1、2020-2021 学年学年高三数学高三数学第一学期阶段测试卷第一学期阶段测试卷 注意事项：注意事项： 1本试卷共本试卷共 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟 2请将各题答案填在答题卡上请将各题答案填在答题卡上 第第 I 卷卷( (选择题选择题 共共 60 分分) ) 一一 选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的 1. 已知集合 22 2|0 ,340|Ax xxBx xx，则 AB R 等于( ) A. |01xx B. |1
2、2xx C. |02xx D. | 12xx 【答案】A 【解析】 【分析】 由一元二次不等式的解法化简集合，再由集合的交集和补集运算求解即可. 【详解】 2 20 02Ax xxxx 2 3401Bx xxx x或4x 故41, 01 RR BxxABxx痧 故选：A 2. 下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是( ) A xx f xee B. 22 xx f x C. 1 ( )f x x D. f xln x 【答案】A 【解析】 【分析】 根据奇函数的概念、单调性的概念及判断方法进行判断即可. 【详解】对于 A选项， xx f xee为奇函数，且在定义域内递增； 对于 B选项，
3、22 xx f x 为偶函数，不符合题意； 对于 C选项， 1 ( )f x x 是奇函数，在,0和0,上都递增，不符合题意； 对于 D选项， f xln x为偶函数，不合符题意. 故选：A. 【点睛】本题考查函数的奇偶性判断及单调性的判断问题，属于基础题，根据奇偶性及单调性的相关概念 及判断方法判断即可. 3. 已知ABC中， 7AB ，5BC ，3CA，则BC与CA的夹角是( ) A. 5 6 B. 6 C. 2 3 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 由AB CA CB ， 结合平面向量数量积的运算可求得cosACB的值， 求出ACB， 进而可得出BC、CA 的夹角. 【详解】 A
4、BCACB ， 222 222 22cosABCBCACBCACA CBCBCACA CBACB， 所以， 222 222 5371 cos 2 5 32 2 CBCAAB ACB CA CB ， 0ACB，则 2 3 ACB ，因此，BC与CA的夹角是 3 . 故选：D. 4. 若幂函数 yf x的图象过点(27,3 3)，则函数 2 1f xfx的最大值为( ) A. 1 2 B. 1 2 C. 3 4 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】 根据幂函数图象过的点可以求出幂函数的解析式，然后运用换元法，结合二次函数的性质进行求解即可. 【详解】设幂函数( )yf xx，图象过点(27,3
5、 3)， 所以 3 3 2 2733 33 ， 1 2 ， 故 2 ( ),(1)( )1f xxf xfxxx ， 令1xt ，则 22 13 1(),0 24 ytttt ， 1 2 t 时， max 3 4 y 故选：C 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数的问题，该题解题思路如下： (1)利用幂函数所过的点的坐标，确定出幂函数的解析式； (2)求得 2 1yf xfx的解析式； (3)利用换元法和配方法求得函数的大值. 5. 函数 32 3 log1yxxx 的图象大致为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先判断函数的奇偶性，排除两个选项，再计算特殊的函数
6、值(1)f又排除一个，剩下的是正确选项 【详解】 ( )f x的定义域是R， 32 3 ()()log()1fxxxx 32 3 log1xxx 1 32 3 log1xxx 32 3 log1( )xxxf x 所以 ( )f x为奇函数，图像关于原点对称，排除 BD，因为 (1)1 ln( 21)0f ，所以排除 A， 故选：C 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置 (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 6.
7、已知 f x是定义在R上的奇函数，当 0 x时， 1 x f xe，若 2 6fafa，则实数a的 取值范围是( ) A. (, 2)(3,) B. 3,2 C. 2,3 D. (, 3)(2,) 【答案】C 【解析】 【分析】 先判断函数( )1 x f xe在0,上单调递增，再由函数奇偶性，得到 f x在R上单调递增；将不等式 2 6()fafa化为 2 6aa 求解，即可得出结果. 【详解】因为当0 x时，( )1 x f xe，根据指数函数性质，可得 x ye是增函数， 所以( )1 x f xe在0,上单调递增， 又 f x是定义在R上的奇函数， 00f， 所以 f x在,0上单调递
8、增， 因此 f x在R上单调递增； 所以由 2 6()fafa，得 2 6aa 解得23a . 故选：C 7. 已知 2 2sin cos2cos2f xxxx，则 f x的最小正周期和一个单调减区间分别为( ) A. 37 2 , 88 B. 37 , 88 C. 3 2 , 88 D. 3 , 88 【答案】B 【解析】 【分析】 利用正余弦的二倍角公式和辅助角公式将 f(x)进行化简，结合正弦函数图像的性质求解即可. 【详解】 22 2sin cos2cos22sin cos2sinf xxxxxxx 1 cos2sin212sin 2 4 xxx ， ( )f x 的最小正周期 2 2
9、 T ， 由 3 222 242 kxk ， 解得 37 , 88 kxkkZ ， 得 ( )f x单调减区间为 37 , 88 kkkZ ， 当0k 时，得 ( )f x的一个单调减区间 37 , 88 ， 故选：B 【点睛】思路点睛：该题考查正余弦二倍角公式和辅助角公式的应用，解题思路如下： (1)首先利用正、余弦倍角公式和辅助角公式化简函数解析式； (2)利用正弦函数的性质，求得其最小正周期和单调区间. 8. 在ABC中，角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c，且 2 cos 22 Acb c ，则ABC的形状为( ) A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D.
10、 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】 根据降幂公式， 先得到 1cos 22 Acb c ， 化简整理， 再由正弦定理， 得到sincos0AC ， 推出cos0C ， 进而可得出结果. 【详解】由已知可得 2 cos11 cos, 22222 AcbAb cc ， 即cos,cos b AbcA c 法一：由余弦定理得 222 cos 2 bca A bc ，则 222 2 bca bc bc ， 所以 222 cab，由此知ABC为直角三角形 法二：由正弦定理得：sinsincosBCA 在ABC中，sinsin()BAC， 从而有sincoscossinsincosACACC
11、A， 即sincos0AC 在ABC中，sin0A，所以cos0C 由此得 2 C ，故ABC为直角三角形. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关三角形形状判断的问题，在解题的过程中，可以利用勾股定理， 也可以在三角形中利用三角恒等变换得到结果. 二二 选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合分在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0分分 9. 已知集合0 6 ,2 |0 |PxxQyy，
12、下列从P到Q的各对应关系f是函数的是( ) A. 1 : 2 fxyx B. 1 3 : fxyx C :lnfxyx D. :fxyx 【答案】BC 【解析】 【分析】 根据函数的定义判断 【详解】在对应关系中，四个对应关系都保证对P中任意的x都有唯一的y值与之对应，题中要求函数值 的集合 ( )f xxP叫函数的值域，值域是Q的子集只有BC、选项中值域范围不超过Q的取值范围 故选：BC 10. 下列有关向量命题，不正确的是( ) A. 若| |ab，则a b B. 已知 0c ，且a c b c ，则a b C. 若,ab bc，则ac D. 若a b ，则| |ab且 / /ab 【答案
13、】AB 【解析】 【分析】 根据向量的模，数量积，向量相等的概念判断各选项 【详解】向量由两个要素方向和长度描述，A 错；若a b ，且与c垂直，结果成立，但a不一定等于b， B错；相等向量模相等，方向相同，D选项对 故选：AB 11. 下列命题中，正确的是( ) A. 在ABC中，AB，sinsinAB B. 在锐角ABC中，不等式sincosAB恒成立 C. 在ABC中，若coscosaAbB，则ABC必是等腰直角三角形 D. 在ABC中，若 0 60B ， 2 bac，则ABC必是等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】 对于选项A在ABC中，由正弦定理可得sinsinABabAB
14、，即可判断出正误；对于选项B 在锐角ABC中， 由0 22 AB ， 可得sinsin()cos 2 ABB ， 即可判断出正误； 对于选项C 在ABC中，由coscosaAbB，利用正弦定理可得：sin2sin2AB，得到22AB或222AB 即可判断出正误；对于选项D在ABC中，利用余弦定理可得： 222 2cosbacacB，代入已知可得 ac ，又60B ，即可得到ABC的形状，即可判断出正误. 【详解】对于A，由AB，可得：ab，利用正弦定理可得：sinsinAB，正确； 对于B，在锐角ABC中，A，(0,) 2 B ， 2 AB ，0 22 AB ， sinsin()cos 2 A
15、BB ，因此不等式sincosAB恒成立，正确； 对于C，在ABC中，由coscosaAbB，利用正弦定理可得：sincossincosAABB， sin2sin2AB， A， (0, )B ， 22AB或222AB， AB或 2 AB ， ABC是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C错误. 对于D，由于 0 60B ， 2 bac，由余弦定理可得： 222 bacacac， 可得 2 ()0ac，解得ac，可得60ACB，故正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应 用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.
16、12. 将函数 2sinf xx的图象向左平移 6 个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的 2倍，得到 g x的图象，下列四个结论不正确的是( ) A. 函数 g x在区间 2 0, 3 上为增函数 B. 将函数 g x的图象向右平移 2 3 个单位长度后得到的图象关于原点对称 C. 点 ,0 6 是函数 g x图象的一个对称中心 D. 函数 g x在,2 上的最大值为 4 【答案】BCD 【解析】 【分析】 先根据三角函数图象变换写出( )g x的解析式，然后结合正弦函数性质判断各选项 【详解】函数( )2sinf xx的图像向左平移 6 个单位，得到函数( )2sin 6 f xx
17、的图像，再将 2sin 6 yx 的图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的 2倍，得( )2sin 26 x g x ， A若 2 0 3 x ，则 6262 x ，所以根据复合函数单调性可知函数( )g x在 2 0, 3 上为单调递增函 数， B将( )g x的图像向右平移 6 个单位得到 1 2sin2sin 266212 x yx 所以得到函数不关于原点对称，所以不正确 C因为 2sin30 366 g ，所以点,0 3 不是函数( )g x的一个对称中心，所以不正确 D若2x，则 27 3266 x ，所以当 2 263 x 时，( )g x取得最大值，且最大值 max 2 ( )2si
18、n3 3 g x ，所以不正确 故选：BCD 第第 II 卷卷( (非选择题非选择题 共共 90 分分) ) 三三 填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 20 分分 13. 函数 2 3 log28yxx的单调增区间是_ 【答案】(2,) 【解析】 【分析】 先求解出函数的定义域，然后根据复合函数单调性的判断法则得出单调递增区间. 【详解】由 2 280 xx得： 2x 或4x， 则函数 2 3 log28yxx的定义域为(, 4)(2,) 令函数 2 ( )28g xxx，则函数( )g x在(, 4) 单调递减，在区间(2, )单调递增， 再根据复合
19、函数的单调性，可得函数 2 5 log23yxx 的单调递减区间为(, 4) 单调递增区间为 (2,). 故答案为：(2,) 【点睛】本题考查符合函数的单调区间判断，解答时注意口诀：“同增异减”的运用，但特别要注意原函 数的定义域. 14. 函数 2 ln(sin )25yxx 的定义域为_ 【答案】 5,)(0, ) 【解析】 【分析】 使对数的真数大于零，二次根式的被开方数大于等于零即可. 【详解】 ，解得 由题意得： 2 sin0 250 x x ，解得5x 或0 x. 故答案为： 5,)(0, ). 【点睛】本题考查函数定义域的求解问题，较简单，一般地，求解函数定义域时，注意以下几点：
20、 (1)有分式时，分母不等于零； (2)含偶次方根时，被开方数非负； (3)有对数时，真数大于零. 15. 已知向量AB与AC的夹角为 60 且| 4,|3ABAC ，若AP ABAC uu u ruu u ruuu r ，且AP BC uu u ruuu r ，则实 数的值是_ 【答案】 3 10 【解析】 【分析】 根据向量垂直的条件，向量数量积等于零，利用向量数量积运算公式，得到关于的等量关系式，求得结 果. 【详解】() ()0AP BCABACACAB， 即 22 (1)0AB ACACAB ，所以6(1)9 160， 解得 3 10 故答案为： 3 10 . 【点睛】方法点睛：平面
21、向量数量积的类型及求法 (1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式cosa ba b；二是坐标公式 1 212 a bx xy y ；三 是利用数量积的几何意义. (2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 16. 若直线y kxb 是曲线 2x ye 的切线，也是曲线1 x ye的切线，则b_ 【答案】 11 ln2 22 【解析】 分析】 分别设出直线y kxb 与曲线 2x ye 和曲线1 x ye的切点，然后求导利用切线的几何意义利用斜率相 等可得答案. 【详解】设直线y kxb 与曲线 2x ye 切于点 1 2 11 (,) x
22、P x e ， 与曲线e1 x y 切于点 2 22 (,1) x P x e， 则有 21 12 2 2 21 (e1) xx xx e kee xx ， 从而 12 2xx， 1 2 k ， 2 1 2 x e， 2 ln2x 所以切线方程 2 1111 (ln2)1ln2 2222 x yxex ， 所以 11 ln2 22 b 故答案为： 11 ln2 22 . 【点睛】本题主要考查导数的几何意义,两曲线的公切线问题，属于中档题 四四 解答题：本大题共解答题：本大题共 6 小题，小题，17题题 10 分，其余每题分，其余每题 12分，共分，共 70 分分 17. 已知函数 sincos
23、 2sin cos2f xxxxx (1)求 2 3 f 的值； (2)求 f x的最大值和最小值 【答案】(1) 3 2 ；(2) maxmin 3 ( )32( ) 4 f xf x，. 【解析】 【分析】 (1)由特殊值的三角函数计算； (2)令sincos2sin2, 2 4 txxx ，把函数化为关于t的二次函数，由二次函数的性质 求得最值 【详解】(1) 222231313 ( )sincos2sincos222 333322222 f x (2)令sincos2sin2, 2 4 txxx ， 22 1 2sin cos2sin cos1txxxxt ， 2 22 13 ( )(
24、 )121 24 f xg tttttt ， maxmin 13 ( )( 2)32( ) 24 f xff xf 【点睛】方法点睛：本题考查求三角函数的最值求三角函数最值的常用方法： (1)利用三角函数的恒等变化化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数求解； (2)换元法，设sin xt，转化为二次函数，题中含有sincos ,sin cosxxxx时，可设sincostxx换元 后转化为二次函数，收二次函数性质求解 18. ABC的三个内角, ,A B C所对的边分别为 2 , , , sinsinsin2a b c aABbAab (1)求 b a ； (2)若 222 3cba
25、 ，求B 【答案】(1) 2 ；(2)45. 【解析】 【分析】 (1)已知等式中b移到左边，与 2 sinbA结合，然后边化角化简后，再角化边得 b a ； (2)已知条件结合余弦定理化简，再把(1)的结论代入已知得 , a c的关系，从而求得cosB，得B角， 【详解】解：(1)由已知 2 sinsinsin2aAB bA ba 2 sinsin1 sin2aABA ba 2 sinsincos2aAB bAa ， 由正弦定理知： 22 sinsinsincos2sinABBAA ， 22 sinsincos2sin,sin2sin,2 ,2. b BAAABAba a (2)由余弦定理：
26、 222 (13) cos0 22 cba B ac a c ， 又由(1)知 22 2ba，故 222 12 (23)cos,cos,45 2 , 2 caBBB 【点睛】方法点睛：本题考查正弦定理和余弦定理的应用 已知等式中出现边角混合关系时，常常需要用正弦定理进行边角互化，如果出现边的平方等关系可用余弦 定理求角， 19. 已知 , 为锐角， 55 cos,cos() 55 (1)求cos2的值； (2)求tan的值 【答案】(1) 7 25 ；(2) 2 11 . 【解析】 【分析】 (1)根据题中条件，求出 2 5 sin 5 ， 2 5 sin() 5 ，再由两角差的余弦公式，求出
27、cos，根据二倍 角公式，即可求出结果； (2)由(1)求出 4 tan 3 ，tan2，再由两角差的正切公式，即可求出结果. 【详解】(1)Q，为锐角，且 5 cos 5 ， 5 cos() 5 ，则 , 2 ， 2 2 5 sin1 cos 5 ， 2 2 5 sin1 co) 5 )s ( ， 3 coscos()cos()cossin()sin 5 ， 2 7 cos22cos1 25 ； (2)由(1) 3 cos 5 ，所以 2 3 sin1 4 55 ，则 4 tan 3 ， 又 5 cos 5 ， 2 5 sin 5 ， tan2 ； tantan2 tan() 1tantan
28、11 . 20. 已知在ABC中，角 A B C对边分别为 , ,a b c，外接圆半径为 2，若, 4 4 a b m ， 222222 (,) 22 acbbca n acbc ，sin2m nC (1)求角C的大小； (2)若sin,sin,sinACB成等差数列，且()18CAABAC，求c的长 【答案】(1)60C ；(2)6. 【解析】 【分析】 (1)先利用平面向量数量积的坐标运算公式写出sin2m nC的式子， ，然后根据正弦定理、余弦定理，将 原式化简，再运用和差角公式合并，从而得出角C的大小； (2)利用sin,sin,sinACB成等差数列可得出, ,a b c的关系，根
29、据()18CAABAC可解出ab的值，再 结合余弦定理则可解得c的值. 【详解】解：(1)因为, 4 4 a b m ，(cos ,cos )nBA， 所以 222222 4242 a acbb bca m n acbc ，又ABC外接圆半径为 2， 所以4sin,4sinaA bB 所以 222222 4242 a acbb bca m n acbc sincoscossinsinsinABABABC 则sinsin22sincosCCCC， 1 cos 2 C ， 又0,C，所以60C (2)若sin,sin,sinACB成等差数列，则2sinsinsinCAB，即2cab， 又()18C
30、AABAC， 1 cos6018 2 CA CBabab ，得36ab， 由余弦定理得： 2 2222 2cos()23cababCababababab， 2 33cab， 2 36c ，得 6c . 【点睛】本题考查正余弦定理的综合运用，考查解三角形与平面向量的结合问题，难度一般. 解答时注意以 下几点： (1)平面向量数量积的坐标运算公式的运用，三角恒等变换公式的运用； (2)利用正弦定理、余弦定理进行边角转化. 21. 已知函数 2 1 ( )cos3sin() cos() 2 f xxxx (1)求函数 f x在0,上的单调递减区间； (2)在锐角ABC中，内角, ,A B C所对的边
31、分别为, ,a b c，已知 1,2, sinsinf AabCaA，求 ABC的周长 【答案】(1)单调递减区间0, 3 和 5 , 6 ；(2)6. 【解析】 【分析】 (1)利用二倍角公式，两角和与差的余弦公式化函数( )cos()f xAx形式，然后结合余弦函数的单调 性求解 (2)利用(1)求得A角，再由正弦定理化角为边求得4bc ，然后由余弦定理可求得bc，从而得三角形周 长 【详解】解：(1) 2 1cos2131 ( )cos3sin cossin2 2222 x f xxxxx 13 cos2sin2cos 2 223 xxx ， 函数 ( )f x单调递减，则22,2, 3
32、 xkkkZ ， , 63 xkk ，kZ， ( )f x 在(0, )上的单调递减区间0, 3 和 5 , 6 (2)由(1)知：( )cos 21 3 f AA 且ABC为锐角三角形，2, 33 AA ， 222222 sinsin ,4,2cos()2()3bCaAbcaabcbcAbcbcbcbcbc， 2 4()12,4,bcbc ABC的周长为246 【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形，考查三角函数恒等变换，解决此类问题的方法一般是由二倍角 公式、诱导公式、两角和与差的正弦(或余弦)公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函 数(或余弦函数)性质确定的各种性质在三角形中
33、注意正弦定理的边角互化，正弦定理与余弦定理解三角 形的灵活应用 22. 设函数( ) 11 xx f xxeae. (1)求函数 ( )f x的单调区间及极值； (2)若函数 ( )f x在(0,)上有唯一零点，证明：2 3a. 【答案】(1) ( )f x的减区间为(,1)a ，增区间为(1,)a，极小值为 1 (1)1 a f aae ，无极大 值(2)见解析 【解析】 【分析】 (1)求出函数 yf x的定义域以及导数，利用导数求出函数 yf x的单调区间，并由单调性得出函数 yf x的极值； (2)利用参变量分离法得出关于x的方程 1 1 x x ax e 在0,x上有唯一解，构造函数
34、 1 1 x x g xx e ，得出 2 2 1 xx x eex gx e ，构造函数 2 x h xex ，求出该函数的导数，判断 导数的符号，得出函数的单调性，求出函数 yg x的最小值转化即可 【详解】(1) ( )f x的定义域为(,) ， ( )(1) x fxxa e ， 当(,1)xa 时，( )0fx ， ( )f x为减函数； 当(1,)xa时，( )0fx ， ( )f x为增函数， ( )f x有极小值 1 (1)1 a f aae ，无极大值， 故 ( )f x的减区间为(,1)a ，增区间为(1,)a，极小值为 1 (1)1 a f aae ，无极大值； (2)函
35、数 ( )f x在(0,)上有唯一零点，即当(0,)x时，方程( )0f x 有唯一解， 1 1 x x ax e 有唯一解，令 1 ( ) 1 x x g xx e ，则 2 2 ( ) 1 xx x eex g x e 令( )2 x h xex，则( )1 x h xe， 当(0,)x时，( )0h x ，故函数( )h x为增函数， 又(1)30he， 2 (2)40he， ( )h x在(0,)上存在唯一零点 0 x，则 0 (1,2)x ，且 0 0 2 x ex， 当 0 0,xx时，)(0g x ， 当 0, xx时，( )0g x ，( )g x在(0,)上有最小值.ly 0 0 000 1 1(2,3) 1 x x g xxx e ， 23a. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值、以及利用导数研究函数的零点问题，构造新函数是 难点，也是解题的关键，考查转化与化归数学思想，属于难题.
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