1、 第 1 页 共 17 页 昌平区昌平区 20212021 届高三年级二模考试届高三年级二模考试数学试卷数学试卷 2021.5 本试卷共本试卷共 6 页，共页，共 150 分分. 考试时长考试时长 120 分钟分钟. 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效. 考考 试结束后，将答题卡交回试结束后，将答题卡交回. 第一部分第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）
2、已知集合 21 0 1 2A ， ， ， 2 |1Bx x，则AB （A） 1,0,1 （B） 2, 1,1,2 （C） | 11xx （D） |11x xx或 （2）已知复数i(1 2i)z ，则z的共轭复数z的虚部为 （A）2 （B）1 （C）1 （D）2 （3）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是 （A）24 （B）36 （C）54 （D）108 （4）已知双曲线 22 22 1 xy ab 的离心率为2，则其渐近线方程为 （A）yx （B）2yx （C）3yx （D）2yx （5）下列函数中，最小正周期为的奇函数是 （A） sin() 4 yx （B）sin|yx （C） 22
3、cossinyxx （D）sin cosyxx 3 俯视图 侧（左）视图正（主）视图 6 6 第 2 页 共 17 页 （6）过原点且倾斜角为45的直线被圆 22 40 xyy所截得的弦长为 （A）2 2 （B）3 （C）4 2 （D）8 （7）已知，ab是非零向量，则“ab”是“|abab”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （8） 中国历法推测遵循以测为辅， 以算为主的原则. 例如 周髀算经 里对二十四节气的晷影长的记录中， 冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的. 二十四节气中，从冬
4、至到夏至的十三个节气依次为：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清 明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至. 已知周髀算经中记录某年的冬至的晷影长为 13 尺，夏至的晷 影长是 1.48 尺 , 按照上述规律，那么周髀算经中所记录的立夏立夏的晷影长应为 （A）3.4 尺 （B）4.36尺 （C）5.32尺 （D）21.64尺 （9）将函数( )sinf xx（0）的图象向右平移 6 个单位长度，所得图象经过点 2 (, 0) 3 ，则的最小 值是 （A） 5 4 （B）2 （C） 12 5 （D） 13 4 （10） 已知棱长为 1 的正方体 1111 ABCDA B C D，M是 1 BB的
5、中点， 动点P在正方体内部或表面上， 且/ /MP 平面 1 ABD，则动点P的轨迹所形成区域的面积是 （A） 2 2 （B）2 （C）1 （D）2 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. （11）已知向量(1,1)a，(1, 1)b，则 |2 | a+ b_. （12）在 5 (2)x的展开式中， 2 x的系数为 _.（用数字作答） （13）在ABC中，2 7,a 2b ，60A，则c _； sin2 sin A C _. 第 3 页 共 17 页 （14） 已知抛物线C: 2 4yx与椭圆 22 22 1(0) xy Dab ab ：有
6、一个公共焦点F， 则点F的坐标是_; 若抛物线的准线与椭圆交于,A B两点，O是坐标原点，且AOB是直角三角形，则椭圆D的离心率e _. （15）下图是国家统计局发布的 2020 年 2 月至 2021 年 2 月全国居民消费价格涨跌幅折线图. 说明：说明：1.在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2021年年 2 月与月与 2020 年年 2 月相比较； 环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较， 例如月相比较； 环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较， 例如 2020 年年 4 月与月与2020年年
7、 3 月相比较月相比较.2. 100% 本本期期数数 - -同同期期数数 同同比比增增长长率率 = = 同同期期数数 ,100% 本本期期数数 - -上上期期数数 环环比比增增长长率率 = = 上上期期数数 . 给出下列三个结论： 2020 年 11 月居民消费价格低于 2019 年同期； 2020 年 3 月至 7 月居民的消费价格持续增长； 2020 年 7 月的消费价格低于 2020 年 3 月的消费价格. 其中所有正确结论的序号是_. 三、解答题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （16）（本小题 13 分） 已知数列 n a的前n项和为 n S, *
8、 nN, 从条件、条件和条件中选择两个作为已知，并完成解答： （）求数列 n a的通项公式； （）设等比数列 n b满足 24 ba， 37 ba，求数列 nn ab的前n项和 n T. 条件： 1 3a ； 第 4 页 共 17 页 条件： 1 2 nn aa ； 条件： 2 4S . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. （17）（本小题 13 分） 某大学为了解学生对 A，B 两本数学图书的喜好程度，从这两本数学图书都阅读过的学生中随机抽取了 50 人，分别对这两本图书进行评分反馈，满分为 100 分，得到的相应数据整理如下表. 规定：学生对图书的“评价指数”如下表. 分数
9、50,70) 70,90) 90,100 评价指数 1 2 3 （）从 A，B 两本图书都阅读过的学生中任选 1 人，试估计其对 A 图书“评价指数”为 2 的概率； （）从对 B 图书“评价指数”为 1 的学生中任选 3 人进一步访谈，设X为 3 人中评分在50,60)内的人 数，求随机变量X的分布列及数学期望； （）试估计学生更喜好 A, B 哪一本图书，并简述理由. 18. (本小题 14 分) 如图，在直四棱柱 1 111 ABCDABC D中，底面ABCD是平行四边形，ADDB ， 1 1 1 2 AAADAB. （）求证： 1 ADBD； （）求二面角 1 ABCA的大小； （）在
10、线段 1 BD上是否存在点M， 分数 50,60) 60,70) 70,80) 80,90) 90,100 A 图书频数 2 2 8 20 18 B 图书频数 2 10 10 12 16 第 5 页 共 17 页 使得 1 DMA BC 平面? 若存在， 求 1 1 D M D B 的值；若不存在，说明理由. 19. (本小题 15 分) 已知椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 过点 (0,1)P ,且离心率为 3 2 . （）求椭圆C的标准方程； （）设直线: l ykxm与椭圆 C 有两个不同的交点,A B，当| | |PAPB 时，求实数 k 的取值范围. 20(本小题 1
11、5 分) 已知函数 2 ( )e1 x f xax. () 求曲线( )yf x在点(0, (0)f处的切线方程； () 若( )2f x 对于任意的0,1x都成立，求实数a的取值范围. 21（本小题 15 分） 对于有限数列 n a，nN，3N， * NN，定义：对于任意的kN， * kN，有 （1） * 123 ( ) | k S kaaaa； B1 C1 D1 A1 CD BA 第 6 页 共 17 页 （2）对于cR，记 123 ( ) | k L kacacacac. 对于 * kN，若存在非零常数c，使得 * ( )( )L kS k，则称常数c为数列 n a的k阶系数. （）设数
12、列 n a的通项公式为( 2)n n a ，计算 *(4) S，并判断2是否为数列的4阶系数； （II）设数列 n a的通项公式为339 n an，且数列 n a的m阶系数为3，求m的值； （III）设数列 n a为等差数列，满足1，2均为数列 n a的m阶系数，且 *( ) 507S m ，求m的最大 值. 参考答案参考答案 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分 . 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答案 B C B A D A C B B A 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小
13、题，每小题 5 分，共分，共 25 分分. （ 11）10 （12）80 （13）6 ; 7 3 （14）(1,0)； 51 2 （15） 注：第（注：第（13）和（）和（14）题第一空）题第一空 3 分分,第二空第二空 2 分分. 第（第（15）题全部选对得）题全部选对得 5 分，不选或有错选得分，不选或有错选得 0 分，其他得分，其他得 3 分分. 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （16）（本小题 13 分） 解：解：(不能选择不能选择作为已知条件作为已知条件) 选择选择作为已知条件作
14、为已知条件.2 分 因为 1 3a ， 1 2 nn aa ， 所以数列 n a是以 1 3a 为首项，公差2d的等差数列. 所以25 n an.6 分 第 7 页 共 17 页 选择选择作为已知条件作为已知条件.2 分 因为 1 2 nn aa ， 所以数列 n a是以 1 a为首项，公差为2d 的等差数列. 因为 2 4S ， 所以 12 4aa . 所以 1 24ad . 所以 1 3a . 所以25 n an.6 分 （）设等比数列 n b的公比为q，则 24 3ba， 37 9ba， 3 2 3 b q b ， 所以 2 1 3 1 3 b b q . 所以等比数列 n b的通项公式
15、为 11 1 3 nn n bb q . 所以 1 253. n nn abn 所以 1122nnn abababT 1212nn aaabbb -1 1253331 n n 325 13 21 3 n nn 2 1 431 2 n nn.13 分 （17）（本小题 13 分） 第 8 页 共 17 页 解：（） 由评分频数分布表可知， 对 A 图书评分的学生中， “评价指数为 2”的学生所占的频率为 8+2014 = 5025 ， 所以从 A，B 两本图书都阅读过的学生中任选 1 人，估计其对 A 图书“评价指数”为 2 的概率为 14 25 .4 分 （）由题意，所以X的所有可能值为0,1
16、,2. 03 210 3 12 C C126 (0) C2211 P X ， 12 210 3 12 C C9 (1) C22 P X ， 21 210 3 12 . C C1 (2) C22 P X 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 6 11 9 22 1 22 所以X的数学期望为 6911 ()012 1122222 E X . 10 分 （）设学生对 A 图书的“评价指数”为，对 B 图书的“评价指数”为由题意，从阅读过两本图书的 学生中任取一位，估计的分布列分别为 1 2 3 P 2 25 14 25 9 25 所以 214957 ( )123 25252525 E . 估计的分布
17、列分别为 1 2 3 P 6 25 11 25 8 25 所以 611852 ( )123 25252525 E . 因为( )( )EE，所以学生更喜好图书 A. 13 分 第 9 页 共 17 页 （18）（本小题 14 分） 解：（I）证明：在直四棱柱 1111 ABCDA BC D中， 1 DDABCD 底面， 因为ADABCD底面， 所以 1 DDAD. 2 分 因为ADBD， 1 BDDDD， 所以 1 ADBDD 平面. 因为 11 BDBDD 平面， 所以 1 ADBD. 4 分 （）因为 1 DDABCD 平面，且ADDB，所以 1 ,DA DB DD两两垂直. 如图建立空间
18、直角坐标系Dxyz，则0,0,0D，1,0,0A， 0,3,0B， 1, 3,0C ， 1 1,0,1A， 1 0,0,1.D 设平面 1 ABC的法向量为, ,x y zm. 1,0,0CB ， 1 2,3,1CA ， B1 C1 D1 A1 CD BA z y x B1 C1 D1 A1 CD BA 第 10 页 共 17 页 由 1 0, 0. CB CA m m 可得 0, 230. x xyz 令1y ，解得3z ， 所以 ,1,30m. 因为 1 DDABCD 平面， 所以平面ABCD的一个法向量为0,0,1n =. 所以 3 cos, 2 m n m n mn . 由题可知二面角
19、 1 ABCA为锐角， 所以二面角 1 ABCA的大小为30. 10 分 () 设 11 ,0,1D MD B. 因为 1111 33DMDDD MDDD B（0，0,1） （0,-1）= （0,1- ）， 由（II）知平面 1 ABC的一个法向量为 ,1,30m， 因为 1 DMA BC 平面，可得/DMm. 所以 3 13 1- =. 解得 1 0,1 4 . 所以，在线段 1 BD上存在点M使得 1 DMA BC 平面， 1 1 D M D B 的值是 1 4 . 14 分 19. (本小题 15 分) 解：（）依题意得 2 1b. 由 222, 3 , 2 cab c a 解得 2 4
20、a 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y . 5 分 第 11 页 共 17 页 （）解法 1：（1）当0k 时，显然成立. （2）当0k 时， 0m 时，显然不成立. 当0m ，即0mk 时， 由 22 , 440 ykxm xy 得 222 (41)8440kxmkxm. 因为直线 l 与椭圆 C 的有两个交点， 所以 2222 6416(41)(1)0m kkm . 即 22 410km .（*）. 设 11 (,)A x y， 22 (,)B xy，则 12 2 8 41 mk xx k . 所以 2 1212 22 82 ()22 4141 k mm yyk xxmm kk 所
21、以线段 AB 的中点 22 4 , 41 41 mkm M kk 直线 MP 的斜率 2 2 2 1 41 41 4 4 41 MP m mk k k mk mk k ， 由PAPB，得MPAB . 所以 2 41 1 4 MP mk kkk mk 解得 2 41 3 . k m 将 2 41 3 k m 代入到（*）中，得 22 2 (41) 410 9 k k ， 即 22 (41)(84) 0 9 kk ， 第 12 页 共 17 页 所以 2 840k 解得22k，且0k 综上所述，实数 k 的取值范围是(2,2) 15 分 解法解法 2：由 22 , 440 ykxm xy 得 22
22、2 (41)8440kxmkxm. 因为直线 l 与椭圆 C 的有两个交点， 所以 2222 6416(41)(1)0m kkm 即 22 410km （1）. 设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy则 12 2 8 41 mk k xx . 由PAPB得， 2222 1122 (1)(1)xyxy. 即 12121212 ()()()(2)0 xxxxyyyy. 即 12121212 ()()() ()(22)0 xxxxk xxk xxm. 从而 2 1212 ()(1)()2 (1)0 xxkxxk m. 由 12 xx得 2 12 (1)()2 (1)0kxxk m. 所
23、以 2 2 8(1) 2 (1)0 41 mk k k m k . 即 2 (341)0kmk. 解得 2 41 0 3 k km 或. 将 2 41 3 k m 代入到（1）中，得 22 2 (41) 410 9 k k ， 即 22 (41)(84) 0 9 kk ， 所以 2 840k 解得22k 第 13 页 共 17 页 所以实数 k 的取值范围是(2,2) 15 分 20. (本小题 15 分) 解：（）( )e2 x fxax， 所以切线的斜率(0)1kf. 因为 0 (0)e12f ， 所以切线的方程2yx. 5 分 （）解法 1：由已知，对于任意的0,1x， 2 e12 x
24、ax 都成立， 即对于任意的0,1x， 2 e1 x ax都成立. 当0 x 时， 2 e1 x ax显然成立. 当0 x 时，对于任意的(0,1x， 2 e1 x a x 都成立. 设 2 e1 ( ) x g x x ，则 min ( )ag x. 而 2 43 e2 (e1)(2)e2 ( ) xxx xxx g x xx . 设( )(2)e2 x h xx，则( )(1)exh xx. 由(0,1x，得 ( )0h x 在区间(0,1上恒成立， 所以函数( )h x在区间(0,1上是减函数，且(0)0h. 所以( )0h x 在区间(0,1上恒成立. 所以函数( )g x在区间(0,
25、1上是减函数. 所以当1x 时， min ( )(1)e 1g xg. 所以实数a的取值范围是(,e1. 15 分 解法 2： 设( )( )e2 x g xfxax，则( )e2 x g xa. （1）当0a时，( )0g x ，函数( )g x在区间0,1上是增函数. 第 14 页 共 17 页 当0 x 时， min ( )10g x ， 所以( )0g x 在区间0,1上恒成立. 所以函数( )f x在区间0,1上是增函数. 所以 min ( )(0)2f xf. 即( )2f x 对于任意的0,1x都成立. （2）当0a 时，令( )0g x ，即e2 x a，解得ln2xa. 当
26、1 0 2 a时，ln20a，则( )0g x. 从而函数( )g x在区间0,1上是增函数. 当0 x 时， min ( )10g x ， 所以( )0g x 在区间0,1上恒成立. 所以函数( )f x在区间0,1上是增函数. 所以 min ( )(0)2f xf. 即( )2f x 对于任意的0,1x都成立. 当 1e 22 a时，0ln21a. 当x变化时，( ), ( )g x g x的变化情况如下表： x (0,ln2 )a ln2a (ln2 ,1)a ( )g x 0 + ( )g x 极小值 所以当ln2xa时， ln2 min ( )e2 ln22 (1 ln2 )0 a
27、g xaaaa. 所以( )0g x 在区间0,1上恒成立. 所以函数( )f x在区间0,1上是增函数. 所以 min ( )(0)2f xf. 即( )2f x 对于任意的0,1x都成立. 第 15 页 共 17 页 当 e 2 a时，ln21a. 所以( )0g x 在区间0,1上恒成立. 所以函数( )g x在区间0,1上是减函数. 因为(0)10, (1)e20gga ， 所以 0 0,1x （），使 0 ()0g x，即 0 ()0fx. 当x变化时，( ), ( )fxf x的变化情况如下表： x 0 0 (0,)x 0 x 0 (,1)x 1 ( )fx + 0 ( )f x
28、2 极大值 e1a 当(1)e12fa ，即e 1a时，( )2f x 对于任意0,1x 都成立. 所以 e e1 2 a . 综上所述，实数a的取值范围是(,e 1. 15 分 21. (本小题 15 分) 解：（I）因数列 n a通项公式为( 2)n n a ，所以数列| n a为等比数列，且|2n n a. 得 * 1234 (4)| | 30Saaaa. 数列 n a通项公式为( 2)n n a ，所以当2c 时， 1234 (4) |2|2|2|2|Laaaa 1234 (2)(2)(2)(2)aaaa 1234 | 2 | 2 | 2 | 2aaaa * 1234 |(4)aaaa
29、S. 所以2是数列 n a的4阶系数. 4 分 （II）因为数列 n a的m阶系数为3，所以当3c 时，存在m，使 * ( )( )L mS m成立. 第 16 页 共 17 页 设等差数列 n a的前n项和为 n S，则 3 (1) 39 2 n n n Sn . 令0 n a ，则13n . 所以， 3 (1) 39,13 2*( ) 3 (1) 39468,14. 2 n n nn Sn n n nn ， 设等差数列3 n a 的前n项和为 n T，3342 n an , 则 3 (1) 42 2 n n n Tn . 令30 n a ，则14n . 所以， 3 (1) 42,13, 2
30、 ( ) 3 (1) 42546,14. 2 n n nn L n n n nn 当13m时， * ( )( )L mS m， 当14m时， * ( )( )L mS m， 则 3 (1)3 (1) 3946842546 22 m mm m mm ，解得26m .11 分 （III）设数列 n a为等差数列，满足1，2均为数列 n a的m阶系数， *( ) 507S m ， 则存在 * kN ，使123 | m aaaa 123 |1|1|1|1| m aaaa 123 |2|2|2|2| 507 m aaaa成立. 设数列 n a的公差为d，构造函数 ( ) |2|3 | 507f xxdxdxdxmd. 由已知得() |2|(1)| 507 mmmmm f adaadadamd 121 | 5070 mmm aaaa . 所以，函数( )f x至少有三个零点 m ad，1 m ad，2 m ad. 第 17 页 共 17 页 由函数( )f x的图象与性质，可知m为偶数，且满足 21(1) 22 (1) ()0 2 mmm mm dadadadd md f ， 得 2 3 507. 4 d m d ， 所以 2 34 507m，解得26m. 构造等差数列 n a为：37, 34, 33,38. 可知当26m 时命题成立，即m的最大值为26.15 分
浙公网安备33030202001339号