1、考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（18） 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。求的。 1已知i是虚数单位，则 121 ( 4 i i ) A 1 4 3 i B 1 4 3 i C 1 3 4 i D 1 3 4 i 2已知集合 5U ，4， 2 |20Ax xx， 2 |0 x Bx x ，则()( UA B ) A B0，2 C 2 ，0) D0，2 3已知 52345 012345 (2) xaa x
2、a xa xa xa x，则 3 (a ) A10 B20 C40 D80 4已知函数( )3cossin(0)f xxx的图象关于 3 x 对称，则的最小值为( ) A1 B 1 2 C2 D 3 2 5在90A 的等腰直角ABC中，E为AB的中点，F为BC的中点，BCAFCE，则( ) A 2 3 B 3 2 C 4 3 D 1 6已知圆 22 :(3)(3)3Cxy，过直线360 xy上的一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点 分别为A，B，则cosAPB的最小值为( ) A 1 3 B 2 3 C 3 3 D 2 3 7 为参加校园文化节， 某班推荐 2 名男生 3 名女生参加文艺技能
3、培训， 培训项目及人数分别为： 乐器 1 人， 舞蹈 2 人，演唱 2 人，每人只参加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同的推荐方案的 种数为( ) A12 B36 C24 D48 8设aR，函数2 |1|,0 ( ) ,0 xx f x xax x ，若函数 ( )yf f x 恰有 3 个零点，则实数a的取值范围为( ) A( 2,0) B(0,1) C 1 ，0) D(0,2) 二、二、选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部
4、选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的对分，部分选对的对 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 95G技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的服务范围目前，我国加速了 5G技术的 融合与创新，前景美好！某手机商城统计了 5 个月的5G手机销量，如表所示： 月份 2020 年 6 月 2020 年 7 月 2020 年 8 月 2020 年 9 月 2020 年 10 月 月份编号x 1 2 3 4 5 销量 /y 部 52 95 a 185 227 若y与x线性相关，由上表数据求得线性回归方程为 4410yx ，则下列说法正确的是( ) A5G手机的销量逐月增加，平均每
5、个月增加约 10 台 B151a Cy与x正相关 D预计 12 月份该手机商城的5G手机销量约为 318 部 10已知函数 3 ( )3xf xx，若01mn ，则下列不等式一定成立的有( ) A (1)(1)fmf n B(2)()fmnf mn C (log)(log) mn fnfm D()() nm f mf n 11 如图， 在正方体 1111 ABCDABC D 中， 点P，Q分别是棱 1 BB， 1 DD上异于端点的两个动点， 且DQBP ， 则下列说法正确的是( ) A三棱锥D APQ 的体积为定值 B对于任意位置的点P，平面APQ与平面 1111 A BC D所成的交线均为平
6、行关系 C PAQ 的最小值为 3 D对于任意位置的点P，均有平面APQ 平面 11 AC CA 12已知双曲线方程为 22 1 916 xy ，A为双曲线右支上任意一点， 1 F， 2 F为左、右焦点， 12 AFF的内切 圆圆心为I，I与x轴切于点N，线段AI的延长线与x轴交于点 0 (M x，0)则以下结论正确的有( ) A 12 |F NF N 为定值 BI的横坐标为定值 C 0 x的范围是(0,3) DI半径的最大值为 4 三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13已知等差数列 n a 满足 3 2a ， 45 10aa ，
7、则 26 log a 14一只蚂蚁在最小边长大于 4，且面积为 24 的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个 顶点的距离不超过 2 的概率为 15 定 义 在R上 的 函 数 ( )f x 的 导 函 数 为 ( )fx ， 若 ( )( )fxfx ，f（ 2 ）1008， 则 不 等 式 21 (1) 10080 x e f xe 的解集为 16ABC中角A，B，C的对边分别为a， b，c， 若该三角形的面积为 5， 且s i n ( ) ( 3 4 c o s ) s i nA BAB ， 则c的最小值为 四、四、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分
8、。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c ，已知 2 sin()8sin 2 B AC （1）求cos B； （2）若6ac，ABC的面积为 2，求b 18已知数列 n a 满足 123 1 23(1)(21) 12 n aaanan nn （1）求数列 n a 的通项公式； （2）若数列 n b 满足 2 n n n a b ，求数列 n b 的前n项和 n S 19 如图， 在四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD， 四边形ABCD是菱形， 2AC ， 2 3BD ，E是PB 上任意一点 （）求
9、证：ACDE； （）已知二面角APBD的余弦值为 15 5 ，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值 20叶女士在某购物商场的消费金额达到了“贵宾级”水平，春节期间，商场决定对“贵宾级”顾客给予 每人一次抽奖机会，按照抽取奖券的价值选取商品，商场中可供选取的有A，B，C，D，E，F六种商 品其中商品A，B每件价值 3000 元、商品C，D每件价值 2000 元、商品E，F每件价值 1000 元叶 女士抽取到一张价值 4000 元的奖券 （1）若她从这六种商品中任选三件，每种商品选一件，求她选取的商品价值恰好为其奖券价值的概率； （2）若她从六种商品中任意选取每种商品可以选取多件，选
10、取的商品总价值为其奖券价值，求她选取的商 品件数不超过三件的概率 21如图，在平面直角坐标系xOy中，AB为半圆ADB的直径，O为圆心，且 ( 4,0)A ， (4,0)B ，G为线 段OD的中点；曲线C过点G，动点P在曲线C上运动且保持| |PAPB 的值不变 （1）求曲线C的方程； （2）过点B的直线l与曲线C交于M、N两点，与OD所在直线交于E点， 1 EMMB， 2 ENNB， 求证： 12 为定值 22已知函数 1 ( ) x lnx f xe x ，( )(1)1 x g xae （1）证明：( ) 1 x ef x； （2）若0 x 时， ( )( )g xf x 恒成立，求实数
11、a的取值范围； （3）求 ( )f x的最小值 考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（18）答案）答案 1解： 2 2 121(121) ()121 3 4444 iiiii i ii 故选：D 2解： 2 20 xx，02x 剟， 0A ，2， ( uA ，0) (2 ， )， 2 0 x x ， (2) 0 0 x x x ，20 x， 2B ，0)， () 2 uA B ，0)， 故选：C 3解：二项式 5 (2) x的展开式中含 3 x的项为 3233 5 240Cxx， 所以 3 40a ， 故选：C 4解：函数 31 ( )3cossin2(cossin)2s
12、in() 223 f xxxxxx ， 且 ( )f x的图象关于 3 x 对称， 所以 332 k ，kZ， 解得 1 3 2 k ，kZ 又0， 所以当0k 时，取最小值，即 1 2 min 故选：B 5解：以A为原点，建立平面直角坐标系，设 (2,0)B ， (0,2)C ， 则 (1,1)F ， (1,0)E ，( 2,2)BC ， 因为BCAFCE， 所以( 2 ，2) ( ， )( ， 2 )( ， 2 ) ， 所以 2 22 ， 解得 2 3 故选：A 6解：根据题意，如图：连接AC、BC、PC， 圆 22 :(3)(3)3Cxy，则其圆心( 3，3)，半径3r ， 2 2 22
13、 6 coscos2(12sin)121 AC APBAPCAPC PCPC ， 当PC最小时， 2 sinAPC最大，cos APB的值的最小， 而PC的最小值为点C到直线360 xy的距离，则PC的最小值为 |336| 3 13 d ， 则cosAPB的最小值为 61 1 93 ， 故选：A 7解：由题意可知不同的推荐方案的种数分为以下两种： 一种方案是：有两名女生参加舞蹈与演唱项目中的一个，剩下的一名女生参加另一个，再从 2 名男生中选 一名参加另一个项目，剩下的男生参加乐器项目，共有 12111 23121 CC C C C种，即 12 种 另一种方案是：有两名女生分别参加舞蹈、演唱项
14、目中的一个，两名男生也分别参加舞蹈、演唱项目中的 一个，剩下的一名女生参加乐器项目，共有 11111 32211 C C C C C种，即 12 种 综上可知：满足条件的不同的推荐方案的种数121224 故选：C 8解：设 ( )tf x ，当0 x时 ( ) |1|f xx ，可得0t， 要使 ( )yf t 有 3 个零点， 01t ； 那么0 x 时 2 ( )f xxax的对称轴 2 a x ， 若0a， ( )yf t 不存在 3 个零点 当0a 时，要使 ( )yf t 有 3 个零点， 则 2 a x 时取得最大值 (0t ，1，) 即 22 01 42 aa ，解得22a ；
15、综上可得a的取值范围是( 2,0) 故选：A 9解：线性回归方程为 4410yx ，5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约 44 台，所以A不正确； 根据表中数据，可得 12345 3 5 x 44 3 10142y 于是，52951852271425710a，即151a ，故B正确； 由回归方程中x的系数大于 0，可知y与x正相关，且相关系数0r ，故C正确； 12 月份时，7x ， 44 75318y 部，故D正确 故选：BCD 10解：根据题意，函数 3 ( )3xf xx，易得 ( )f x在R上为增函数， 对于A，无法判断1m与1n的大小，故 (1)(1)fmf n 不一定成立，A
16、错误， 对于B，若01mn ，则有2 mnmn，则(2)()fmnf mn，B正确， 对于C，当 1 2 n ，2m 时，log log1 mm nn ，则有(log)(log) mn fnfm ，C错误， 对于D，若01mn ，则 nm mn，则有()() nm f mf n，D正确， 故选：BD 11解：对于A，D APQP ADQ VV ， ADQ 面积不定， 而P到平面ADQ的距离为定值AB， D APQ V 不是定值，故A错误； 对于B，由于 / /PQ 平面 1111 A BC D，则经过直线PQ的平面APQ与 1111 A BC D的所有交线均与PQ平行， 根据平行的传递性，可得
17、所有的交线也平行，故B正确； 对于C，设正方体棱长为 1， (0,1)PBDQa ， 则 2 1APAQa，2PQ ， 则 222 222 11211 cos1(0, ) 2(1)112 aaa PAQ aaa ， (,) 3 2 PAQ ，故C错误； 对于D，由题意得直线PQ与平面 11 AC CA垂直， 对于任意位置的点P，均有平面APQ 平面 11 AC CA，故D正确 故选：BD 12解：双曲线方程为 22 1 916 xy 的3a ，4b ，5c ， I与x轴切于点N，与 1 AF切于点P，与 2 AF切于点T， 因为I的横坐标与N的横坐标相等，设( N I x，) r ， 由切线长
18、相等，可得 11 | |PFNF ，| | |PATA ， 22 | |TFNF ， 由双曲线的定义可得 12 | 2AFAFa ，即有 12 | 2NFNFa ， 又 12 | 2NFNFc ，解得 2 |NFca ，可得| |ONa ， 则A，B都正确； 由内角平分线的性质定理可得 012 022 5|6 | 5| xAFAF xAFAF ， 即有2 0 5 | 3(1)2AFca x ，解得 0 03xX ，故C正确； 可设 ( , )A m n，m，0n ， 12 AFF的内切圆的半径为r， 则 22 1 916 mn ， 又 1 2 12 11 2(2|) 22 AF F Sc nr
19、cAFAF， 即为 2 5 5(53 |)(8)(5) 3 nrAFremarm ， 化为 1 (1) 3 nrm， 若4r ，则 1 4(1) 3 nm， 联立，可得方程组无解 故D错误 故选：ABC 13解：设等差数列 n a 的公差为d， 3 2a ， 45 10aa ， 1 22ad ， 1 2710ad ， 解得 1 2a ，2d ， 6 2528a ， 则 3 262 log23alog， 故答案为：3 14解：根据题意，三角形ABC的面积为 24， 若某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过 2，则蚂蚁在如图三角形的阴影部分， 它的面积为半径为 2 的半圆面积 2 1 2
20、2 2 S ， 所以某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过 2 的概率 2 2412 P ， 故答案为： 12 15解：令 ( ) ( ) x f x g x e ，则 ( )( ) ( )0 x fxf x g x e ，所以 ( )g x在R上单调递增 因为 2 1008 (2)g e ，所以不等式 21 (1) 10080 x e f xe ， 可变形得 12 (1)(2) x f xf ee ，即(1)g xg（2），所以12x ，解得1x 故答案为： | 1x x 16解：因为sin( )(34cos )sinABAB ， 所以sincossincos3sin4sincos
21、ABBABBA， 即sin cos3sin (1cos )ABBA ， 故 222222 3(1) 22 acbbca ab acbc ， 整理得 2222 3bcabcc， 所以 2222 33 cos 2222 bcabccc A bcbcb ， 因为 1 sin5 2 ABC SbcA ，所以 2 5 sin A bc ， 因为 22 sincos1AA，所以 22 2 53 ()()1 22 c bcb ， 化简得， 2 2 2 5320 0 424 cc bb c ， 由 2 2 2 3520 ()4() 0 244 cc c ，得 4 100c ， 所以10c， 所以c的最小值为1
22、0 故答案为：10 17 解：（1） 2 sin()8sin 2 B AC ， sin4(1 cos )BB ， 22 sincos1BB， 22 16(1 cos )cos1BB， 22 16(1 cos )cos10BB ， 2 16(cos1)(cos1)(cos1)0BBB， (17cos15)(cos1)0BB ， 15 cos 17 B； （2）由（1）可知 8 sin 17 B ， 1 sin2 2 ABC SacB ， 17 2 ac ， 22222 1715 2cos2 217 bacacBac 222 15()21536 17 154acacac， 2b 18解：（1） 1
23、23 1 23(1)(21) 12 n aaanan nn ， 1231 1 23(1)(1)(21)(2) 12 n aaanan nnn ， 两式作差得 2 1 (1)(21)(1)(21) 122 n n nan nnnn， (2) 2 n n an 当1n 时， 1 1 2 a 适合上式， 2 n n a （2） 1 2 22 n nn nn b ， 2341 123 2222 n n n S ， 3412 1121 22222 n nn nn S 得： 231222 11 (1) 111112 42 1 22222222 1 2 n n nnnn nnn S ， 1 2 1 2 n
24、n n S 19( ) I证明：PD 平面ABCD，AC 平面 ABCD PDAC 又ABCD是菱形，BDAC，BD PDD AC平面PBD，DE 平面PBD ACDE（6 分） ()II 解 ： 分 别 以OA，OB，OE方 向 为 x ， y ，z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 设PDt， 则 (1, 0 , 0 ) ,( 0 ,3 , 0 ) ,( 1, 0 , 0 ) ,( 0 , 0 ,) ,( 0 ,3 , ) 2 t ABCEPt 由( ) I知：平面PBD的法向量为 1 (1,0,0)n ， 令平面PAB的法向量为 2 ( , , )nx y z，则根据 2 2 0
25、 0 n AB n AP 得 30 30 xy xytz 2 2 3 ( 3,1,)n t 因为二面角APBD的余弦值为 15 5 ，则 12 15 |cos,| 5 n n，即 2 315 512 4 t ，2 3t （9 分） (0,3,2 3)P 设EC与平面PAB所成的角为， ( 1,0,3)EC ， 2 ( 3,1,1)n 2 2 315 sin|cos,| 525 EC n（12 分） 20解：（1）解法一：她从这六种商品中任选三件，每种商品选一件， 基本事件总数 3 6 20nC， 她选取的商品价值恰好为其奖券价值指C或D种商品中选一件，E、F种商品中各选一件， 不同的选法有 1
26、2 22 2mC C， 她选取的商品价值恰好为其奖券价值的概率 21 2010 m P n 解法二：含商品A时，B，C，D，E，F中再选 2 件，基本事件有： ABC，ABD，ABE，ABF，ACD，ACE，ACF，ADE，ADF，AEF，共 10 个， 不含商品A时，从B，C，D，E，F中选 3 件，含有B时，再从C，D，E，F中选 2 件， 基本事件有：BCD，BCE，BCF，BDE，BDF，BEF，共 6 个， 不含B时，从C，D，E，F中选 3 件，基本事件有： CDE，CDF，CEF，DEF，共 4 个， 基本事件总数为106420n ， 其中总价值 4000 元的事件有：CEF，D
27、EF，共 2 个， 她选取的商品价值恰好为其奖券价值的概率 21 2010 P （2）价值 4000 元的基本事件： 选取 2 件时：A，B选一，即AE，AF，BE，BF，共 4 个， 从C，D中选，有CC，CD，DD，共 3 个， 选取 3 件时，C，D选 1，E，F选 2，即CEE，CEF，CFF，DEF，DEE，DFF，共 6 个， 选 4 件时，只能在E，F中选，即，共 5 个， 基本事件总数， 其中不超过 3 件的基本事件个数， 她选取的商品件数不超过三件的概率为 21解：（1）由题意已知，为线段的中点；所以， 且，曲线过点，动点在曲线上运动且保持的值不变， 所以， 所以在以，为焦点
28、，且以 2 为短半轴的椭圆上，即， 则， 所以曲线的方程为：； （2）证明：设， 因为，且在椭圆内，所以过的直线 与椭圆由两个交点， 因为， EEEEEEEFEEFFEFFFFFFF 1 436518n 1 43613m 1 1 13 18 m P n ( 4,0)A (4,0)BGOD(0,4)D (0,2)GCG PC |PAPB 22 | | 2 424 5 |PAPBGAGBAB PAB4c 2b 222 20abc C 22 1 204 xy 1 (M x 1) y 2 (N x 2) y 0 (0,)Ey (4,0)B BBl 1 EMMB 2 ENNB 所以， 所以， 将的坐标代
29、入椭圆的方程可得：， 整理可得：， 同理可得， 所以，是方程的两根， 由韦达定理可得， 所以可证得：为定值 22（1）证明：，证明，即证明，即证 ， 设，则， 当时，当时， 的最大值为（1），故， ； （2）解：时，恒成立，即， 由（1）知，当时，成立， 当时，显然时不成立， 综上，； （3）解：， 设， 在上单调递增， ，（1），存在，使得， 且时，即，单调递减， 时，即，单调递增， 1 (x 1011 )(4yyx 1) y 1 1 1 4 1 x 0 1 1 1 y y M 2201 11 411 ()()1 20 141 y 22 110 4402050y 22 220 4402050
30、y 1 2 22 0 4402050 xxy 12 40 10 4 12 10 0 x ( ) 1 x ef x 1 1 lnx x 10lnxx ( )1xlnxx 1 ( )(0) x xx x (0,1)x( )0 x(1,)x( )0 x ( ) x 010lnxx ( ) 1 x ef x 0 x ( )( )g xf x 1 1 x lnx ae x 0a 11 1 x lnxlnx ae xx 剟 0a 1x 0a 2 22 1 1 ( ) x x lnxx elnx fxe xx 2 ( ) x h xx elnx 2 1 ( )(2 )0 x h xexx x ( )h x(0,) 1 ( )0 2 hh0 0 1 (2x 1) 0 ()0h x 0 0 xx( )0h x ( )0fx( )f x 0 xx( )0h x ( )0fx( )f x ， ，则， ， 在上单调递增， 则， 0 0 0 0 1 ( )() x min lnx f xf xe x 0 ()0h x 0 2 00 0 x x elnx 0 00 0 1 0 x x elnx x 00 00 xlnx x elnxe ( ) x t xxe (0,) 00 xlnx 0 0 1 x e x 0 00 0000 111 ( )1 x min lnxlnx f xe xxxx
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