1、2021 届高三月考届高三月考数学数学试卷试卷( (三三) ) 一、选择题一、选择题( (本题共本题共 8 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 40 分分) ) 1. 设集合1,2,3,4A， ,4Ba且1,2,3,4AB ，则实数a的可能取值组成的集合是( ) A. 1,2,3 B. 2,3,4 C. 1,3,4 D. 1,2,4 【答案】A 【解析】 【分析】 根据条件4a，分别令12,3，a 代入进行检验，可得出答案. 【详解】显然4a，当1a 时，1,4B ，满足1,2,3,4AB 当2a时，2,4B ，满足1,2,3,4AB 当3a 时，3,4B ，满足1,2,3,4AB 所以a
2、的值可以为 1,2,3. 故选：A 【点睛】关键点点睛：该题考查根据两集合的并集求参数，考查集合的并集运算，解决该题的关键是注意 集合中元素的互异性，属于基础题目. 2. 已知3 1 2aiibi(, a bR，i为虚数单位)，则实数 a b的值为( ) A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】 利用复数的乘法运算及复数相等求得 a,b 值即可求解 【详解】3 12aiibi，故3 32aibi 则32,38abab 故选：D 3. 在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在坐标原点O，以x轴的正半轴为始边，其终边与单位圆交点为 P，P的坐标是,P x y，若 3 5
3、x ，则cos2( ) A. 16 25 B. 16 25 C. 7 25 D. 7 25 【答案】D 【解析】 【分析】 由三角函数的定义，求得 3 cos 5 ，再结合余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由角的顶点在坐标原点O，以x轴的正半轴为始边，其终边与单位圆交点为P， 因为 3 5 x ，由三角函数的定义，可得 3 cos 5 ， 所以 22 37 cos22cos12 ()1 525 . 故选：D. 4. 在 5 2 2 1 ax x 的展开式中，若含 2 x项的系数为40，则正实数a( ) A. 1 2 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 分析】 写出 5 2 2
4、 1 ax x 的展开式的通项，然后可建立方程求解. 【详解】 5 2 2 1 ax x 的展开式的通项为 5 2510 4 155 2 1 1 r r r rrrr r TCaxC ax x 令1042r ，则3r ，所以 3 35 3 5 140C a ，解得2a或2a (舍) 故选：B 5. 5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式： 2 log1 S CW N .它表示：在受噪声干挠的信道中，最 大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小， 其中 S N 叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比 S N 从 1000提升至 2
5、000，则C大约增加 了( ) A. 10% B. 30% C. 50% D. 100% 【答案】A 【解析】 【分析】 根 据 香 农 公 式 ， 分 别 写 出 信 噪 比 为 1000 和 2000 时 的 传 递 速 率 为 2 log (1 1000)CW和 2 log (1 2000)CW，两者相比，再根据对数运算即可估计得答案. 【详解】当1000 S N 时， 2 log (1 1000)CW 当2000 S N 时， 2 log (1 2000)CW 则 2222 222 log (12000)log (1 1000)log 20011 log 10001 11lg2 log
6、 (1 1000)log 1001log 10003 WW W 又 11 34 11 lg10lg2lg10 43 ，根据选项分析， 1 lg20.1 3 所以信噪比 S N 从 1000 提升至 2000，则C大约增加了 10%. 故选：A. 【点睛】本题考查知识的迁移应用，考查对数的运算，是中档题. 6. 若平面向量a，b满足 2aba b，则对于任意实数，1ab的最小值是( ) A. 3 B. 3 2 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】 设 向 量, a b夹 角 为， 设()ab与(1)ab的 夹 角 为 ， 利 用 1 cos 2 ab a b 和 ()(1)46ab
7、aba b ，得到(1) cos6abab，进而得到1ab的 最小值 【详解】由题意得，设向量, a b夹角为，则 1 cos 2 ab a b ， ()(1)46ababa b ，设()ab与(1)ab的夹角为， (1) cos6abab ， 2 22 212ababab ， (1) cos3ab ，0, 2 ，(1)3ab 故选：A 【点睛】关键点睛：解题关键在于利用 1 cos 2 ab a b ， 得到()(1)46ababa b ，关键点在于根据()ab与(1)ab的夹角，得出 1ab的最小值，难度属于中档题 7. 为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登
8、的方式进行，测量人员从 山脚开始，直到到达山顶分段测量，最后将所有的高度差累加，得到珠峰的高度，在测量过程中，已知竖 立在B点处的测量觇标高10米，攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70，80，则 A、B的高度差约为( ) (参考数据：sin100.1736，sin700.9397，sin800.9848) A. 10米 B. 9.66米 C. 9.40米 D. 8.66米 【答案】C 【解析】 【分析】 在ABC中，由条件可得10ABBC，再在Rt ADB中，由sinBDABBAD可得解. 【详解】 如图所示，在ABC中，由正弦定理可得 sinsin BCAB BACACB
9、， 由10BACDACBAD ，9010ACDCAD， 所以10ABBC， 在Rt ADB中，sin10sin709.40BDABBAD. 故选：C. 8. 如图，过抛物线 2 4yx的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点， 点M是线段AB的中点，过M作y 轴的垂线交抛物线于P点，记ABFP，则的值为( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】 设 11 ( ,)A x y、 22 (,)B xy， 直线l：1xty， 联立抛物线可得 12 4y y ， 再由中点坐标可得 12 2 P yy y ， 从而可得 P x，利用焦半径公式表示AB和FP即可得解. 【详
10、解】设 11 ( ,)A x y、 22 (,)B xy，直线l：1xty(斜率显然不为 0). 2 1 4 xty yx ，得 2 440yty，0 显然成立， 12 4y y ， 点M是线段AB的中点，所以 12 2 M yy y ，所以 12 2 P yy y ， 所以 222222 12121212 ()28 4161616 P P yyyyyy yyy x ， 2222 1212 88 11 1616 P yyyy FPx ， 2222 1212 1212 8 |1122 444 yyyy ABAFBFxxxx ， 所以 22 12 22 12 8 4 4 8 16 yy AB yy
11、FP . 故选：B. 【点睛】方法点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与 系数的关系； (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式 12 |ABxxp，若不过焦点，则必须用一般弦长公式 二、多项选择题二、多项选择题( (本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分) ) 9. 针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男 女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的 4 5 ，女生喜欢抖音的人数占女生人数的 3 5 ，若有
12、95%的 把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有( ) 附表： 2 0 P Kk 0.050 0.010 0 k 3.841 6.635 附： 2 2 n adbc K abcdacbd A. 25 B. 45 C. 60 D. 40 【答案】BC 【解析】 【分析】 设男生的人数为5n nN ，列出22列联表，计算出 2 K 的观测值，结合题中条件可得出关于n的不等 式，解出n的取值范围，即可得出男生人数的可能值. 【详解】设男生的人数为5n nN ，根据题意列出22列联表如下表所示： 男生 女生 合计 喜欢抖音 4n 3n 7n 不喜欢抖音 n 2n 3n 合计 5n 5n
13、 10n 则 2 2 1042310 557321 nnnn nn K nnnn ， 由于有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则 2 3.8416.632K， 即 10 3.8416.632 21 n ，得8.066113.9272n， nN ，则n的可能取值有9、10、11、12， 因此，调查人数中男生人数的可能值为45或60. 故选：BC. 【点睛】关键点睛：解题关键在于，利用独立性检验求出人数的可能取值，在解题时，关键是要列举出22 列联表，并结合临界值表列不等式求解，主要考查学生的计算能力，属于中等题. 10. 已知1a ，01cb ，下列不等式成立的是( ) A. bc aa
14、B. cca bba C. loglog bc aa D. bc baca 【答案】ACD 【解析】 【分析】 利用指数函数 x ya的单调性可判断 A 选项；利用作差法可判断 B、D 选项；利用换底公式以及不等式的 性质可判断 C 选项. 【详解】由1a ，则函数 x ya为R上的增函数，01cbQ，可得 bc aa ，故 A正确； 由1a ，01cb ， 0 c bab caa cbcca bbab bab ba ，则 cca bba ，B错误； 由1a ，01cb ， 1 log log b a a b ， 1 log log c a a c ，则loglog0 aa cb， 11 0
15、loglog aa bc ，可得loglog bc aa，故 C 正确； 由1a ，01cb ， 0 b cac baa bcbc bacabacabaca ， 则 bc baca ，故 D 正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查代数式的大小比较，考查了作差法、函数单调性以及对数函数单调性的应用，属于基础 题. 11. 已知函数 sinf xAx， 0,0,0A的部分图象如图所示，其中图象最高点和 最低点的横坐标分别为 12 和 7 12 ，图象在y轴上的截距为3，给出下列四个结论，其中正确的结论是 ( ) A. f x的最小正周期为 B. f x的最大值为2 C. 1 4 f D. 3 f
16、x 为偶函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】 由周期求出，由五点法作图求，根据特殊点的坐标求出A，可得函数的解析式( )2sin(2) 3 f xx . 通过分析得到ABC正确，()2sin2 3 f xx 为奇函数，所以D错误. 【详解】根据函数 ( )sin()(0f xAxA ，0，0 ) 的部分图象， 得 1 27 21212 ， 2 再根据五点法作图可得2 122 ， 3 根据函数的图象经过(0, 3)，可得 sinsin3 3 AA ， 2A， ( )2sin(2) 3 f xx 故,A ( )f x的最小正周期为，所以A正确； ,B( )f x的最大值为 2，所以B正确； ,
17、C由题得()2sin()1 423 f ，所以C正确； ,D()2sin2 3 f xx 为奇函数，所以D错误. 故选：ABC 【点睛】方法点睛：求三角函数的解析式一般有三种： (1)待定系数法：一般先设出三角函数的解析式sin()yAwxkf=+，再求待定系数, , ,A wkf，最值确定 函数的,A k,周期确定函数的w,非平衡位置的点确定函数的. (2)图像变换法：一般利用函数图像变换的知识，一步一步地变换得到新的函数的解析式. (3)代入法： 一般先在所求的函数的图像上任意取一点( , )P x y， 再求出点P的对称点( ( , ), ( , )Pf x yg x y ， 再把点(
18、( , ), ( , )Pf x yg x y 的坐标代入已知的函数的解析式化简即得所求函数的解析式.本题选择的是待 定系数法.要根据已知灵活选择. 12. 已知球O是正三棱锥(底面为正三角形，点在底面的射影为底面中心)A BCD的外接球，3BC ， 2 3AB ，点E在线段BD上，且6BDBE，过点E作球O的截面，则所得截面圆的面积可能是( ) A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】BCD 【解析】 【分析】 依题意首先求出外接球半径，即可求出截面圆的面积最大值，设过E且垂直OE的截面圆的半径为r， 即可求出截面圆的面积最小值，从而得解； 【详解】 解： 如下图所示， 其中O是球心，
19、O 是等边三角形BCD的中心， 可得 3 3 3 O BO DBC， 22 3AOABOB ， 设 球 的 半 径 为R， 在 三 角 形ODO中 ， 由 222 OODOOD， 即 2 2 2 33RR，解得2R ，故最大的截面面积为 2 4R 在三角形BEO中， 11 62 BEBD， 6 EBO 由余弦定理得 117 323cos 4262 OE 在三角形OOE中， 22 11 2 OEOOO E，设过E且垂直OE的截面圆的半径为r， 222 115 4 44 rROE 故最小的截面面积为 2 5 4 r 所以过点E作球O的截面，所以截面圆面积的取值范围是 5 ,4 4 故选：BCD 【
20、点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的 位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中 心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于 球的直径. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 已知直线3yx与双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 有两个交点， 则双曲线C的离心率的取值范围 是_. 【答案】2, 【解析】 【分析】 若要直线3yx与双曲线 22 22 :10,0
21、xy Cab ab 有两个交点，则直线3yx的斜率要小于渐近 线 b yx a 的斜率，建立不等式，即可得解. 【详解】双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的渐近线方程为 b yx a ， 若直线3yx与双曲线有两个交点， 则3 b a ， 即 22 3ba，即 222 3caa， 所以 22 4ca， 2 4e ，即2e， 故答案为：2,. 14. 已知数列 n a的前n项和 1 2 n n na S，且 1 1a ，则数列 n a的通项公式为_. 【答案】 * n an nN 【解析】 【分析】 根据所给关系，当2n时， 1 1 1 22 n n nnn nana aSS
22、，即得递推关系 1 1 nn aa nn ，即可得解. 【详解】 1 2 n n na S 当2n时， 1 1 1 22 n n nnn nana aSS ， 整理可得 1 (1)0 nn nana ， 即 1 1 nn aa nn ，所以 n a n 为常数列， 故 1 1 1 n aa n ，所以 n an， 故答案为： * n an nN. 15. 如图，大摆锤是一种大型游乐设备，常见于各大游乐园，游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤 以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险.座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆 运动.2020年10月1日国庆节， 小明去某游乐园玩“
23、大摆锤”， 他坐在点 A处， “大摆锤”启动后， 主轴OB 在平面内绕点O左右摆动，平面与水平地面垂直，OB摆动的过程中，点A在平面内绕点B作圆周 运动，并且始终保持OB，B.已知6OBAB，在“大摆锤”启动后，直线OA与平面所成角 的正弦值的最大值为_. 【答案】 37 37 【解析】 【分析】 利用勾股定理和线面角的定义进行求解即可 【详解】设ABa=，6OBa， 22 37OAOBABa ，当AB时，直线OA与平面所成角最 大；此时直线OA与平面所成角的正弦值为 37 3737 a a 故答案为： 37 37 16. 设直线 1 l， 2 l分别是函数 lnf xx，1x 图象上点 1
24、P， 2 P处的切线， 1 l与 2 l垂直相交于点P， 且 1 l， 2 l分别与y轴相交于点A，B， PAB 的面积的取值范围是_. 【答案】0,1 【解析】 【分析】 因为 ln ,01 ln ln ,1 xx f xx x x ， 可确定 12 ,P P分别在分段函数的两段上， 设 111 ,P x y， 222 ,P x y且 12 01xx ，通过导数可求得切线斜率；根据 12 ,l l相互垂直可得到 12 1x x；通过 12 ,l l的方程可求得,A B 两点坐标，从而得到2AB ；联立 12 ,l l求得P点横坐标，从而将 PAB面积表示为 1 1 2 1 PAB S x x
25、 ，根 据 1 0,1x 可求得 PAB面积的取值范围. 【详解】由题意可知， ln ,01 ln ln ,1 xx f xx x x ，且明显地， 12 ,P P分别在分段函数的两段上 设 111 ,P x y， 222 ,P x y且 12 01xx 1 , 01 1 ,1 x x fx x x 1 1 1 l k x ， 2 2 1 l k x 12 12 11 1 ll kk xx ，即： 12 1x x 1 l方程为： 11 1 1 lnyxxx x ； 2 l方程为： 22 2 1 lnyxxx x 1 0,1 lnAx， 2 0,ln1Bx 1212 1lnln12ln2ABxx
26、x x 联立 12 ,l l可得P点横坐标为： 12 1212 22x x xxxx 1212 1 1 1222 1 2 PAB SAB xxxx x x 1 0,1x 且 1 yx x 在0,1上单调递减 1 1 1 112x x 01 PAB S ，即 PAB的面积的取值范围为： 0,1 本题正确结果：0,1 【点睛】关键点睛：解题的关键是能够熟练应用导数求解切线斜率，通过垂直关系得到斜率间的关系，进 而能够进行化简消元，进而求解的问题；求解取值范围的常用方法是能够将所求三角形面积表示为某一变 量的函数，从而利用变量的范围求得面积的取值范围；难度属于困难 四、解答题四、解答题( (本题共本
27、题共 6 小题，共小题，共 70分分) ) 17. 在1c，ABC的面积为 3 4 ， 2bc ， 4 A 这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中， 若问题中的三角形存在， 求sinC的值； 若问题中的三角形不存在， 说明理由.问题： 是否存在锐角ABC， 它的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且3coscos2 sinaCcAbB， _.注：如果 选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】 利用正弦定理、两角和的正弦公式，化简等式3coscos2 sinaCcAbB，求出B，然后针对给定的 条件利用正弦定理、面积公式选择条件进行求解即可. 【详解】
28、因为 sinsinsin abc ABC ， 所以由3coscos2 sinaCcAbB， 可得 2 3 sincossincos2sinACCAB， 即 2 3sin2sinACB 所以 2 3sin2sinBB ，又sin0B 所以 3 sin 2 B ，因为ABC是锐角三角形， 所以0, 2 B ，得 3 B . 选择条件：因为 1133 sin 2224 ABC SacBa 所以1a 又因为1ac， 3 B ， 所以ABC存在且为等边三角形， 所以 3 C ， 所以 3 sin 2 C ., 选择条件：由正弦定理 sinsin bc BC 及 2bc 得 sin sin6 3 sin
29、42 c cB C bc . 选择条件：由 4 A 得 5 12 CAB ， 所以得： 5123226 sinsinsinsincoscossin. 1264646422224 C . 18. 已知正项数列 n a的前n项和为 n S，且满足： 1 1a ， 2 11nnn aSS . (1)求数列 n a的通项公式； (2)设 1 21 21 3 n n n a nn a b aa ，求数列 n b的前n项和 n T. 【答案】(1) n an；(2) 11 1 421 3 n n T n . 【解析】 【分析】 (1)根据 2 11nnn aSS 写出 2 1 2 nnn aSSn ，通过
30、作差以及化简说明 n a为等差数列，并求解出通 项公式； (2)将 n b的通项公式变形为 1 111 421 321 3 n nn b nn ，采用裂项相消法求解出 n T的结果. 【详解】(1)由 2 11nnn aSS 又有 2 1nnn aSS ，2n，两式相减得 22 11 2 nnnn aaaan 因为0 n a ，所以 1 12 nn aan 又 1 1a ， 2 2121 aaaa，解得 2 2a ，满足 1 1 nn aa 因此数列 n a是等差数列，首项 1 a为1，公差d为1 所以 1 1 n aandn (2) 11 21 213 n n n b nn 1 131111
31、1 4 212134213213 nnn nnnn 所以 12 01121 111111111 . 4 1 33 34 3 35 3421 321 3 nn nn Tbbb nn 11 1 421 3nn . 【点睛】结论点睛：常见的数列中可进行裂项相消的形式： (1) 111 11n nnn ； (2) 2 1111 412 2121nnn ； (3) 1 1 1 nn nn ； (4) 1 1 211 212121 21 n nn nn . 19. 在如图所示的圆柱 12 OO中，AB 为圆 1 O的直径，,C D是AB的两个三等分点，EA，FC，GB 都是圆柱 12 OO的母线 (1)求
32、证： 1/ / FO平面 ADE； (2)设 BC=1，已知直线 AF 与平面 ACB 所成的角为 30 ，求二面角 AFBC的余弦值 【答案】(1)见解析(2) 7 7 . 【解析】 【分析】 (1)由/FCEA，另易证得 1 / /OCAD，即可证得面/ /EAD面 1 FCO，由面面平行，从而证得线面平行， 即 1 / /O F面EAD. (2)连接AC，易证AC 面FBC，可过C作CHBF交BF于H，连接AH，则AHC即为二面角 AFBC 的平面角，求出其余弦值即得. 【详解】解：(1)连接 11 ,OC OD，因为 C，D 是半圆AB的两个三等分点， 所以 111 60AO DDOC
33、CO B ， 又 1111 O AOBOCOD， 所以 111 ,AODCODBOC均为等边三角形. 所以 11 O AADDCCO， 所以四边形 1 ADCO是平行四边形，所以 1/ / COAD， 又因为 1 CO 平面 ADE，AD 平面 ADE，所以 1/ / CO平面 ADE. 因为 EA，FC都是圆柱 12 OO的母线，所以 EA/FC. 又因为FC平面 ADE，EA平面 ADE， 所以/ /FC平面 ADE. 又 1, CO FC 平面 11 FCOCOFCC，且， 所以平面 1/ / FCO平面 ADE，又 1 FO 平面 1 FCO，所以 1/ / FO平面 ADE. (2)
34、连接 AC，因为 FC是圆柱 12 OO的母线，所以FC 圆柱 12 OO的底面， 所以FAC即为直线 AF 与平面 ACB 所成的角，即30FAC 因为 AB 为圆 1 O直径，所以 90ACB， 在601Rt ABCABCBC中， 所以tan603ACBC，所以在tan301Rt FACFCAC中， 因为ACBC，又因为ACFC，所以AC 平面 FBC， 又FB 平面 FBC，所以ACFB. 在FBC内，作CHFB于点 H，连接 AH. 因为,ACCHC AC CH平面 ACH，所以FB 平面 ACH， 又AH 平面 ACH，所以FBAH， 所以AHC就是二面角A FB C的平面角. 在
35、2 2 FC BC Rt FBCCH FB 中，在90Rt ACHACH中， 所以 22 14 2 AHACCH，所以 7 cos 7 CH AHC AH ， 所以二面角A FB C的余弦值为 7 7 . 【点睛】本题考查了线面平行的判定，线面角的应用，求二面角，考查了学生的分析观察能力，逻辑推理 能力，空间想象能力，学生的运算能力，属于中档题. 20. 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率 1 2 e ， 3 1, 2 D 为椭圆上一点. (1)求椭圆C的方程； (2)已知F为椭圆C的右焦点，过点F的直线l交椭圆(异于椭圆顶点)于A、B两点，试判断 11 AFBF 是否
36、为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】(1) 22 1 43 xy ；(2)是， 4 3 . 【解析】 【分析】 (1)根据离心率 1 2 e 和 3 1, 2 D 为椭圆上一点，列式即可得解； (2)依题意知直线l的斜率不为0，故可设直线l的方程为1xmy联立 22 1 43 xy ，消去x整理得 22 34690mymy，设 11 ,A x y， 22 ,B x y，则 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 y y m ，结合条 件表达 11 AFBF ，化简即可得解. 【详解】(1)由已知 22 222 19 1 4 1 2 ab c e a cab
37、,解得 2 3 1 a b c 所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy (2)由(1)可知1,0F 依题意可知直线l的斜率不为0，故可设直线l的方程为1xmy 由 22 1 43 1 xy xmy ，消去x 整理得 22 34690mymy 设 11 ,A x y， 22 ,B x y 则 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 y y m 不妨设 1 0y ， 2 0y ， 22 2222 111111 11 111AFxymyymymy ， 同理 22 22 11BFmymy 所以 222 12 12 1111111 111 AFBFyy mymym 2 2112 21
38、 22 1212 4 11 11 yyy y yy y yy y mm 2 22 2 2 69 4 343414 9 3 1 34 m mm m m 即 114 3AFBF . 【点睛】 本题考查了求椭圆方程以及椭圆中定值问题， 考查了转化思想和较高的计算能力， 属于较难题. 解 决本类问题的关键点有： (1)韦达定理的应用， 韦达定理是联系各个变量之间的桥梁， 是解决大多数直线和圆锥曲线问题的必由之路； (2)化简求值，解析几何计算的特点明显，需要较高的计算技巧. 21. 设函数 2 2lnf xxaxax. (1)若e, x， 2f xa x，求实数a的取值范围； (2)已知函数 yf x
39、存在两个不同零点 1 x， 2 x，求满足条件的最小正整数a的值. 【答案】(1),2e；(2)3. 【解析】 【分析】 (1)由 2f xa x得 2 ln0 xax，利用参变分离法得到 2 ln x a x ，然后构造函数，利用导数分析实 数a的取值范围 (2)求导得到 21xax fx x ，对a进行分类讨论，然后，利用数形结合进行分析，即可求出最小 正整数a的值 【详解】(1)由 2f xa x得 2 ln0 xax 又,xe 所以 1 ln0 2 x 所以 2 ln x a x 令 2 ln x g x x 所以 2 2ln1 0 ln xx gx x 所以函数 g x在, e 上单
40、调递增 所以 min 2gxgee 所以2ae，即实数a的取值范围为,2e (2)因为 2 2lnf xxaxax 所以 2 2221 220 xaxaxaxa fxxax xxx 若0a ，则 0fx ，函数 f x在0,上单调递增，函数 f x之多一个零点 所以若函数 f x有两个两点，则0a 当0a时，函数 f x在0, 2 a 单调递减，在, 2 a 单调递增 得 f x的最小值0 2 a f ，因此函数 f x有两个零点 则 2 44 ln0 2 a aaa 又0a 所以4ln40 2 a a 令 4ln4 2 a h aa，显然 h a在0,上为增函数 且 220h ， 381 3
41、4ln1ln10 216 h 所以存在 0 2,3a ， 0 0h a 当 0 aa时， 0h a 当 0 0aa时， 0h a 所以满足条件的最小正整数3a 又当3a 时， 33 2ln30f， 10f 所以3a 时， f x有两个零点 综上所述，满足条件的最小正整数a的值为3 【点睛】关键点睛：解题的关键在于：(1)利用参变分离法，得到 2 ln x a x ，然后构造函数，求导进行数形 结合的分析求解； (2)对 ( )f x求导， 然后对a分类为：0a 和0a， 尤其在0a时， 得到4ln40 2 a a， 进而构造函数 4ln4 2 a h aa，利用零点存在定理进行数形结合的分析来
42、求解，本题难度属于困难 22. 新冠抗疫期间，某大学应用数学专业的学生希望通过将所学的知识应用新冠抗疫，决定应用数学实验的 方式探索新冠的传染和防控.实验设计如下：在不透明的小盒中放有大小质地相同的8个黑球和2个红球， 从中随机取一球，若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则黑球替换该红球重新放回 小盒中，此模型可以解释为“安全模型”，即若发现一个新冠患者，则移出将其隔离进行诊治.(注：考虑样 本容量足够大和治愈率的可能性，用黑球代替红球) (1)记在第2n n次时，刚好抽到第二个红球，试用n表示恰好第n次抽到第二个红球的概率； (2)数学实验的方式约定：若抽到第2个红球则停止抽
43、球，且无论第10次是否能够抽到红球或第二个红球， 当进行到第10次时，即停止抽球；记停止抽球时已抽球总次数为X，求X的数学期望.(精确到小数点后1 位) 参考数据： 11 9 2 94 1.80 105 kk k ， 11 10 2 94 2.05 105 kk k ， 11 9 2 94 10.79 105 kk k k， 11 10 2 94 13.32 105 kk k k. 【答案】(1) 11 194 5105 nn ；(2)8.6. 【解析】 【分析】 (1)根据题意可得若第k(kn)次是第一次取到红球，第n次是第二次取到红球 则对应地有： 11 4191 551010 kn k
44、P ，当k取1,21n时，相加即可得解； (2)根据题意X的可能取值依次是2，3，9，10，求出相对应的概率，再利用期望公式，直接带入即 可得解. 【详解】(1)若第k(kn)次是第一次取到红球，第n次是第二次取到红球 则对应地有： 11 4191 551010 kn k P 则第n次取球时2个红球都被取出的所有可能情况的概率和为： 02311 41914 1914191 5510105 51010551010 nnkn k 20 4191 551010 n 利用等比数列求和公式即可得： 1 021111 4 10 1 4191191419459 4 10 551010510555105 1 59 n nnnnn (2)由题意可知，X的可能取值依次是2，3，9，10 特别地，当10X 时，对应的101239P XP XP XP X 由参考数据可得： 1 11.80.64 5 10P X X对应的数学期望为： 29 129 1 1999444 23923910 0.64 5101010555 E X 由参考 数据可得： 1 10.79100.648.6 5 E X 【点睛】本题考查了类几何分布的概率和期望，考查了较高的计算能力，属于难题. 解决此类问题的关键点有： (1)全面性，所有可能情况必须考虑到，做到不重不漏； (2)补集思想的应用，根据全概率为1进行求概率.
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