1、20202021 学年高三学年高三 10 月月考数学试题月月考数学试题 一一 单项选择题单项选择题 1. 设集合 2 |0Mx xx， |2Nx x ，则MN ( ) A. |0 x x B. |12xx C. |01xx D. |0 x x 或12x 【答案】D 【解析】 【分析】 先解不等式得集合 M，再根据交集定义求结果. 【详解】 2 |0(,01,)Mx xx QU (,01,2)MN IU 故选：D 【点睛】本题考查集合交集、解一元二次不等式，考查基本分析求解能力，属基础题. 2. 已知i为虚数单位，则复数 13 1 i i 的虚部为( ) A. 2 B. 2i C. 2 D. 2
2、i 【答案】A 【解析】 【分析】 先化简复数 z，然后由虚部定义可求 【详解】 1 311 324 1112 iiii iii 12i， 复数 13 1 i i 的虚部是2， 故选 A 【点睛】该题考查复数代数形式的运算、复数的基本概念，属基础题 3. 设aR，则“1a ”是“直线10axy 与直线50 xay平行”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】 【分析】 试题分析： 若1a， 则直线 10axy 与直线50 xay平行， 充分性成立； 若直线 10axy 与直线50 xay平行，则 1a
3、或，必要性不成立 考点：充分必要性 4. 设向量a，b满足(3,1)ab，1a b ，则|ab rr ( ) A. 2 B. 6 C. 2 2 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意结合向量的运算法则，以及向量的模的运算公式，即可求解. 【详解】由题意结合向量的运算法则，可知： 2 22 4314 16ababa b . 故选：B. 【点睛】本题主要考查向量的运算法则，向量的模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能 力. 5. 在 6 2 2 x x 的二项展开式中， 2 x的系数为( ) A. 15 4 B. 15 4 C. 3 8 D. 3 8 【答案】C 【解析】
4、【详解】因为 1r T 6 6 2 ()() 2 rrr x C x ,可得1r 时， 2 x的系数为 3 8 ，C正确. 6. 已知函数 ( )1f xx x ，则不等式 2 20fxfx 的解集为( ) A. ( 2,1) B. ( 1,2) C. (, 1)(2,) D. (, 2)(1,) 【答案】D 【解析】 【分析】 判断出 f x的奇偶性与单调性， 然后将不等式转化为 2 2f xfx， 通过单调性变成自变量的比较， 从而得到关于x的不等式，求得最终结果. 【详解】 1fxx x 11fxxxx xfx f x为奇函数， 当0 x时， 2 f xxx，可知 f x在0,上单调递增
5、； f x在,0上也单调递增，即 f x为R上的增函数； 由 2 20fxfx 2 2f xf x 2 2f xfx ， 2 2xx，解得：2x或1x 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数单调性与奇偶性求解函数不等式的问题，解题关键在于将不等式转化为符合单 调性定义的形式，利用单调性转变为自变量的比较，属于常考题型. 7. 如图，双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的左，右焦点分别为 1 F， 2 F，过 2 F作直线与 C 及其渐近线 分别交于 Q，P两点，且 Q为 2 PF的中点若等腰三角形 12 PFF的底边 2 PF的长等于 C的半焦距则 C的 离心率为( ) A. 2
6、2 15 7 B. 4 3 C. 22 15 7 D. 3 2 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据等腰三角形的性质得 12 QFPF，再根据双曲线定义以及勾股定理列方程，解得离心率. 【详解】 连接 1 QF，由 12 PFF为等腰三角形且 Q为 2 PF的中点，得 12 QFPF，由 2 PFc知 2 2 c QF 由双 曲线的定义知 1 2 2 c QFa，在 12 Rt FQF中， 22 2 22 22 cc ac ， 222 84708470aaccee 22 15 7 e (负值舍去) 故选：C 【点睛】本题考查双曲线的定义、双曲线的离心率，考查基本分析求解能力，属基础题. 8.
7、 将函数 sin2yx 的图象向右平移(0 2 )个单位长度得到( )yf x的图象 若函数( )f x在区间 0, 4 上单调递增，且 ( )f x的最大负零点在区间 5 , 126 上，则的取值范围是( ) A. , 6 4 B. , 6 2 C. , 12 4 D. , 12 2 【答案】C 【解析】 【分析】 利用函数 sin()yAx 的图象变换规律， 求得 ( )f x的解析式， 再利用正弦函数的性质求得的取值范围 【详解】 将函数sin2yx的图象向右平移(0 2 )个单位长度得到( )sin(22 )yf xx的图象 若函数 ( )f x在区间0, 4 上单调递增，则2 2 ，
8、且2 22 ， 求得0 4 令22xk，求得 2 k x ，Zk，故函数的零点为 2 k x ，kZ ( )f x的最大负零点在区间 5 , 126 上， 5 1226 k ， 5 12262 kk 由令1k ，可得 124 ， 故选：C 【点睛】本题主要考查函数 sin()yAx 的图象变换规律，正弦函数的性质综合应用，属于中档题 二二 多项选择题多项选择题 9. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、“90后”从事 互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中正确的是( ) 注：“90后”指 1990 年及以后出生的人，“80后”指 1980-1989
9、年之间出生的人，“80前”指 1979 年及以前出 生的人 A. 互联网行业从业人员中“90后”占一半以上 B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20% C. 互联网行业中从事运营岗位的人数“90 后”比“80前”多 D. 互联网行业中从事技术岗位的人数“90 后”比“80后”多 【答案】ABC 【解析】 【分析】 根据饼状图确定互联网行业从业人员中“90后”占总人数比例，即可判断 A; 根据条形图确定互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数比例，即可判断 B; 根据条形图确定互联网行业从业人员中“90后”从事运营岗位的人数占总人数比例，根据饼状图确定“80前” 的
10、人数占总人数的比例,两者比较可判断 C; 根据条形图确定互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的比例，但“80 后”中从事技术 岗位的比例不可确定，即可判断 D. 【详解】由题图可知，互联网行业从业人员中“90 后”占总人数的 56%，超过一半，A 正确； 互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56% 39.6%22.176%，超过 20%，所以 互联网行业从业人员(包括“90后”“80 后”“80 前”)从事技术岗位的人数超过总人数的 20%，B 正确； 互联网行业从业人员中“90后”从事运营岗位的人数占总人数的56% 17%9.52%，超过“80 前”
11、的人数占 总人数的比例，且“80前”中从事运营岗位的比例未知，C正确； 互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56% 39.6%22.176%， 小于“80 后”的人 数占总人数的比例，但“80后”中从事技术岗位的比例未知，D不一定正确 故选：ABC 点睛】本题考查饼状图与条形图，考查数据分析与判断能力，属基础题. 10. 对于实数a、b、m，下列说法正确的是( ) A. 若 22 ambm，则a b B. 若ab，则a ab b C. 若0ba，0m，则 ama bmb D. 若0ab且lnlnab，则23,ab 【答案】ABCD 【解析】 【分析】 首先可根据 22 a
12、mbm以及 2 0m 判断出 A正确， 然后将 B 项分为0ab、0ab?以及0ab三 种情况进行讨论，即可判断出 B正确，再然后通过判断0 ama bmb 即可得出 C正确，最后可根据题意得 出 1 a b 以及 1 22aba a +=+，设 1 21f aaa a ，通过函数 f a的单调性即可判断出 D正确. 【详解】A项：因为 22 ambm， 2 0m ，所以a b，A 正确； B项：当0ab时， 0a ab b， 当0ab?时， 22 a aabb b= - -=， 当0ab时， 22 a aabb b=， 综上所述，a ab b成立，B正确； C项：因0ba，0m， 所以 ()
13、() ()() () () 0 am ba bmba mamaabmbabam bmbb bmb bmb bm +-+-+- -= + ，C 正确； D 项：因为0ab，ln lnab， 所以 1 a b ，1a ， 1 22aba a +=+， 设 1 21f aaa a ， 因为 ( ) 2 1 20fa a =-，所以函数 f a在区间1,上单调递增， 故 ( )( ) 13f af=，即23,ab ，D正确， 故选：ABCD. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的证明以及导数的灵活应用，考查通过去绝对值证明绝对值不等式， 考查化归与转化思想以及函数方程思想，考查分类讨论思想，考查计算能力
14、，是中档题. 11. 已知函数 1 2 2log x fxx ，且实数a，b，0c abc满足 0f a f b f c .若实数 0 x是 函数 yf x的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是( ) A 0 xa B. 0 xa C. 0 xb D. 0 xc 【答案】ABC 【解析】 【分析】 先判断 f x单调性，根据题设条件，得到 ,f af bf c的符号，结合零点的定义，即可求解. 【详解】由题意，函数 12 2 2log2log xx f xxx ， 可知函数 f x在区间0,上单调递增， 因为实数, ,a b c0abc满足 0f a f b f c ， 则 ,f af bf
15、 c可能 0,0,0f bf af c或 0,0,0f af bf c， 又由实数 0 x是函数 yf x的一个零点，即 0 0f x, 综上可得，只有xc成立， 结合选项，可得不等式中可能成立的是 0 xa， 0 xa和 0 xb. 故选：ABC. 【点睛】本题主要考查了函数的零点的概念，以及指数函数、对数函数的单调性的应用，其中解答中熟记 指数函数与对数函数的图象与性质，结合函数零点的概念求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 12. 已知函数( )lnf xxx，若 ( )f x在 1 xx和 212 xxxx处切线平行，则( ) A. 12 111 2xx B. 12 128x x
16、 C. 12 32xx D. 22 12 512xx 【答案】AD 【解析】 【分析】 根据 12 fxfx，即可判断A选项；再结合均值不等式即可判断其它选项. 【详解】由题意知 11 ( )(0) 2 fxx xx ，因为 ( )f x在 1 xx和 212 xxxx处切线平行， 所以 12 fxfx，即 12 12 1111 22xxxx ，化简得 12 111 2xx ，A 正确； 由基本不等式及 12 xx， 可得 1212 1111 2 2xxx x ， 即 12 256x x ， B 错误； 1212 232xxx x， C错误； 22 1212 2512xxx x，D 正确 故选
17、：AD 【点睛】本题考查利用导数的几何意义处理切线平行的问题，涉及均值不等式的使用，属综合中档题. 三三 填空题填空题. 13. 已知 5 cos 5 ，且 , 2 ，则tan2_ 【答案】 4 3 【解析】 【分析】 先利用已知条件和同角三角函数的关系求出tan的值，再利用正切的二倍角公式可求出tan2的值. 【详解】解：因为 5 cos 5 ，且 , 2 ， 所以 2 52 5 sin1 cos1 255 ， 所以 sin tan2 cos ， 所以 22 2tan2 ( 2)4 tan2 1 tan1 ( 2)3 ， 故答案为： 4 3 【点睛】三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分
18、析：(1)看函数名的差异；(2)看结构的差异；(3) 看角的差异；(4)看次数的差异对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式(或公式的逆用)、角的分拆与整 合(用已知的角表示未知的角)、升幂降幂法 14. 一组数据的平均数是 8，方差是 16，若将这组数据中的每一个数据都减去 4，得到一组新数据，则所得 新数据的平均数与方差的和是_ 【答案】20 【解析】 【分析】 根据新数据与原数据平均数与方差的关系直接求解,即得结果. 【详解】因为原数据平均数是 8，方差为 16，将这组数据中的每一个数据都减去 4，所以新数据的平均数为 8 44 ，方差不变仍为 16，所以新数据的方差与平均数的和为 20 故
19、答案为：20 【点睛】本题考查新数据与原数据平均数与方差的关系，考查基本分析求解能力，属基础题. 15. 已知直线: 2l yxb 与抛物线 2 :20C ypx p相交于A、B两点， 且5AB ， 直线l经过C的 焦点则p _，若M为C上的一个动点，设点N的坐标为3,0，则MN的最小值为_ 【答案】 (1). 2 (2). 2 2 【解析】 【分析】 将直线l的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦长公式可求得 p的值，设点 00 ,M x y，可得 2 000 40yxx，利用两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可求得MN的最小 值. 【详解】由题意知，直线:2l y
20、xb，即2 2 b yx 直线l经过抛物线 2 :20C ypx p的焦点， 22 bp ，即bp 直线l的方程为2yxp 设 11 ,A x y、 22 ,B x y，联立 2 2 2 yxp ypx ，消去y整理可得 22 460 xpxp， 由韦达定理得 12 3 2 p xx， 又5AB ， 12 5 5 2 xppx，则2p ，抛物线 2 :4C yx 设 000 ,0M x yx ，由题意知 2 00 4yx， 则 2222 2 00000 334188xyxxMNx， 当 0 1x 时， 2 MN取得最小值8，MN的最小值为2 2 故答案为：2；2 2. 【点睛】本题考查利用抛物
21、线的焦点弦长求参数，同时也考查了抛物线上的点到定点距离最值的求解，考 查了抛物线方程的应用，考查计算能力，属于中等题. 16. 已知 A，B，C为球 O的球面上的三个定点60ABC，2AC ，P为球 O 的球面上的动点，记 三棱锥ABC的体积为 1 V，三棱锥OABC的体积为 2 V若 1 2 V V 的最大值为 3则球 O的表面积为 _ 【答案】 64 9 【解析】 【分析】 先求出ABC的外接圆半径，根据题意确定 1 2 V V 的最大值取法，再根据 1 2 V V 的最大值为 3，解得球半径，最 后根据球的表面积公式得结果. 【详解】如图所示，设ABC的外接圆圆心为 1 O，半径为 r，
22、则 1 OO 平面 ABC 设球 O的半径为 R， 1 OOd，则 24 3 2 sinsin603 AC r ABC ，即 2 3 3 r 1 2 1 3 1 3 P ABCABC P ABC ABC hS hV Vd d S V V Q 所以当 P，O， 1 O三点共线时， 1 2 max 3 VRd Vd ，即2Rd 由 222 Rdr，得 2 16 9 R ，所以球 O 的表面积 2 64 4 9 SR 故答案为： 64 9 【点睛】本题考查三棱锥及其外接球的体积，考查空间想象能力以及基本分析求解能力，属中档题. 四四 解答题解答题 17. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题
23、中，并解决该问题 22 52bc；ABC的面积为3 15； 2 6ABAB BC uu u ruu u r uuu r . 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.在已知2bc，A为钝角， 15 sin 4 A. (1)求边a的长； (2)求sin 2 6 C 的值. 【答案】选择条件见解析；(1)8a ；(2) 21 517 64 . 【解析】 【分析】 (1)方案一：选择条件，结合向量数量积的性质可求bc，进而可求b，c，然后结合余弦定理可求； 方案二：选择条件：由已知即可直接求出b，c，然后结合余弦定理可求； 方案三：选择条件，由已知结合三角形的面积公式可求bc，进而可求b，c
24、，然后结合余弦定理可求 (2)由余弦定理可求cosC，然后结合同角平方关系及二倍角公式，和差角公式即可求解 【详解】方案一：选择条件 (1)由 22 52 2 bc bc ，解得 6 4 b c ， A为钝角， 15 sin 4 A， 1 cos 4 A ， 则 222 1 2cos36 162 6 464 4 abcbcA ， 故8a ； (2) 222 6436 167 cos 22 8 68 abc C ab ， 4915 sin1 648 C ， 2 17 cos22cos1 32 CC ， 7 15 sin22sincos 32 CCC， sin 2sin2coscos2sin 66
25、6 CCC 7 15317121 517 32232264 ； 方案二：选择条件 (1) 15 sin 4 A， 115 sin3 15 28 ABC SbcAbc ，24bc ， 由 24 2 bc bc ，解得 6 4 b c ， 则 222 1 2 cos36 162 6 464 4 abcbA ， 故8a ； (2) 222 6436 167 cos 22 8 68 abc C ab ， 4915 sin1 648 C ， 2 17 cos22cos1 32 CC ， 7 15 sin22sincos 32 CCC， sin 2sin2coscos2sin 666 CCC 7 1531
26、7121 517 32232264 ； 方案三：选择条件： (1)A为钝角， 15 sin 4 A， 1 cos 4 A ， 2 ()cos6ABAB BCABABBCAB ACbcA ，24bc ， 由 24 2 bc bc ，解得6b，4c ， 则 222 1 2cos36 162 6 464 4 abcbcA ， 故8a ； (2) 222 6436 167 cos 22 8 68 abc C ab ， 4915 sin1 648 C ， 2 17 cos22cos1 32 CC ， 7 15 sin22sincos 32 CCC， sin 2sin2coscos2sin 666 CCC
27、 7 15317121 517 32232264 . 【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，和差角公式、二倍角公式在求解三角形中的应用， 属于中档试题 18. 已知等差数列 n a的公差0d ，若 6 11a ，且 2 a， 5 a， 14 a成等比数列. (1)求数列 n a的通项公式； (2)设 1 1 n nn b aa ，求数列 n b的前n项和 n S. 【答案】(1)21 n an；(2) 21 n n S n . 【解析】 【分析】 (1)利用等差数列的通项公式以及等比中项列方程组可求解. (2)利用裂项求和法即可求解. 详解】(1) 6 11=aQ， 1 511ad
28、， 2 aQ， 5 a， 14 a成等比数列， 2 111 (4 )()(13 )adad ad， 化简得 2 1 2da d， 又因为0d 且由可得， 1 1a ，2d . 数列的通项公式是21 n an (2)由(1)得 1 11111 () (21)(21)2 2121 n nn b a annnn ， 12 111111 (1) 23352121 nn Sbbb nn 11 (1) 221n 21 n n 所以 21 n n S n . 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、裂项求和法，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 19. 如图所示， 在三棱柱中 111 ABCABC， 侧面
29、11 ABB A是矩形，2AB ， 1 2 2AA ，D是 1 AA的中点， BD与 1 AB交于O，且CO面 11 ABB A. (1)求证： 1 BCAB； (2)若OCOA，求二面角DBCA的余弦值. 【答案】(1)详见解析；(2) 10 5 . 【解析】 【分析】 (1)推导出 DBAB1， 1 COAB，从而 AB1平面 BDC，由此能证明 AB1BC， (2)以 O为坐标原点，OA，O 1 B，OC所在直线分别为 x 轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法 能求出二面角DBCA的余弦值 【详解】解：(1)由于侧面 11 ABB A是矩形，D是中点， 故 1 2 tan 2
30、AB B， 2 tan 2 ABD， 所以 1 ABBABD，又 11 90BABAB B， 于是 1 90BABABD， 1 BDAB，而CO面 1 ABB A，所以 1 COAB 1 AB 面BCD，得到 1 BCAB (2)如图，建立空间直角坐标系，则 2 0,3,0 3 A ， 2 6,0,0 3 B ， 2 0,0,3 3 C ， 6 ,0,0 3 D 可以计算出面ABC的一个法向量的坐标为 1 1, 2,2n 而平面BCD的一个法向量为 2 0,1,0n 设二面角DBCA的大小为，则 12 12 10 cos 5 n n n n 点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求
31、法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关 系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题 20. 如图， 设点A，B的坐标分别为(3,0)，( 3,0)， 直线AP，BP相交于点P， 且它们的斜率之积为 2 3 . (1)求P的轨迹方程； (2)设点P的轨迹为C，点MN是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足/AP OM，/BP ON，求 MON的面积. 【答案】(1) 22 13 32 xy x ；(2) 6 2 . 【解析】 【分析】 (1)先设动点坐标，根据条件斜率之积为 2 3 列方程即得解； (2)由平行条件得斜率关系得 2 3 OMON k
32、k ，即得坐标关系 12 12 2 3 y y x x ；设直线MN的方程x myt ， 与椭圆方程联立，利用韦达定理可得韦达定理，代入 12 12 2 3 y y x x 可得 22 223tm ，再求三角形面积，将 22 223tm 代入化简即得解. 【详解】(1)由已知设点P的坐标为, x y，由题意知 2 3 333 APBP yy kkx xx ， 化简得P的轨迹方程为 22 13 32 xy x . (2)证明：由题意MN、是椭圆C上非顶点的两点，且/AP OM，/BP ON， 则直线AP，BP斜率必存在且不为 0，又由已知 2 3 APBP kk . 因为/AP OM，/BP O
33、N，所以 2 3 OMON kk . 设直线MN的方程为x myt ，代入椭圆方程 22 1 32 xy ，得 222 324260mymtyt ， 设,M N的坐标分别为 1122 ,x yxy，则 2 1212 22 426 , 3232 mtt yyy y mm . 又 2 1212 2222 121212 26 36 OMON y yy yt kk x xm y ymt yyttm ， 所以 2 22 262 363 t tm ，得 22 223tm . 又 22 12 2 24487211 2232 MON ttm St yy m ， 所以 2 2 2 66 42 MON tt S
34、t ，即MON的面积为定值 6 2 . 【点睛】本题主要考查动点的轨迹方程的求法，考查椭圆中的定值问题的求解，考查直线和椭圆的位置关 系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算分析推理能力 21. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合 格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所 有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为(01)pp，且各件产品是否为不合格品相互独立 (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为( )f p,求( )f p的最大值点 0 p； (2)现对一箱产品检验了
35、20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的 0 p作为p的值已知每件产品的 检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用 (i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX; (ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 【答案】(1)0.1；(2)(i)490；(ii)应该对余下的产品作检验. 【解析】 【分析】 (1)利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得 18 22 20 C1fppp，之后对其求导，利用导数在相 应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注
36、意0 1p 的条件； (2)先根据第一问的条件， 确定出0.1p ， 在解(i)的时候,先求件数对应的期望， 之后应用变量之间的关系， 求得赔偿费用的期望；在解(ii)的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果. 【详解】(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为 18 22 20 C1fppp. 因此 181717 222 2020 C211812C11 10fpppppppp . 令 0fp ，得0.1p .当0,0.1p时， 0fp ；当0.1,1p时， 0fp . 所以 fp的最大值点为 0 0.1p ； (2)由(1)知，0.1p . (i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数
37、，依题意知180,0.1YB，20 2 25XY ，即 4025XY. 所以40254025490EXEYEY. (ii)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为 400 元. 由于400EX ，故应该对余下的产品作检验. 【点睛】该题考查的是有关随机变量的问题，在解题的过程中，一是需要明确独立重复试验成功次数对应 的概率公式，再者就是对其用函数的思想来研究，应用导数求得其最小值点，在做第二问的时候，需要明 确离散型随机变量的可取值以及对应的概率，应用期望公式求得结果，再有就是通过期望的大小关系得到 结论. 22. 已知0a，函数( )ln( 1), ( ) x f xxa xg
38、xe. (1)经过原点分别作曲线( ),( )yf xyg x的切线 12 ll、，若两切线的斜率互为倒数，证明： 2 11ee a ee ； (2)设( )(1)( )h xf xg x，当0 x时，( )1h x 恒成立，试求实数a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2),2. 【解析】 【分析】 (1)求出两条直线的斜率，设 1 l与曲线( )yf x的切点为 11 ,x y 1 11 1 11 1 ee x yaxa x ，令 11 ( )ln1m xx xe 利用导数单调性可得答案； (2)构造函数( )(1)( )h xf xg xln(1)exxax，求其导数利用函数的单调
39、性，得出 h x在区间 0 0,x上递减，在区间 0, x 递增，又 0 (0)1h xh，得到实数a的取值范围. 【详解】(1)设切线 22 :lyk x，切点为 22 ,x y. 则 2 2 exy ， 2 2 22 2 ex y kgx x 2 2 x 2 2 e e1 x x x ， 2 ey 2 ek. 由题意，知切线 1 l的斜率为 1 2 11 e k k ，方程为 1 e yx. 设 1 l与曲线( )yf x的切点为 11 ,x y. 则 1 11 11 1y kfxa xx 1 11 1 11 1 ee x yaxa x . 又 111 ln1yxa x，消去 1 ya后，
40、整理得 1 1 11 ln10 e x x . 令 11 ( )ln1m xx xe ，则 22 111 ( ) x m x xxx . 于是， m x在区间0,1上单调递减，在区间 1,上单调递增. 若 1 (0,1)x ，由 11 2e0 ee m ， 1 10 e m ， 则 1 1 ,1x e . 而 1 11 e a x 在 1 1 ,1x e 上单调递减， 故 2 11ee a ee . 若 1 1,x ，因为 m x在区间1,上单调递增，则 0m e ，所以， 1 11 0a xe ，这与题设0a矛盾. 综上， 2 11ee a ee . (2)注意到， ( )(1)( )h x
41、f xg x ln(1)exxax 1 ( )e 1 x h xa x . i.当2a时，由 1 x ex，则 1 ( )e 1 x h xa x 1 120 1 xaa x . 于是， h x在区间0,上递增， 0 ( )1h xh x恒成立，符合题意. ii.当2a时，由 0,)x，且 2 22 1(1) e1 ( )e0 (1)(1) x x x h x xx ， 则( )h x 在区间0,上递增. 又(0)20ha ，则存在 0 (0,)x ，使得 0 0h x. 于是， h x在区间 0 0,x上递减，在区间 0, x 递增. 又 0 (0)1h xh，此时，( )1h x 不恒成立，不符合题意. 综上，实数a的取值范围是,2. 【点睛】本题主要考查利用导数研究曲线的切线及结合方程有零点存在得到不等式的证明；考查利用导数 处理函数最值和不等式恒成立的问题.
浙公网安备33030202001339号