2021年广东省深圳市龙岗区三校联考中考数学模拟试卷（含答案解析）

1、2021 年广东省深圳市龙岗区三校联考中考数学模拟试卷（新题型）年广东省深圳市龙岗区三校联考中考数学模拟试卷（新题型） 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 13 的绝对值是（ ） A3 B C D3 2下列几何体中，俯视图为矩形的是（ ） A B C D 3纳米（nm）是种非常小的长度单位，1nm10 9m，如果某冠状病毒的直径为 110nm，那么用科学记数 法表示该冠状病毒的直径为（ ） A1.110 7m B1.110 8m C11010 9m D1.11011m 4下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A B C

2、D 5下列运算：x2x3x6；x2+x22x2；（x2）3x6；（3x）29x2中，正确的是（ ） A B C D 6某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班的学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计， 统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数和众数分别是（ ） 读书时间 6 小时及以下 7 小时 8 小时 9 小时 10 小时及以上 学生人数 6 11 8 8 7 A8，7 B8，8 C8.5，8 D8.5，7 7如图，在已知的ABC 中，按以下步骤作图：分别以 B，C 为圆心，以大于BC 的长为半径作弧， 两弧相交于两点 M，N；作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD

3、若 ADAC，A80，则ACB 的 度数为（ ） A65 B70 C75 D80 8 如图， 在 A 处测得点 P 在北偏东 60方向上， 在 B 处测得点 P 在北偏东 30方向上， 若 AP6千米， 则 A，B 两点的距离为（ ）千米 A4 B4 C2 D6 9若关于 x 的方程 kx22x+0 有实数根，则实数 k 的取值范围是（ ） Ak4 Bk4 且 k0 Ck4 Dk4 且 k0 10如图， 在 RtABC 中，CACB， M 是 AB 的中点，点 D 在 BM 上， AECD， BFCD， 垂足分别为 E、 F， 连接 EM， 则下列结论中： BFCE； AEMDEM； CFDM

4、BMDE； DE2+DF22DM2， 其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 二填空题（共二填空题（共 5 小题，满分小题，满分 15 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11分解因式：mx2m 12一个不透明的布袋里装有 7 个只有颜色不同的球，其中 4 个白球，2 个红球，1 个黄球，从布袋里任意 摸出 1 个球，是红球的概率是 13对于实数 p、q，我们用符号 maxp，q表示 p，q 两数中较大的数，如 max1，22，若 max（x1） 2，x29，则 x 14如图，平行于 x 轴的直线与函数 y（k0，x0）和 y（x0）的图象分别相交于 B，A 两点， 点 A 在点

5、B 的右侧，C 为 x 轴上的一个动点，若ABC 的面积为 1，则 k 的值为 15如图，CD 是大半圆 O 的直径，点 O1在 CD 上，大半圆的弦 AB 与小半圆 O1相切于点 F，且 ABCD， AB6，则阴影部分的面积为 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 55 分）分） 16 （5 分）计算：|12cos30|+（） 1（5）0 17 （6 分）先化简，再代入求值：，其中 x 18 （8 分）某校为了解七、八年级学生对“新冠”传播与防治知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取 50 名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析部分信息如下： a七年级成绩频数分

6、布直方图： b七年级成绩在 70 x80 这一组的是： 70，72，74，75，76，76，77，77，77，78，79 c七、八年级成绩的平均数、中位数如下： 年级 平均数 中位数 七 76.9 a 八 79.2 79.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，七年级在 80 分以上的有 人； （2）表中 a 的值为 （3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是 78 分，请判断两位学生在各自年级的排 名谁更靠前，并说明理由； （4） 该校七年级学生有 1600 人， 假设全部参加此次测试， 请估计七年级成绩超过平均数 76.9 分的人数 19 （8 分）如图，在AB

7、C 中，ABAC，D 为 BC 中点，AEBD，且 AEBD （1）求证：四边形 AEBD 是矩形； （2）连接 CE 交 AB 于点 F，若ABE30，AE2，求 EF 的长 20 （8 分）端午节前夕，某商铺用 620 元购进 50 个肉粽和 30 个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货 单价多 6 元 （1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？ （2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共 300 个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的 2 倍，且 每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为 14 元，蜜枣粽的销售单价为 6 元，试问第二批购进 肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得

8、利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？ 21 （10 分）如图，在ABC 中，点 D 是 AC 边上一点，以 AD 为直径的O 与边 BC 切于点 E，且 AB BE （1）求证：AB 是O 的切线； （2）若 BE3，BC7，求O 的半径长； （3）求证：CE2CDCA 22 （10 分）在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，直线 yx+4 与 x 轴交于点 A，过点 A 的抛物线 y ax2+bx 与直线 yx+4 交于另一点 B，且点 B 的横坐标为 1 （1）该抛物线的解析式为 ； （2）如图 1，Q 为抛物线上位于直线 AB 上方的一动点（不与 B、A 重合） ，过 Q 作 QP

9、x 轴，交 x 轴于 P，连接 AQ，M 为 AQ 中点，连接 PM，过 M 作 MNPM 交直线 AB 于 N，若点 P 的横坐标为 t，点 N 的横坐标为 n，求 n 与 t 的函数关系式；在此条件下，如图 2，连接 QN 并延长，交 y 轴于 E，连接 AE， 求 t 为何值时，MNAE （3） 如图 3， 将直线 AB 绕点 A 顺时针旋转 15 度交抛物线对称轴于点 C， 点 T 为线段 OA 上的一动点 （不 与 O、A 重合） ，以点 O 为圆心、以 OT 为半径的圆弧与线段 OC 交于点 D，以点 A 为圆心、以 AT 为半 径的圆弧与线段 AC 交于点 F，连接 DF在点 T

10、 运动的过程中，四边形 ODFA 的面积有最大值还是有最 小值？请求出该值 参考答案参考答案 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 13 的绝对值是（ ） A3 B C D3 【分析】根据正数的绝对值等于它的本身即可求解 【解答】解：， 3 的绝对值是 3 故选：D 2下列几何体中，俯视图为矩形的是（ ） A B C D 【分析】找到从物体上面看得到的图形，即可解答 【解答】解：A、圆柱的俯视图是圆，故错误； B、圆锥的俯视图是有圆心的圆，故错误； C、三棱柱的俯视图是三角形，故错误； D、长方体俯视图是矩形，正确； 故选：D 3纳米（

11、nm）是种非常小的长度单位，1nm10 9m，如果某冠状病毒的直径为 110nm，那么用科学记数 法表示该冠状病毒的直径为（ ） A1.110 7m B1.110 8m C11010 9m D1.11011m 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：因为 1nm10 9m， 所以 110nm11010 9m1.1107m 故选：A 4下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称

12、图形的概念求解 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合， 这样的图形叫做轴对称图形， 这条直线叫做对称轴 如果一个图形绕某一点旋转 180后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做 对称中心 【解答】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意 故选：C 5下列运算：x2x3x6；x2+x22x2；（x2）3x6；（3x）29x2中，正确的是（ ） A B C D 【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方以及

13、整式的加减的计算法则进行计算，进而得出答 案 【解答】解：x2x3x2+3x5，因此不正确； 根据整式加减的计算方法，合并同类项可得 x2+x22x2，因此正确； （x2）3x2 3x6，因此正确； （3x）2（3）2x29x2，因此正确； 因此正确的有：， 故选：A 6某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班的学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计， 统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数和众数分别是（ ） 读书时间 6 小时及以下 7 小时 8 小时 9 小时 10 小时及以上 学生人数 6 11 8 8 7 A8，7 B8，8 C8.5，8 D8.5，7 【分析】根据

14、中位数、众数的意义即可求出答案 【解答】解：学生一周课外阅读时间的出现次数最多的是 7 小时，因此众数是 7； 将 40 名学生的读书时间从小到大排列后处在中间位置的两个数都是 8 小时，因此中位数是 8， 故选：A 7如图，在已知的ABC 中，按以下步骤作图：分别以 B，C 为圆心，以大于BC 的长为半径作弧， 两弧相交于两点 M，N；作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD若 ADAC，A80，则ACB 的 度数为（ ） A65 B70 C75 D80 【分析】根据作图过程可得 DM 是 BC 的垂直平分线，所以 DCDB，所以BDCB，再根据 AD AC，A80，可得ADC50，进而

15、求出ACB 的度数 【解答】解：根据作图过程可知： DM 是 BC 的垂直平分线， DCDB， BDCB， ADCB+DCB2DCB， ADAC，A80， ADCACD（180A）50， DCBADC25， ACBDCB+ACD25+5075 ACB 的度数为 75 故选：C 8 如图， 在 A 处测得点 P 在北偏东 60方向上， 在 B 处测得点 P 在北偏东 30方向上， 若 AP6千米， 则 A，B 两点的距离为（ ）千米 A4 B4 C2 D6 【分析】证明 ABPB，在 RtPAC 中，求出 PC3千米，在 RtPBC 中，解直角三角形可求出 PB 的长，则可得出答案 【解答】解：

16、由题意知，PAB30，PBC60， APBPBCPAB603030， PABAPB， ABPB， 在 RtPAC 中，AP6千米， PCPA3千米， 在 RtPBC 中，sinPBC， PB6 千米 故选：D 9若关于 x 的方程 kx22x+0 有实数根，则实数 k 的取值范围是（ ） Ak4 Bk4 且 k0 Ck4 Dk4 且 k0 【分析】根据根的判别式即可求出答案 【解答】解：当 k0 时，44k4k0， k4， 当 k0 时，也符合题意， k4， 故选：C 10如图， 在 RtABC 中，CACB， M 是 AB 的中点，点 D 在 BM 上， AECD， BFCD， 垂足分别为

17、E、 F， 连接 EM， 则下列结论中： BFCE； AEMDEM； CFDMBMDE； DE2+DF22DM2， 其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】证明BCFCAE，得到 BFCE，可判断；再证明BFMCEM，从而判断EMF 为 等腰直角三角形，得到MEFMFE45，可判断；证明CDMADE，得到对应边成比例，结 合 BMCM，AECF，可判断；证明DFMNEM，得到DMN 为等腰直角三角形，得到 DN DM，可判断 【解答】解：ACB90， BCF+ACE90， BCF+CBF90， ACECBF， 又BFD90AEC，ACBC， BCFCAE（AAS） ， BF

18、CE，故正确； 由全等可得：AECF，BFCE， AECECFCEEF， 如图，连接 FM，CM， 点 M 是 AB 中点， CMABBMAM，CMAB， 在BDF 和CDM 中，BFDCMD，BDFCDM， DBFDCM， 又 BMCM，BFCE， BFMCEM（SAS） ， FMEM，BMFCME， BMC90， EMF90，即EMF 为等腰直角三角形， MEFMFE45， AEC90， MEFAEM45，故正确， CDMADE，CMDAED90， CDMADE， ， BMCM，AECF， ， CFDMBMDE，故正确； 如图，设 AE 与 CM 交于点 N，连接 DN， DMFNME，F

19、MEM，DFMDEMAEM45， DFMNEM（ASA） ， DFEN，DMMN， DMN 为等腰直角三角形， DNDM，而DEA90， DE2+DF2DN22DM2，故正确； 故正确结论为：共 4 个 故选：D 二填空题（共二填空题（共 5 小题，满分小题，满分 15 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11分解因式：mx2m m（x+1） （x1） 【分析】首先提出公因式 m，再利用平方差进行二次分解即可 【解答】解：原式m（x21）m（x+1） （x1） ， 故答案为：m（x+1） （x1） 12一个不透明的布袋里装有 7 个只有颜色不同的球，其中 4 个白球，2 个红球，1 个黄球，从

20、布袋里任意 摸出 1 个球，是红球的概率是 【分析】根据概率公式求解 【解答】解：从布袋里任意摸出 1 个球有 7 种等可能结果，其中是红球的有 2 种结果， 是红球的概率是， 故答案为： 13对于实数 p、q，我们用符号 maxp，q表示 p，q 两数中较大的数，如 max1，22，若 max（x1） 2，x29，则 x 3 或2 【分析】首先理解题意，进而可得 max（x1）2，x29 时分情况讨论，当 x0.5 时，x0.5 时和 x 0.5 时，进而可得答案 【解答】解：max（x1）2，x29， 当 x0.5 时，x2（x1）2，不可能得出最大值为 9， 当 x0.5 时， （x1）

21、2x2， 则 x29， 解得：x13（不合题意，舍去） ，x23， （x1）2x2， 当 x0.5 时， （x1）2x2， 则（x1）29， x13， x13，x13， 解得：x12，x24（不合题意，舍去） ， 则综上所述：x 的值为 3 或2 故答案为：3 或2 14如图，平行于 x 轴的直线与函数 y（k0，x0）和 y（x0）的图象分别相交于 B，A 两点， 点 A 在点 B 的右侧，C 为 x 轴上的一个动点，若ABC 的面积为 1，则 k 的值为 1 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征分别设出设点 A、点 B 的坐标，根据三角形的面积公式计 算，得到答案 【解答】解：设点 A

22、 的坐标为（，a） ，点 B 的坐标为（，a） ， ABC 的面积为 1， （ （）a1， 解得，k1， 故答案为：1 15如图，CD 是大半圆 O 的直径，点 O1在 CD 上，大半圆的弦 AB 与小半圆 O1相切于点 F，且 ABCD， AB6，则阴影部分的面积为 【分析】阴影部分的面积等于大半圆面积减去小半圆面积，根据垂径定理和勾股定理求解 【解答】解：设大圆圆心为 O，作 EOAB，垂足为 E 连接 OA，则 OA 是大圆半径， ABCD， EO 的长等于小圆的半径， 由垂径定理知，点 E 是 AB 的中点 由勾股定理知，OA2EO2AE29， 阴影部分的面积（OA2EO2） 故答案为

23、： 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 55 分）分） 16 （5 分）计算：|12cos30|+（） 1（5）0 【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值 【解答】解：原式21+2（2）13 17 （6 分）先化简，再代入求值：，其中 x 【分析】原式利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把 x 的值代入 计算即可求出值 【解答】解：原式 ， 把 x代入得：原式 18 （8 分）某校为了解七、八年级学生对“新冠”传播与防治知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取 50 名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述

24、和分析部分信息如下： a七年级成绩频数分布直方图： b七年级成绩在 70 x80 这一组的是： 70，72，74，75，76，76，77，77，77，78，79 c七、八年级成绩的平均数、中位数如下： 年级 平均数 中位数 七 76.9 a 八 79.2 79.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，七年级在 80 分以上的有 23 人； （2）表中 a 的值为 77.5 （3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是 78 分，请判断两位学生在各自年级的排 名谁更靠前，并说明理由； （4） 该校七年级学生有 1600 人， 假设全部参加此次测试， 请估计七年级成绩超过

25、平均数 76.9 分的人数 【分析】 （1）根据频数分布表中的数据可以得到在这次测试中，七年级在 80 分以上的人数； （2）根据统计图和统计表中的数据和七年级成绩在 70 x80 这一组的数据，可以求得 a 的值； （3）根据统计表中的数据可以得到两位学生在各自年级的排名谁更靠前； （4）根据统计图中的数据和题目中的数据可以计算出七年级成绩超过平均数 76.9 分的人数 【解答】解： （1）在这次测试中，七年级在 80 分以上的有 15+823（人） ， 故答案为：23； （2）50 x70 的有 6+1016（人） ，七年级成绩在 70 x80 这一组的是：70，72，74，75，76，

26、76，77，77，77，78，79，七年级抽查了 50 名学生， a（77+78）277.5， 故答案为：77.5； （3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是 78 分，七年级学生甲在本年级的排名谁 更靠前， 理由：七年级的中位数是 77.5，八年级的中位数是 79.5， 7877.5，7879.5， 在这次测试中， 七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是 78 分，七年级学生甲在本年级的排名谁更靠 前； （4）1600896（人） ， 答：七年级成绩超过平均数 76.9 分的有 896 人 19 （8 分）如图，在ABC 中，ABAC，D 为 BC 中点，AEBD，且 AEBD

27、 （1）求证：四边形 AEBD 是矩形； （2）连接 CE 交 AB 于点 F，若ABE30，AE2，求 EF 的长 【分析】 （1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断 （2）证明AEFBCF，推出，由此即可解决问题 【解答】 （1）证明：AEBD，AEBD， 四边形 AEBD 是平行四边形， ABAC，D 为 BC 的中点， ADBC， ADB90， 四边形 AEBD 是矩形 （2）解：四边形 AEBD 是矩形， AEB90， ABE30，AE2， BE2，BC4， EC2， AEBC， AEFBCF， ， EFEC 20 （8 分）端午节前夕，某商铺用 620 元购进 50 个肉

28、粽和 30 个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货 单价多 6 元 （1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？ （2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共 300 个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的 2 倍，且 每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为 14 元，蜜枣粽的销售单价为 6 元，试问第二批购进 肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？ 【分析】 （1）设蜜枣粽的进货单价是 x 元，则肉粽的进货单价是（x+6）元，根据用 620 元购进 50 个肉 粽和 30 个蜜枣粽，可得出方程，解出即可； （2）设第二批购进肉粽 y 个，则蜜枣粽

29、购进（300y）个，获得利润为 w 元，根据 w蜜枣粽的利润+ 肉粽的利润，得一次函数，根据一次函数的增减性，可解答 【解答】解： （1）设蜜枣粽的进货单价是 x 元，则肉粽的进货单价是（x+6）元， 由题意得：50（x+6）+30 x620， 解得：x4， 6+410， 答：蜜枣粽的进货单价是 4 元，则肉粽的进货单价是 10 元； （2）设第二批购进肉粽 y 个，则蜜枣粽购进（300y）个，获得利润为 w 元， 由题意得：w（1410）y+（64） （300y）2y+600， 20， w 随 y 的增大而增大， y2（300y） ， 0y200， 当 y200 时，w 有最大值，w最大值4

30、00+6001000， 答：第二批购进肉粽 200 个时，总利润最大，最大利润是 1000 元 21 （10 分）如图，在ABC 中，点 D 是 AC 边上一点，以 AD 为直径的O 与边 BC 切于点 E，且 AB BE （1）求证：AB 是O 的切线； （2）若 BE3，BC7，求O 的半径长； （3）求证：CE2CDCA 【分析】 （1）连接 OB、OE，由 SSS 证得ABOEBO，得出BAOBEO，即可得出结论； （2）由勾股定理求出 AC2，再由CEOCAB，得出，求出 OE 长即可 （3）连接 AE，DE，证明EDCAEC，得出比例线段，则可得出结论 【解答】 （1）证明：连接

31、OB、OE，如图所示： 在ABO 和EBO 中， ， ABOEBO（SSS） ， BAOBEO， O 与边 BC 切于点 E， OEBC， BEOBAO90， 即 ABAD， AB 是O 的切线； （2）解：BE3，BC7， ABBE3，CE4， ABAD， AC2， OEBC， OECBAC90， ECOACB， CEOCAB， ， 即， 解得：OE， O 的半径长为 （3）证明：连接 AE，DE， AD 是O 的直径， AED90， AEB+DEC90， BA 是O 的切线， BAC90， BAE+EAD90， ABBE， BAEBEA， DECEAD， EDCAEC， ， CE2CDCA

32、 22 （10 分）在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，直线 yx+4 与 x 轴交于点 A，过点 A 的抛物线 y ax2+bx 与直线 yx+4 交于另一点 B，且点 B 的横坐标为 1 （1）该抛物线的解析式为 yx2+4x ； （2）如图 1，Q 为抛物线上位于直线 AB 上方的一动点（不与 B、A 重合） ，过 Q 作 QPx 轴，交 x 轴于 P，连接 AQ，M 为 AQ 中点，连接 PM，过 M 作 MNPM 交直线 AB 于 N，若点 P 的横坐标为 t，点 N 的横坐标为 n，求 n 与 t 的函数关系式；在此条件下，如图 2，连接 QN 并延长，交 y 轴于 E，连接

33、AE， 求 t 为何值时，MNAE （3） 如图 3， 将直线 AB 绕点 A 顺时针旋转 15 度交抛物线对称轴于点 C， 点 T 为线段 OA 上的一动点 （不 与 O、A 重合） ，以点 O 为圆心、以 OT 为半径的圆弧与线段 OC 交于点 D，以点 A 为圆心、以 AT 为半 径的圆弧与线段 AC 交于点 F，连接 DF在点 T 运动的过程中，四边形 ODFA 的面积有最大值还是有最 小值？请求出该值 【分析】 （1）先求出点 A、B 的坐标，然后利用待定系数法，即可求出抛物线解析式； （2）过点 M 作 MGx 轴于 G，NHGM 于 H，先证明 N、P、A 三点在以 M 为圆心

34、MA 为半径的M 上，再证明NMHMPG，然后得到 NHMG，HMPG，再设 P（t，0） ，通过建立关于 t 的方程， 解方程即可； （3）设 OTm，四边形 ODFA 的面积为 S，过 D 作 DRAC，垂足为 R，利用三角函数和三角形面积关 系即可得到结论 【解答】解： （1）直线 yx+4 与 x 轴交于点 A， 令 y0，则 x4， 点 A 为（4，0） ， 直线 yx+4 经过点 B，点 B 的横坐标为 1， 点 B 的纵坐标为：y1+43， 点 B 为： （1，3） ， 把点 A、B 代入 yax2+bx，得： ， 解得：， 抛物线解析式为 yx2+4x （2）如图 1，过点 M

35、 作 MGx 轴于 G，NHGM 于 H， OAOB，AOB90， PAN45， NMP90， PANNMP， N、P、A 三点在以 M 为圆心 MA 为半径的M 上， MNMP， NHMPGMNMP90， NMH+PMG90，PMG+MPG90， NMHMPG， 在NMH 和MPG 中， ， NMHMPG（AAS） ， NHMG，HMPG， P（t，0） ， Q（t，t2+4t） ，M（，） ， MGNH n， n， （0t3） 如图 2，连接 QN 并延长，交 y 轴于 E，连接 AE， MNAE，QMMA， ENQN， N 为 EQ 中点，即 Nx， ， t24t+40， 解得 t2， t2 时，MNAE （3）四边形 ODFA 的面积有最小值 设 OTm，四边形 ODFA 的面积为 S， C 是抛物线对称轴上一点， COCA 直线 AB 绕 A 点旋转 15， OAC60， OAC 是等边三角形， OA4，SOAC424， CDAFAT4m，CFOTm， 如图 3，过 D 作 DRAC，垂足为 R， 则 DRDCsin60（4m） ， SCDFCFDRm（4m）m2+m， SSOACSCDF 4（m2+m） （m2）2+3 在点 T 运动的过程中，四边形 ODFA 的面积有最小值为 3