1、 第 1 页（共 27 页） 2021 年上海市普陀区中考数学二模试卷年上海市普陀区中考数学二模试卷 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分）分）下列各题的四个选项中，有且只有下列各题的四个选项中，有且只有 一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上 1 （4 分）下列计算中，正确的是( ) A 23 235aaa B 23 235aaa C 2 2 23 3 aaa D 2 35 (2)8aa 2 （4 分）下列单项式中，可以与 23 x y合并同类项
2、的是( ) A 32 x y B 32 2 y x C 2 3x y D 23 2x y z 3 （4 分）方程2xx的根是( ) A2x B1x C0 x D2x 4 （4 分）已知两组数据： 1 x、 2 x、 3 x、 4 x、 5 x和 1 2x 、 2 2x 、 3 2x 、 4 2x 、 5 2x ， 下列有关这两组数据的说法中，正确的是( ) A平均数相等 B中位数相等 C众数相等 D方差相等 5 （4 分）已知在ABC和A B C 中，ABA B ，ACAC ，下列条件中，不一定能得 到ABCA B C 的是( ) ABCB C BAA CCC D90BB 6 （4 分）如图，
3、在平面直角坐标系中，ABC的顶点A、B均在y轴上，点C在x轴上， 将ABC绕着顶点B旋转后，点C的对应点C落在y轴上，点A的对应点A落在反比例函 数 6 y x 在第一象限的图象上如果点B、C的坐标分别是(0, 4)、( 2,0)，那么点A的坐 标是( ) 第 2 页（共 27 页） A(3,2) B 3 ( 2 ，4) C(2,3) D 3 (4, ) 2 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分）分） 7 （4 分）因式分解： 3 4aa 8 （4 分）已知 2 ( ) 1 f x x ，则( 3)f 9 （4 分）不等式组
4、24 31 x x 的解集是 10 （4 分） 已知正比例函数(ykx k是常数，0)k 的函数值y随x的值增大而减小， 那么k 的取值范围是 11 （4 分） 如果关于x的方程 2 10 xxm 有两个相等的实数根， 那么m的值等于 12 （4 分）抛物线 2 2(0)yaxaxa的对称轴是直线 13 （4 分）为了唤起公众的节水意识，从 1993 年起，联合国将每年的 3 月 22 日定为“世 界水日” 某居委会表彰了社区内 100 户节约用水的家庭，5 月份这 100 户家庭节约用水的 情况如表所示，那么 5 月份这 100 户家庭节水量的平均数是 吨 每户节水 量（单位： 吨） 5 6
5、 7.2 节水户户62 28 10 第 3 页（共 27 页） 数 14 （4 分） 小明已有两根长度分别是2cm和5cm的细竹签， 盒子里有四根长度分别是3cm、 4cm、7cm、8cm的细竹签，小明从盒子里随意抽取一根细竹签，恰能与已有的两根细竹签 首尾顺次联结组成三角形的概率等于 15（4 分） 如图， 两条平行线 1 l、2l分别经过正五边形ABCDE的顶点B、C 如果120 ， 那么2 16 （4 分）如图，已知ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，点F在DE的延长线 上，EFDE，设,BCa AFb，那么向量AC用向量a、b表示是 17 （4 分）已知等腰三角形ABC中，ABA
6、C，6BC ，以A为圆心 2 为半径长作A， 以B为圆心BC为半径作B，如果A与B内切，那么ABC的面积等于 18 （4 分）如图，正方形ABCD中，4AB ，E为边BC的中点，点F在AE上，过点F作 MNAE，分别交边AB、DC于点M、N，联结FC，如果FNC是以CN为底边的等腰 三角形，那么FC 第 4 页（共 27 页） 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 7 题，满分题，满分 78 分分 19 （10 分）计算： 1 2020 2 1 1( )|32|27 3 20 （10 分）解方程： 2 224 1 323 x xxx 21 （10 分）在平面直角坐标系xOy中（如图
7、） ，已知直线 1 2 2 yx 分别与x轴、y轴交 于点A、B，一个正比例函数的图象与这直线交于点C，点C的横坐标是 1 （1）求正比例函数的解析式； （2）将正比例函数的图象向上或向下平移，交直线 1 2 2 yx 于点D，设平移后函数图象 的截距为b，如果交点D始终落在线段AB上，求b的取值范围 22 （10 分）如图 1，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A固定在 窗户底边OE上，且与转轴底端O之间的距离为20cm，窗钩的另一个端点B可在窗框边上 第 5 页（共 27 页） 的滑槽OF上移动，滑槽OF的长度为17cm，AB、BO、AO构成一个三角形当窗钩端 点B与点O
8、之间的距离是7cm的位置时（如图2)，窗户打开的角AOB的度数为37 （1）求钩AB的长度（精确到1)cm； （2）现需要将窗户打开的角AOB的度数调整到45时，求此时窗钩端点B与点O之间的 距离（精确到1)cm （参考数据：sin370.6 ，cos370.8 ，tan370.75 ，21.4) 23 （12 分）已知：如图，在ABCD中，点E、F分别在边BC、边BC的延长线上，四 边形AEFD是菱形，菱形的对角线AF分别交DE、DC于点P、Q， AFEF BFPF 求证： （1）四边形ABCD为矩形； （2）BE DQFQ PE 24 （12 分）在平面直角坐标系xOy中（如图） ，已知抛
9、物线 2 1 2 yxbxc与x轴交于点 ( 2,0)A 、(6,0)B，与y轴交于点C，点D是在第四象限内抛物线上的一个动点，直线AD 与直线BC交于点E （1）求b、c的值和直线BC的表达式； （2）设45CAD，求点E的坐标； 第 6 页（共 27 页） （3）设点D的横坐标为d，用含d的代数式表示ACE与DCE的面积比 25（14 分） 在梯形ABCD中，/ /ADBC，ABBC，3AD ，5CD ， 3 cos 5 C （如图） M 是边BC上一个动点（不与点B、C重合） ，以点M为圆心，CM为半径作圆，M与射线 CD、射线MA分别相交于点E、F （1）设 18 5 CE ，求证：四
10、边形AMCD是平行四边形； （2）联结EM，设FMBEMC ，求CE的长； （3）以点D为圆心，DA为半径作圆，D与M的公共弦恰好经过梯形的一个顶点，求 此时M的半径长 第 7 页（共 27 页） 2021 年上海市普陀区中考数学二模试卷年上海市普陀区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分）分）下列各题的四个选项中，有且只有下列各题的四个选项中，有且只有 一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上
11、1 （4 分）下列计算中，正确的是( ) A 23 235aaa B 23 235aaa C 2 2 23 3 aaa D 2 35 (2)8aa 【解答】解：A、 2 23aa，无法计算，故此选项错误； B、 23 236aaa，故此选项错误； C、 2 2 23 3 aaa，故此选项正确； D、 2 36 (2)8aa，故此选项错误； 故选：C 2 （4 分）下列单项式中，可以与 23 x y合并同类项的是( ) A 32 x y B 32 2 y x C 2 3x y D 23 2x y z 【解答】解：A、 32 x y与 23 x y，所含字母相同，但是相同字母的指数不相同，不是同类
12、项， 所以不能合并，故本选项不合题意； B、 32 2 y x 与 23 x y，所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，能合并，故本选项符 合题意； C、 2 x y与 23 x y， 所含字母相同， 但是相同字母的指数不相同， 不是同类项， 所以不能合并， 故本选项不合题意； D、 23 2x y z与 23 x y，所含字母不尽相同，不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； 故选：B 3 （4 分）方程2xx的根是( ) A2x B1x C0 x D2x 【解答】解：将方程两边平方得： 2 2xx 解这个一元二次方程得： 第 8 页（共 27 页） 1 2x ， 2 1x 检验：
13、把 1 2x ， 2 1x 分别代入原方程， 2x 是原方程的根，1x 是原方程的增根 原方程的根为：2x 故选：D 4 （4 分）已知两组数据： 1 x、 2 x、 3 x、 4 x、 5 x和 1 2x 、 2 2x 、 3 2x 、 4 2x 、 5 2x ， 下列有关这两组数据的说法中，正确的是( ) A平均数相等 B中位数相等 C众数相等 D方差相等 【解答】解：因为新数据是在原数据的基础上每个加 2， 这两组数据的波动幅度不变， 故选：D 5 （4 分）已知在ABC和A B C 中，ABA B ，ACAC ，下列条件中，不一定能得 到ABCA B C 的是( ) ABCB C BA
14、A CCC D90BB 【解答】解：A、由ABA B ，ACAC ，BCB C 可以判定ABC()A BC SSS ， 不符合题意 B、由ABA B ，ACAC ，AA 可以判定ABC()A BC SAS ，不符合题意 C、由ABA B ，ACAC ，CC 不可以判定ABC()A BC SSA ，符合题意 D、由ABA B ，ACAC ，90BB 可以判定Rt ABCRt()A BC HL ，不 符合题意 故选：C 6 （4 分）如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点A、B均在y轴上，点C在x轴上， 将ABC绕着顶点B旋转后，点C的对应点C落在y轴上，点A的对应点A落在反比例函 数 6 y x
15、 在第一象限的图象上如果点B、C的坐标分别是(0, 4)、( 2,0)，那么点A的坐 标是( ) 第 9 页（共 27 页） A(3,2) B 3 ( 2 ，4) C(2,3) D 3 (4, ) 2 【解答】解：设A B与x轴的交点为D，由题意可知(2,0)D， 设直线A B的解析式为4ykx， 把(2,0)D代入得024k， 解得2k ， 直线A B的解析式为24yx， 由 6 24 y x yx 解得 3 2 x y 或 1 6 x y ， 点A的坐标是(3,2)， 故选：A 第 10 页（共 27 页） 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，
16、满分分，满分 48 分）分） 7 （4 分）因式分解： 3 4aa (2)(2)a aa 【解答】解： 32 4(4)(2)(2)aaa aa aa 故答案为：(2)(2)a aa 8 （4 分）已知 2 ( ) 1 f x x ，则( 3)f 31 【解答】解：当3x 时， 22( 31) ( 3)31 31( 31)( 31) f ， 故答案为：31 9 （4 分）不等式组 24 31 x x 的解集是 24x 【解答】解：解不等式24x，得：2x ， 解不等式31x ，得：4x ， 则不等式组的解集为24x ， 故答案为：24x 10 （4 分） 已知正比例函数(ykx k是常数，0)k
17、 的函数值y随x的值增大而减小， 那么k 的取值范围是 0k 【解答】解：对于正比例函数(0)ykx k，y随x的值增大而减小， 0k 第 11 页（共 27 页） 故答案为：0k 11（4 分） 如果关于x的方程 2 10 xxm 有两个相等的实数根， 那么m的值等于 5 4 【解答】解：方程 2 10 xxm 有两个相等的实数根， 22 4( 1)4(1)0bacm ，解得 5 4 m ， 故答案为： 5 4 12 （4 分）抛物线 2 2(0)yaxaxa的对称轴是直线 1 2 x 【解答】解：抛物线 2 yaxbxc的对称轴方程 2 b x a ， 抛物线 2 2(0)yaxaxa的对
18、称轴是 1 22 a x a 即对称轴是 1 2 x 故答案为： 1 2 x 13 （4 分）为了唤起公众的节水意识，从 1993 年起，联合国将每年的 3 月 22 日定为“世 界水日” 某居委会表彰了社区内 100 户节约用水的家庭，5 月份这 100 户家庭节约用水的 情况如表所示，那么 5 月份这 100 户家庭节水量的平均数是 5.5 吨 每户节水 量（单位： 吨） 5 6 7.2 节水户户 数 62 28 10 【解答】解：5 月份这 100 户家庭节水量的平均数是 5626287.2 10 5.5 100 （吨)， 故答案为：5.5 14 （4 分） 小明已有两根长度分别是2cm
19、和5cm的细竹签， 盒子里有四根长度分别是3cm、 4cm、7cm、8cm的细竹签，小明从盒子里随意抽取一根细竹签，恰能与已有的两根细竹签 首尾顺次联结组成三角形的概率等于 1 4 【解答】解：已有两根长度分别是2cm和5cm的细竹签， 设第 3 根，竹签长为xcm，则第三根可以构成三角形的范围是：37x， 故只有4cm，符合题意， 第 12 页（共 27 页） 则小明从盒子里随意抽取一根细竹签， 恰能与已有的两根细竹签首尾顺次联结组成三角形的 概率是： 1 4 故答案为： 1 4 15（4 分） 如图， 两条平行线 1 l、2l分别经过正五边形ABCDE的顶点B、C 如果120 ， 那么2
20、92 【解答】解：正五边形ABCDE的一个内角是108， 310811082088 ， 12 / /ll，388 ， 21808892 ， 故答案为：92 16 （4 分）如图，已知ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，点F在DE的延长线 上，EFDE，设,BCa AFb，那么向量AC用向量a、b表示是 2ba 第 13 页（共 27 页） 【解答】解：如图，在ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点， DE是ABC的中位线， / /DEBC，且 1 2 DEBC BCa， 1 2 DEa 又EFDE， 1 2 EFDEa AFb， AEAFEF 点E是AC的中点， 1 22()2()2
21、2 ACAEAFEFbaba 故答案是：2ba 17 （4 分）已知等腰三角形ABC中，ABAC，6BC ，以A为圆心 2 为半径长作A， 以B为圆心BC为半径作B，如果A与B内切，那么ABC的面积等于 3 7 【解答】解：A的半径为 2，B的半径为 6，A与B内切， 第 14 页（共 27 页） 624AB， 过点A作ADBC于D， 则 1 3 2 BDBC， 由勾股定理得， 2222 437ADABBD， ABC的面积 1 673 7 2 ， 故答案为：3 7 18 （4 分）如图，正方形ABCD中，4AB ，E为边BC的中点，点F在AE上，过点F作 MNAE，分别交边AB、DC于点M、N
22、，联结FC，如果FNC是以CN为底边的等腰 三角形，那么FC 【解答】解：延长AE，DC交于点A，过点F作FHCD于H， ABCD是正方形， 第 15 页（共 27 页） 4ABBC，/ /ABCD， 1A 在ABE和ACE中， 1A AEBA EC BEEC ABE()ACE AAS 4ABAC E为边BC的中点， 1 2 2 BEECBC 22 2 5AEABBE 5 sin1 5 BE AE 5 sin 5 A AEMN， 90A FN 290A 5 cos2sin 5 A FNFC，FHCN， 1 2 NHCHCN 设NHx，则2NCx 42A NACNCx 在Rt FHN中， 5 c
23、os2 5 NH FN ， 5FNx 在RtA FN中， 5 cos2 5 FN A N ， 55 425 x x 4 3 x 第 16 页（共 27 页） 4 55 3 FCFNx 故答案为： 4 5 3 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 7 题，满分题，满分 78 分分 19 （10 分）计算： 1 2020 2 1 1( )|32|27 3 【解答】解：原式 1 2 13(23)3 3 13233 3 5 33 20 （10 分）解方程： 2 224 1 323 x xxx 【解答】解：方程两边同乘以(3)(1)xx得： 2 (1)24(3)(1)x xxx， 整理得：
24、22 222423xxxx， 则 2 4210 xx， (7)(3)0 xx， 解得： 1 7x ， 2 3x ， 检验：当3x 时，(3)(1)0 xx， 故3x 是方程的增根， 当7x 时，(3)(1)0 xx， 故7x 是原方程的根 21 （10 分）在平面直角坐标系xOy中（如图） ，已知直线 1 2 2 yx 分别与x轴、y轴交 于点A、B，一个正比例函数的图象与这直线交于点C，点C的横坐标是 1 （1）求正比例函数的解析式； （2）将正比例函数的图象向上或向下平移，交直线 1 2 2 yx 于点D，设平移后函数图象 的截距为b，如果交点D始终落在线段AB上，求b的取值范围 第 17
25、 页（共 27 页） 【解答】解： （1）把1x 代入 1 2 2 yx 得， 3 2 y ， 3 (1, ) 2 C， 设正比例函数解析式为ykx， 把C的坐标代入得 3 2 k ， 正比例函数的解析式为 3 2 yx； （2）直线 1 2 2 yx 中，令0y ，则4x ， (4,0)A，(0,2)B， 设平移后的直线解析式为 3 2 yxb， 把(4,0)A代入得， 3 40 2 b， 解得6b ， 符合题意的b的取值范围是62b 剟 第 18 页（共 27 页） 22 （10 分）如图 1，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A固定在 窗户底边OE上，且与转轴底端O之间
26、的距离为20cm，窗钩的另一个端点B可在窗框边上 的滑槽OF上移动，滑槽OF的长度为17cm，AB、BO、AO构成一个三角形当窗钩端 点B与点O之间的距离是7cm的位置时（如图2)，窗户打开的角AOB的度数为37 （1）求钩AB的长度（精确到1)cm； （2）现需要将窗户打开的角AOB的度数调整到45时，求此时窗钩端点B与点O之间的 距离（精确到1)cm （参考数据：sin370.6 ，cos370.8 ，tan370.75 ，21.4) 【解答】解： （1）如图 2，过点A作AHOF于H， 第 19 页（共 27 页） sin0.6 AH O AO ， 20 0.612()AHcm， 22
27、40014416()OHAOAHcm， 1679()BHcm， 22 1448115()ABAHBHcm； （2）45AOB，AHOF， 10 2()AHOHcm， 22 2252005()BHABAHcm， 1459()OBOHBHcm， 答：时窗钩端点B与点O之间的距离为9cm 23 （12 分）已知：如图，在ABCD中，点E、F分别在边BC、边BC的延长线上，四 边形AEFD是菱形，菱形的对角线AF分别交DE、DC于点P、Q， AFEF BFPF 求证： （1）四边形ABCD为矩形； （2）BE DQFQ PE 【解答】证明： （1）四边形ADFE是菱形， AFDE， 第 20 页（共
28、27 页） 90EPF， AFEF BFPF ，PFEAFB， ABFEPF， 90ABEEPF ， 平行四边形ABCD是矩形； （2）四边形ABCD是矩形， ADBCEF， ECCFBECE， BECF， 90DPFQCF，CQFPQD ， DPQFCQ， FQCF DQDP ， FQBE DQPE ， BE DQFQ PE 24 （12 分）在平面直角坐标系xOy中（如图） ，已知抛物线 2 1 2 yxbxc与x轴交于点 ( 2,0)A 、(6,0)B，与y轴交于点C，点D是在第四象限内抛物线上的一个动点，直线AD 与直线BC交于点E （1）求b、c的值和直线BC的表达式； （2）设45
29、CAD，求点E的坐标； （3）设点D的横坐标为d，用含d的代数式表示ACE与DCE的面积比 第 21 页（共 27 页） 【解答】解： （1）抛物线 2 1 2 yxbxc与x轴交于点( 2,0)A 、(6,0)B， 1 042 2 1 0366 2 bc bc ， 解得 2 6 b c ， 抛物线解析式为 2 1 26 2 yxx， 当0 x 时，6y ， 点(0, 6)C， 设直线BC解析式为ymxn， 则 6 06 n mn ， 解得： 1 6 m n ， 直线BC解析式为6yx； （2）如图 1，过点E作EHOC于H， 第 22 页（共 27 页） 点(0, 6)C，点(6,0)B，点
30、( 2,0)A ， 6OBOC，2OA ， 45OBCOCB ，6 2BC ， 22 4362 10ACOAOC， 45ABCCAD ，ACEACB ， ACEBCA， ACCE BCAC ， 2 10 6 22 10 CE ， 10 2 3 CE， EHCO，45ECH， 10 3 EHHC， 8 3 OH， 点 10 ( 3 E， 8) 3 ； （3）点D的横坐标为d， 点 2 1 ( ,26) 2 D ddd，(06)d， 如图 2，过点D作/ /DFAB交BC于点F， 第 23 页（共 27 页） ABEDFE， ABAE DFDE ， ACE DCE SAE SDE ， ACE DC
31、E SAB SDF 点F在直线BC上， 点 2 1 (2 2 Fdd， 2 1 26) 2 dd， 2 1 3 2 DFdd， 2 2 816 1 6 3 2 ACE DCE S Sdd dd 25（14 分） 在梯形ABCD中，/ /ADBC，ABBC，3AD ，5CD ， 3 cos 5 C （如图） M 是边BC上一个动点（不与点B、C重合） ，以点M为圆心，CM为半径作圆，M与射线 CD、射线MA分别相交于点E、F （1）设 18 5 CE ，求证：四边形AMCD是平行四边形； （2）联结EM，设FMBEMC ，求CE的长； （3）以点D为圆心，DA为半径作圆，D与M的公共弦恰好经过梯
32、形的一个顶点，求 此时M的半径长 第 24 页（共 27 页） 【解答】 （1）证明：如图 1 中，连接EM，过点M作MGCD于G，则 9 5 EGCG， 在Rt CGM中， 9 5 3 3 cos 5 CG CM C ， ADCM， / /ADCM， 四边形AMCD是平行四边形 （2）解：如图 2 中，过点E作EHBC于H，过点M作MTEC于T 第 25 页（共 27 页） MEMC，MTEC， CTET， 3 cos 5 CT C CM ， 设6ECk，则3CTETk，5MCMEk， 在Rt CEH中， 424 55 EHCEk， 318 55 CHECk， 7 5 MHCMCHk， 24
33、 tan 7 EMH， FMBEMC ， 424 tan 7 AB FMB BMBM ， 7 6 BM， 29 5 6 CMBCBMk， 29 6 5 CEk （3）如图3 1中，当公共弦经过点A时，过点D作DPBC于P，则四边形ABPD是矩 形 第 26 页（共 27 页） 3ADBP， 在Rt CDP中， 3 cos 5 PC C CD ， 5CD ， 3PC，4ABPD， 336BC， 设CMAMx， 在Rt ABM中，则有 222 4(6)xx， 解得 13 3 x ， M的半径为 13 3 如图32中，当公共弦经过点D时，连接MD，MP，过点M作MNAD于N 第 27 页（共 27 页） 设CMMEMPx，则3DNx， 22222 DMMNDNMPDP， 2222 4(3)3xx， 17 3 x， 综上所述，满足条件的M的半径为 13 3 或17 3
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