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    2021届湖北省六校高三上学期11月联考数学试题(含答案解析)

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    2021届湖北省六校高三上学期11月联考数学试题(含答案解析)

    1、20212021 届湖北省六校高三上学期届湖北省六校高三上学期 1111 月联考数学试题月联考数学试题 考试时间:考试时间:120 分试卷满分:分试卷满分:150 分分 一一 单项选择题:本题单项选择题:本题 8 个小题,每小题个小题,每小题 5 分,共分,共 40 分分.在每小题给出的四个选项中,只有一在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1. 已知集合 |516 911,18BAx xnnN , , , ,则集合AB的子集的个数为( ) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 【答案】A 【解析】 【分析】 由交集的定义可得6,11AB

    2、,再由集合元素个数与子集个数的关系即可得解. 【详解】因为集合 |516 911,18BAx xnnN , , , , 所以6,11AB , 所以集合AB的子集个数为 2 24 个. 故选:A. 2. 复数z对应的向量OZ与(3,4)a 共线,对应的点在第三象限,且10z ,则z ( ) A. 68i B. 68i C. 68i D. 68i 【答案】D 【解析】 【分析】 设(,)zabi aR bR, 根据复数z对应的向量OZ与(3,4)a 共线, 得到43ab, 再结合10z 求 解. 【详解】设(,)zabi aR bR, 则复数z对应的向量,OZa b, 因为向量OZ与(3,4)a

    3、共线, 所以43ab, 又10z , 所以 22 100ab, 解得 6 8 a b 或 6 8 a b , 因为复数z对应的点在第三象限, 所以 6 8 a b , 所以6 8zi , 6 8zi , 故选:D 3. 已知集合 1 2 2 Axx ,集合 2 (2)20Bx xaxa若“ ”xA是“”xB的充分不必 要条件,则实数a的取值范围为( ) A. 1 , 2 B. 1 , 2 C. 1 ,2 2 D. 1 ,2 2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据“”xA是“”xB的充分不必要条件,可知AB,然后利用集合间的关系求解参数的取值范围. 【详解】由题意可知AB, 又 2 (2)20

    4、 =|20Bx xaxaxxax, 当2a时,|2Bx ax,若AB,则 1 2 a ; 当2a时,|2Bxxa,此时AB不成立; 当2a时,B,AB不成立. 综上所述: 1 2 a . 故选:A. 【点睛】本题考查根据充分不必要条件求参数的取值范围,难度一般. 解答时,先根据题目条件分析集合A 与集合B之间的包含关系,然后分类讨论求解参数的取值范围. 4. 若 4 cos 65 ,则sin 3 ( ) A. 4 5 B. 3 5 C. 4 5 D. 3 5 - 【答案】C 【解析】 分析】 利用诱导公式可求得sin 3 的值. 【详解】 4 sinsinsincos 3622665 . 故选

    5、:C. 5. 设函数 f x为奇函数,且当0 x时, cos x f xex,则不等式2120fxf x解集 为( ) A. ,1 B. 1 , 3 C. 1 , 3 D. 1, 【答案】D 【解析】 【分析】 先判断函数在0,)上为增函数,又由于函数为奇函数,所以 f x在R上单调递增,再由奇函数的性质 对2120fxf x变形,得(21)(2)fxfx,从而得212xx ,进而可求得解集 【详解】解:由 cos x f xex,得 ( ) sin x fxex, 因为0 x,所以 ( ) 0fx , 所以 f x在0,)上单调递增, 因为函数 f x为奇函数,所以 f x在R上单调递增,

    6、由2120fxf x,得(21)(2)fxf x , 因为函数 f x为奇函数,所以(21)(2)fxfx, 因为 f xR上单调递增,所以212xx ,得1x 故选:D 【点睛】此题考查奇函数的性质的应用,考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式,属于中档题 6. “干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法,甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”; 子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.地支又与十二生肖“鼠、牛、虎、兔、 龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”依次对应,“天干”以“甲”字开始,“地支”以“子”字开始,两者按干支顺 序相配,组成了干支纪年法,其相配

    7、顺序为甲子、乙丑、丙寅癸酉;甲戌、乙亥、丙子癸未;甲 申、乙酉、丙戌癸巳;,共得到 60 个组合,称六十甲子,周而复始,无穷无尽.2020年是“干支纪 年法”中的庚子年,那么 2086 年出生的孩子属相为( ) A. 猴 B. 马 C. 羊 D. 鸡 【答案】B 【解析】 【分析】 根据六十甲子,周而复始,无穷无尽,即周期是 60,则 2086 年与 2026 年一样,再根据 2020 年是“干支纪 年法”中的庚子年推理结果. 【详解】六十甲子,周而复始,无穷无尽,即周期是 60, 2086年与 2026 年一样,2020 年是庚子年,2021 年是辛丑年,2022 年是壬寅年,2023年是癸

    8、卯年,2024年 是甲辰年,2025 年是乙巳年,2026年是丙午年,午对应属相为马 则 2086年出生的孩子属相为马. 故选:B 【点睛】本题主要考查合情推理与演绎推理,还考查了逻辑推理的能力,属于基础题. 7. 在ABC中, DE、 为BC边上的两个动点,且满足ADAExAByAC,则 11 xy ( ) A. 有最小值 4 B. 有最大值 4 C. 有最大值 2 D. 有最小值 2 【答案】D 【解析】 【分析】 首先设F为,D E的中点,利用向量的线性运算得到+1 22 xy ,再利用基本不等式即可得到答案. 【详解】设F为,D E的中点,如图所示: 则 2ADAEAF , 所以2AF

    9、xAByAC,即 22 xy AFABAC. 又因为,B C F三点共线,且F在线段BC上, 所以0 x,0y ,且+1 22 xy , 所以 111111 +122 22222222 xyyxyx xyxyxyxy , 当且仅当1xy时取等号. 故选:D 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值,同时考查了向量的线性运算,属于中档题. 8. 已知函数 2 ( )f xaxx与 ( )lng xx 的图象有两个交点,则实数a的取值范围是( ) A. 1 ,1 e B. 0,1 C. 2 1e , e D. 2 1e 0, e 【答案】B 【解析】 【分析】 函数 2 ( )f xaxx与 ( )l

    10、ng xx 的图象有两个交点, 取( )( )0f xg x, 得 2 l n0 ,0a xxxx 有 两个零点,即方程 2 ln xx a x 有两个根,设 2 ln xx h x x ,求出 h x,研究出函数 h x的单调性, 由 h x的图象与y a 有两个交点,得出a参数的范围,得到答案. 【 详 解 】 函 数 2 ( )f xaxx与 ( )lng xx 的 图 象 有 两 个 交 点 , 取( )( )0f xg x, 得 2 l n0 ,0a xxxx有两个零点,由题意得方程 2 ln xx a x 有两个根. 设 2 ln xx h x x ,则 2 43 1 1ln2 1

    11、 2ln xxxx xxx h x xx 设 1 2lnk xxx ,则 2 10kx x 所以 1 2lnk xxx 在0,上单调递减,又(1)0k 当 0,1 ,0,0 xk xh x ,所以 h x在(0,1)上单调递增, 当 1,0,0 xk xh x ,所以 h x在(1,)上单调递减, 又(1)1h, 2 2 1 1 1 ( )0 1 e hee e e ,当(1,)x时,ln0 xx,则 0h x 所以存在 0 (0,1)x , 0 ()0h x,即在 0 0,x上 0h x , 又当x 时,幂函数、对数函数的增加速度的快慢,可知x 时, 0h x 作出函数 h x的大致图象如下

    12、. 所以方程 2 ln xx a x 有两个根,即 h x的图象与y a 有两个交点, 所以实数a的取值范围是0,1, 故选:B 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决; (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解 二二 多项选择题:本题多项选择题:本题 4 个小题,每小题个小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.在每题给出的选项中,有多项符合题在每题给出的选项中,有多项符合题 目的要求

    13、目的要求.全部选对的得全部选对的得 5 分,有选错的得分,有选错的得 0分,部分选对的得分,部分选对的得 3 分分. 9. 已知复数cos sin 22 zi (其中i为虚数单位)下列说法正确的是( ) A. 复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限 B. z可能为实数 C. 1z D. 1 z 的虚部为sin 【答案】BC 【解析】 【分析】 分0 2 、0、0 2 三种情况讨论,可判断 AB 选项的正误;利用复数的模长公式可判断 C 选项的正误;化简复数 1 z ,利用复数的概念可判断 D选项的正误. 【详解】对于 AB 选项,当0 2 时,cos0,sin0,此时复数z在复平面内的点在第

    14、四象限; 当0时,1zR ; 当0 2 时,cos0,sin0,此时复数z在复平面内的点在第一象限. A 选项错误,B 选项正确; 对于 C选项, 22 cossin1z,C选项正确; 对于 D选项, 11cossin cossin cossincossincossin i i ziii , 所以,复数 1 z 的虚部为sin,D选项错误. 故选:BC. 10. 已知函数 2sin 6 f xx 的图像的一个对称中心为 ,0 4 , 其中0,1, 则以下结论正确的 是( ) A. 函数 f x的最小正周期为3 B. 将函数 f x的图像向左平移 6 所得图像关于原点对称 C. 函数 f x在区

    15、间 , 6 2 上单调递增 D. 函数 ( )f x在区间(0,10 ) 上有 6个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据条件求出 2 3 ,然后利用三角函数的图像和性质逐一判断即可. 【详解】由函数 2sin 6 f xx 的图像的一个对称中心为 0 4 ,得 46 kkZ, 因为0,1,所以0k , 2 3 ,则 2 2sin 36 f xx 所以周期 2 3 2 3 T ,故 A正确; 将函数 f x的图像向左平移 6 ,得 22 2sin2sin 6366318 g xfxxx , 显然 g x的图像不关于原点对称,故 B 错误; 当 , 6 2 x 时, 215 , 36546

    16、2 2 x ,所以 f x在区间 , 6 2 上单调递增,故 C 正 确 由 0f x ,得 2 36 xkkZ ,解得 3 26 xk 由, 3 010 26 k ,得 139 66 k, 因为kZ,所以0,1,2,3,4,5,6k ,所以函数 f x在区间0,100上有 7 个零点,故 D错误 故选:AC 11. 若, a b为正实数,且a b,则下列不等式成立的是( ) A. 11 ab B. lnlnab C. lnlnaabb D. ab abee 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据不等式的基本性质判断 A 选项的正误;利用对数函数的单调性判断 B 的正误; 构造函数 lnf x

    17、xx, x g xex,分析函数 f x、 g x的单调性,根据单调性判断 C、D的正误. 【详解】因为0ab,所以 11 ab ,故 A错; 因为函数lnyx在0,x上为增函数,故当ab时,lnlnab,故 B正确; 对于 C选项,构造函数 lnf xxx,则 ln1fxx ,当 1 0, e x 时, 0fx ,当 1 ,x e 时, 0fx ,所以函数 f x在 1 0, e 上递减,在 1 , e 上递增,故 C 错; 对于 D选项, 构造函数 x g xex, 则 10 x g xe 在0,x恒成立, 所以函数 x g xex 在0,上递增,故当ab时, ab eaeb ,即 ab

    18、abee 成立,故 D正确. 故选:BD. 【点睛】本题考查利用函数的单调性比较函数值的大小,难度一般. 解答时,注意不等号两边式子的规律, 通过合理变形,然后构造函数,利用导数分析函数的单调性是关键. 12. 设 n a是无穷数列, 若存在正整数 k, 使得对任意n N, 均有 n kn aa , 则称 n a是间隔递增数列, k 是 n a的间隔数,下列说法正确的是( ) A. 公比大于 1 的等比数列一定是间隔递增数列 B. 已知 4 n an n ,则 n a是间隔递增数列 C. 已知21 n n an ,则 n a是间隔递增数列且最小间隔数是 2 D. 已知 2 2020 n ant

    19、n,若 n a是间隔递增数列且最小间隔数是 3,则45t 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据间隔递增数列的定义求解. 【详解】A. 111 111 1 n knn n k kn aaaaqqqaq ,因为1q ,所以当 1 0a 时, n kn aa ,故错 误; B. 2 4444 1 + n kn nkn aanknkk nknn k nn k n , 令 2 4t nk n, t在n N 单调递增,则 1140tk ,解得3k ,故正确; C. 21212111 n knnk n kn aanknk ,当n为奇数时, 2110 k k ,存在1k 成立,当n为偶数时,2110 k

    20、k ,存在2k 成立,综上: n a是 间隔递增数列且最小间隔数是 2,故正确; D. 若 n a是间隔递增数列且最小间隔数是 3, 则 2 22 2020202020 n kn aankt nkntnknktk ,n N成立, 则 2 20kt k,对于3k 成立,且 2 20kt k,对于k2成立 即20kt,对于3k 成立,且20kt,对于k2成立 所以23t,且22t 解得45t ,故正确. 故选:BCD 【点睛】本题主要考查数列的新定义,还考查了运算求解的能力,属于中档题. 三三 填空题:本题填空题:本题 4 个小题,每题个小题,每题 5 分,共分,共 20 分分. 13. 已知向量

    21、1,1a ,1,bk ,若 aba rrr ,则k的值为_. 【答案】3 【解析】 【分析】 根据向量垂直则数量积为零,即可由坐标计算求得结果. 【详解】容易知a b 2,1 k 因为 aba rrr , 故可得210k , 解得3k . 故答案为:3. 【点睛】本题考查向量垂直的坐标计算,属简单题. 14. 己知函数 f(x)= lnx,若 0ab,且 f(a)=f(b),则 a+4b 的取值范围是_. 【答案】5, 【解析】 【分析】 结合函数 f(x)= lnx的图象可判断, a b的位置,即可得到, a b的关系,将双变量 a+4b 转化为单变量,结合 函数单调性即可求解. 【详解】如

    22、图,作出函数f(x)= lnx的图象,由f(a)=f(b)得, ()ln()ln,lnlnln0,1 ,01 ,1 ,faafbbabababab 所以 4 4aba a ,由对勾函 数的单调性可知,函数 4 yx x 在0,1上单调递减,故 4 45aba a ,即 a+4b 的取值范围是 5,. 故答案为:5, 【点睛】本题主要考查对数函数的图象翻折、对数运算及利用函数单调性求值域,属于基础题. 15. 设 n S是等差数列 n a前 n 项和,若 5 10 1 3 S S ,则 5 2010 S SS _. 【答案】 1 13 【解析】 【分析】 由等差数列的性质得 5 S, 105 S

    23、S, 1510 SS, 2015 SS成等差数列, 结合题设 5 10 1 3 S S , 即可求出 5 20 1 10 S S , 进而可得答案 【详解】令 5 St,则由 5 10 1 3 S S ,得 105 2SSt 又由等差数列 n a的性质得 5 S, 105 SS, 1510 SS, 2015 SS成等差数列, 故有 105 2SSt , 1510 3SSt , 2015 4SSt 相加可得 205 9SSt , 所以 20 10St ,则 5 20 1 1010 S St t 5 2010 2010 55 1 13 1S SS SS SS 故答案为: 1 13 【点睛】解答本题

    24、的关键是利用等差数列片段和的性质: n S, 2nn SS, 32nn SS仍然成等差数列. 16. 已知函数 2lnf xx, 2 1 0 2 g xaxxa,若直线2yxb与函数 yf x, yg x 的图象均相切,则a的值为_;若总存在直线与函数 yf x, yg x图象均相切,则a的取值 范围是_ 【答案】 (1). 3 2 (2). 3 2 a 【解析】 【分析】 利 用 直 线 2yxb 与 函 数 2 l nfxx相 切 , 求 出2b, 设 直 线22yx与 函 数 2 1 0 2 gxa xxa的切点为 11 ,x y,利用导数的几何意义,列方程组即可;设切线方程l为 ykx

    25、b ,利用导数的几何意义可得 2 121 2ln2 24 k ka ,化为 2 1 4 3 2ln 22 k a k ,构造函数 2 1 3 2ln 22 x h x x ,利用导数求出函数的最值即可求解. 【详解】设直线 2yxb 与函数 2lnf xx的切点为 00 ,2lnxx, 由 2 fx x ,所以 0 0 2 2fx x ,解得 0 1x ,所以切点为1,0, 所以02 1 b ,解得2b,即切线方程为22yx, 设直线22yx与函数 2 1 0 2 g xaxxa的切点为 11 ,x y, 则 2 111 1 1 22 2 212 axxx ax ,解得 1 1 3 2 x a

    26、 ,即 3 2 a , 设切线方程l为y kxb , 且l与 2lnf xx的切点为 22 ,x y, l与 2 1 0 2 g xaxxa的切点为 33 ,x y 则 22 2 2ln 2 kxbx k x , 2 333 3 1 2 21 kxbaxx kax , 整理可得 2 2ln2b k , 2 11 24 k b a , 所以 2 121 2ln2 24 k ka , 整理可得 2 1 4 3 2ln 22 k a k , 设 2 1 3 2ln 22 x h x x , 则 2 22 34111 212ln1212ln 22222 33 2ln2ln 2222 xx xxx xx

    27、 h x xx , 设 11 2ln 22 x x x , 则 2 41 0 x xx , 所以 x在0,为增函数, 又因为 20 , 所以在0,2上 0 x,即 0h x ,所以 h x单调递减; 在2,上 0 x,即 0h x ,所以 h x单调递增, 所以 min 9 26 3 2 h xh xh , 即46a,解得 3 2 a . 故答案为: 3 2 ; 3 2 a 【点睛】本题考查了导数的几何意义、利用导数求函数的最值,此题难度较大,综合性比较强,属于难题. 四四 解答题:本题解答题:本题 6 个小题,共个小题,共 70分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证

    28、明过程或演算步骤. 17. 在 n b为等比数列, 11 ba , 22 3ba, n b为等差数列, 11 2ba, 22 4ba, n b为等比数 列, 11 2ba, 22 4ba.这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答. 已知数列 n a满足 2 312 23 2222 n n aaaa nnN , 数列 n b满足_, n S为数列 n n a b 的 前n项和,是否存在正整数k,使得2020 k S 成立?若存在,求出k的最小值;若不存在,请说明理由 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】 由已知条件求出21 2n n an,再根据所选条件或或,求出数列 n b的通项公式

    29、,求出 n S,结 合数列 n S的单调性,可求得使得2020 k S 成立的最小正整数k的值. 【详解】对任意的n N, 2312 23 2222 n n aaaa n ,有 1 1 2 a ,可得 1 2a ; 当2n且n N,由 2312 23 2222 n n aaaa n 可得 2 312 231 1 2222 n n aaaa n , 上述两式相减得 2 2 121 2 n n a nnn,21 2n n an, 1 2a 满足21 2n n an,因此,对任意的n N, 21 2n n an. 若选,设等比数列 n b的公比为0q q . 由已知可得 1 2b , 21 4bbq

    30、,则2q =,所以 1 1 2 nn n bbq ,此时 21 n n a n b , 可得 2 121 13521 2 n nn Snn , 由 2 2020 n Sn,可得45nn N,所以存在最小k值为45; 若选,设等差数列 n b的公差为d. 由已知可得 1 1b , 3 3b ,则 21 2dbb,所以 1 121 n bbndn, 此时 2n n n a b ,可得 1 2 1 2 22 1 2 n n n S , 由2020 n S ,得10n,所以存在最小k值为10; 若选,设等比数列 n b的公比为0q q . 可得 1 4b , 2 16b ,则 2 1 4q b b ,

    31、所以 1 1 4 nn n bbq ,此时 21 2 n n n an b , 所以 231 1352321 22222 n nn nn S 那么 2341 11352321 222222 n nn nn S , 两式相减得 1 23111 11 1 112222112132322 1 2222222222 1 2 n n nnnn nnn S , 23 33 2 n n n S ,所以不存整数k使得2020 k S . 【点睛】方法点睛:数列求和的常用方法: (1)对于等差等比数列,利用公式法可直接求解; (2)对于 n n a b结构,其中 n a是等差数列, n b是等比数列,用错位相减

    32、法求和; (3)对于 nn ab结构,利用分组求和法; (4)对于 1 1 nn a a 结构,其中 n a是等差数列,公差为0d d ,则 11 1111 nnnn a adaa ,利用裂项 相消法求和. 18. 锐角ABC中, , ,a b c分别为角, ,A B C所对的边,且2sin ( coscos)3B aCcAb. (1)求角B. (2)若3b ,求2ac的最大值. 【答案】(1) 3 B ;(2)2 7. 【解析】 【分析】 (1)由正弦定理化简得2sin(sincossincos)3sinBACCAB,得到sinB的值,即可求得B;. (2)由正弦定理得到2sin,2sina

    33、A cC,化简22 7sin()acA,结合三角函数的性质,即可 求解. 【详解】(1)在锐角ABC中,2sin( coscos)3B aCcAb, 由正弦定理,可得2sin(sincossincos)3sinBACCAB 可得 3 sin 2 B ,因为 B 为锐角,所以 3 B . (2)由正弦定理 sinsinsin abc ABC ,可得 3 sinsin3 2 ac AC , 所以2sin,2sinaA cC,所以24sin2sinacAC , 因 2 + 3 A C ,所以 2 3 CA , 则 2 24sin2sin 3 acAA 5sin3cos2 7sin()AAA(其中 3

    34、 tan 5 ), 因为 62 A , 6 ,所以2ac的最大值为2 7. 【点睛】在解答有关三角形的试题的求解策略: 1、已知ABC的两边及其一边的对角时,可用正弦定理,但要对解得个数作出判断,也可应余弦定理解 一元二次方程求得; 2、涉及解三角形中的最值(范围)问题时,若转化为边求解可利用基本不等式或二次函数;若转化为角求解 时可利用三角函数的有界性单调性求解. 19. 已知数列 n a的前n项和为 n S, * 11 2,32,N nn aSSn . (1)证明:数列1 n S 为等比数列; (2)若 3 , 2 3 log, 2 n n n a n b a n 为奇数 为偶数 ,求数列

    35、 n b的前2n项的和 2n T. 【答案】(1)证明见解析;(2) 2 2 91 88 n n Tnn. 【解析】 【分析】 (1)根据 1 32 nn SS ,证明 1 1 1 n n S S 为定值即可; (2)由(1)的结果可解出 n S,然后通过 1 2 nnn aSSn 得出数列 n a的通项公式,从而得出数列 n b 的通项公式,再利用分组求和法求 n b的前n项和. 【详解】解:(1)因为对任意的 * Nn, 1 32 nn SS ,则 1 133 3 11 nn nn SS SS ,且 1 13S , 所以,数列1 n S 是以3为首项,以3为公比的等比数列; (2)由(1)

    36、可得 1 13 33 nn n S ,31 n n S. 当2n时, 1 11 31312 3 nnn nnn SaS , 1 2a 也适合上式, 所以, 1 2 3n n a . 所以 1 3, , n n n b n n 为奇数 为偶数 21321242nnn Tbbbbbb 02422 33332462 n n 11 9 22 1 92 n n n 2 91 88 n nn. 【点睛】本题考查等比数列的证明,考查利用分组求和法的运用,难度一般. 解答的一般方法如下: (1)证明一个数列 n a为等比数列,只需证明对任意的 * nN,都有 1 0 n n a q q a 成立; (2)对于

    37、奇偶项不同的数列,一般求和用分组求和法. 20. 一经济作物示范园的平面图如图所示,半圆O的直径2AB ,点C在AB的延长线上,1BC ,点P 为半圆上异于,A B两点的一个动点, 以点P为直角顶点作等腰直角PCD, 且点D与圆心O分布在PC的 两侧,设PAC. (1)把线段,PA PC的长表示为的函数; (2)现要在APC和PCD内分别种植甲乙两种经济作物. 这两种作物单位面积的收益比为4:3, 求为 何值时,收益最大? 【答案】(1)2cosPA, 2 9 8cosPC ;(2)当 3 8 时,总收益最大. 【解析】 【分析】 (1)由圆的性质可知APB为以APB为直角的直角三角形,则2c

    38、osPA,在PAC中,利用余弦定 理可得出PC关于的表达式; (2)分别表示出PAC和PCD的面积关于的表达式, 利用这两种作物单位面积的收益比为4:3, 设甲、 乙单位面积的收益分别为4k,3k,将总收益为43 PACPCD ykSkS表示出来,利用辅助角公式化简, 并分析为何值时,收益最大. 【详解】(1)依题设易知APB为以APB为直角的直角三角形,又已知,2,ABPAB, 所以2cosPA. 在PAC中3,ACPAC,由余弦定理得, 222222 2cos4cos9 12cos98cosPCPAACPA AC. 所以 2 9 8cosPC ,定义域为 0 2 . (2) 113 sin

    39、2cos3 sinsin2 222 APC SAP AC 22 115 (98cos)2cos2 222 PCD SPC 设甲乙单位面积的收益分别为4k,3k,总收益为y那么 1515 6 sin26 cos26 2 sin(2) 242 kk ykkk (0 2 ) 所以,当 3 8 时,总收益最大. 【点睛】本题考查解三角形的实际应用,难度一般,解决此类问题,应先确定主变量角以及相关的常量 与变量,建立关于角的三角函数式,再结合解三角形知识、三角恒等变换公式化简求解. 21. 对于函数 f x,若在定义域内存在实数x,满足 0fxkf x,其中k为整数,则称函数 f x 为定义域上的“k阶

    40、局部奇函数”. (1)若 3 log2f xxm是1,1上的“1阶局部奇函数”,求实数m的取值范围; (2)若 2 4f xxxt,对任意的实数,4t , f x恒为R上的“k阶局部奇函数”,求整数k的 最大值. 【答案】(1)2, 5 ;(2)k的最大值为0. 【解析】 【分析】 (1)由函数 f x的定义域可求得2m,由题意可知关于x的方程 fxf x在 1,1 有解,化简得 出 22 41mx,结合参变量分离法可求得实数m的取值范围; (2)根据“k阶局部奇函数”的定义可得出关于x的方程 2 1440kxkxtkt 对任意的 ,4t 恒有解,然后对实数k的取值进行分类讨论,结合题意可得出

    41、关于实数k的不等式,由此可解 得整数k的最大值. 【详解】(1)对于函数 3 log2f xxm, 2 m x , 由题意可知1,1, 2 m ,则1 2 m ,解得2m. 因为 3 log2f xxm是1,1上的“1阶局部奇函数”, 等价于关于x的方程 fxf x在 1,1 有解, 即 33 log2log02xmmx,化简得: 22 41mx, 1,1x 所以 22 1 41,5mx ,又2m,所以 2, 5m ; (2)因为 f x恒为R上的“k阶局部奇函数”等价于关于x的方程 0fxkf x恒有解. 即 22 440 xxtkxkxtk ,化简得: 2 1440kxkxtkt , 当1

    42、k 时,解得0 x,所以1k 满足题意; 当1k 时,0 ,即: 22 161410kt k对任意的实数,4t 恒成立, 即 22 1410t kk对任意的实数,4t 成立, 令 22 141g tt kk, g t是关于t的一次函数且为,4上的增函数, 则 40g,即:80k ,解得:01kk 且, 综上所述,整数k的最大值为0. 【点睛】关键点睛:求解二次方程在区间上有解的问题,一般利用分类讨论法或参变量分离法求解,利用 分类讨论法求解时要分析二次函数的对称轴与定义域的位置关系,结合端点函数值的符号以及判别式列不 等式组求解. 22. 已知函数 f(x)=lnxx+1. (1)求 f(x)

    43、的最大值; (2)设函数 g(x)=f(x)+a(x1)2,若对任意实数 b(2,3),当 x(0,b时,函数 g(x)的最大值为 g(b),求 a 的 取值范围; (3)若数列an的各项均为正数,a1=1,an+1=f(an)+2an+1(nN+).求证:an2n1. 【答案】(1)0;(2)1 ln2,;(3)证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)求出导函数( ) fx,由导函数确定单调性,最大值 (2)求出( ) g x ,若0a ,由函数在(0,)上的单调性知不合题意在0a时,得出( )0g x 的解,1和 1 2a ,分类讨论, 1 1 2a , 1 01 2a 和 1 1 2a

    44、,确定单调性和最值,得出不等关系后可得所求结论; (3)数列递推是 1 ln2 nnn aaa ,利用(1)中函数的单调性得ln10 xxx 这样数列的递推等式关系变为递推 1 0,ln21221 nnnnnnn aaaaaaa 故 1 121 nn aa ,利用此不等式让n逐步缩小到 1可证明结论成立 【详解】(1) f x的定义域为 11 0,1 x fx xx , 当0,1x时 0,fxf x 单调递增; 当1,x时 0,fxf x 单调递减, 所以 max 10f xf (2)由题意 22 1ln11g xf xa xxxa x 2 22111211 1210 axaxxax gxa

    45、xx xxx 当0a 时,函数 01g x 在 ,上单调递增,在1 ,上单调递减,此时,不存在实数2,3b,使得 当0,xb时,函数 g x的最大值为 g b. 当0a时,令 0g x ,有 12 1 1, 2 xx a , (i)当 1 2 a 时,函数 g x在0,上单调递增,显然符合题意. (ii)当 1 1 2a ,即 1 0 2 a时,函数 g x在(0,1)和 1 , 2a 上单调递增,在 1 1, 2a 上单调递减, g x在 1x 处取得极大值,且 1 =0g, 要使对任意实数2,3b,当0,xb时, 函数 g x的最大值为 g b, 只需 20g, 解得1 ln2a , 又

    46、1 0 2 a ,所以此时实数a的取值范围是 1 1 ln2 2 a. (iii)当 1 1 2a ,即 1 2 a 时,函数 g x在 1 0, 2a 和1 ,上单调递增,在 1 ,1 2a 上单调递减,要对任 意实数2,3b,当0,xb时,函数 g x的最大值为 g b需 1 2 2 gg a 代入化简得 1 ln2ln2 10 4 a a , 令 11 ln2ln2 1 42 h aaa a , 因为 11 10 4 h a aa 恒成立, 故恒有 11 ln20 22 h ah ,所以 1 2 a 时,式恒成立, 综上,实数a的取值范围是1 ln2,. (3)由题意,正项数列 n a满足: 11 1,ln2 nnn aaaa 由


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