1、 第 1 页（共 22 页） 2021 年山东省济宁市中考数学一模试卷年山东省济宁市中考数学一模试卷 一一.选择题：本大题共选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一个符合题意要求一个符合题意要求. 1 （3 分）8 的立方根是( ) A2 B2 C2 D2 2 2 （3 分）下列运算正确的是( ) A651aa B 235 a aa C 22 ( 2 )4aa D 623 aaa 3 （3 分）已知一组数据 5，4，3，4，9，关于这组数据的下列描述：平均数是 5，中 位数是 4，众数是
2、 4，其中正确的个数为( ) A0 B1 C2 D3 4（3分） 2020 年是国家脱贫攻坚战收官之年 据悉， 2018年中央财政专项扶贫资金为 1060.95 亿元，2020 年中央财政专项扶贫资金为 1136 亿元，设 2018 年到 2020 年中央财政专项扶贫 资金年平均增长率为x，可列方程为( ) A 2 1060.95(1%)1136x B 2 1060.95(1)1136x C1060.95(12 )1136x D 2 1060.95(1)1136x 5（3 分） 两个相似三角形对应中线的长分别为6cm和12cm， 若较大三角形的面积是 2 12cm， 则较小的三角形的面积为(
3、2 )cm A1 B3 C4 D6 6 （3 分） 如图， 在平面直角坐标系中， 平行四边形OABC的顶点A在反比例函数 1 y x 上， 顶点B在反比例函数 5 y x 上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是( ) 第 2 页（共 22 页） A 5 2 B4 C6 D 3 2 7（3 分） 在ABC和A B C 中， 有下列条件： ABBC A BB C ， BCAC B CAC ， AA ， C C ，如果从中任取两个条件组成一组，能判断ABCA B C 的共有( ) A1 组 B2 组 C3 组 D4 组 8 （3 分）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE
4、折叠，使点D落在BC边 上的点F处若3AB ，5BC ，则tanDAE的值为( ) A 1 2 B 9 20 C 2 5 D 1 3 9 （3 分）如图，扇形AOB的半径为 1，90AOB，以AB为直径画半圆，则图中阴影部 分的面积为( ) A 1 4 B 1 2 C 1 2 D 11 42 10 （3 分）对称轴为直线1x 的抛物线 2 (yaxbxc a、b、c为常数，且0)a 如图所 示，小明同学得出了以下结论：0abc ， 2 4bac，420abc，30ac， 第 3 页（共 22 页） ()(ab m amb m为任意实数） ，当1x 时，y随x的增大而增大其中结论正确的 个数为(
5、 ) A3 B4 C5 D6 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分分. 11 （3 分）若二次根式5x 在实数范围内有意义，则x的取值范围为 12（3 分） 如图， 点(8,6)P在ABC的边AC上， 以原点O为位似中心， 在第一象限内将ABC 缩小到原来的 1 2 ，得到A B C ，则点P在A C 上的对应点 P 的坐标为 13（3 分） 如图，ABC是O的内接三角形，ABBC，30BAC，AD是直径，8AD ， 则AC的长为 14 （3 分）观察下列各式： 1 2 3 a ， 2 1a ， 3 10 7 a ， 4 17 9
6、a ， 5 26 11 a ，根据其中的 规律可得 n a （用含n的式子表示） 15 （3 分） 在平面直角坐标系中， 已知( 1,)Am和(5,)Bm是抛物线 2 1yxbx上的两点， 将抛物线 2 1yxbx的图象向上平移(n n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有 交点，则n的最小值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 7 个小题，共个小题，共 55 分。分。 第 4 页（共 22 页） 16 （5 分）计算： 20212 1 12(2cos60 )( )|32 3 | 2 17（6 分） 如图， 将ABC绕点B顺时针旋转60得到DBE， 点C的对应点E恰好落在AB 的延
7、长线上，连接AD （1）求证：/ /BCAD； （2）若4AB ，1BC ，求A，C两点旋转所经过的路径长之和 18 （8 分）寒假期间某中学对学生寒假作业情况进行了一次线上抽样调查，根据收集的数 据绘制了不完整的统计图表 作业情况 频数 频率 非常好 44 0.22 较好 68 一般 0.24 不好 40 请根据图表中提供的信息，解答下列问题： （1）将统计表中所缺的数据补充完整； （2）若该中学有 1000 名学生，估计该校学生作业情况“非常好”和“较好”的学生一共约 多少名？ （3）某学习小组 4 名学生的作业本中，有 2 本“非常好” （记为 1 A， 2) A，1 本“较好” （记
8、为)B，1 本“一般” （记为)C，这些作业本封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征 完全相同，从中抽取一本，不放回，从余下的 3 本中再抽取一本，请用“列表法”或“画树 状图”的方法求出两次抽到的作业本都是“非常好”的概率 19 （8 分） 如图， 在ABC中，ABBC，以ABC的边AB为直径作O，交AC于点D， 过点D作DEBC，垂足为点E 第 5 页（共 22 页） （1）试证明DE是O的切线； （2）若O的半径为 5，6 10AC ，求此时DE的长 20 （8 分）如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线 ACB方可到达当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮
9、大旅游经济，当地政府决 定对A，B两地间的道路进行改建，修建一条从A地到景区B的笔直公路，这样由A地沿 直线AB行驶，直接可以到达B地已知45A，30B，100BC 千米 （1）公路修建后，求从A地直接到景区B地旅游大约要走多少千米？（结果保留整数） （考 数据：21.4，31.7) （2）为迎接“五一”旅游旺季的到来，需加快修建公路的速度，于是施工队使用了新的施 工技术， 实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%， 结果提前50天完成了施工任务， 请在（1）的条件下，求施工队原计划每天修建多少千米？ 21 （9 分）阅读理解： 我们把一条直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，用小写字母k
10、表示一般的，直线 (0)ykxb k中的k，叫做这条直线的斜率，则有tank 探究发现： 某数学兴趣小组利用以上材料，通过多次验证和查阅资料探究得出：经过两点 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 212 )()yxx的直线ykxb的斜率为： 21 21 PQ yy k xx 启发应用： （1）应用以上结论直接写出过(2,3)A，( 1,0)B 两点的直线AB的斜率k为 ； 第 6 页（共 22 页） 深入探究： 数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到结论：任意两条不和坐标轴平行的直 线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值 （2）已知( 6,0)C ，(3,6)D，(0,3)
11、E，(6, 6)F，当直线CD与直线EF互相垂直时，请 求出直线CD与直线EF的斜率之积； 事实上，任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值，由 可知这个定值为 ； （3）如图，M为以点M为圆心，MN的长为半径的圆已知(1,2)M，(4,5)N，请结合 （2）中的结论，求出过点N的M的切线l的解析式 22 （11 分）如图，抛物线 2 2yaxbx与x轴交于A，B两点，且2OAOB，与y轴交 于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线 1 2 x ，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D 作DEOA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m （1）求抛物线的表达式； （2）当
12、线段DF的长度最大时，求D点的坐标； （3） 抛物线上是否存在点D， 使得以点O，D，E为顶点的三角形与BOC相似？若存在， 求出m的值；若不存在，请说明理由 第 7 页（共 22 页） 第 8 页（共 22 页） 2021 年山东省济宁市中考数学一模试卷年山东省济宁市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.选择题：本大题共选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一个符合题意要求一个符合题意要求. 1 （3 分）8 的立方根是( ) A2 B2 C2 D2 2 【解答
13、】解：2的立方等于 8， 8的立方根等于 2 故选：A 2 （3 分）下列运算正确的是( ) A651aa B 235 a aa C 22 ( 2 )4aa D 623 aaa 【解答】解：65aaa，因此选项A不符合题意； 235 a aa，因此选项B符合题意； 22 ( 2 )4aa，因此选项C不符合题意； 626 24 aaaa ，因此选项D不符合题意； 故选：B 3 （3 分）已知一组数据 5，4，3，4，9，关于这组数据的下列描述：平均数是 5，中 位数是 4，众数是 4，其中正确的个数为( ) A0 B1 C2 D3 【解答】解：将这组数据重新排列为 3、4、4、5、9， 所以这组
14、数据的众数为 4，中位数为 4，平均数为 34459 5 5 ， 所以正确的描述是， 故选：D 4（3分） 2020 年是国家脱贫攻坚战收官之年 据悉， 2018年中央财政专项扶贫资金为 1060.95 亿元，2020 年中央财政专项扶贫资金为 1136 亿元，设 2018 年到 2020 年中央财政专项扶贫 资金年平均增长率为x，可列方程为( ) A 2 1060.95(1%)1136x B 2 1060.95(1)1136x 第 9 页（共 22 页） C1060.95(12 )1136x D 2 1060.95(1)1136x 【解答】解：设落实专项扶贫资金的年平均增长率为x，根据题意，
15、 得： 2 1060.95(1)1136x， 故选：D 5（3 分） 两个相似三角形对应中线的长分别为6cm和12cm， 若较大三角形的面积是 2 12cm， 则较小的三角形的面积为( 2 )cm A1 B3 C4 D6 【解答】解：根据题意两三角形的相似比是：6:121:2， 则面积比为1:4， 已知大三角形面积为 2 12cm， 则小三角形的面积为 2 3cm 故选：B 6 （3 分） 如图， 在平面直角坐标系中， 平行四边形OABC的顶点A在反比例函数 1 y x 上， 顶点B在反比例函数 5 y x 上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是( ) A 5 2 B4 C6
16、D 3 2 【解答】解：如图作BDx轴于D，延长BA交y轴于E， 第 10 页（共 22 页） 四边形OABC是平行四边形， / /ABOC，OABC， BEy轴， OEBD， Rt AOERt CBD(HL)， 根据系数k的几何意义，5 BDOE S 矩形 ， 1 2 AOE S， 四边形OABC的面积 11 54 22 ， 故选：B 7（3 分） 在ABC和A B C 中， 有下列条件： ABBC A BB C ， BCAC B CAC ， AA ， C C ，如果从中任取两个条件组成一组，能判断ABCA B C 的共有( ) A1 组 B2 组 C3 组 D4 组 【解答】解：能判断AB
17、CA B C 的有：， 能判断ABCA B C 的共有 3 组 故选：C 8 （3 分）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边 上的点F处若3AB ，5BC ，则tanDAE的值为( ) A 1 2 B 9 20 C 2 5 D 1 3 【解答】解：四边形ABCD为矩形， 第 11 页（共 22 页） 5ADBC，3ABCD， 矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处， 5AFAD，EFDE， 在Rt ABF中， 22 2594BFAFAB， 541CFBCBF， 设CEx，则3DEEFx 在Rt ECF中， 222 CEFCEF， 222 1
18、(3)xx，解得 4 3 x ， 5 3 3 DEEFx， 5 1 3 tan 53 DE DAE AD ， 故选：D 9 （3 分）如图，扇形AOB的半径为 1，90AOB，以AB为直径画半圆，则图中阴影部 分的面积为( ) A 1 4 B 1 2 C 1 2 D 11 42 【解答】解：在Rt AOB中， 22 2ABAOOB， 2 11 () 224 AB S 半圆 ， 11 22 AOB SOBOA ， 2 901 3604 OBA S 扇形 ， 故 1 2 AOBAOB SSSS 阴影半圆扇形 故选：C 10 （3 分）对称轴为直线1x 的抛物线 2 (yaxbxc a、b、c为常数
19、，且0)a 如图所 第 12 页（共 22 页） 示，小明同学得出了以下结论：0abc ， 2 4bac，420abc，30ac， ()(ab m amb m为任意实数） ，当1x 时，y随x的增大而增大其中结论正确的 个数为( ) A3 B4 C5 D6 【解答】解：由图象可知：0a ，0c ， 1 2 b a ， 20ba ， 0abc，故错误； 抛物线与x轴有两个交点， 2 40bac， 2 4bac，故正确； 当2x 时，420yabc，故错误； 当1x 时，( 2 )0yabcaac ， 30ac，故正确； 当1x 时，y取到值最小，此时，yabc， 而当xm时， 2 yambmc，
20、 所以 2 abc ambmc， 故 2 ab ambm，即()ab m amb，故正确， 当1x 时，y随x的增大而减小，故错误， 故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分分. 11 （3 分）若二次根式5x 在实数范围内有意义，则x的取值范围为 5x 【解答】解：要使二次根式5x 在实数范围内有意义，必须5 0 x ， 解得：5x， 第 13 页（共 22 页） 故答案为：5x 12（3 分） 如图， 点(8,6)P在ABC的边AC上， 以原点O为位似中心， 在第一象限内将ABC 缩小到原来的 1 2 ，得到A B C ，
21、则点P在A C 上的对应点 P 的坐标为 (4,3) 【解答】 解： 以原点O为位似中心， 在第一象限内将ABC缩小到原来的 1 2 ， 得到A B C ， 点(8,6)P， 点P在A C 上的对应点 P 的坐标为 1 (8 2 ， 1 6) 2 ，即(4,3)， 故答案为：(4,3) 13（3 分） 如图，ABC是O的内接三角形，ABBC，30BAC，AD是直径，8AD ， 则AC的长为 4 3 【解答】解：连接CD， ABBC，30BAC， 30ACBBAC ， 1803030120B ， 18060DB， AD是直径， 90ACD， 30CAD，8AD ， 1 4 2 CDAD， 22
22、844 3AC， 第 14 页（共 22 页） 故答案为：4 3 14 （3 分）观察下列各式： 1 2 3 a ， 2 1a ， 3 10 7 a ， 4 17 9 a ， 5 26 11 a ，根据其中的 规律可得 n a 2 1 21 n n （用含n的式子表示） 【解答】解：由题意得： 2 1 11 2 1 1 a ， 2 2 521 5221 a ， 2 3 31 2 3 1 a ， 2 1 21 n n a n ， 故答案为： 2 1 21 n n 15 （3 分） 在平面直角坐标系中， 已知( 1,)Am和(5,)Bm是抛物线 2 1yxbx上的两点， 将抛物线 2 1yxbx的
23、图象向上平移(n n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有 交点，则n的最小值为 4 【解答】解：点( 1,)Am和(5,)Bm是抛物线 2 1yxbx上的两点， 15 2 12 b ， 解得，4b ， 抛物线解析式为 22 41(2)3yxxx ， 将抛物线 2 1yxbx的图象向上平移(n n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没 有交点， n的最小值是 4， 故答案为：4 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 7 个小题，共个小题，共 55 分。分。 16 （5 分）计算： 20212 1 12(2cos60 )( )|32 3 | 2 【解答】解：原式 2021 1 2 3(
24、2)432 3 2 2 31432 3 6 第 15 页（共 22 页） 17（6 分） 如图， 将ABC绕点B顺时针旋转60得到DBE， 点C的对应点E恰好落在AB 的延长线上，连接AD （1）求证：/ /BCAD； （2）若4AB ，1BC ，求A，C两点旋转所经过的路径长之和 【解答】 （1）证明：由题意，ABCDBE ，且60ABDCBE ， ABDB， ABD是等边三角形， 60DAB， CBEDAB ， / /BCAD （2）解：由题意，4BABD，1BCBE，60ABDCBE ， A，C两点旋转所经过的路径长之和 6046015 1801803 18 （8 分）寒假期间某中学对学
25、生寒假作业情况进行了一次线上抽样调查，根据收集的数 据绘制了不完整的统计图表 作业情况 频数 频率 非常好 44 0.22 较好 68 0.34 一般 0.24 不好 40 请根据图表中提供的信息，解答下列问题： （1）将统计表中所缺的数据补充完整； 第 16 页（共 22 页） （2）若该中学有 1000 名学生，估计该校学生作业情况“非常好”和“较好”的学生一共约 多少名？ （3）某学习小组 4 名学生的作业本中，有 2 本“非常好” （记为 1 A， 2) A，1 本“较好” （记 为)B，1 本“一般” （记为)C，这些作业本封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征 完全相同，从中抽
26、取一本，不放回，从余下的 3 本中再抽取一本，请用“列表法”或“画树 状图”的方法求出两次抽到的作业本都是“非常好”的概率 【解答】解： （1）440.22200，682000.34，2000.2448，402000.2， 故答案为：0.34，48，0.2； （2）1000 (0.220.34)560（名)， 答：该校学生作业情况“非常好”和“较好”的学生一共约 560 名 （3）列表如下： 第一次 第二次 1 A 2 A B C 1 A 1 (A， 2) A 1 (A，)B 1 (A，)C 2 A 2 (A， 1) A 2 (A，)B 2 (A，)C B 1 ( ,)B A 2 ( ,)B
27、A ( ,)B C C 1 ( ,)C A 2 ( ,)C A ( , )C B 由列表可以看出，一共有 12 种结果，并且它们出现的可能性相等，其中两次抽到的作业本 都是“非常好”的有 2 种， 两次抽到的作业本都是“非常好”的概率为 21 126 19 （8 分） 如图， 在ABC中，ABBC，以ABC的边AB为直径作O，交AC于点D， 过点D作DEBC，垂足为点E （1）试证明DE是O的切线； （2）若O的半径为 5，6 10AC ，求此时DE的长 第 17 页（共 22 页） 【解答】 （1）证明：连接OD、BD， AB是O直径， 90ADB， BDAC， ABBC， D为AC中点，
28、OAOB， / /ODBC， DEBC， DEOD， OD为半径， DE是O的切线； （2）由（1）知BD是AC的中线， 1 3 10 2 ADCDAC， O的半径为 5， 10AB， 2222 10(3 10)10BDABAD， ABBC， AC ， 90ADBCED ， CDEABD， CDDE ABBD ，即 3 10 1010 DE ， 3DE 第 18 页（共 22 页） 20 （8 分）如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线 ACB方可到达当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，当地政府决 定对A，B两地间的道路进行改建，修建一条从A地到景区B的
29、笔直公路，这样由A地沿 直线AB行驶，直接可以到达B地已知45A，30B，100BC 千米 （1）公路修建后，求从A地直接到景区B地旅游大约要走多少千米？（结果保留整数） （考 数据：21.4，31.7) （2）为迎接“五一”旅游旺季的到来，需加快修建公路的速度，于是施工队使用了新的施 工技术， 实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%， 结果提前50天完成了施工任务， 请在（1）的条件下，求施工队原计划每天修建多少千米？ 【解答】解： （1）过点C作CDAB于D， 在Rt BCD中， ABCD，sin30 CD BC ，100BC 千米， 1 sin3010050 2 CDBC （千米）
30、 ， 3 cos3010050 3 2 BDBC （千米） ， 在Rt ACD中， 45A， 45ACD， 50ADCD（千米） ， 5050 3135AB（千米） 第 19 页（共 22 页） 答：从A地直接到景区B地旅游大约要走 135 千米； （2）设施工队原计划每天修建x千米，则实际每天修建(125%)x千米， 依题意得：135 135 50 (125%)xx ， 解得0.54x ， 经检验0.54x 是原分式方程的解 答：施工队原计划每天修建 0.54 千米 21 （9 分）阅读理解： 我们把一条直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，用小写字母k表示一般的，直线 (0)ykxb k中
31、的k，叫做这条直线的斜率，则有tank 探究发现： 某数学兴趣小组利用以上材料，通过多次验证和查阅资料探究得出：经过两点 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 212 )()yxx的直线ykxb的斜率为： 21 21 PQ yy k xx 启发应用： （1）应用以上结论直接写出过(2,3)A，( 1,0)B 两点的直线AB的斜率k为 1 ； 深入探究： 数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到结论：任意两条不和坐标轴平行的直 线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值 （2）已知( 6,0)C ，(3,6)D，(0,3)E，(6, 6)F，当直线CD与直线EF互相垂直时，请 求出直
32、线CD与直线EF的斜率之积； 事实上，任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值，由 可知这个定值为 ； （3）如图，M为以点M为圆心，MN的长为半径的圆已知(1,2)M，(4,5)N，请结合 （2）中的结论，求出过点N的M的切线l的解析式 第 20 页（共 22 页） 【解答】解： （1）根据题目中的新概念可知： 03 1 12 k 故答案为：1 （2）( 6,0)C ，(3,6)D，(0,3)E，(6, 6)F， 直线DE的斜率为： 602 3( 6)3 CD k ， 直线PQ的斜率为： 633 602 EF k ， 1 CDEF kk ， 直线CD与直线EF的斜率
33、之积为1， 由可得这个定值为：1， 故答案为：1 （3）设直线MN的解析式为： 11 yk xb， 切线的解析式为ykxb， 11 11 2 54 kb kb ， 1k ， 1 1b ， 直线MN的解析式为：1yx， 圆的切线与过切点的半径垂直， 1 1k k ， 1 1k ， 1k ， 把(4,5)N代入ykxb， 得：45kb， 第 21 页（共 22 页） 把1k 代入45kb， 得：9b ， 切线的解析式为9yx 22 （11 分）如图，抛物线 2 2yaxbx与x轴交于A，B两点，且2OAOB，与y轴交 于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线 1 2 x ，D为第一象限内抛物线上一动点
34、，过点D 作DEOA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m （1）求抛物线的表达式； （2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标； （3） 抛物线上是否存在点D， 使得以点O，D，E为顶点的三角形与BOC相似？若存在， 求出m的值；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）设OBt，则2OAt，则点A、B的坐标分别为(2 ,0)t、(,0)t， 则 11 (2) 22 xtt，解得：1t ， 故点A、B的坐标分别为(2,0)、( 1,0)， 则抛物线的表达式为： 2 (2)(1)2ya xxaxbx， 解得：1a ， 故抛物线的表达式为： 2 2yxx； （2）对于 2 2yxx，令0 x
35、 ，则2y ，故点(0,2)C， 由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：2yx ， 设点D的横坐标为m，则点 2 ( ,2)D mmm，则点( ,2)F mm， 第 22 页（共 22 页） 则 22 2(2)2DFmmmmm ， 10 ，故DF有最大值，DF最大时1m ， 点(1,2)D； （3）存在，理由： 点(D m， 2 2)(0)mmm，则OEm， 2 2DEmm ， 以点O，D，E为顶点的三角形与BOC相似， 则 DEOBOC OEOCOB 或，即 1 2 DE OE 或 2，即 2 21 2 mm m 或 2， 解得：1m 或2（舍去）或1 33 4 或1 33 4 （舍去） ， 经检验1m 或1 33 4 是方程的解， 故1m 或1 33 4
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