1、 专题专题 49 中考数式图规律型试题解法中考数式图规律型试题解法 给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的 问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论这类问题成 为探索规律性问题。主要采用归纳法解决。 1.1.数字猜想型：数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通 过适当的计算回答问题 2.2.数式规律型：数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式 即函数关系式为主要内容 3.3.图形规律型：图形规律型：图形规律问
2、题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应 的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合 4.4.数形结合猜想型：数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以 数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决 相关问题 5.5.解题方法解题方法 规律探索问题的解题方法一般是通过观察、类比特殊情况(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等) 中数据特点，将数据进行分解重组、猜想、归纳得出规律，并用数学语言来表达这种规律，同时要用结论 去检验特殊情况，以肯定结论的正确 【例题【例题
3、1 1】(2019(2019 安徽合肥安徽合肥) )观察下列各组式子： 26 1 15 1 31 33 ； 126 2 111 353 515 ； 126 3 117 575 735 (1)请根据上面的规律写出第 4个式子； (2)请写出第n个式子，并证明你发现的规律 【答案】(1) 126 4 123 797 963 ；(2) 1261 21212121 n nnnn ， 证明见解析 【解析】(1) 126 4 123 797 963 (2) 1261 21212121 n nnnn 证明：等式左边 12 2121nn ， 2 2121 21 ?2121 ?21 nn nnnn 212 21
4、 21 ?21 nn nn 61 21 ?21 n nn 等式右边为 61 2121 n nn ，与等式左边计算出的结果相等， 1261 21212121 n nnnn 成立. 【点拨】本题主要考查了分式运算的规律探讨问题，根据题意正确总结归纳出相应的规律是解题关键. 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 湖南益阳湖南益阳) )观察下列等式： 32(1) 2， 52() 2， 72() 2， 请你根据以上规律，写出第 6 个等式 【答案】132() 2 【解析】第n个等式左边的第 1 个数为 2n+1，根号下的数为n(n+1)，利用完全平方公式得到第n个等式右 边的式子为() 2(n1
5、 的整数) 写出第 6 个等式为 132() 2 【例题【例题 2 2】(2019(2019 湖北咸宁湖北咸宁) )有一列数，按一定规律排列成 1，2，4，8，16，32，其中某三个相 邻数的积是 4 12，则这三个数的和是 【答案】384 【解析】根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是 4 12，可以求得这 三个数，从而可以求得这三个数的和 一列数为 1，2，4，8，16，32， 这列数的第n个数可以表示为(2) n1， 其中某三个相邻数的积是 4 12， 设这三个相邻的数为(2) n1、(2)n、(2)n+1， 则(2) n1(2)n(2)n+1412， 即
6、(2) 3n(22)12， (2) 3n224， 3n24， 解得，n8， 这三个数的和是：(2) 7+(2)8+(2)9(2)7(12+4) (128)3384 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 湖南常德湖南常德) )观察下列等式：7 01，717，7249，73343，742401，7516807， 根据其中的规律可得 7 0+71+72+72019的结果的个位数字是( ) A0 B1 C7 D8 【答案】A 【解析】首先得出尾数变化规律，进而得出 7 0+71+72+72019的结果的个位数字 7 01，717，7249，73343，742401，7516807， 个位数 4
7、 个数一循环， (2019+1)4505， 1+7+9+320， 7 0+71+72+72019的结果的个位数字是：0 【点拨】本题属于数字规律探究的问题。 【例题【例题 3 3】(2020(2020 贵州黔西南贵州黔西南) )如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第个图形中 一共有 3 个菱形， 第个图形中一共有 7 个菱形， 第个图形中一共有 13 个菱形， ， 按此规律排列下去， 第个图形中菱形的个数为_ 【答案】57 【解析】根据题意得出第 n 个图形中菱形的个数为 2 1nn；由此代入求得第个图形中菱形的个数 【详解】解：第个图形中一共有 3 个菱形， 2 312；
8、第个图形中共有 7 个菱形， 2 723； 第个图形中共有 13 个菱形， 2 1334； ， 第 n 个图形中菱形的个数为： 2 1nn； 则第个图形中菱形的个数为 2 77 157 【点拨】本题考查了整式加减的探究规律图形类找规律，其关键是根据已知图形找出规律 【对点练习】【对点练习】 如图， 将ABC沿着过BC的中点D的直线折叠， 使点B落在AC边上的B1处， 称为第一次操作， 折痕DE到AC的距离为h1；还原纸片后，再将BDE沿着过BD的中点D1的直线折叠，使点B落在DE边上的 B2处，称为第二次操作，折痕D1E1到AC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去经过第n次操作后得 到折痕D
9、n1En1，到AC的距离记为hn若h11，则hn的值为( ) A1+ B1+ C2 D2 【答案】C 【解析】D是BC的中点，折痕DE到AC的距离为h1 点B到DE的距离h11， D1是BD的中点，折痕D1E1到AC的距离记为h2， 点B到D1E1的距离h21+h11+， 同理：h3h2+h11+， h4h3+h11+ hn1+2 一、选择题一、选择题 1(2019 湖南张家界)如图，在平面直角坐标系中，将边长为 1 的正方形OABC绕点O顺时针旋转 45后得 到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转 2019 次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是(
10、) A(，) B(1，0) C(，) D(0，1) 【答案】A 【解析】四边形OABC是正方形，且OA1， A(0，1)， 将正方形OABC绕点O逆时针旋转 45后得到正方形OA1B1C1， A1(，)，A2(1，0)，A3(，)， 发现是 8 次一循环，所以 20198252余 3， 点A2019的坐标为(，) 2如图所示，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第 8 个图形中小正方形的个数是( ) A71 B78 C85 D89 【答案】D 【解析】第 1 个图形共有小正方形的个数为 22+1； 第 2 个图形共有小正方形的个数为 33+2； 第 3 个图形共有小正方形的个数为 44+3
11、； ； 则第 n 个图形共有小正方形的个数为(n+1) 2+n， 所以第 8 个图形共有小正方形的个数为：99+8=89 3.(2019湖北武汉)观察等式：2+2 2232；2+22+23242；2+22+23+24252已知按一定规律排列的一 组数：2 50、251.252.、299.2100若 250a，用含 a 的式子表示这组数的和是( ) A2a 22a B2a 22a2 C2a 2a D2a 2+a 【答案】C 【解析】2+2 2232； 2+2 2+23242； 2+2 2+23+24252； 2+2 2+23+2n2n+12， 2 50+251+252+299+2100 (2+2
12、 2+23+2100)(2+22+23+249) (2 1012)(2502) 2 101250， 2 50a， 2 101(250)222a2， 原式2a 2a 【点拨】本题属于数字和式子综合规律探究的问题。 4.(20194.(2019四川省达州市四川省达州市) )a是不为 1 的有理数，我们把称为a的差倒数，如 2 的差倒数为1， 1 的差倒数，已知a15，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，依此类 推，a2019的值是( ) A5 B C D 【答案】D 【解析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每 3 个数为一个循环组依次循环，用 2019 除以 3
13、，根据余数的情况确定出与a2019相同的数即可得解 a15， a2， a3， a45， 数列以 5，三个数依次不断循环， 20193673， a2019a3 5.(20195.(2019 成都成都) )如图所示，下列每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边(包括两个顶点)有 n 盆花，每个图案花盆总数是 S，按此推断 S 与 n 的关系式为( ) AS=3n BS=3(n1) CS=3n1 DS=3n+1 【答案】B 【解析】根据实际问题列一次函数关系式；规律型：图形的变化类 由图可知： 第一图：有花盆 3 个，每条边有 2 盆花，那么 3=3(21)； 第二图：有花盆 6 个，每条边
14、有 3 盆花，那么 6=3(31)； 第三图：有花盆 9 个，每条边有 4 盆花，那么 9=3(41)； 由此可知 S 与 n 的关系式为 S=3(n1) 根据图案组成的是三角形的形状，则其周长等于边长的 3 倍，但由于每个顶点重复了一次 所以 S=3n3，即 S=3(n1) 6.(20196.(2019 云南云南) )按一定规律排列的单项式：x 3，x5，x7，x9，x11，第 n个单项式是( ) A.(1) n1x2n1B.(1)nx2n1 C.(1) n1x2n1D.(1)nx2n1 【答案】C 【解析】观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负，可以用或，(为大于等于 1 的 整数)来控
15、制正负，指数为从第 3 开始的奇数，所以指数部分规律为 。 7 7(2019(2019 河南河南) )如图，小聪用一张面积为 1 的正方形纸片，按如下方式操作： 将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉； 在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第 2019 次操作时，余下纸片的面积为( ) A2 2019 B C D 【答案】C 1 ) 1( n1 ) 1( n n 12 n 【解析】正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开， 第一次：余下面积， 第二次：余下面积， 第三次：余下面积， 当完成第 2019 次操作时，余下纸片的面积为 8
16、 8(2019(2019 湖北宜昌湖北宜昌) )如图，在平面直角坐标系中，将边长为 1 的正方形OABC绕点O顺时针旋转 45后得到 正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转 2019 次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是( ) A(，) B(1，0) C(，) D(0，1) 【答案】A 【解析】四边形OABC是正方形，且OA1， A(0，1)， 将正方形OABC绕点O逆时针旋转 45后得到正方形OA1B1C1， A1(，)，A2(1，0)，A3(，)， 发现是 8 次一循环，所以 20198252余 3， 点A2019的坐标为(，) 9.(20199.
17、(2019湖北鄂州湖北鄂州) )如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3An在x轴上，B1、B2、B3Bn在直线y x上，若A1(1，0)，且A1B1A2、A2B2A3AnBnAn+1都是等边三角形，从左到右的小三角形(阴影部分)的面 积分别记为S1、S2、S3Sn则Sn可表示为( ) A2 2n B2 2n1 C2 2n2 D2 2n3 【答案】D 【解析】 直线yx与x轴的成角B1OA130， 可得OB2A230， ， OBnAn30， OB1A290， ， OBnAn+190；根据等腰三角形的性质可知A1B11，B2A2OA22，B3A34，BnAn2 n1；根据勾股定 理可得B1B
18、2，B2B32，BnBn+12 n ，再由面积公式即可求解； 解：A1B1A2、A2B2A3AnBnAn+1都是等边三角形， A1B1A2B2A3B3AnBn，B1A2B2A3B3A4BnAn+1，A1B1A2、A2B2A3AnBnAn+1都是等边三角形， 直线yx与x轴的成角B1OA130，OA1B1120， OB1A130， OA1A1B1， A1(1，0)， A1B11， 同理OB2A230，OBnAn30， B2A2OA22，B3A34，BnAn2 n1， 易得OB1A290，OBnAn+190， B1B2，B2B32，BnBn+12 n ， S11，S2222，Sn2 n12n 。
19、二、填空题二、填空题 1010(2019(2019 湖北咸宁湖北咸宁) )有一列数，按一定规律排列成 1，2，4，8，16，32，其中某三个相邻数的 积是 4 12，则这三个数的和是 【答案】384 【解析】根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是 4 12，可以求得这 三个数，从而可以求得这三个数的和 一列数为 1，2，4，8，16，32， 这列数的第n个数可以表示为(2) n1， 其中某三个相邻数的积是 4 12， 设这三个相邻的数为(2) n1、(2)n、(2)n+1， 则(2) n1(2)n(2)n+1412， 即(2) 3n(22)12， (2) 3n2
20、24， 3n24， 解得，n8， 这三个数的和是：(2) 7+(2)8+(2)9(2)7(12+4) (128)3384 1111(2019(2019 海南海南) )有 2019 个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和如果第 一个数是 0，第二个数是 1，那么前 6 个数的和是 ，这 2019 个数的和是 【答案】0，2 【解析】根据题意可以写出这组数据的前几个数，从而可以数字的变化规律，本题得以解决 解：由题意可得， 这列数为：0，1，1，0，1，1，0，1，1， 前 6 个数的和是：0+1+1+0+(1)+(1)0， 201963363， 这 2019 个数的和是
21、：0336+(0+1+1)2 12.(201912.(2019湖北省咸宁市湖北省咸宁市) )有一列数，按一定规律排列成 1，2，4，8，16，32，其中某三个相邻 数的积是 4 12，则这三个数的和是 【答案】384 【解析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律 根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是 4 12，可以求得这三个数， 从而可以求得这三个数的和 一列数为 1，2，4，8，16，32， 这列数的第n个数可以表示为(2) n1， 其中某三个相邻数的积是 4 12， 设这三个相邻的数为(2) n1.(2)n、(2)n+1
22、， 则(2) n1(2)n(2)n+1412， 即(2) 3n(22)12， (2) 3n224， 3n24， 解得，n8， 这三个数的和是： (2) 7+(2)8+(2)9(2)7(12+4)(128)3384 13.(201913.(2019四川省广安市四川省广安市) )如图， 在平面直角坐标系中， 点A1的坐标为(1， 0)， 以OA1为直角边作RtOA1A2， 并使A1OA260，再以OA2为直角边作RtOA2A3，并使A2OA360，再以OA3为直角边作RtOA3A4，并 使A3OA460按此规律进行下去，则点A2019的坐标为 【答案】(2 2017，22017 ) 【解析】通过解
23、直角三角形，依次求A1，A2，A3，A4，各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论 由题意得， A1的坐标为(1，0)， A2的坐标为(1，)， A3的坐标为(2，2)， A4的坐标为(8，0)， A5的坐标为(8，8)， A6的坐标为(16，16)， A7的坐标为(64，0)， 由上可知，A点的方位是每 6 个循环， 与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为 2 n1，其纵坐标为 0， 与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为 2 n2，纵坐标为 2n2 ， 与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为2 n2，纵坐标为 2n2 ， 与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为2 n
24、1，纵坐标为 0， 与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为2 n2，纵坐标为2n2 ， 与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为 2 n2，纵坐标为2n2 ， 201963363， 点A2019的方位与点A23的方位相同，在第二象限内，其横坐标为2 n222017， 纵坐标为 2 2017 14.(201914.(2019甘肃庆阳甘肃庆阳) )已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，按照这个规律写下去，第 9 个数 是 【答案】13a+21b 【解析】由题意得出从第 3 个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案 由题意知第 7 个数是 5a+8b，第 8 个
25、数是 8a+13b，第 9 个数是 13a+21b 15.(202015.(2020 云南模拟云南模拟) )观察下列各式：，设 n 表示 正整数，用关于 n 的等式表示这个规律是 【答案】： 【解析】题考查数字的变化规律，找出式子之间的联系，由特殊找出一般规律解决问题通过观察可以看 出两个数的和等于两个数的积，分数的分母比分子小一，而相乘的整数和相加的整数也比分母大一，由此 规律得出答案即可 由所给的各式可知，不妨设分母为 n，则分子为 n+1，另一个因数和加数也为 n+1，因此可知律为 故答案为： 16.(201916.(2019 湖南怀化湖南怀化) )探索与发现：下面是用分数(数字表示面积
26、)砌成的“分 数墙” ，则整面“分数墙”的总面积是 【答案】n1 【解析】由题意“分数墙”的总面积2+3+4+nn1， 故答案为n1 17.(201917.(2019贵州安顺贵州安顺) )如图，将从 1 开始的自然数按下规律排列，例如位于第 3 行、第 4 列的数是 12，则位 于第 45 行、第 7 列的数是 【答案】2019 【解析】观察图表可知：第n行第一个数是n 2， 第 45 行第一个数是 2025， 第 45 行、第 7 列的数是 202562019， 故答案为 2019 18.(201918.(2019海南省海南省) )有 2019 个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的
27、数等于前后两数的和如果 第一个数是 0，第二个数是 1，那么前 6 个数的和是 ，这 2019 个数的和是 【答案】0，2 【解析】根据题意可以写出这组数据的前几个数，从而可以数字的变化规律，本题得以解决 由题意可得， 这列数为：0，1，1，0，1，1，0，1，1， 前 6 个数的和是：0+1+1+0+(1)+(1)0， 201963363， 这 2019 个数的和是：0336+(0+1+1)2 19.(2019贵州铜仁)按一定规律排列的一列数依次为：，(a0)，按此规律排 列下去，这列数中的第 n 个数是_(n 为正整数) A(1) n B(1) n+1 C(1) n-1 D 【答案】A 【
28、解析】第 1 个数为(1) 1 ， 第 2 个数为(1) 2 ， 第 3 个数为(1) 3 ， 第 4 个数为(1) 4 ， ， 所以这列数中的第 n 个数是(1) n 故选 A。 20.如图，点B1在直线l：yx上，点B1的横坐标为 2，过B1作B1A11，交x轴于点A1，以A1B1为边，向 右作正方形A1B1B2C1， 延长B2C1交x轴于点A2； 以A2B2为边， 向右作正方形A2B2B3C2， 延长B3C2交x轴于点A3； 以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3延长B4C3交x轴于点A4；按照这个规律进行下去，点n的横坐标为 (结果用含正整数n的代数式表示) 【答案】 【解析】过
29、点B1、C1、C2、C3、C4分别作B1Dx轴，C1D1x轴，C2D2x轴，C3D3x轴，C4D4x轴， 垂足分别为D、D1、D2、D3、D4 点B1在直线l：yx上，点B1的横坐标为 2， 点B1的纵坐标为 1， 即：OD2，B1D1， 图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是 1：2， 点C1的横坐标为：2+() 0， 点C2的横坐标为：2+() 0+( ) 0 +() 1 +() 0 +() 1 点C3的横坐标为：2+() 0+( ) 0 +() 1+( ) 1 +() 2 +() 0 +() 1 +() 2 点C4的横坐标为：+() 0 +() 1 +() 2 +() 3 点n的
30、横坐标为：+() 0 +() 1 +() 2 +() 3 +() 4 +() n1 +() 0+( ) 1+( ) 2+( ) 3+( ) 4+( ) n1 故答案为： 2121(2019(2019 齐齐哈尔齐齐哈尔) )如图，直线l：yx+1 分别交x轴、y轴于点A和点A1，过点A1作A1B1l，交x 轴于点B1， 过点B1作B1A2x轴， 交直线l于点A2； 过点A2作A2B2l， 交x轴于点B2， 过点B2作B2A3x轴， 交直线l于点A3，依此规律，若图中阴影A1OB1的面积为S1，阴影A2B1B2的面积为S2，阴影A3B2B3的 面积为S3，则Sn 【答案】 【解析】直线l：yx+1
31、，当x0 时，y1；当y0 时，x A(，0)A1(0，1) OAA130 又A1B1l， OA1B130， 在 RtOA1B1中，OB1OA1， S1； 同理可求出：A2B1，B1B2， S2； 依次可求出：S3；S4；S5 因此：Sn 22已知 a0，S1=，S2=S11，S3=，S4=S31，S5=，(即当 n 为大于 1 的奇数时，Sn=； 当 n 为大于 1 的偶数时，Sn=Sn11)，按此规律，S2018= 【答案】 【解析】根据 Sn数的变化找出 Sn的值每 6 个一循环，结合 2018=3366+2，即可得出 S2018=S2，此题得解 【解答】解：S1=，S2=S11=1=，
32、S3=，S4=S31=1=，S5= (a+1)，S6=S51=(a+1)1=a，S7=， Sn的值每 6 个一循环 2018=3366+2， S2018=S2= 【点拨】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出 Sn的值每 6 个一循环是解题的关键 23如图，把 RtOAB置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点B的坐标为(3，0)，点P是 Rt OAB内切圆的圆心将 RtOAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后 圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2，依此规律，第 2019 次滚动后，RtOAB内切圆的圆心P2019的坐标 是 【答案】(8077
33、，1) 【解析】点A的坐标为(0，4)，点B的坐标为(3，0)， OA4，OB3， AB5， RtOAB内切圆的半径1， P的坐标为(1，1)， 将 RtOAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为P1，第二 次滚动后圆心为P2， P3(3+5+4+1，1)，即(13，1)， 每滚动 3 次一个循环， 20193673， 第 2019 次滚动后，RtOAB内切圆的圆心P2019的横坐标是 673(3+5+4)+1， 即P2019的横坐标是 8077， P2019的坐标是(8077，1)； 故答案为：(8077，1) 24如图，在平面直角坐标系中，矩形 AOCB
34、 的两边 OA、OC 分别在 x 轴和 y 轴上，且 OA=2，OC=1在第二 象限内，将矩形 AOCB 以原点 O 为位似中心放大为原来的倍，得到矩形 A1OC1B1，再将矩形 A1OC1B1以原点 O 为位似中心放大倍， 得到矩形A2OC2B2， 以此类推， 得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为 【答案】(，) 【解析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点 的坐标的比等于 k 或k，即可求得 Bn的坐标，然后根据矩形的性质即可求得对角线交点的坐标 在第二象限内，将矩形 AOCB 以原点 O 为位似中心放大为原来的倍， 矩形 A1O
35、C1B1与矩形 AOCB 是位似图形，点 B 与点 B1是对应点， OA=2，OC=1 点 B 的坐标为(2，1)， 点 B1的坐标为(2，1)， 将矩形 A1OC1B1以原点 O 为位似中心放大倍，得到矩形 A2OC2B2， B2(2，1)， Bn(2，1)， 矩形 AnOCnBn的对角线交点(2，1)，即(，)， 故答案为：(，) 25 (2020 通辽模拟)一列数 x1， x2， x3， ， 其中 x1= ， xn=(n 为不小于 2 的整数)， 则 x2015= 【答案】2 【解析】规律型：数字的变化类根据表达式求出前几个数不难发现，每三个数为一个循环组依次循环， 用 2015 除以
36、3，根据商和余数的情况确定 a2015的值即可 根据题意得，a2=2， a3=1， a4= ， ， 依此类推，每三个数为一个循环组依次循环， 20153=6712， a2015是第 671 个循环组的第 2 个数，与 a2相同， 即 a2015=2 【点拨】本题考查数字的变化规律，计算并观察出每三个数为一个循环组依次循环是解题的关键 26(2020 随州模拟)观察下列图形规律：当 n= 时，图形“”的个数和“”的个数相等 【答案】5 【解析】n=1 时， “”的个数是 3=31； n=2 时， “”的个数是 6=32； n=3 时， “”的个数是 9=33； n=4 时， “”的个数是 12=
37、34； 第 n 个图形中“”的个数是 3n； 又n=1 时， “”的个数是 1=； n=2 时， “”的个数是 3=； n=3 时， “”的个数是 6=； n=4 时， “”的个数是 10=； 第 n 个“”的个数是； 由 3n=， 可得 n 25n=0， 解得 n=5 或 n=0(舍去)， 当 n=5 时，图形“”的个数和“”的个数相等 【点拨】此题主要考查了规律型：图形的变化类问题，要熟练掌握，解答此类问题的关键是：首先应找出 图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求 解探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题 27.(2019
38、27.(2019山东泰安山东泰安) )在平面直角坐标系中， 直线l：yx+1与y轴交于点A1， 如图所示， 依次作正方形OA1B1C1， 正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，点A1，A2，A3，A4，在直线l上，点C1，C2， C3，C4，在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是 【答案】 (2 n1) 【解析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，利用 数形结合的思想解答 根据题意和函数图象可以求得点A1，A2，A3，A4的坐标，从而可以得到前n个正方形对角线长的和，本题得 以解决 由题意可得， 点A1的坐标为
39、(0，1)，点A2的坐标为(1，2)，点A3的坐标为(3，4)，点A4的坐标为(7，8)， OA11，C1A22，C2A34，C3A48， 前n个正方形对角线长的和是：(OA1+C1A2+C2A3+C3A4+Cn1An)(1+2+4+8+2 n1)， 设S1+2+4+8+2 n1，则 2S2+4+8+2n1+2n， 则 2SS2 n1， S2 n1， 1+2+4+8+2 n12n1， 前n个正方形对角线长的和是：(2 n1)。 2828(2019(2019山东潍坊山东潍坊) )如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径 分别为 1，2，3，按照“加 1”依次递
40、增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，都与x轴垂直，相邻两直线 的间距为l，其中l0与y轴重合若半径为 2 的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为 3 的圆与l2在第一象 限内交于点P2，半径为n+1 的圆与ln在第一象限内交于点Pn，则点Pn的坐标为 (n为正整 数) 【答案】(n，) 【解析】连OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，在RtOA1P1中，OA11，OP12，由勾股 定理得出A1P1，同理：A2P2，A3P3，得出P1的坐标为( 1，)，P2 的坐标为( 2，)，P3的坐标为(3，)，得出规律，即可得出结果 连接OP1，OP2，OP3，l1
41、、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，如图所示： 在RtOA1P1中，OA11，OP12， A1P1， 同理：A2P2，A3P3， P1的坐标为( 1，)，P2的坐标为( 2，)，P3的坐标为(3，)， 按照此规律可得点Pn的坐标是(n，)，即(n，) 故答案为：(n，) 三、解答题三、解答题 29.(2019四川自贡)阅读下列材料：小明为了计算 1+2+2 2+22017+22018的值，采用以下方法： 设 S1+2+2 2+22017+22018 则 2S2+2 2+22018+22019 得 2SSS2 20191 S1+2+2 2+22017+22018220191 请仿照小明的
42、方法解决以下问题： (1)1+2+2 2+29_； (2)3+3 2+310_； (3)求 1+a+a 2+an的和(a0，n 是正整数，请写出计算过程) 【答案】见解析。 【解析】(1)设 S1+2+2 2+29 则 2S2+2 2+210 得 2SSS2 101 S1+2+2 2+292101； 故答案为：2 101 (2)设 S1+3+3 2+33+34+310 ， 则 3S3+3 2+33+34+35+311 ， 得 2S3 111， 所以 S 11 3 -1 2 ， 即 1+3+3 2+33+34+310 11 3 -1 2 ； 故答案为： 11 3 -1 2 ； (3)设 S1+a
43、+a 2+a3+a4+.+an， 则 aSa+a 2+a3+a4+.+an+an+1， 得：(a1)Sa n+11， 所以 S 1-1 1 n a a ， 即 1+a+a 2+a3+a4+.+an 1-1 1 n a a ， 3030(2019(2019 湖南张家界湖南张家界) )阅读下面的材料： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项排在第一位的数称为第一 项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an所 以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，an， 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于
44、同一个常数，那么这个数列叫做等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示如：数列 1，3，5，7，为等差数列，其中a11，a2 3，公差为d2 根据以上材料，解答下列问题： (1)等差数列 5，10，15，的公差d为 ，第 5 项是 (2)如果一个数列a1，a2，a3，an，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到a2a1d，a3a2 d，a4a3d，anan1d， 所以 a2a1+d a3a2+d(a1+d)+da1+2d， a4a3+d(a1+2d)+da1+3d， 由此，请你填空完成等差数列的通项公式：ana1+( )d （3）4041 是不是等差数列5，7，9的项？如果是
45、，是第几项？ 【答案】(1)5，25；(2)n1；(3)4041 是等差数列5，7，9的项， 它是此数列的第 2019 项 【解析】(1)根据题意得，d1055； a315， a4a3+d15+520， a5a4+d20+525， 故答案为：5；25 (2)a2a1+d a3a2+d(a1+d)+da1+2d， a4a3+d(a1+2d)+da1+3d， ana1+(n1)d 故答案为：n1 (3)根据题意得， 等差数列5，7，9的项的通项公式为：an52(n1)， 则52(n1)4041， 解之得：n2019 4041 是等差数列5，7，9的项，它是此数列的第 2019 项 31. (201
46、931. (2019四川自贡四川自贡) )阅读下列材料：小明为了计算 1+2+2 2+22017+22018的值，采用以下方法： 设S1+2+2 2+22017+22018 则 2S2+2 2+22018+22019 得 2SSS2 20191 S1+2+2 2+22017+22018220191 请仿照小明的方法解决以下问题： (1)1+2+2 2+29 ； (2)3+3 2+310 ； (3)求 1+a+a 2+an的和(a0，n 是正整数，请写出计算过程) 【答案】见解析。 【解析】(1)设S1+2+2 2+29 则 2S2+2 2+210 得 2SSS2 101 S1+2+2 2+292101； 故答案为：2 101 (2)设S1+3+3 2+33+34+310 ， 则 3S3+3 2+33+34+35+311 ， 得 2S3 111， 所以S， 即 1+3+3 2+33+34+310 ； 故答案为：； (3)设S1+a+a 2+a3+a4+.+an， 则aSa+a 2+a3+a4+.+an+an+1， 得：(a1)Sa n+11， 所以S， 即 1+a+a 2+a3+a4+an 。
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