区 （1）完成 2019 年家庭年收入与地区的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该县 2019 年家庭年收入超 过 1.5 万元与地区有关 超过 1.5 万

10、元 不超过 1.5 万元 总计 平原地区 山区 10 总计 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd 2 ()P Kk 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 （2）根据这 100 个样本数据，将频率视为概率为了更好地落实党中央精准扶贫的决策，从 2020 年 9 月 到 12 月，每月从该县 2019 年家庭年收入不超过 1.5 万元的家庭中选取 4 户作为“县长联系家庭” ，记“县 长联系家庭”是山区家庭的户数为X，求X的分布列和数学期望()E X 21已知动点P在x轴及其

11、上方，且点P到点(0,1)F的距离比到x轴的距离大 1 （1）求点P的轨迹C的方程； （2）若点Q是直线4yx上任意一点，过点Q作点P的轨迹C的两切线QA、QB，其中A、B为切点， 试证明直线AB恒过一定点，并求出该点的坐标 22已知函数 2 1 ( )1() 2 x f xxmxemR （1）若( )f x在R上是减函数，求m的取值范围； （2）当1m 时，证明( )f x有一个极大值点和一个极小值点 考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（13）答案）答案 1解： |1Ax x， |02Byy， |01ABxx 故选：C 2解：因为|2 | 1zi， 故复数z对应的点Z

12、的轨迹是以(0,2)C为圆心，1 为半径的圆， 又2OC ， 所以在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是213 故选：D 3解： 1 3 log 0.3b 1 3 1 1 3 log， 0.3 1 ( )(0,1) 3 a ， b caa， 所以cab 故选：A 4解：因为BMCM， 所以MBC为等腰三角形， 因为3a ，3 2b ，3 5c 由条件可得 222 2 cos 25 acb B ac ， 所以 3 cos 22 BC BMB ，解得 3 5 4 BM ， 所以 9 5 4 AMABBM， 可得 3 4 AM AB 故选：C 5解：根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，

13、 分 2 种情况讨论： 、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有 3 种情况， 剩下的三人安排在其他三个名次，有 3 3 6A 种情况， 此时有3618种名次排列情况； 、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有 2 3 6A 种情况， 剩下的三人安排在其他三个名次，有 3 3 6A 种情况， 此时有6636种名次排列情况； 则一共有361854种不同的名次排列情况， 故选：C 6解：函数 2 ( ) 1 x f xx e ， 所以 2 () 1 x fxx e ， 所以( )()2f xfx 由于函数 2 ( ) 1 x f xx e 在定义域上单调递增， 故正实数m、n满足(

14、9)(2 )2f mfn， 故92mn， 所以29mn， 所以 211211418 (2 )()(4)(42 4) 9999 nm mn mnmnmn （当且仅当买2mn时，等号成立） 故选：D 7解：由题意知：双曲线的右焦点( ,0)F c，渐近线方程为 b yx a ， 即0bxay， 如下图所示： 由点到直线距离公式可知： 22 | bc FAb ab ， 又 222 cab，|OAa， |5 |13 AF BF ， 13 | 5 BFb， 设AOF， 由双曲线对称性可知2AOB， 而tan b a ， |18 tan2 |5 ABb OAa ， 由正切二倍角公式可知： 222 2 2

15、2tan2 tan2 1 1( ) b ab a b tanab a ， 即 22 218 5 abb aba ， 化简可得： 22 49ab， 由双曲线离心率公式可知： 2 2 413 11 93 cb e aa 故选：B 8解：2BEAE，2DHHA， 1 2 AEAH BEDH ，则/ /EHBD，且 1 3 EHBD， 又2CFFB，2CGGD， 2 CFCG BFGD ，则/ /FGBD，且 2 3 FGBD， / /EHFG，且EHFG， 四边形EFGH为平面四边形，故直线EF，HG一定共面，故B错误； 若直线EF与HG平行，则四边形EFGH为平行四边形，可得EHGF，与EHFG矛

16、盾，故A错误； 由/ /EHFG，且EHFG， 1 3 EHBD， 2 3 FGBD，可得直线EF，HG一定相交，设交点为O， 则OEF，又EF 平面ABC，可得O平面ABC，同理，O平面ACD， 而平面ABC平面ACDAC，OAC，即直线EF，HG一定相交，且交点一定在直线AC上， 故C正 确，D错误 故选：C 9解：设 2010 年高考的考生人数为a，则 2020 年的高考考生的人数是1.5a， 对于A，2010 年一本达线人数为0.28a，2020 年一本达线人数为1.50.240.36aa，故选项A错误； 对于B，2020 年二本达线率是40%，2010 年二本达线率是32%，40%3

17、2%1.25，故选项B正确； 对于C，2010 年艺体达线人数是0.08a，2020 年艺体达线人数 0.08 程1.50.12aa，故选项C错误； 对于D，2010 年不上线的人数为0.32a，2020 年不上线的人数为0.28 1.50.42aa，故选项D正确 故选：BD 10解：由题设可得： 3 1 2 1 (1)18 ()12 aq a qq ，解得： 1 2 2 a q 或 1 16 1 2 a q ， q为整数， 1 2 2 a q ，故选项A正确； 1 1 2 n nn n a lgalgalglg a ，选项B错误； 又 8 9 8 2(12 ) 22510 12 S ，选项C

18、错误； 1 24S ， 1 1 2(12) 2 2 12 2 2(12 )2 2 12 n n n n S S ，数列2 n S 是公比为 2 的等比数列，故选项D正确， 故选：AD 11解：对于A：函数( )f x的定义域是R，()cos()cos( )fxxxxxf x ，故( )f x是奇函数，故A 正确； 对于B：不存在非零常数T，使得()( )f xTf x，故( )f x不是周期函数，故B错误； 对于:( )cos( sin )cossinC fxxxxxxx， ( )1f ，( )f ，故( )f x在点(，( )f处的切线方程为：()yx ，即0 xy，故C正 确； 对于:(

19、)cossinD fxxxx，( 2 x ，)时，1cos0 x ，sin0 xx ，故( )0fx， 故( )f x在区间( 2 ，)上是减函数，故D正确 故选：ACD 12解：对于A，因为3ABBF，所以3()EBEAEFEB， 整理得 31 44 EBEFEA，故A正确； 对于B，过点B作/ /BGFD，交AE于点G， 则 AFAD BFDG ， BCDG CEDE ， 所以1 AFBC EDAD DG ED BFCEDADGDEDA ， 因为BCCE，EDDA，3ABBF， 所以4 AF BF ， BC CE ， ED DA ， 所以41，所以 1 4 ，故B正确； 对于C，由B知，

20、11 4() 84 ，当且仅当 1 2 时等号成立， 所以 11 的最小值为 4，故C错误； 对于D，因为BCCE，EDDA， 所以(1)EBEC，(1)(1)EADAAD ， 所以 1114 55 (1)(1)9(1)(1) 2 44 EC ADEC AD EB EAEC AD ， 当且仅当 1 2 时 取等号，故D正确 故选：ABD 13解：由题意得232 n ，所以5n ， 所以展开式的通项为 5 3 55 2 155 1 (2)( )2 r rrrrr r TCxCx x ，令 53 1 2 r ，得1r ， 所以展开式中x的系数为 15 1 52 80C ， 故答案为：80 14解：

21、某地拟在未来的连续 15 天中随机选择 4 天进行交通安全知识的抽查， 基本事件总数 4 15 1365nC， 选择的 4 天恰好为连续 4 天包含的基本事件个数12m ， 则选择的 4 天恰好为连续 4 天的概率为 124 1365455 m P n 故答案为： 4 455 15解：因为( )cos2sinf xxax， 所以( )2sin2cosfxxax ， 因为( )f x在区间( 6 ，) 2 是增函数， 故2sin2cos0 xax在( 6 ，) 2 上恒成立， 因为cos0 x ， 所以不等式等价于4sinax， 因为4sin4x ， 所以4a，即a的取值范围是4，) 故答案为：

22、4，) 16解：当1x 时，由( ) elnx f x x ，得 2 (1) ( ) elnx fx x ， 当(1, )xe时，( )0fx，( )f x单调递增，当( ,)xe时，( )0fx，( )f x单调递减， 又当x时，( )0f x 且( )0f x ， 作出( )f x的图象如图： 设( )f xt，则由( )( ( )( )10g xf f xaf xa ，得( )10f tata ， 可得( )(1)1f ta t， 若函数( )( ( )( )1g xf f xaf xa恰有 5 个不同的零点， 则关于x的方程( )( ( )( )10g xf f xaf xa 有 5

23、个不同的实根， 结合函数( )yf x的图象及直线(1)1ya x得( )(1)1f ta t恰有 2 个不等的实根， 得 1 ( )( 1ttf x ，0)， 2 ( )(0ttf x，1)， 1 ( )( 1ttf x ，0)有 2 个不等实根， 2 ( )(0ttf x，1)有 3 个不等实根， 1 0 2 a 故答案为： 1 ( 2 ，0) 17）解：由 sinsin ab AB ，得sinsinaBbA， 又sin4 sinaAbB，得4 sinsinbBaA， 两式作比得： 4 ab ba ，2ab 由 222 5()acabc，得 222 5 5 bcaac ， 由余弦定理，得

24、222 5 5 5 cos 25 ac bca A bcac ； （）解：由（） ，可得 2 5 sin 5 A，代入sin4 sinaAbB，得 sin5 sin 45 aA B b 由（）知，A为钝角，则B为锐角， 2 2 5 cos1sin 5 BB 于是 4 sin22sincos 5 BBB， 2 3 cos212sin 5 BB ， 故 4532 52 5 sin(2)sin2 coscos2 sinsin(2)sin2 coscos2 sin() 55555 BABABABABABA 18解： （1） 1 1a ， 2 1 1a ， 又 2 n a为等差数列，公差为 2， 22

25、1 (1) 221 n aann， 0 n a ， 数列 n a通项公式为21 n an； （2）由（1）可得： 2 2(21) 2 nn n an， 23 1 23 25 2(21) 2n n Sn ， 又 2341 21 23 25 2(21) 2n n Sn ， 两式相减得： 231 1 22 22 22 2(21) 2 nn n Sn 231 22(222 )(21) 2 nn n 2311 222(21) 26(23) 2 nnn nn 1 6(23) 2n n Sn 19解： （1）取 1 BB中点E，连接AE，则 1 / /AEPB， 连接CE，取CE中点N，连接QN，则/ /Q

26、NAE， 1 / /QNPB，即Q，N，P， 1 B四点共面， 连接 1 B N交BC于H，连接QH，则Q，H， 1 B，P四点共面， 过A作/ /AMQH交BC于M，即为所求 （2）作QO 平面 11 ABB A，与 1 A A延长线交于O，则1AO ，3QO ， 1 1 25425219 2 OB ， 1 22QB， 1 2B P ，2 3PQ ， 1 124223 cos 422 32 QPB ， 1 13 sin 4 QPB， 1 11339 2 32 242 PQB S ， 作 11 / /PNC A，则直线 11 AC与平面 1 PQB所成角直线PN与平面 1 PQB所成角， 1

27、432 3 2 PQN S ， 1 1 2 332 3 BPQN V ， 设N到平面 1 PQB的距离为h，则 139 2 32 h， 4 39 13 h， 直线 11 AC与平面 1 PQB所成角的正弦值 4 39 39 13 413 20解： （1）由频率分布直方图可知，超过 1.5 万元的频率为， 所以超过 1.5 万元的户数有户， 又因为平原地区家庭与山区家庭的户数之比为，抽取了 100 户， 故平原地区的共有 60 户，山区地区的共有 40 户， 又样本中家庭年收入超过 1.5 万元的有 10 户居住在山区，所以超过 1.5 万元的有 40 户居住在平原地区， 不超过 1.5 万元的

28、有 20 户住在平原地区，有 30 户住在山区地区， 故 2019 年家庭年收入与地区的列联表如下： 超过 1.5 万元 不超过 1.5 万元 总计 (0.50.40.1)0.50.5 1000.550 3:2 平原地区 40 20 60 山区 10 30 40 总计 50 50 100 则， 所以有的把握认为该县 2019 年家庭年收入超过 1.5 万元与地区有关； （2）由（1）可知，选 1 户家庭在平原的概率为，山区的概率为， 的可能取值为 0，1，2，3，4， 所以， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 因为服从二项分布， 所以的数学期望 21 解： （1）设点，则，

29、即， 化简得， 点的轨迹方程为（4 分） （2）对函数，求导数 设切点，则过该切点的切线的斜率为， 切线方程为即， 22 2 ()100(40301020)50 16.66710.828 ()()()()604050503 n adbc K ab cd ac bd 99.9% 2 5 3 5 X 004 4 3216 (0)( ) ( ) 55625 P XC 113 4 3296 (1)( ) ( ) 55625 P XC 222 4 32216 (2)( ) ( ) 55625 P XC 331 4 32216 (3)( ) ( ) 55625 P XC 440 4 3281 (4)( )

30、 ( ) 55625 P XC X X P 16 625 96 625 216 625 216 625 81 625 X 3 (4, ) 5 XB X 312 ()42.4 55 E X ( , )P x y| | 1PFy 22 (1)| 1xyy 2 2| 2xyy0y 2 4xy P 2 4xy 2 1 4 yx 1 2 yx 2 00 1 (,) 4 xx 0 1 2 x 2 000 11 () 42 yxxxx 2 00 11 24 yx xx 设点，由于切线经过点， 即， 设，则，是方程的两个实数根， ，（8 分） 设为中点， ， 点，又， 直线的方程为，即， 当，时，方程恒成立

31、对任意实数 ，直线恒过定点（12 分） 22解： （1）由， 得， 设， 则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， 由题意， 所以， 所以的取值范围是， （2）证明：当时， 由于， 所以在上有一个零点， 又在上单调递增， ( ,4)Q t t Q 2 00 11 4 24 tx tx 2 00 24160 xtxt 22 1122 11 ( ,), (,) 44 A xxB xx 1 x 2 x 2 24160 xtxt 12 2xxt 12 416x xt MAB 12 2 M xx xt 22222 121212 1 11111 ()()242(416)4 2 44882 M yx

32、xxxx xtttt 2 1 ( ,4) 2 M ttt 22 12 12 12 11 44 42 AB xx xxt k xx AB 2 1 (4)() 22 t yttxt (2)820t xy (*) 2x 4y (*) tEF(2,4) 2 1 ( )1 2 x f xxmxe ( ) x f xxme ( )( ) x g xf xxme ( )1 x g xe 0 x ( )0g x( )g x 0 x ( )0g x( )g x ( )(0)1 max g xgm ( )1 0g xm 1m m(1 1m (0)10gm ()0 m gme ( )g x(,0)m ( )g x(

33、,0) 所以在上有一个零点，设为， 所以， 设， 则， 即在上单调递减， 所以（1）， 即， 所以在上有一个零点， 又在上单调递增， 所以在上有一个零点，设为， 所以当时， 当，时， 当，时， 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 所以的极小值为，的极大值是， 所以有一个极大值点和一个极小值点 ( )g x(,0) 11 (0)xmx ( )2(1) m g mmem ( )2(1) x h xxe x ( )220 x h xee ( )h x(1,) ( )h xh0 ( )0g m ( )g x(0,)m ( )g x(0,) ( )g x(0,) 22 (0)xmx 1 (,)xx ( )( )0fxg x 1 (xx 2) x( )( )0fxg x 2 (xx)( )( )0fxg x ( )f x 1 (,)x 2 (x) 1 (x 2) x ( )f x 1 ()f x( )f x 2 ()f x ( )f x