1、考前考前 20 天终极冲刺高考模拟考试卷（天终极冲刺高考模拟考试卷（5） 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。求的。 1已知集合 2 |43 0Ax xx ， |Bx xa ，若A B ，则实数a的取值范围是( ) A3， ) B(3,) C(，1 D(,1) 2复数 2 () 2 ai aR i 的虚部为( ) A 22 5 a B 4 5 a C 22 5 a D 4 5 a 3已知 sin1 2021a ， 2021 log(
2、sin1)b ，sin1c ，则a，b，c的大小关系为( ) Aab c Bbca Ccba Dbac 4若抛物线 2 2(0)ypx p上的点 0 (3,)Ay 到焦点的距离是点A到y轴距离的 3 倍，则 0 y等于( ) A6 2 B6 C12 2 D12 5已知随机变量X服从正态分布 2 ( ,)N ，若 (1)(5)1P xp x ，则 ( ) A1 B1 C2 D2 6已知函数 ( )sin(2)(0f xAxA ，| |) 2 部分图象如图所示，若对不同的m， 1 nx ， 2 x ，当 ( )( )f mf n 时，总有 ()1f mn ，则( ) A 21 xx ， 6 B 2
3、1 2 xx ， 3 C 21 xx ， 3 D 21 2 xx ， 6 7已知alnb， 1cd，则 22 ()()acbd的最小值是( ) A1 B2 C2 D2 2 8如图，三棱柱 111 ABCABC 中，4AB ，3AC ，5BC ， 1 6AA ，D为 1 CC中点，E为 1 BB上一点， 1 3BBBE， 1 60A AC，M为平面 11 AAC C上一点，且/ /BM 平面ADE，则点M的轨迹的长度为( ) A1 B2 C3 D2 二、二、选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在
4、每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的对分，部分选对的对 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9关于多项式 6 2 ()x x 的展开式，下列结论正确的是( ) A各项系数之和为 1 B二项式系数之和为 6 2 C存在常数项 D 4 x的系数为 12 10某高中积极响应国家“阳光体育运动的号召，为确保学生每天一小时体育锻炼，调查该校 3000 名学 生每周平均参加体育锻炼时间的情况，从高一、高二、高三三个年级学生中按照4:3:3的比例分层抽样， 收集 300 名学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时），整理后得到如图所示的
5、频率分布直方 图下列说法正确的是( ) A估计该校学生每周平均体育运动时间为 5.8 小时 B估计高一年级每周平均体育运动时间不足 4 小时的人数约为 300 人 C估计该校学生每周平均体育运动时间不少于 8 小时的百分比为10% D估计该校学生每周平均体育运动时间不少于 8 小时的人数约为 600 人 11已知x，y R ，且满足 22 422xyxy，下列正确的选项有( ) Axy的最大值为 1 3 Bxy的最大值为 1 2 C 22 4xy的取值可以为 4 3 D 22 4xy的取值可以为 4 12 已知 1 F， 2 F分别为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左
6、、 右焦点，C的一条渐近线l的方程为3yx， 且 1 F到l的距离为3 3，点P为C在第一象限上的点，点Q的坐标为(2,0)，PQ为 12 F PF 的平分线，则下 列正确的是( ) A双曲线的方程为 22 1 927 xy B 1 2 | 2 | PF PF C 12 | 3 6PFPF D点P到x轴的距离为 3 15 2 三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13曲线 ( )sin2cos1f xxx 在点( 2 ，0)处的切线方程为 14已知随机事件A和B相互独立，若 ()0.36P AB ，( )0.6(P AA表示事件A的对
7、立事件），则P（B） 15所谓正多面体，是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角例如： 正四面体（即正棱锥体）的四个面都是全等的三角形，每个顶点有一个三面角，共有四个三面角，可以完 全重合，也就是说它们是全等的毕达哥拉斯学派将正多面体称为宇宙体，并指出只有五种宇宙体，即正 四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体由棱长为 1 的正方体的六个表面的中心可构成 一正八面体，则该正八面体的内切球的表面积为 16如图，平面凹四边形ABCD，其中5AB ，8BC ， 60ABC，120ADC，则四边形ABCD面 积的最小值为 四、四、解答题：本题共解答题：本题共 6
8、 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 2b ，3c ，三角形ABC的 面积为 3 3 2 （1）求BC边上的高； （2）求sin( 2 )AC 18设数列 n a 的前n项和为 n S，若满足 1 32(1) nn SSn ，且 1 2a （1）证明：数列 1 n a 是等比数列； （2）判断数列 1 23 n nn a a 的前n项和 n T与 1 2 的大小关系，并说明理由 19如图，正四棱锥SABCD中，4SA ，2AB ，E为棱SC上的动
9、点 （1）若E为棱SC的中点，求证：/ /SA平面BDE； （2）若E满足3SEEC，求异面直线SA与BE所成角的余弦值 20高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平 行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从 高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉 入高尔顿板下方的某一球槽内如图 1 所示的高尔顿板有 7 层小木块，小球从通道口落下，第一次与第 2 层中间的小木块碰撞， 以 1 2 的概率向左或向右滚下， 依次经过 6 次与小木块碰撞， 最后
10、掉入编号为 1， 2， ， 7 的球槽内例如小球要掉入 3 号球槽，则在 6 次碰撞中有 2 次向右 4 次向左滚下 （）如图 1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入 5 号球槽的概率； （）小红、小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动小 红使用图 1 所示的高尔顿板，付费 6 元可以玩一次游戏，小球掉入m号球槽得到的奖金为元，其中 |164|m 小明改进了高尔顿板（如图2)，首先将小木块减少成 5 层，然后使小球在下落的过程中与小 木块碰撞时，有 1 3 的概率向左， 2 3 的概率向右滚下，最后掉入编号为 1，2，5 的球槽内，改进高尔顿 板后只需付费
11、 4 元就可以玩一次游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为n元，其中 2 (4) .n两位同学的 高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由 21已知椭圆 22 22 :1(0) xy ab ab 的右焦点为 (F c，0)(0)c ，离心率为 3 2 ，经过F且垂直于x轴的直 线交于第一象限的点M，O为坐标原点，且 13 | 2 OM （）求椭圆的方程； （）设不经过原点O且斜率为 1 2 的直线交椭圆于A，B两点，A，B关于原点O对称的点分别是C， D，试判断四边形ABCD的面积有没有最大值若有，请求出最大值；若没有，请说明理由 22已知函数 2 1 (
12、 )2 2 f xxmxlnxn 在点(1，f（1）)处的切线垂直于y轴 （）求 ( )f x的单调区间； （）若 ( )f x存在三个都为正数的零点，求证：任意两个零点的差小于 2 考前考前 20 天终极冲刺高考模拟考试卷（天终极冲刺高考模拟考试卷（5）答案）答案 1解：因为集合 2 |43 0 |13Ax xxxx剟?， 又A B ， 所以3a 故选：A 2解：复数 2(2 )(2)224 2(2)(2)55 aiaiiaa i iii z的虚部为 4 5 a ， 故选：D 3解：0sin11， sin10 202120211， 20212021 log(sin1)log10 ， bca
13、故选：B 4解：抛物线 2 2(0)ypx p上的点 0 (3,)Ay 到焦点的距离是点A到y轴距离的 3 倍，可得3 9 2 p ，解得 12p ，所以抛物线方程为： 2 24yx，抛物线 2 2(0)ypx p上的点 0 (3,)Ay ， 可得 2 0 24 3y ，解得 0 6 2y 故选：A 5解：因为随机变量X服从正态分布 2 ( ,)N ，对称轴为X ， 又 (1)(5)1P XP X ，而 (1)(1)1P XP X ， 所以 (5)(1)P XP X厔 ，所以 5 和1关于对称轴对称， 则 5( 1) 2 2 ， 故选：D 6解：根据函数 ( )sin(2)(0f xAxA ，
14、|) 2 部分图象，可得 2A， 函数的周期为 2 2 ， 21 1 22 xxT ，故排除A、C 对不同的m， 1 nx ， 2 x，当( )( )f mf n 时，总有 ()1f mn ， 12 2222 222 xxmn ， 2 2 mn ， 故 ()2sin(2)2sin1f mn ， 6 ， 故选：D 7解：根据题意，alnb，则( , ) b a是曲线:C ylnx 上的点， 1cd，则( , )d c是直线:1l yx上的点； 则 22 ()()acbd可看成曲线C上的点到直线l上的点的距离的平方 对函数y lnx 求导得 1 y x ，令 1y ，得1x ， 所以，曲线C上一点
15、到直线l上距离最小的点为(1,0)， 该点到直线l的距离 |1 0 1| 2 1 1 d 因此， 22 ()()acbd的最小值为 2； 故选：C 8解：由题意得2BE ，3CD ，在CD上取点 1 M，使 1 2M D ， 1 1M C ，则 1 / /M DBE且 1 M DBE ， 所以四边形 1 BEDM是平行四边形，所以 1/ / BMDE 在AC上取点 2 M，使 2 2M A ， 2 1M C ，则 12 12 1 2 CMCM M DM A ，所以 12/ / M MAD 又 1121 BMM MM ，DE ADD ， 所以平面 12/ / BM M 平面ADE，所以点M的轨迹
16、就是线段 12 M M， 在 12 CM M中， 12 1CMCM， 12 120M CM， 由余弦定理得 22 121212 2cos1203M MBMBMBMBM 12 3M M ， 故选：C 9解：对于多项式 6 2 ()x x 的展开式，令1x ，可得各项系数之和为 1，故A正确； 二项式系数和为 6 264，故B正确； 根据它的通项公式为 626 16 2( 1) rrrr r TCx ，当3r 时，x的幂指数等于零，故第四项为常数项，故C正 确； 令展开式中x的幂指数等于 4，求得5r ，可得展开式中 4 x的系数为 5 6 2 ( 1)12C ， 故D错误， 故选：ABC 10解
17、：对于A，估计该校学生每周平均体育运动时间为 1 0.053 0.250.370.2590.1511 0.055.8 小时，故选项A正确； 对于B，高一年级的总人数为 4 30001200 10 人， 由频率分布直方图可知，该校学生每周平均体育运动时间不足 4 小时的频率为(0.025 0.1)20.25 ， 所以估计高一年级每周平均体育运动时间不足 4 小时的人数约为12000.25300人，故选项B正确； 对于C， 该校学生每周平均体育运动时间不少于 8 小时的百分比为(0.075 0.025)220% ， 故选项C错误； 对于D，该校学生每周平均体育运动时间不少于 8 小时的人数约为30
18、000.2600人，故选项D正确 故选：ABD 11 解： 对于A，B： 由 22 1 242426 3 xyxyxyxyxyxy厔 ， 当且仅当 6 2 3 xy 时， 等号成立， 故A正确，B错误， 对于C，D：由 22 22222222 434 2424(4)4 223 xy xyxy xyxyxy 剠，当且仅当 6 2 3 xy 时，等号成立，故 22 4xy的取值可以为 4 3 ，也可以为 4，故C，D正确， 故选：ACD 12解：渐近线l的方程为3yx ， 3 b a ， 1( ,0)Fc 到l的距离为3 3， 2 |()| 3 3 1( ) b c a b b a ， 3a， 双
19、曲线的标准方程为 22 1 927 xy ，即选项A正确； 22 9276cab ， 1( 6,0) F ， 2(6,0) F ， 由角分线定理知， 11 22 |8 2 |4 PFFQ PFQF ，即选项B正确； 由双曲线的定义知， 12 | 26PFPFa ， 112 | 12 |PFFF ， 2 | 6PF ， 在等腰 12 PFF中， 2 21 12 1 | 31 2 cos |124 PF PF F FF ， 2 2121 15 sin1 4 PF FcosPF F， 2221 19 | cos66 42 P xOFPFPF F ， 221 153 15 | sin6 42 P yP
20、FPF F，即选项D正确； 22 93 15 |( )()3 6 22 OP， 12 | |2| 2| 6 6PFPFOPOP，即选项C错误 故选：ABD 13解： ( )sin2cos1f xxx 的导数为 ( )cos2sinfxxx ， 可得曲线 ( )sin2cos1f xxx 在点( 2 ，0)处的切线的斜率为 ()cos2sin2 222 f ， 则切线的方程为02() 2 yx ， 即为2 0 xy 故答案为：2 0 xy 14解：随机事件A和B相互独立， ()0.36P AB ，( )0.6(P AA表示事件A的对立事件）， P（A）10.60.4 ， P（B） ()0.36
21、0.9 ( )0.4 P AB P A 故答案为：0.9 15解：由对称性可知，正八面体的内切球的球心为正方体的中心，设为O， 则O到其中一个面ABC的距离即为内切球的半径，设为R， 由正方体的棱长为 1，可得 2 2 ABBCAC， 由 A BOCOABC VV ，可得 1111111223 3222232222 R， 可得 3 6 R 该正八面体的内切球的表面积为 2 3 4() 63 S 故答案为： 3 16解：连接AC，则 1 sin10 3 2 ABCDABCADCADCADC SSSAB BCABCSS ， 又 222 2cos49ACABBCAB BCABC，故 7AC ， 在A
22、DC中， 22222 492cos3ACADDCAD DCADCADDCAD DCAD DC， 故 49 3 AD DC ，故 1349 3 sin 2412 ADC SAD DCADCAD DC ， 故 49 371 3 10 310 3 1212 ABCDADC SS， 故四边形ABCD面积的最小值为 71 3 12 ，当且仅当 7 3 3 ADDC时“”成立， 故答案为： 71 3 12 17解：（1）因为2b ，3c ，三角形ABC的面积为 3 311 sin2 3 sin 222 bcAA ， 解得 3 sin 2 A， 因为A为锐角，可得 3 A ， 由余弦定理可得 2222 23
23、2 37abcbc ， 设BC边上的高为h，则 113 3 7 222 ahh， 解得 3 21 7 h 即BC边上的高为 3 21 7 （2）因为 222 7497 cos 214272 abc C ab ， 可得 2 3 21 sin1 14 Ccos C， 3 3 sin22sincos 14 CCC， 2 13 cos22cos1 14 CC ， 所以 31313 34 3 sin(2 )sincos2cossin2() 2142147 ACACAC 18（1）证明：由 1 32(1) nn SSn 可得： 1 32 (2) nn SSn n ， 两式相减得： 1 32 nn aa ，
24、2n， 又当1n 时，有 21 34SS ，即 211 2432aaa 也适合上式， 1 32 nn aa ， 1 13(1) nn aa ， 又 1 130a ， 数列1 n a 是首项、公比均为 3 的等比数列； （2）解：由（1）可知13n n a ，即31 n n a ， 11 1 2 32 311 (31)(31)3131 nn nnnn nn a a ， 122311 111111111 3131313131312312 n nnn T 19（1）证明：连结AC交BD于点O，则O为AC的中点，连结OE， 因为E为SC的中点，所以/ /SAOE， 因为SA平面BDE，OE 平面BDE
25、， 所以/ /SA平面BDE； （2）解：因为SABCD是正四棱锥，所以O为顶点S在底面的射影， 故SO 底面ABCD，且ACBD， 故以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 因为4SA ，2AB ，3SEEC， 则( 2,0,0), (0,0,3 2), (0, 2,0), (2,0,0)ASBC ， 3 23 2 (,0,) 44 E ， 所以( 2,0, 3 2)SA， 3 23 2 (,2,) 44 BE ， 则 |66 85 |cos,| 85|17 2 5 2 SA BE SA BE SA BE ， 故异面直线SA与BE所成角的余弦值为 6 85 85 20高解：（）设这个
26、小球掉入 5 号球槽为事件A掉入 5 号球槽，需要向右 4 次向左 2 次， 所以P（A） 224 6 1115 ( ) ( ) 2264 C 所以这个小球掉入 5 号球槽的概率为 15 64 （4 分） （） 小红的收益计算如下： 每一次游戏中，的可能取值为 0， 4， 8， 333 6 115 12. (0)(4)( ) ( ) 2216 PP mC ， 224442 66 111115 (4)(3)(5)( ) ( )( ) ( ) 222232 PP mP mCC ， 1555 66 11113 (8)(2)(6)( )( )( ) ( ) 222216 PP mP mCC ， 066
27、6 66 111 (12)(1)(7)( )( ) 2232 PP mP mCC 0 4 8 12 P 5 16 15 32 3 16 1 32 一次游戏付出的奖金 5153115 04812 163216324 E ， 则小红的收益为 159 6 44 （8 分） 小明的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为 0，1，4，9 33 4 1232 (0)(4)( )( ) 3381 PP nC， 22244 44 12240 (1)(3)(5)( ) ( )( ) 33381 PP nP nCC， 13 4 128 (4)(2)( ) ( ) 3381 PP nC ， 4 11 (9)(1)
28、( ) 381 PP n 的分布列为： 0 1 4 9 P 32 81 40 81 8 81 1 81 一次游戏付出的奖金 324081 01491 81818181 E ，则小明的收益为413 9 3 4 ，小明的盈利多（12 分） 21解：（）由题意知 3 2 c a ，即 22 4 3 ac ， 由 222 abc，可得 2 2 3 c b ， 联立 22 22 1 xc xy ab ，解得 2 xc b y a ， 则点 2 ( ,) b M c a ， 则 2 22 13 |() 2 b OMc a ， 联立，解得3c ，2a ，1b ， 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y （
29、）设直线AB的方程为 1 2 yxm ， 联立 2 2 1 2 1 4 yxm x y ，得 22 244(1)0 xmxm， 所以 222 (4 )4 2 4(1)16(2)0mmm ，解得22m， 则 12 2xxm ， 2 1 2 2(1)x xm， 则 22 121212 15 |1( ) |()4 22 ABxxxxx x 222 55 ( 2 )42(1)84 22 mmm， 原点O到直线AB的距离为 4 5 2| 5 ddm ， 显然四边形ABCD是平行四边形， 所以 2 54 5 84 25 ABCD SAB dmm 四边形 22 22222 114(84) 2(84)24(8
30、4) 24 442 mm mmmm ， 当且仅当 22 484mm，即 1m 时，取等号， 所以四边形ABCD的面积存在最大值，且最大值为 4 22解：（）的导数为 ， 因为在点，（1） 处的切线垂直于轴， 所以（1），即，得， 则， 所以，时，； 时， 所以在区间、单调递增，在区间单调递减 （）证明：设的三个正数的零点分别为，且 则（a）（b）（c）， 由（）可得的极小值为（2），极大值为（2）， 则 欲证明任意两个零点的差小于 2，只需证明，即 因为，且在上单调递增， 2 1 ( )2 2 f xxmxlnxn 2 ( )fxxm x ( )f x(1f) y f 030m 3m 2 23
31、2(1)(2) ( )3 xxxx fxx xxx (0 x1)(2)( )0fx (1,2)x( )0fx ( )f x(0,1)(2,)(1,2) ( )f xabc0abc fffn ( )f xf2 24lnnf 5 2 n 5 (224,) 2 nln 2ca2ca 2c 22a ( )f x(2,) 只需要证明（a）（c） 构造， ， 所以在区间上单减，在上单增， ， 现证明： 令， 则在上单调递减， 所以（1），而，得证， 所以，（c）（a），得证 所以结论成立 ff(2)f a ( )(2)( )22 (2)24g xf xf xxln xlnx(0,1)x 2 2(22) ( ) (2) xx g x x x ( )g x (0, 31)( 31,1) ( )( 31)2 362 ( 31)2 ( 31)2 3622 ( 31)2( 32)( 31) min g xglnlnlnelnln ( 31)32ln ( )1(01)h xlnxxx 1 ( )0 x h x x ( )h x(0,1) ( )h xh0 31(0,1) ( 31)32ln (0,1)a ff(2)f a
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