1、2021 年北京市顺义区高考数学第二次统练试卷（二模）年北京市顺义区高考数学第二次统练试卷（二模） 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题）小题）. 1已知集合 Ax|x|1，Bx|0 x2，则 AB（ ） Ax|x2 Bx|1x2 Cx|0 x1 Dx|1x2 2在复平面内，复数 zi（i+2）对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3在的展开式中，x 3 的系数为（ ） A B C40 D40 4已知 a，bR，且 ab，则下列不等式恒成立的是（ ） A2a2b B Ca3b3 Dlg（a2+1）lg（b2+1） 5某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面
2、积中最大的是（ ） A B1 C D2 6已知函数 f（x）|x|1log2|x|，则不等式 f（x）0 的解集是（ ） A（0，1）（2，+） B（，2）（1，1）（2，+） C（，2）（1，0）（0，1）（2，+） D（2，1）（1，2） 7把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 1，空气的温度是 0那么 tmin 后物体的温度 （单位： ） 可由公式 0+ （10 ） e kt求得， 其中 k 是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数 现 有 46的物体，放在 10的空气中冷却，1min 以后物体的温度是 38，则 k 的值约为（ ）（ln3 1.10，ln71.95） A0.25
3、 B0.25 C0.89 D0.89 8已知圆（xa）2+（yb）21 经过原点，则圆上的点到直线 yx+2 距离的最大值为（ ） A B C D 9已知函数 f（x）sinx，xa，b，则“存在 x1，x2a，b使得 f（x1）f（x2）2”是“ba”的 （ ） A充分必要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 10设函数 f（x），若 f（x）恰有两个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 11设向量 （m，3）， （1，2）， （1，1），若（ ） ，则实数
4、m 12 若 双 曲 线的 焦 距 等 于 实 轴 长 的 倍 ， 则 C 的 渐 近 线 方 程 为 13 已知an为等差数列， Sn为其前 n 项和， 若 a16， S32a1， 则公差 d ， Sn的最大值为 14已知 是任意角，且满足，则常数 k 的一个取值为 15曲线 C 是平面内与两个定点 F1（0，1），F2（0，1）的距离的积等于的点 P 的轨迹，给出下列四 个结论： 曲线 C 关于坐标轴对称； F1PF2周长的最小值为 ； 点 P 到 y 轴距离的最大值为； 点 P 到原点距离的最小值为 其中所有正确结论的序号是 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应
5、写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程分解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程 16如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形且 PA平面 ABCD，M，N 分别为 PB，PD 的 中点 （）求证：MN平面 ABCD； （）若 PAAB2，求 CN 与平面 PBD 所成角的正弦值 17在ABC 中，已知 sinBsinC，A30，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知， 求： （）c 的值； （）ABC 的面积 条件：ab2； 条件：asinB6 18某学校食堂为了解师生对某种新推出的菜品的满意度，从品尝过该菜品的学生和老师中分别随机调查 了 20 人，得到师生对该菜品
6、的满意度评分如下： 教师：60 63 65 67 75 77 77 79 79 82 83 86 87 89 92 93 96 96 96 96 学生：47 49 52 54 55 57 63 65 66 66 74 74 75 77 80 82 83 84 95 96 根据师生对该菜品的满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 假设教师和学生对该菜品的评价结果相互独立，根据所给数据，用事件发生的频率估计相应事件发生的 概率 （）设数据中教师和学生评分的平均值分别为 1和 2，方差分别为
7、1和 2，试比较 1和 2，1和 2 的大小（结论不要求证明）； （）从全校教师中随机抽取 3 人，设 X 为 3 人中对该菜品非常满意的人数，求随机变量 X 的分布列及 数学期望； （）求教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率 19已知椭圆的离心率为 ，且过点 （）求椭圆 G 的方程； （）过点 M（0，1）斜率为 k（k0）的直线 l 交椭圆 G 于 A，B 两点，在 y 轴上是否存在点 N 使得 ANMBNM（点 N 与点 M 不重合），若存在，求出点 N 的坐标，若不存在，请说明理由 20已知函数 f（x）exmx2（mR） （）已知曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程为
8、 yex+e，求 m 的值； （）若存在 x00，1，使得 f（x0）2，求 m 的取值范围 21已知数列an（anN），记 Sna1+a2+an，首项 a1n00，若对任意整数 k2，有 0akk1， 且 Sk是 k 的正整数倍 （）若 a121，写出数列an的前 10 项； （）证明：对任意 n2，数列an的第 n 项 an由 a1唯一确定； （）证明：对任意正整数 n0，数列Sn从某一项起为等差数列 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题）小题）. 1已知集合 Ax|x|1，Bx|0 x2，则 AB（ ） Ax|x2 Bx|1x2 Cx|0 x1 Dx|1x2 解：由
9、|x|1，得1x1，Ax|x|1x|1x1， 又 Bx|0 x2，ABx|1x1x|0 x2x|1x2 故选：D 2在复平面内，复数 zi（i+2）对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解：由 zi（i+2）i2+2i1+2i， 可得复数 zi（i+2）对应的点的坐标为（1，2），位于第二象限 故选：B 3在的展开式中，x 3 的系数为（ ） A B C40 D40 解：的展开式中，x3的系数为40 故选：A 4已知 a，bR，且 ab，则下列不等式恒成立的是（ ） A2a2b B Ca3b3 Dlg（a2+1）lg（b2+1） 解：对于 A，函数 y2x为增函数
10、，因为 ab，所以 2a2b，故 A 错误； 对于 B，取 a1，b1，可得，故 B 错误； 对于 C，幂函数 yx3为增函数，由 ab，可得 a3b3，故 C 正确； 对于 D，取 a1，b1，则 a2+1b2+1，所以 lg（a2+1）lg（b2+1），故 D 错误 故选：C 5某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（ ） A B1 C D2 解：由三视图还原原几何体如图， 底面三角形 BCD 为直角三角形，BCCD，BC1，CD2， 侧面 ABC底面 BCD，ABBC，ABBC1， ， ， 该四面体四个面的面积中最大的是 故选：C 6已知函数 f（x）|x|1log2|
11、x|，则不等式 f（x）0 的解集是（ ） A（0，1）（2，+） B（，2）（1，1）（2，+） C（，2）（1，0）（0，1）（2，+） D（2，1）（1，2） 解：令 g（t）t1log2t，t（0，+）， g（t）1， t（0，）时，g（t）0，此时函数 g（t）单调递减；t（ ，+）时，g（t）0，此时函 数 g（t）单调递增 又 g（1）g（2）0，（1，2） 1t2 时，g（t）0， 则 1|x|2 时，f（x）0， 解得2x1，或 1x2 不等式 f（x）0 的解集是（2，1）（1，2） 故选：D 7把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 1，空气的温度是 0那么 tmi
12、n 后物体的温度 （单位： ） 可由公式 0+ （10 ） e kt求得， 其中 k 是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数 现 有 46的物体，放在 10的空气中冷却，1min 以后物体的温度是 38，则 k 的值约为（ ）（ln3 1.10，ln71.95） A0.25 B0.25 C0.89 D0.89 解：0+（10）e kt，且当 146，010，t1min 时，38， 3810+（4610）ek， ek， kln7ln9， kln9ln72ln3ln70.25， 故选：A 8已知圆（xa）2+（yb）21 经过原点，则圆上的点到直线 yx+2 距离的最大值为（ ） A B C D
13、 解：圆（xa）2+（yb）21 经过原点， a2+b21，则动圆（xa）2+（yb）21 的圆心在以原点为圆心，以 1 为半径的圆上， 如图： 原点 O 到直线 yx+2 的距离 d， 则圆上的点到直线 yx+2 距离的最大值为 故选：B 9已知函数 f（x）sinx，xa，b，则“存在 x1，x2a，b使得 f（x1）f（x2）2”是“ba”的 （ ） A充分必要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 解：无妨设 x1x2， 若存在 x1，x2a，b，使得 f（x1）f（x2）2，又sinx1，1， f（x1）1，f（x2）1， x1+2k，x2 +2m，k，
14、mZ， 则 x2x1+2k，kZ，又x1x2， x2x1，x1，x2a，b，ba， 若 ba，比如 b，a，ba，但 f（x1）f（x2）2 不成立， 存在 x1，x2a，b使得 f（x1）f（x2）2 是 ba 的充分不必要条件 故选：B 10设函数 f（x），若 f（x）恰有两个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C D 解：函数 yx3+3x，xR，则 y3x2+33（x+1）（x1）， 所以当1x1 时，y0，故函数单调递增， 当 x1 或 x1 时，y0，故函数单调递减， 当 x1 时，y2，当 x1 时，y2， 作出函数 yx3+3x，xR 的图象与 y2x，xR 的图象
15、，如图所示， 在图象中作直线 xa，通过 xa 左右平移，得到函数 f（x）的图象， 因为 f（x）恰有两个零点， 则 f（x）的图象与 x 轴恰有两个交点， 所以实数 a 的取值范围是 故选：C 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 11设向量 （m，3）， （1，2）， （1，1），若（ ） ，则实数 m 2 解：根据题意，向量 （m，3）， （1，2）， （1，1）， 则 （m1，1）， 若（ ） ，则（ ） m110，解可得 m2， 故答案为：2 12若双曲线的焦距等于实轴长的 倍，则 C 的渐近线方程为 y x 解：由题意知，2c2a，
16、 ca， ba， C 的渐近线方程为 yxx 故答案为：yx 13 已知an为等差数列， Sn为其前 n 项和， 若 a16， S32a1， 则公差 d 2 ， Sn的最大值为 12 解：因为an为等差数列，a16，S32a1， 所以 36+3d12， 则 d2， Sn6n+7nn2， 结合二次函数的性质可知，当 n3 或 n4 时，Sn取最大值 12 故答案为：2，12 14已知 是任意角，且满足，则常数 k 的一个取值为 3（答案不唯一） 解：因为， 令 k ，则 k3 故答案为：3（答案不唯一） 15曲线 C 是平面内与两个定点 F1（0，1），F2（0，1）的距离的积等于的点 P 的轨
17、迹，给出下列四 个结论： 曲线 C 关于坐标轴对称； F1PF2周长的最小值为 ； 点 P 到 y 轴距离的最大值为； 点 P 到原点距离的最小值为 其中所有正确结论的序号是 解：由题意，曲线 C 是平面内与两个定点 F1（0，1），F2（0，1）的距离的积等于的点 P 的轨迹， 设 P（x，y），可得，即， 以x 替换 x，y 替换 y 方程不变，曲线 C 关于坐标轴对称，故正确； 设 a，b，得到 ab， 则 a+b ，当且仅当 ab 时等号成立， F1PF2周长的最小值为 ，故正确； 过点 P 作 PEF1F2，则 cosF1PF2 ， 当且仅当 ab 时等号成立， 当时，sinF1PF
18、2取得最大值， F1PF2的最大面积为 S ，又由， 解得|PE|，即点 P 到 y 轴的距离为，故不正确； 由（a+b）2a2+b2+2abx2+（y+1）2+x2+（y1）2+2ab +2+2ab， 又由 a+b2 ，当且仅当 ab 时等号成立， 2 ，可得，故正确 故答案为： 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程分解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程 16如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形且 PA平面 ABCD，M，N 分别为 PB，PD 的 中点 （）求证：MN平面 ABCD； （）若 PAA
19、B2，求 CN 与平面 PBD 所成角的正弦值 解：（）证明：在四棱锥 PABCD 中，M，N 分别为 PB，PD 的中点 取 PC 中点 P，连结 PM，PN，则 PMBC，PNCD， PMPNP，BCCDC， 平面 ABCD平面 PMN， MN平面 PMN，MN平面 ABCD （）底面 ABCD 为正方形PA平面 ABCD，PAAB2， 以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 C（2，2，0），N（0，1，1），P（0，0，2），B（2，0，0），D（0，2，0）， （2，1，1），（2，0，2），（0，2，2）， 设平面 PBD 的
20、法向量 （x，y，z）， 则，取 x1，得 （1，1，1）， 设 CN 与平面 PBD 所成角为 ， 则 CN 与平面 PBD 所成角的正弦值为： sin 17在ABC 中，已知 sinBsinC，A30，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知， 求： （）c 的值； （）ABC 的面积 条件：ab2； 条件：asinB6 解：由正弦定理知， sinBsinC，bc， 选择条件： （）ab2，a， 由余弦定理知，a2b2+c22bccosA， （）2（c）2+c22cccos30， 化简得，c44， c0，c （）bc， ABC 的面积 SbcsinAsin30 选择条件： （）由正弦定理
21、知， bsinAasinB6， b12， bc，c4 （）ABC 的面积 SbcsinA124sin3012 18某学校食堂为了解师生对某种新推出的菜品的满意度，从品尝过该菜品的学生和老师中分别随机调查 了 20 人，得到师生对该菜品的满意度评分如下： 教师：60 63 65 67 75 77 77 79 79 82 83 86 87 89 92 93 96 96 96 96 学生：47 49 52 54 55 57 63 65 66 66 74 74 75 77 80 82 83 84 95 96 根据师生对该菜品的满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于 70 分 70
22、 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 假设教师和学生对该菜品的评价结果相互独立，根据所给数据，用事件发生的频率估计相应事件发生的 概率 （）设数据中教师和学生评分的平均值分别为 1和 2，方差分别为 1和 2，试比较 1和 2，1和 2 的大小（结论不要求证明）； （）从全校教师中随机抽取 3 人，设 X 为 3 人中对该菜品非常满意的人数，求随机变量 X 的分布列及 数学期望； （）求教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率 解：（）12，12 （）教师对菜品满意的概率 P，则随机变量 X 服从二项分布，即 XB（3，）， X 的所有可能取值为 0，1，2
23、，3，且 P（Xk）pk（1p）3 k， 所以 P（X0），P（X1）， P（X2），P（X3） ， 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以数学期望 E（X）0+1+2+3 （）记事件 C：教师的满意度等级高于学生的满意度等级， 用 A1，A2，A3分别表示教师对该菜品“不满意”、“满意”、“非常满意”， 用 B1，B2，B3分别表示学生该菜品“不满意”、“满意”、“非常满意”， 且 A1，A2，A3，B1，B2，B3相互独立， 则 P（A1），P（A2） ，P（A3），P（B1） ，P（B2），P（B3） ， 所以 P（C）P（A2B1）+P（A3B1）P（A3B2）+ +，
24、即教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率为 19已知椭圆的离心率为 ，且过点 （）求椭圆 G 的方程； （）过点 M（0，1）斜率为 k（k0）的直线 l 交椭圆 G 于 A，B 两点，在 y 轴上是否存在点 N 使得 ANMBNM（点 N 与点 M 不重合），若存在，求出点 N 的坐标，若不存在，请说明理由 解：（）由题意可得， 解得 a2，b2， 所以椭圆 G 的方程为+1 （）设 A（x1，y1），B（x2，y2），N（0，t）（t1）， 所以直线 AN 的斜率为 k1， 直线 BN 的斜率为 k2， 所以ANMBNM，当且仅当 k1+k20， 所以+ 0， 即 2kx1x2+（1t
25、）（x1+x2）0， 根据题意，直线 l 的方程为 ykx+1， 联立，得（1+2k2）x2+4kx60， 所以 x1+x2 ，x1x2 ， 所以 2k+（1t）0， 由因为 k0， 所以 t4， 所以+1 所以在 y 轴上存在点 N 使得ANMBNM，点 N 的坐标为（0，4） 20已知函数 f（x）exmx2（mR） （）已知曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程为 yex+e，求 m 的值； （）若存在 x00，1，使得 f（x0）2，求 m 的取值范围 解：（）由切线方程为 yex+ee（x1），可得斜率 ke， 因为 f（x）exmx2，f（x）ex2mx， 所以 kf（1）
26、e2me，解得 me （）存在 x00，1，使得 f（x0） mx022， 当 x00 时，12 成立，mR， 当 x0（0，1时，即 m 有解， 令 g（x），则 g（x）， 设 h（x）xex2ex+4，h（x）ex+xex2ex（x1）ex， 因为 x（0，1，所以 h（x）0，h（x）单调递减， 所以 h（x）minh（1）4e0， 所以 g（x）0，所以 g（x）在（0，1上单调递增， 所以 g（x）maxg（1）e2， 所以 me2 综上可得，若存在 x00，1，使得 f（x0）2，则 m 的取值范围是（，e2 21已知数列an（anN），记 Sna1+a2+an，首项 a1n00
27、，若对任意整数 k2，有 0akk1， 且 Sk是 k 的正整数倍 （）若 a121，写出数列an的前 10 项； （）证明：对任意 n2，数列an的第 n 项 an由 a1唯一确定； （）证明：对任意正整数 n0，数列Sn从某一项起为等差数列 【解答】（）解：因为 Sk是 k 的正整数倍，当 a121 时，则Sn的前 10 项为 21，22，24，24，25， 30，35，40，45， 所以数列an的前 10 项为 21，1，2，0，1，5，5，5，5，5； （）证明：当 k2 时，根据题意 a1+a22b 为偶数，并且 0a21， 所以，从而 a2由 a1唯一确定， 接下来用反证法，假设数
28、列的某一项可以有两种不同的取值， 假设第 k+1 项是第 1 个可以有两个不同取值的项， 即前面 k 项由 a1唯一确定， 记第 k+1 项的两种取值为 ak+1和 ck+1（ak+1ck+1）， 根据题意存在 b，cN，使得 a1+a2+ak+ak+1（k+1）b， 且 a1+a2+ak+ck+1（k+1）c， 并且满足 0ak+1，ck+1k， 由两式作差可知，|ak+1ck+1|是 k+1 的倍数， 又因为|ak+1ck+1|k， 可知 ak+1ck+1，与假设矛盾， 故假设不成立， 所以对任意 n2，数列an的第 n 项 an由 a1唯一确定； （）证明：因为 Sk+1Sk+ak+1Sk+k， 所以， 因为，都是正整数，由整数的离散性可知， 因此存在 m0，当 nm0时，为常数， 不妨记为c，从而当 nm0时，Sncn， 所以数列Sn从某一项起为等差数列
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