1、专题专题 51 51 勾股定理的多种证明方法勾股定理的多种证明方法 勾股定理具体内容是：勾股定理具体内容是：如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a 2b2=c2。 历史上证明勾股定理有很多方法，每种方法都含有科学思维、科学探究的过程，每一种证明方法都利 用数学观念，数学知识。每一种方法都体现一名数学家为科学付出的情怀。在证明勾股定理的长河中，参 与的人有的是学者，有的是著名的科学家，还有的是政治家，比如总统。通过学习勾股定理的证明，可以 品味各种拼图，方法各异，妙趣横生，证明思路别具匠心，极富创新。它们充分运用了几何图形的截、割、 拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既
2、具严密性，又具直观性，深刻体现了形数统一、代数和几何紧密 结合、互不可分的独特魅力。 勾股定理是对社会有重大影响的 10 大科学发现之一。早在 4000 多年前，中国的大禹曾在治理洪水的 过程中利用勾股定理来测量两地的地势差。迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有 500 余种，各种证法 融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力。 数学故事：数学故事：在 1876 年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美 景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德(Garfield)他发现附近的一个小石凳上，有两个小孩 正在谈论着什么由于好奇心的驱使，伽菲尔德
3、向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么只见 一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小 男孩头也不抬地说： “请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，那么斜边长为多少呢？”伽 菲尔德答到： “是 5 呀 ”小男孩又问道： “如果两条直角边分别为 5 和 7，那么这个直角三角形的斜边长又 是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到： “那斜边的平方一定等于 5 的平方加上 7 的平方 ”小男孩又说道： “先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下
4、的难题。他经过反复的思考与演算，终 于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 【例题【例题 1 1】如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a 2b2=c2。 【答案】见解析。 【解析】用四个相同的直角三角形(直角边为 a、b，斜边为 c)按下图拼法。 根据正方形面积公式得大正方形面积为： S=(a+b) 2 1 这个大正方形的面积等于 4 个小直角三角形面积之和再加上内部的小正方形的面积，即： S= 4 2 1 ab+ c 2. 2 由12 得 (a+b) 2= c2 + 4 2 1 ab 化简可得：a 2+b2 = c2 从而结论得到证明。 【例题 2】用 18
5、76 年美国第十七任总统加菲尔德 Garfield 的方法证明勾股定理 【答案】见解析。 【解析】以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 ab/2. 把 这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上. RtEAD RtCBE, ADE = BEC. AED + ADE = 90, AED + BEC = 90. DEC = 18090= 90. DEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于 2 1 c 2 又 DAE = 90, EBC = 90, ADBC. ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 S= 2 1 (a+b)
6、 2 1 又因为这个直角梯形的面积等于三个小三角形面积之和，即 S= 2 2 1 ab+ 2 1 c 2 2 由12 得 2 1 (a+b) 2= 2 2 1 ab+ 2 1 c 2 化简：. 从而结论得到证明。 1.用初中教材出现的方法证明勾股定理 【答案】见解析。 【解析】做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，再做三个边长分别 为 a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 222 cba 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等. 即 左边图形面积 S=a 2+b2 + 4 2 1 ab 右边图形面积 S= c
7、2 + 4 2 1 ab a 2+b2 + 4 2 1 ab= c 2 + 4 2 1 ab 整理得： 从而结论得到证明。 2.利用邹元治的方法证明勾股定理 【答案】见解析。 【解析】以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 2 1 ab. 把 这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上，B、F、C 三点在一条直线上，C、G、 D 三点在一条直线上. RtHAE RtEBF, AHE = BEF. AEH + AHE = 90, AEH + BEF = 90. HEF = 18090= 90. 四边形 EFGH 是一个边长为
8、 c 的正方形. 它的面积等于 c 2. 222 cba RtGDH RtHAE, HGD = EHA. HGD + GHD = 90, EHA + GHD = 90. 又 GHE = 90, DHA = 90+ 90= 180. ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于(a+b) 2。 又因为大正方形的面积等于 4 个小三角形面积之和再加上小正方形面积，所以 . 从而结论得到证明。 3.利用赵爽的方法证明勾股定理 【答案】见解析。 【解析】以 a、b 为直角边(ba)， 以 c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于 ab/2. 把这四个直角三角形拼成如
9、图所示形状. RtDAH RtABE, 2 2 2 1 4cabba 222 cba HDA = EAB. HAD + HAD = 90， EAB + HAD = 90， ABCD 是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 c 2. EF=FG =GH=HE=b-a , HEF=90. EFGH 是一个边长为 b-a 的正方形，它的面积等于(b-a) 2。 . . 从而结论得到证明。 4.利用梅文鼎的方法证明勾股定理 【答案】见解析。 【解析】做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b ，斜边长为 c. 把它们拼成如图那 样的一个多边形，使 D、E、F 在一条直线上. 过 C
10、作 AC 的延长线交 DF 于点 P. D、E、F 在一条直线上, 且 RtGEF RtEBD, EGF = BED， EGF + GEF = 90， BED + GEF = 90， 2 2 2 1 4cabab 222 cba BEG =18090= 90. 又 AB=BE=EG=GA=c， ABEG 是一个边长为 c 的正方形. ABC + CBE = 90. RtABC RtEBD, ABC = EBD. EBD + CBE = 90. 即 CBD= 90. 又 BDE=90，BCP=90， BC=BD=a. BDPC 是一个边长为 a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为 b 的正
11、方形. 设多边形 GHCBE 的面积为 S，则 从而结论得到证明。 5.利用项明达的方法证明勾股定理 【答案】见解析。 【解析】做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b(ba) ，斜边长为 c. 再做一个边 长为 c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使 E、A、C 三点在一条直线上. , 2 1 2 22 abSba abSc 2 1 2 2 222 cba 过点 Q 作 QPBC，交 AC 于点 P. 过点 B 作 BMPQ，垂足为 M； 再过点 F 作 FNPQ，垂足为 N. BCA = 90，QPBC， MPC = 90， BMPQ， BMP = 90， BCP
12、M 是一个矩形，即MBC = 90. QBM + MBA = QBA = 90， ABC + MBA = MBC = 90， QBM = ABC， 又 BMP = 90，BCA = 90，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA. 同理可证 RtQNF RtAEF. 这时我们容易知道矩形 BCPM 是边长为 a 的正方形，矩形 EFNP 是边长为 b 的正方形， 设多边形 FNMBA 的面积为 S，则 从而结论得到证明。 6.利用欧几里得的方法证明勾股定理 【答案】见解析。 【解析】做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H、C、B 三点在一条直线上， 连结
13、 BF、CD. 过 C 作 CLDE，交 AB 于点 M，交 DE 于点 L. AF = AC，AB = AD， FAB = GAD， FAB GAD， FAB 的面积等于 2 1 a 2 , 2 1 2 22 abSba abSc 2 1 2 2 222 cba GAD 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半， 矩形 ADLM 的面积 =. 同理可证，矩形 MLEB 的面积 =. 正方形 ADEB 的面积= 矩形 ADLM 的面积 + 矩形 MLEB 的面积 ，即 . 从而结论得到证明。 7.利用辛卜松的方法证明勾股定理 【答案】见解析。 【解析】设直角三角形两直角边的长分别为 a、b，斜边
14、的长为 c. 作边长是 a+b 的正方形 ABCD. 把正方形 ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形 ABCD 的面积为 ； 把正方形 ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形 ABCD 的面积为 =. , 2 a 2 b 222 bac 222 cba abbaba2 22 2 2 2 2 1 4cabba 2 2cab 222 22cababba . 从而结论得到证明。 8.利用相似三角形性质证明勾股定理 【答案】见解析。 【解析】如图，在 RtABC 中，设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b，斜边 AB 的长为 c，过点 C 作 CDAB， 垂足是 D. 在AD
15、C 和ACB 中， ADC = ACB = 90， CAD = BAC， ADC ACB. ADAC = AC AB， 即 . 同理可证，CDB ACB，从而有 . 即 . 从而结论得到证明。 9.利用杨作玫方法证明勾股定理 222 cba ABADAC 2 ABBDBC 2 222 ABABDBADBCAC 222 cba 【答案】见解析。 【解析】做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b(ba)，斜边长为 c. 再做一个边长 为 c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过 A 作 AFAC，AF 交 GT 于 F，AF 交 DT 于 R. 过 B 作 BP AF，垂
16、足为 P. 过 D 作 DE 与 CB 的延长线垂直，垂足为 E，DE 交 AF 于 H. BAD = 90，PAC = 90， DAH = BAC. 又 DHA = 90，BCA = 90， AD = AB = c， RtDHA RtBCA. DH = BC = a，AH = AC = b. 由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 RtAPB RtBCA. 即 PB = CA = b，AP= a，从而 PH = ba. RtDGT RtBCA , RtDHA RtBCA. RtDGT RtDHA . DH = DG = a，GDT = HDA . 又 DGT = 90，DHF = 90，
17、 GDH = GDT + TDH = HDA+ TDH = 90， DGFH 是一个边长为 a 的正方形. GF = FH = a . TFAF，TF = GTGF = ba . TFPB 是一个直角梯形，上底 TF=ba，下底 BP= b，高 FP=a +(ba). 用数字表示面积的编号(如图)，则以 c 为边长的正方形的面积为 = ， ， = . 把代入，得 = = . . 从而结论得到证明。 10.利用陈杰方法证明勾股定理 【答案】见解析。 【解析】设直角三角形两直角边的长分别为 a、b(ba)，斜边的长为 c. 做三个边长分别为 a、b、c 的正方 形，把它们拼成如图所示形状，使 A、
18、E、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号(如图). 54321 2 SSSSSc abaabbSSS 2 1 438 abb 2 1 2 985 SSS 8 2 43 2 1 SabbSS 81 2 SSb 9881 2 21 2 SSSSbSSc 92 2 SSb 22 ab 222 cba TBE = ABH = 90， TBH = ABE. 又 BTH = BEA = 90， BT = BE = b， RtHBT RtABE. HT = AE = a. GH = GTHT = ba. 又 GHF + BHT = 90， DBC + BHT = TBH + BHT = 90， GH
19、F = DBC. DB = EBED = ba， HGF = BDC = 90， RtHGF RtBDC. 即 . 过 Q 作 QMAG，垂足是 M. 由BAQ = BEA = 90，可知 ABE = QAM，而 AB = AQ = c，所以 RtABE RtQAM . 又 RtHBT RtABE. 所以 RtHBT RtQAM . 即 . 27 SS 58 SS 由 RtABE RtQAM，又得 QM = AE = a，AQM = BAE. AQM + FQM = 90，BAE + CAR = 90，AQM = BAE， FQM = CAR. 又 QMF = ARC = 90，QM = AR
20、 = a， RtQMF RtARC. 即. ， 又 ， = =， 即 . 从而结论得到证明。 11.利用切割线定理证明勾股定理 【答案】见解析。 【解析】在 RtABC 中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边 AB = c. 如图， 以 B 为圆心 a 为半径作圆，交 AB 及 AB 的延长线分别于 D、E，则 BD = BE = BC = a. 因为BCA = 90， 64 SS 54321 2 SSSSSc 61 2 SSa 873 2 SSSb 27 SS 58 SS 64 SS 87361 22 SSSSSba 52341 SSSSS 2 c 222 cba 点 C 在B 上，
21、所以 AC 是B 的切线. 由切割线定理，得 = = = ， 即， . 从而结论得到证明。 12.利用托勒密定理证明勾股定理 【答案】见解析。 【解析】在 RtABC 中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边 AB = c(如图). 过点 A 作 ADCB，过点 B 作 BDCA，则 ACBD 为矩形，矩形 ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接 四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有 ， AB = DC = c，AD = BC = a， AC = BD = b， ，即 ， . ADAEAC 2 BDABBEAB acac 22 ac 222 acb 222 cba BDAC
22、BCADDCAB 222 ACBCAB 222 bac 222 cba 从而结论得到证明。 13.利用作直角三角形的内切圆方法证明勾股定理 【答案】见解析。 【解析】在 RtABC 中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边 AB = c. 作 RtABC 的内切圆O，切点分别为 D、 E、F(如图)，设O 的半径为 r. AE = AF，BF = BD，CD = CE， = = r + r = 2r, 即 ， . ， 即 ， ， ， 又 = = BFAFCDBDCEAEABBCAC CDCE rcba2 crba2 2 2 2crba 2222 42crcrabba abS ABC 2
23、1 ABC Sab 42 AOCBOCAOBABC SSSS brarcr 2 1 2 1 2 1 rcba 2 1 = = ， ， ， ， . 从而结论得到证明。 14.利用反证法证明勾股定理 【答案】见解析。 【解析】如图，在 RtABC 中，设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b，斜边 AB 的长为 c，过点 C 作 CDAB， 垂足是 D. 假设，即假设 ，则由 = 可知 ，或者 . 即 AD：ACAC：AB，或者 BD：BCBC：AB. 在ADC 和ACB 中， A = A， 若 AD：ACAC：AB，则 rccr2 2 1 rcr 2 ABC Srcr 44 2 abrcr24
24、 2 222 22cababba 222 cba 222 cba 222 ABBCAC ABABAB 2 BDADAB BDABADAB ADABAC 2 BDABBC 2 ADCACB. 在CDB 和ACB 中， B = B， 若 BD：BCBC：AB，则 CDBACB. 又 ACB = 90， ADC90，CDB90. 这与作法 CDAB 矛盾. 所以，的假设不能成立. . 从而结论得到证明。 15.利用射影定理证明勾股定理 【答案】见解析。 【解析】如图，在 RtABC 中，设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b，斜边 AB 的长为 c，过点 C 作 CDAB， 垂足是 D. . 根据射影定理，得 AC 2ADAB， BC 2BDBA 即 AC 2BC2ADABBDBAAB(ADBD)AB2 从而得 a 2+b2 = c2 222 ABBCAC 222 cba 从而结论得到证明。
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