1、2021 中考数学三轮查漏补缺：反比例函数及其应用中考数学三轮查漏补缺：反比例函数及其应用 一、选择题一、选择题 1. （2019 上海）下列函数中，函数值 y 随自变量 x 的值增大而增大的是( ) Ay 3 x By 3 x Cy 3 x Dy 3 x 2. 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 函数 y=kx+b( 0)与 y= ( 0)的图象相交于点 A(2， 3)，B(-6，-1)，则不等式 kx+b 的解集为( ) A.x-6 B.-6x2 C.x2 D.x-6 或 0x0)的图象上，顶点 B 在反比例函数 y= 5 (x0)的图象上，点 C 在 x 轴的正半轴上，则平 行四边形
2、 OABC 的面积是 . 11. 已知反比例函数 yk x(k0)的图象如图所示，则 k 的值可能是_(写一个即可) 12. 双曲线 ym1 x 在每个象限内， 函数值 y 随 x 的增大而增大， 则 m 的取值范围是_ 13. 如图，平行于 x 轴的直线与函数 y=1 (k10，x0)，y=2 (k20，x0)的图象分别相交于 A， B 两点，点 A 在点 B 的右侧，C 为 x 轴上的一个动点.若 ABC 的面积为 4，则 k1-k2的值 为 . 14. 如图，点 A 在函数 y4 x(x0)的图象上，且 OA4，过点 A 作 ABx 轴于点 B，则 ABO 的周长为_ 15. 如图，直线
3、 lx 轴于点 P，且与反比例函数 y1k1 x (x0)及 y2k2 x (x0)的图象分别交于点 A，B，连接 OA，OB，已知 OAB 的面积为 2，则 k1k2_ 16. 如图，在平面直角坐标系中，过点 M(3，2)分别作 x 轴、y 轴的垂线，与反比例函数 y4 x 的图象交于 A、B 两点，则四边形 MAOB 的面积为_ 三、解答题三、解答题 17. 如图，双曲线 y= 经过点 P(2，1)，且与直线 y=kx-4(k0 时，不等式3 4xb k x的解集； (3)若点 P 在 x 轴上，连接 AP，且 AP 把 ABC 的面积分成 13 两部分，求此时点 P 的坐标 20. 如图
4、，已知在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 A(2，5)在反比例函数 yk x的图象上， 一次函数 yxb 的图象经过点 A，且与反比例函数图象的另一交点为 B. (1)求 k 和 b 的值； (2)设反比例函数值为 y1，一次函数值为 y2，求 y1y2时 x 的取值范围 21. 在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为 1 时，它的另一边长为 3. (1)设矩形的相邻两边长分别为 x，y. 求 y 关于 x 的函数表达式； 当 y3 时，求 x 的取值范围； (2)圆圆说其中有一个矩形的周长为 6，方方说有一个矩形的周长为 10.你认为圆圆和方方的说 法对吗？为什么？ 22.
5、如图，一次函数 y=k1x+b 的图象与反比例函数 y=2 的图象相交于 A，B 两点，其中点 A 的 坐标为(-1，4)，点 B 的坐标为(4，n). (1)根据图象，直接写出满足 k1x+b2 的 x 的取值范围; (2)求这两个函数的表达式; (3)点 P 在线段 AB 上，且 S AOPS BOP=12，求点 P 的坐标. 23. 如图，一次函数 ykxb 的图象与反比例函数 ym x(x0)的图象交于 A(2，1)，B( 1 2，n) 两点，直线 y2 与 y 轴交于点 C. (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求 ABC 的面积 24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中
6、，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 P(-1，2)，ABx 轴于点 E，正比例函数 y=mx 的图象与反比例函数 y=-3 的图象相交于 A，P 两点. (1)求 m，n 的值与点 A 的坐标; (2)求证: CPDAEO; (3)求 sinCDB 的值. 答案答案 一、选择题一、选择题 1. 【答案】【答案】A 【解析】 A、 该函数图象是直线， 位于第一、 三象限， y 随 x 的增大而增大， 故本选项正确 B、 该函数图象是直线，位于第二、四象限，y 随 x 的增大而减小，故本选项错误 C、该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小，故本
7、选 项错误 D、该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增 大，故本选项错误 2. 【答案】【答案】B 解析观察函数图象，发现:当-6x2 时，一次函数图象在反比例函数图 象的上方， 当 kx+b 时，x 的取值范围是-6x2. 3. 【答案】【答案】C 【解析】 点 A 在反比例函数 yk x的图象上，且 ABx 轴于点 B，设点 A 坐标 为(x，y)，kxy，点 A 在第一象限，x、y 都是正数，SAOB1 2OB AB 1 2xy，SAOB 2，kxy4. 4. 【答案】【答案】D 【解析】根据图象得：当 y1y2时，x 的取值范围是 0 x2 或 x5
8、. 5. 【答案】【答案】 D 【解析】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本 题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答先设出点 A 的坐标，进而表示出点 D 的坐标，利用ADO 的面积建立方程求出2mn，即可得出结论 点 A 的坐标为（m，2n） ，2mnk，D 为 AC 的中点，D（m，n） ， ACx轴，ADO 的面积为 1， ADO 111 21 222 SAD OCnnmmn， 2mn，24kmn，因此本题选 D 6. 【答案】【答案】B 【解析】本题考查了待定系数法、菱形的性质、点的坐标的意义因为在菱形 ABOC
9、中，A 60 ，菱形边长为 2，所以 OC2，COB60 如答图，过点 C 作 CDOB 于点 D，则 ODOC cosCOB2 cos60 21 2 1，CDOC sinCOB2 sin60 2 3 2 3因为 点 C 在第二象限，所以点 C 的坐标为（1，3） 因为顶点 C 在反比例函数 y k x 的图象上， 所以3 1 k ，得 k3.所以反比例函数的解析式为 y 3 x ，因此本题选 B 7. 【答案】【答案】B 【解析】将 yx2 代入到反比例函数 y16t x 中，得：x216t x ，整 理，得：x22x16t0，反比例函数 y16t x 的图象与直线 yx2 有两个交点，且
10、两交点横坐标的积为负数， （2）24（16t）0 16t0 ，解得 t1 6. 8. 【答案】【答案】A 【解析】连接 BP，得到 OQ 是ABP 的中位线，当 P、C、B 三点共线时 PB 长度最大，PB 2OQ4，设点 B 的坐标为(x,x)，根据点 C(2,2)，可利用勾股定理求出点 B 的坐标，代入反 比例函数关系式即可求出 k 的值直线 yx 与双曲线 yk x的图形均关于直线 yx 对称， OAOB，点 Q 是 AP 的中点，点 O 是 AB 的中点，OQ 是ABP 的中位线，当 OQ 的 长度最大时，即 PB 的长度最大；PBPCBC，当三点共线时 PB 长度最大，当 P、C、B
11、 三点共线时 PB2OQ4；PC1，BC3；设点 B 的坐标为(x,x)，则 BC (2x)2(2x)23，解得 x 2 2 或 x 2 2 （舍去），故 B ( 2 2 , 2 2 )，代入 yk x中可得 k 1 2 y x DB AC O 二、填空题二、填空题 9. 【答案】【答案】a1 2 解析反比例函数 y=-2-1 =1-2 的图象有一支位于第四象限，1-2a1 2 . 10. 【答案】【答案】4 解析设 A(a，b)，B(a+m，b)，依题意得 b=1 ，b= 5 +， 1 = 5 +，化简得 m=4a. b=1 ，ab=1，S 平行四边形OABC=mb=4ab=4 1=4. 1
12、1. 【答案】【答案】2(答案不唯一) 【解析】根据反比例函数的图象在二、四象限，则 k0，如 k 2(答案不唯一) 12. 【答案】【答案】m1 【解析】在每个象限内，函数值 y 随 x 的增大而增大，双曲线在二、四 象限内，在函数 ym1 x 中，m10，即 m1. 13. 【答案】【答案】8 解析过点 B 作 BEx 轴，垂足为点 E，过点 A 作 AFx 轴，垂足为点 F，直 线 AB 交 y 轴于点 D， 因为 ABC 与 ABE 同底等高， 所以 S ABE=S ABC=4， 因为四边形 ABEF 为矩形， 所以 S矩形ABEF=2S ABE=8， 因为 k1=S矩形OFAD，k2
13、=S矩形OEBD， 所以 k1-k2=S矩形OFAD-S矩形OEBD=S矩形ABEF=8. 14. 【答案】【答案】2 64 【解析】设点 A 的坐标为(x，y)，根据反比例函数的性质得，xy4，在 RtABO 中，由勾股定理得，OB2AB2OA2，x2y216，(xy)2x2y22xy16 824，又xy0，xy2 6，ABC 的周长2 64. 15. 【答案】【答案】4 【解析】反比例函数 y1k1 x (x0)及 y2k2 x (x0)的图象均在第一象限内， k10，k20，APx 轴，SOAP1 2k1，SOBP 1 2k2，SOABSOAPSOBP 1 2(k1k2) 2，解得 k1
14、k24. 16. 【答案】【答案】10 【解析】如解图，设 AM 与 x 轴交于点 C，MB 与 y 轴交于点 D，点 A、B 分别在反比例函数 y4 x上，根据反比例函数 k 的几何意义，可得 SACOSOBD 1 2 42， M(3，2)，S矩形MCOD3 26，S四边形MAOBSACOSOBDS矩形MCOD22610. 三、解答题三、解答题 17. 【答案】【答案】 解:(1)把 P(2，1)的坐标代入 y= ，得: 1= 2，m=2. (2)由(1)可知反比例函数解析式为 y=2 ， 2 =kx-4， 整理得:kx2-4x-2=0， 双曲线与直线有两个不同的交点，0， 即(-4)2-4
15、k (-2)0， 解得:k-2. 又k0， k 的取值范围为-2k0 时，不等式3 4xb k x的解集为 x1； (3)将 y0 代入 y1x4，得 x4， 点 B 的坐标为(4，0)， 将 y0 代入 y23 4x 9 4，得 x3， 点 C 的坐标为(3，0)， BC7， 又点 P 在 x 轴上，AP 把 ABC 的面积分成 13 两部分，且 ACP 和 ABP 等高， 当 PC1 4BC 时， SACP SABP 1 3， 此时点 P 的坐标为(37 4，0)， 即 P(5 4，0)； 当 BP1 4BC 时， ACP ABP S S 1 3， 此时点 P 的坐标为(47 4，0)，即
16、 P( 9 4，0)， 综上所述，满足条件的点 P 的坐标为(5 4，0)或( 9 4，0) 20. 【答案】【答案】 解：(1)把点 A(2，5)代入反比例函数的解析式 yk x， kxy10， 把(2，5)代入一次函数的解析式 yxb，(2 分) 52b， b3.(3 分) (2)由(1)知 k10，b3， 反比例函数的解析式是 y10 x ， 一次函数的解析式是 yx3. 解方程 x310 x ，(4 分) x23x100，(5 分) 解得 x12(舍去)，x25， 点 B 坐标是(5，2)， 反比例函数的值大于一次函数值，即反比例函数的图象在一次函数图象上方时，x 的取值范 围， 根据
17、图象可得不等式的解集是 x5 或 0 x2.(6 分) 21. 【答案】【答案】 【思维教练】(1)由题干条件知矩形的面积相等，可得矩形的长 宽等于定值，所以 y 关于 x 的函数表达式是反比例函数；将 y 的值带入反比例函数解析式中，求出 x 的求值范围即可； (2)设长为 x，用含长的代数式表示出宽，得出关于面积的分式方程，化为一元二次方程，再根 据根的判别式即可判断圆圆和方方说法的正误 解：(1)由题意得，1 3xy， y3 x(x0)；(2 分) 由已知 y3， 3 x3，0x1， x 的取值范围是 0x1；(4 分) (2)圆圆的说法不对，方方的说法对 理由：圆圆的说矩形的周长为 6
18、，xy3， x3 x3，化简得，x 23x30， (3)24 1 330， x5 13 2 ， x0， x5 13 2 ，y5 13 2 ， 所以方方的说法对(10 分) 22. 【答案】【答案】 解:(1)x-1 或 0x4. (2)把 A(-1，4)的坐标代入 y=2 ，得 k2=-4.y=-4 .点 B(4，n)在反比例函数 y=- 4 的图象上， n=-1.B(4，-1). 把 A(-1，4)，B(4，-1)的坐标代入 y=k1x+b， 得-1 + = 4， 41+ = -1，解得 1= -1， = 3. y=-x+3. (3)设直线 AB 与 y 轴交于点 C， 点 C 在直线 y=
19、-x+3 上，C(0，3). S AOB=1 2OC (|xA|+|xB|)= 1 2 3 (1+4)=7.5， 又S AOPS BOP=12， S AOP=1 3 7.5=2.5，S BOP=5. 又 S AOC=1 2 3 1=1.5，1.52.5， 点 P 在第一象限.S COP=2.5-1.5=1. 又 OC=3，1 2 3 xP=1，解得 xP= 2 3. 把 xP=2 3代入 y=-x+3，得 yP= 7 3. P 2 3 ， 7 3 . 23. 【答案】【答案】 解：(1)点 A(2，1)在反比例函数 ym x的图象上， 1m 2，即 m2.(1 分) 反比例函数的解析式为 y2
20、 x.(2 分) 点 B(1 2，n)在反比例函数 y 2 x的图象上， n2 1 2 4，即点 B 的坐标为(1 2，4) 将点 A(2，1)和点 B(1 2，4)分别代入 ykxb，得 2kb1 1 2kb4 ，解得 k2 b5， 一次函数的解析式为 y2x5.(5 分) (2)如解图，设直线 AB 交 y 轴于点 D. 令 y2x5 中 x0，得 y5，即点 D 的坐标是(0，5)， OD5.(7 分) 直线 y2 与 y 轴交于点 C， C 点的坐标是(0，2)，(8 分) CDOCOD7. SABCSACDSBCD1 2 7 2 1 2 7 1 27 7 4 21 4 .(10 分)
21、 24. 【答案】【答案】 解:(1)将点 P(-1，2)的坐标代入 y=mx， 得:2=-m，解得 m=-2， 正比例函数解析式为 y=-2x; 将点 P(-1，2)的坐标代入 y=-3 ， 得:2=-(n-3)，解得:n=1， 反比例函数解析式为 y=-2 . 解方程组 = -2， = - 2 ， 得1 = -1， 1= 2， 2 = 1， 2= -2， 点 A 的坐标为(1，-2). (2)证明:四边形 ABCD 是菱形， ACBD，ABCD， CPD=90 ，DCP=BAP， 即DCP=OAE. ABx 轴， AEO=CPD=90 ， CPDAEO. (3)点 A 的坐标为(1，-2)， AE=2，OE=1，AO=2+ 2=5. CPDAEO，CDP=AOE， sinCDB=sinAOE= = 2 5 =25 5 .
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