1、20212021 届湖北省六校高三上学期届湖北省六校高三上学期 1111 月联考数学试题月联考数学试题 考试时间：考试时间：120 分试卷满分：分试卷满分：150 分分 一一 单项选择题：本题单项选择题：本题 8 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1. 已知集合 |516 911,18BAx xnnN , , , ，则集合AB的子集的个数为( ) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 【答案】A 【解析】 【分析】 由交集的定义可得6,11AB
2、，再由集合元素个数与子集个数的关系即可得解. 【详解】因为集合 |516 911,18BAx xnnN , , , ， 所以6,11AB ， 所以集合AB的子集个数为 2 24 个. 故选：A. 2. 复数z对应的向量OZ与(3,4)a 共线，对应的点在第三象限，且10z ，则z ( ) A. 68i B. 68i C. 68i D. 68i 【答案】D 【解析】 【分析】 设(,)zabi aR bR， 根据复数z对应的向量OZ与(3,4)a 共线， 得到43ab， 再结合10z 求 解. 【详解】设(,)zabi aR bR， 则复数z对应的向量,OZa b， 因为向量OZ与(3,4)a
3、共线， 所以43ab， 又10z ， 所以 22 100ab， 解得 6 8 a b 或 6 8 a b ， 因为复数z对应的点在第三象限， 所以 6 8 a b ， 所以6 8zi ， 6 8zi ， 故选：D 3. 已知集合 1 2 2 Axx ，集合 2 (2)20Bx xaxa若“ ”xA是“”xB的充分不必 要条件，则实数a的取值范围为( ) A. 1 , 2 B. 1 , 2 C. 1 ,2 2 D. 1 ,2 2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据“”xA是“”xB的充分不必要条件，可知AB,然后利用集合间的关系求解参数的取值范围. 【详解】由题意可知AB， 又 2 (2)20
4、 =|20Bx xaxaxxax， 当2a时，|2Bx ax，若AB，则 1 2 a ； 当2a时，|2Bxxa，此时AB不成立； 当2a时，B，AB不成立. 综上所述： 1 2 a . 故选：A. 【点睛】本题考查根据充分不必要条件求参数的取值范围，难度一般. 解答时，先根据题目条件分析集合A 与集合B之间的包含关系，然后分类讨论求解参数的取值范围. 4. 若 4 cos 65 ，则sin 3 ( ) A. 4 5 B. 3 5 C. 4 5 D. 3 5 - 【答案】C 【解析】 分析】 利用诱导公式可求得sin 3 的值. 【详解】 4 sinsinsincos 3622665 . 故选
5、：C. 5. 设函数 f x为奇函数，且当0 x时， cos x f xex，则不等式2120fxf x解集 为( ) A. ,1 B. 1 , 3 C. 1 , 3 D. 1, 【答案】D 【解析】 【分析】 先判断函数在0,)上为增函数，又由于函数为奇函数，所以 f x在R上单调递增，再由奇函数的性质 对2120fxf x变形，得(21)(2)fxfx，从而得212xx ，进而可求得解集 【详解】解：由 cos x f xex，得 ( ) sin x fxex， 因为0 x，所以 ( ) 0fx ， 所以 f x在0,)上单调递增， 因为函数 f x为奇函数，所以 f x在R上单调递增，
6、由2120fxf x，得(21)(2)fxf x ， 因为函数 f x为奇函数，所以(21)(2)fxfx， 因为 f xR上单调递增，所以212xx ，得1x 故选：D 【点睛】此题考查奇函数的性质的应用，考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题 6. “干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”； 子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.地支又与十二生肖“鼠、牛、虎、兔、 龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”依次对应，“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺 序相配，组成了干支纪年法，其相配
7、顺序为甲子、乙丑、丙寅癸酉；甲戌、乙亥、丙子癸未；甲 申、乙酉、丙戌癸巳；，共得到 60 个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2020年是“干支纪 年法”中的庚子年，那么 2086 年出生的孩子属相为( ) A. 猴 B. 马 C. 羊 D. 鸡 【答案】B 【解析】 【分析】 根据六十甲子，周而复始，无穷无尽，即周期是 60，则 2086 年与 2026 年一样，再根据 2020 年是“干支纪 年法”中的庚子年推理结果. 【详解】六十甲子，周而复始，无穷无尽，即周期是 60， 2086年与 2026 年一样，2020 年是庚子年，2021 年是辛丑年，2022 年是壬寅年，2023年是癸
8、卯年，2024年 是甲辰年，2025 年是乙巳年，2026年是丙午年，午对应属相为马 则 2086年出生的孩子属相为马. 故选：B 【点睛】本题主要考查合情推理与演绎推理，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题. 7. 在ABC中， DE、 为BC边上的两个动点，且满足ADAExAByAC，则 11 xy ( ) A. 有最小值 4 B. 有最大值 4 C. 有最大值 2 D. 有最小值 2 【答案】D 【解析】 【分析】 首先设F为,D E的中点，利用向量的线性运算得到+1 22 xy ，再利用基本不等式即可得到答案. 【详解】设F为,D E的中点，如图所示： 则 2ADAEAF ， 所以2AF
9、xAByAC，即 22 xy AFABAC. 又因为,B C F三点共线，且F在线段BC上， 所以0 x，0y ，且+1 22 xy ， 所以 111111 +122 22222222 xyyxyx xyxyxyxy ， 当且仅当1xy时取等号. 故选：D 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，同时考查了向量的线性运算，属于中档题. 8. 已知函数 2 ( )f xaxx与 ( )lng xx 的图象有两个交点，则实数a的取值范围是( ) A. 1 ,1 e B. 0,1 C. 2 1e , e D. 2 1e 0, e 【答案】B 【解析】 【分析】 函数 2 ( )f xaxx与 ( )l
10、ng xx 的图象有两个交点， 取( )( )0f xg x， 得 2 l n0 ,0a xxxx 有 两个零点，即方程 2 ln xx a x 有两个根，设 2 ln xx h x x ，求出 h x，研究出函数 h x的单调性， 由 h x的图象与y a 有两个交点，得出a参数的范围,得到答案. 【 详 解 】 函 数 2 ( )f xaxx与 ( )lng xx 的 图 象 有 两 个 交 点 ， 取( )( )0f xg x， 得 2 l n0 ,0a xxxx有两个零点，由题意得方程 2 ln xx a x 有两个根. 设 2 ln xx h x x ，则 2 43 1 1ln2 1
11、 2ln xxxx xxx h x xx 设 1 2lnk xxx ，则 2 10kx x 所以 1 2lnk xxx 在0,上单调递减，又(1)0k 当 0,1 ,0,0 xk xh x ，所以 h x在(0,1)上单调递增, 当 1,0,0 xk xh x ，所以 h x在(1,)上单调递减, 又(1)1h， 2 2 1 1 1 ( )0 1 e hee e e ，当(1,)x时，ln0 xx，则 0h x 所以存在 0 (0,1)x ， 0 ()0h x，即在 0 0,x上 0h x ， 又当x 时，幂函数、对数函数的增加速度的快慢，可知x 时， 0h x 作出函数 h x的大致图象如下
12、. 所以方程 2 ln xx a x 有两个根，即 h x的图象与y a 有两个交点， 所以实数a的取值范围是0,1， 故选：B 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 二二 多项选择题：本题多项选择题：本题 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每题给出的选项中，有多项符合题在每题给出的选项中，有多项符合题 目的要求
13、目的要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9. 已知复数cos sin 22 zi (其中i为虚数单位)下列说法正确的是( ) A. 复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限 B. z可能为实数 C. 1z D. 1 z 的虚部为sin 【答案】BC 【解析】 【分析】 分0 2 、0、0 2 三种情况讨论，可判断 AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断 C 选项的正误；化简复数 1 z ，利用复数的概念可判断 D选项的正误. 【详解】对于 AB 选项，当0 2 时，cos0，sin0，此时复数z在复平面内的点在第
14、四象限； 当0时，1zR ； 当0 2 时，cos0，sin0，此时复数z在复平面内的点在第一象限. A 选项错误，B 选项正确； 对于 C选项， 22 cossin1z，C选项正确； 对于 D选项， 11cossin cossin cossincossincossin i i ziii ， 所以，复数 1 z 的虚部为sin，D选项错误. 故选：BC. 10. 已知函数 2sin 6 f xx 的图像的一个对称中心为 ,0 4 ， 其中0,1， 则以下结论正确的 是( ) A. 函数 f x的最小正周期为3 B. 将函数 f x的图像向左平移 6 所得图像关于原点对称 C. 函数 f x在区
15、间 , 6 2 上单调递增 D. 函数 ( )f x在区间(0,10 ) 上有 6个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据条件求出 2 3 ，然后利用三角函数的图像和性质逐一判断即可. 【详解】由函数 2sin 6 f xx 的图像的一个对称中心为 0 4 ，得 46 kkZ， 因为0,1，所以0k ， 2 3 ，则 2 2sin 36 f xx 所以周期 2 3 2 3 T ，故 A正确； 将函数 f x的图像向左平移 6 ，得 22 2sin2sin 6366318 g xfxxx ， 显然 g x的图像不关于原点对称，故 B 错误； 当 , 6 2 x 时， 215 , 36546
16、2 2 x ，所以 f x在区间 , 6 2 上单调递增，故 C 正 确 由 0f x ，得 2 36 xkkZ ，解得 3 26 xk 由， 3 010 26 k ，得 139 66 k， 因为kZ，所以0,1,2,3,4,5,6k ，所以函数 f x在区间0,100上有 7 个零点，故 D错误 故选：AC 11. 若, a b为正实数，且a b，则下列不等式成立的是( ) A. 11 ab B. lnlnab C. lnlnaabb D. ab abee 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据不等式的基本性质判断 A 选项的正误；利用对数函数的单调性判断 B 的正误； 构造函数 lnf x
17、xx， x g xex，分析函数 f x、 g x的单调性，根据单调性判断 C、D的正误. 【详解】因为0ab，所以 11 ab ，故 A错； 因为函数lnyx在0,x上为增函数，故当ab时，lnlnab，故 B正确； 对于 C选项，构造函数 lnf xxx，则 ln1fxx ，当 1 0, e x 时， 0fx ，当 1 ,x e 时， 0fx ，所以函数 f x在 1 0, e 上递减，在 1 , e 上递增，故 C 错； 对于 D选项， 构造函数 x g xex， 则 10 x g xe 在0,x恒成立， 所以函数 x g xex 在0,上递增，故当ab时， ab eaeb ，即 ab
18、abee 成立，故 D正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查利用函数的单调性比较函数值的大小，难度一般. 解答时，注意不等号两边式子的规律， 通过合理变形，然后构造函数，利用导数分析函数的单调性是关键. 12. 设 n a是无穷数列， 若存在正整数 k， 使得对任意n N， 均有 n kn aa ， 则称 n a是间隔递增数列， k 是 n a的间隔数，下列说法正确的是( ) A. 公比大于 1 的等比数列一定是间隔递增数列 B. 已知 4 n an n ，则 n a是间隔递增数列 C. 已知21 n n an ，则 n a是间隔递增数列且最小间隔数是 2 D. 已知 2 2020 n ant
19、n，若 n a是间隔递增数列且最小间隔数是 3，则45t 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据间隔递增数列的定义求解. 【详解】A. 111 111 1 n knn n k kn aaaaqqqaq ，因为1q ，所以当 1 0a 时， n kn aa ，故错 误； B. 2 4444 1 + n kn nkn aanknkk nknn k nn k n ， 令 2 4t nk n， t在n N 单调递增，则 1140tk ，解得3k ，故正确； C. 21212111 n knnk n kn aanknk ，当n为奇数时， 2110 k k ，存在1k 成立，当n为偶数时，2110 k
20、k ，存在2k 成立，综上： n a是 间隔递增数列且最小间隔数是 2，故正确； D. 若 n a是间隔递增数列且最小间隔数是 3， 则 2 22 2020202020 n kn aankt nkntnknktk ，n N成立， 则 2 20kt k，对于3k 成立，且 2 20kt k，对于k2成立 即20kt，对于3k 成立，且20kt，对于k2成立 所以23t，且22t 解得45t ，故正确. 故选：BCD 【点睛】本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 三三 填空题：本题填空题：本题 4 个小题，每题个小题，每题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 已知向量
21、1,1a ，1,bk ，若 aba rrr ，则k的值为_. 【答案】3 【解析】 【分析】 根据向量垂直则数量积为零，即可由坐标计算求得结果. 【详解】容易知a b 2,1 k 因为 aba rrr ， 故可得210k ， 解得3k . 故答案为：3. 【点睛】本题考查向量垂直的坐标计算，属简单题. 14. 己知函数 f(x)= lnx，若 0ab，且 f(a)=f(b)，则 a+4b 的取值范围是_. 【答案】5, 【解析】 【分析】 结合函数 f(x)= lnx的图象可判断, a b的位置，即可得到, a b的关系，将双变量 a+4b 转化为单变量，结合 函数单调性即可求解. 【详解】如
22、图，作出函数f(x)= lnx的图象，由f(a)=f(b)得， ()ln()ln,lnlnln0,1 ,01 ,1 ,faafbbabababab 所以 4 4aba a ，由对勾函 数的单调性可知，函数 4 yx x 在0,1上单调递减，故 4 45aba a ，即 a+4b 的取值范围是 5,. 故答案为：5, 【点睛】本题主要考查对数函数的图象翻折、对数运算及利用函数单调性求值域，属于基础题. 15. 设 n S是等差数列 n a前 n 项和，若 5 10 1 3 S S ，则 5 2010 S SS _. 【答案】 1 13 【解析】 【分析】 由等差数列的性质得 5 S， 105 S
23、S， 1510 SS， 2015 SS成等差数列， 结合题设 5 10 1 3 S S ， 即可求出 5 20 1 10 S S ， 进而可得答案 【详解】令 5 St，则由 5 10 1 3 S S ，得 105 2SSt 又由等差数列 n a的性质得 5 S， 105 SS， 1510 SS， 2015 SS成等差数列， 故有 105 2SSt ， 1510 3SSt ， 2015 4SSt 相加可得 205 9SSt ， 所以 20 10St ，则 5 20 1 1010 S St t 5 2010 2010 55 1 13 1S SS SS SS 故答案为： 1 13 【点睛】解答本题
24、的关键是利用等差数列片段和的性质： n S， 2nn SS， 32nn SS仍然成等差数列. 16. 已知函数 2lnf xx， 2 1 0 2 g xaxxa，若直线2yxb与函数 yf x， yg x 的图象均相切，则a的值为_；若总存在直线与函数 yf x， yg x图象均相切，则a的取值 范围是_ 【答案】 (1). 3 2 (2). 3 2 a 【解析】 【分析】 利 用 直 线 2yxb 与 函 数 2 l nfxx相 切 ， 求 出2b， 设 直 线22yx与 函 数 2 1 0 2 gxa xxa的切点为 11 ,x y，利用导数的几何意义，列方程组即可；设切线方程l为 ykx
25、b ，利用导数的几何意义可得 2 121 2ln2 24 k ka ，化为 2 1 4 3 2ln 22 k a k ，构造函数 2 1 3 2ln 22 x h x x ，利用导数求出函数的最值即可求解. 【详解】设直线 2yxb 与函数 2lnf xx的切点为 00 ,2lnxx， 由 2 fx x ，所以 0 0 2 2fx x ，解得 0 1x ，所以切点为1,0， 所以02 1 b ，解得2b，即切线方程为22yx， 设直线22yx与函数 2 1 0 2 g xaxxa的切点为 11 ,x y， 则 2 111 1 1 22 2 212 axxx ax ，解得 1 1 3 2 x a
26、 ，即 3 2 a ， 设切线方程l为y kxb ， 且l与 2lnf xx的切点为 22 ,x y， l与 2 1 0 2 g xaxxa的切点为 33 ,x y 则 22 2 2ln 2 kxbx k x ， 2 333 3 1 2 21 kxbaxx kax ， 整理可得 2 2ln2b k ， 2 11 24 k b a ， 所以 2 121 2ln2 24 k ka ， 整理可得 2 1 4 3 2ln 22 k a k ， 设 2 1 3 2ln 22 x h x x ， 则 2 22 34111 212ln1212ln 22222 33 2ln2ln 2222 xx xxx xx
27、 h x xx ， 设 11 2ln 22 x x x ， 则 2 41 0 x xx ， 所以 x在0,为增函数， 又因为 20 ， 所以在0,2上 0 x，即 0h x ，所以 h x单调递减； 在2,上 0 x，即 0h x ，所以 h x单调递增， 所以 min 9 26 3 2 h xh xh ， 即46a，解得 3 2 a . 故答案为： 3 2 ； 3 2 a 【点睛】本题考查了导数的几何意义、利用导数求函数的最值，此题难度较大，综合性比较强，属于难题. 四四 解答题：本题解答题：本题 6 个小题，共个小题，共 70分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证
28、明过程或演算步骤. 17. 在 n b为等比数列， 11 ba ， 22 3ba， n b为等差数列， 11 2ba， 22 4ba， n b为等比数 列， 11 2ba， 22 4ba.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答. 已知数列 n a满足 2 312 23 2222 n n aaaa nnN ， 数列 n b满足_， n S为数列 n n a b 的 前n项和，是否存在正整数k，使得2020 k S 成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】 由已知条件求出21 2n n an，再根据所选条件或或，求出数列 n b的通项公式
29、，求出 n S，结 合数列 n S的单调性，可求得使得2020 k S 成立的最小正整数k的值. 【详解】对任意的n N， 2312 23 2222 n n aaaa n ，有 1 1 2 a ，可得 1 2a ； 当2n且n N，由 2312 23 2222 n n aaaa n 可得 2 312 231 1 2222 n n aaaa n ， 上述两式相减得 2 2 121 2 n n a nnn，21 2n n an， 1 2a 满足21 2n n an，因此，对任意的n N， 21 2n n an. 若选，设等比数列 n b的公比为0q q . 由已知可得 1 2b ， 21 4bbq
30、，则2q =，所以 1 1 2 nn n bbq ，此时 21 n n a n b ， 可得 2 121 13521 2 n nn Snn ， 由 2 2020 n Sn，可得45nn N，所以存在最小k值为45； 若选，设等差数列 n b的公差为d. 由已知可得 1 1b ， 3 3b ，则 21 2dbb，所以 1 121 n bbndn， 此时 2n n n a b ，可得 1 2 1 2 22 1 2 n n n S ， 由2020 n S ，得10n，所以存在最小k值为10； 若选，设等比数列 n b的公比为0q q . 可得 1 4b ， 2 16b ，则 2 1 4q b b ，
31、所以 1 1 4 nn n bbq ，此时 21 2 n n n an b ， 所以 231 1352321 22222 n nn nn S 那么 2341 11352321 222222 n nn nn S ， 两式相减得 1 23111 11 1 112222112132322 1 2222222222 1 2 n n nnnn nnn S ， 23 33 2 n n n S ，所以不存整数k使得2020 k S . 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： (1)对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； (2)对于 n n a b结构，其中 n a是等差数列， n b是等比数列，用错位相减
32、法求和； (3)对于 nn ab结构，利用分组求和法； (4)对于 1 1 nn a a 结构，其中 n a是等差数列，公差为0d d ，则 11 1111 nnnn a adaa ，利用裂项 相消法求和. 18. 锐角ABC中， , ,a b c分别为角, ,A B C所对的边，且2sin ( coscos)3B aCcAb. (1)求角B. (2)若3b ，求2ac的最大值. 【答案】(1) 3 B ；(2)2 7. 【解析】 【分析】 (1)由正弦定理化简得2sin(sincossincos)3sinBACCAB，得到sinB的值，即可求得B；. (2)由正弦定理得到2sin,2sina
33、A cC，化简22 7sin()acA，结合三角函数的性质，即可 求解. 【详解】(1)在锐角ABC中，2sin( coscos)3B aCcAb， 由正弦定理，可得2sin(sincossincos)3sinBACCAB 可得 3 sin 2 B ，因为 B 为锐角，所以 3 B . (2)由正弦定理 sinsinsin abc ABC ，可得 3 sinsin3 2 ac AC ， 所以2sin,2sinaA cC，所以24sin2sinacAC ， 因 2 + 3 A C ，所以 2 3 CA ， 则 2 24sin2sin 3 acAA 5sin3cos2 7sin()AAA(其中 3
34、 tan 5 )， 因为 62 A ， 6 ，所以2ac的最大值为2 7. 【点睛】在解答有关三角形的试题的求解策略： 1、已知ABC的两边及其一边的对角时，可用正弦定理，但要对解得个数作出判断，也可应余弦定理解 一元二次方程求得； 2、涉及解三角形中的最值(范围)问题时，若转化为边求解可利用基本不等式或二次函数；若转化为角求解 时可利用三角函数的有界性单调性求解. 19. 已知数列 n a的前n项和为 n S， * 11 2,32,N nn aSSn . (1)证明：数列1 n S 为等比数列； (2)若 3 , 2 3 log, 2 n n n a n b a n 为奇数 为偶数 ，求数列
35、 n b的前2n项的和 2n T. 【答案】(1)证明见解析；(2) 2 2 91 88 n n Tnn. 【解析】 【分析】 (1)根据 1 32 nn SS ，证明 1 1 1 n n S S 为定值即可； (2)由(1)的结果可解出 n S，然后通过 1 2 nnn aSSn 得出数列 n a的通项公式，从而得出数列 n b 的通项公式，再利用分组求和法求 n b的前n项和. 【详解】解：(1)因为对任意的 * Nn， 1 32 nn SS ，则 1 133 3 11 nn nn SS SS ，且 1 13S ， 所以，数列1 n S 是以3为首项，以3为公比的等比数列； (2)由(1)
36、可得 1 13 33 nn n S ，31 n n S. 当2n时， 1 11 31312 3 nnn nnn SaS ， 1 2a 也适合上式， 所以， 1 2 3n n a . 所以 1 3, , n n n b n n 为奇数 为偶数 21321242nnn Tbbbbbb 02422 33332462 n n 11 9 22 1 92 n n n 2 91 88 n nn. 【点睛】本题考查等比数列的证明，考查利用分组求和法的运用，难度一般. 解答的一般方法如下： (1)证明一个数列 n a为等比数列，只需证明对任意的 * nN，都有 1 0 n n a q q a 成立； (2)对于
37、奇偶项不同的数列，一般求和用分组求和法. 20. 一经济作物示范园的平面图如图所示，半圆O的直径2AB ，点C在AB的延长线上，1BC ，点P 为半圆上异于,A B两点的一个动点， 以点P为直角顶点作等腰直角PCD， 且点D与圆心O分布在PC的 两侧，设PAC. (1)把线段,PA PC的长表示为的函数； (2)现要在APC和PCD内分别种植甲乙两种经济作物. 这两种作物单位面积的收益比为4:3， 求为 何值时，收益最大？ 【答案】(1)2cosPA， 2 9 8cosPC ；(2)当 3 8 时，总收益最大. 【解析】 【分析】 (1)由圆的性质可知APB为以APB为直角的直角三角形，则2c
38、osPA，在PAC中，利用余弦定 理可得出PC关于的表达式； (2)分别表示出PAC和PCD的面积关于的表达式， 利用这两种作物单位面积的收益比为4:3， 设甲、 乙单位面积的收益分别为4k，3k，将总收益为43 PACPCD ykSkS表示出来，利用辅助角公式化简， 并分析为何值时，收益最大. 【详解】(1)依题设易知APB为以APB为直角的直角三角形，又已知，2,ABPAB， 所以2cosPA. 在PAC中3,ACPAC，由余弦定理得， 222222 2cos4cos9 12cos98cosPCPAACPA AC. 所以 2 9 8cosPC ，定义域为 0 2 . (2) 113 sin
39、2cos3 sinsin2 222 APC SAP AC 22 115 (98cos)2cos2 222 PCD SPC 设甲乙单位面积的收益分别为4k，3k，总收益为y那么 1515 6 sin26 cos26 2 sin(2) 242 kk ykkk (0 2 ) 所以，当 3 8 时，总收益最大. 【点睛】本题考查解三角形的实际应用，难度一般，解决此类问题，应先确定主变量角以及相关的常量 与变量，建立关于角的三角函数式，再结合解三角形知识、三角恒等变换公式化简求解. 21. 对于函数 f x，若在定义域内存在实数x，满足 0fxkf x，其中k为整数，则称函数 f x 为定义域上的“k阶
40、局部奇函数”. (1)若 3 log2f xxm是1,1上的“1阶局部奇函数”，求实数m的取值范围； (2)若 2 4f xxxt，对任意的实数,4t ， f x恒为R上的“k阶局部奇函数”，求整数k的 最大值. 【答案】(1)2, 5 ；(2)k的最大值为0. 【解析】 【分析】 (1)由函数 f x的定义域可求得2m，由题意可知关于x的方程 fxf x在 1,1 有解，化简得 出 22 41mx，结合参变量分离法可求得实数m的取值范围； (2)根据“k阶局部奇函数”的定义可得出关于x的方程 2 1440kxkxtkt 对任意的 ,4t 恒有解，然后对实数k的取值进行分类讨论，结合题意可得出
41、关于实数k的不等式，由此可解 得整数k的最大值. 【详解】(1)对于函数 3 log2f xxm， 2 m x ， 由题意可知1,1, 2 m ，则1 2 m ，解得2m. 因为 3 log2f xxm是1,1上的“1阶局部奇函数”， 等价于关于x的方程 fxf x在 1,1 有解， 即 33 log2log02xmmx，化简得： 22 41mx， 1,1x 所以 22 1 41,5mx ，又2m，所以 2, 5m ； (2)因为 f x恒为R上的“k阶局部奇函数”等价于关于x的方程 0fxkf x恒有解. 即 22 440 xxtkxkxtk ，化简得： 2 1440kxkxtkt ， 当1
42、k 时，解得0 x，所以1k 满足题意； 当1k 时，0 ，即： 22 161410kt k对任意的实数,4t 恒成立， 即 22 1410t kk对任意的实数,4t 成立， 令 22 141g tt kk， g t是关于t的一次函数且为,4上的增函数， 则 40g，即：80k ，解得：01kk 且， 综上所述，整数k的最大值为0. 【点睛】关键点睛：求解二次方程在区间上有解的问题，一般利用分类讨论法或参变量分离法求解，利用 分类讨论法求解时要分析二次函数的对称轴与定义域的位置关系，结合端点函数值的符号以及判别式列不 等式组求解. 22. 已知函数 f(x)=lnxx+1. (1)求 f(x)
43、的最大值； (2)设函数 g(x)=f(x)+a(x1)2，若对任意实数 b(2，3)，当 x(0，b时，函数 g(x)的最大值为 g(b)，求 a 的 取值范围； (3)若数列an的各项均为正数，a1=1，an+1=f(an)+2an+1(nN+).求证：an2n1. 【答案】(1)0；(2)1 ln2,；(3)证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)求出导函数( ) fx，由导函数确定单调性，最大值 (2)求出( ) g x ，若0a ，由函数在(0,)上的单调性知不合题意在0a时，得出( )0g x 的解，1和 1 2a ，分类讨论， 1 1 2a ， 1 01 2a 和 1 1 2a
44、，确定单调性和最值，得出不等关系后可得所求结论； (3)数列递推是 1 ln2 nnn aaa ，利用(1)中函数的单调性得ln10 xxx 这样数列的递推等式关系变为递推 1 0,ln21221 nnnnnnn aaaaaaa 故 1 121 nn aa ，利用此不等式让n逐步缩小到 1可证明结论成立 【详解】(1) f x的定义域为 11 0,1 x fx xx ， 当0,1x时 0,fxf x 单调递增； 当1,x时 0,fxf x 单调递减， 所以 max 10f xf (2)由题意 22 1ln11g xf xa xxxa x 2 22111211 1210 axaxxax gxa
45、xx xxx 当0a 时，函数 01g x 在 ，上单调递增，在1 ，上单调递减，此时，不存在实数2,3b，使得 当0,xb时，函数 g x的最大值为 g b. 当0a时，令 0g x ，有 12 1 1, 2 xx a ， (i)当 1 2 a 时，函数 g x在0,上单调递增，显然符合题意. (ii)当 1 1 2a ，即 1 0 2 a时，函数 g x在(0,1)和 1 , 2a 上单调递增，在 1 1, 2a 上单调递减， g x在 1x 处取得极大值，且 1 =0g， 要使对任意实数2,3b，当0,xb时， 函数 g x的最大值为 g b， 只需 20g， 解得1 ln2a ， 又
46、1 0 2 a ，所以此时实数a的取值范围是 1 1 ln2 2 a. (iii)当 1 1 2a ，即 1 2 a 时，函数 g x在 1 0, 2a 和1 ，上单调递增，在 1 ,1 2a 上单调递减，要对任 意实数2,3b，当0,xb时，函数 g x的最大值为 g b需 1 2 2 gg a 代入化简得 1 ln2ln2 10 4 a a ， 令 11 ln2ln2 1 42 h aaa a ， 因为 11 10 4 h a aa 恒成立， 故恒有 11 ln20 22 h ah ，所以 1 2 a 时，式恒成立， 综上，实数a的取值范围是1 ln2,. (3)由题意，正项数列 n a满足： 11 1,ln2 nnn aaaa 由
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