1、 专题专题 45 45 待定系数法待定系数法 1.1.待定系数法的含义待定系数法的含义 一种求未知数的方法。 将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式， 这样就得到一个恒等式。 然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数， 或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。 2. 2. 待定系数法的应用待定系数法的应用 (1)分解因式 待定系数法是初中数学的一个重要方法。用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若 干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原 式恒等，然
2、后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。在初中竞赛 中经常出现。 a.确定所求问题含待定系数的解析式。 b.根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。 c.解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。 (2)求函数解析式 初中阶段主要有正比例函数、 反比例函数、 一次函数、 二次函数这几类函数， 前面三种分别可设 y=kx， y=k/x，y=kx+b 的形式(其中 k、b 为待定系数，且 k0)而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成 y=ax 2+bx+c(a、b、c 为待定系数)，y=a (xh) 2+k(a、k、h 为待定系数)，y=a (xx 1)(xx2
3、)( a、x1、x2 为待定系数)三类形式根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出 h、k、a、c、b、x1、x2 等待定系数一般步骤如下： a.写出函数解析式的一般式，其中包括未知的系数； b.把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组。 c.解方程(组)求出待定系数的值，从而写出函数解析式。 (3)解方程 例如： 已知一元二次方程的两根为 x1、 x2， 求二次项系数为 1 的一元二次方程时， 可设该方程为 x 2+mx+n=0， 则有(xx1)(xx2)=0， 即 x 2(x 1+x2)x+x1x2=0， 对应相同项的系数得 m=(x1+x2)，
4、n=x1x2， 所以所求方程为： x 2(x 1+x2)x+x1x2=0 (4)分式展开 首先用未知数表示化为部分分式和的形式，展开后，根据分子、分母的多项式分别相等可列出含有未 知数的方程组，解方程组，带入所设的部分和可得结果。也可以用代值法求系数。 【例题【例题 1 1】(2020(2020上海上海) )已知反比例函数的图象经过点(2，4)，那么这个反比例函数的解析式是( ) Ay= 2 By= 2 Cy= 8 Dy= 8 【答案】D 【分析】已知函数图象上一点的坐标求反比例函数解析式，可先设出解析式y= ，再将点的坐标代入求出 待定系数k的值，从而得出答案 【解析】设反比例函数解析式为y
5、= ， 将(2，4)代入，得：4= 2， 解得k8， 所以这个反比例函数解析式为y= 8 ， 【对点练习】【对点练习】(2020 乌鲁木齐模拟)如图，在直角坐标系 xOy 中，点 A，B 分别在 x 轴和 y 轴，= AOB 的角平分线与 OA 的垂直平分线交于点 C，与 AB 交于点 D，反比例函数 y= 的图象过点 C当以 CD 为边的正 方形的面积为 时，k 的值是( ) A 2 B 3 C 5 D 7 【答案】D 【解析】设 OA=3a，则 OB=4a， 设直线 AB 的解析式是 y=kx+b， 则根据题意得：， 解得：， 则直线 AB 的解析式是 y= x+4a， 直线 CD 是AO
6、B 的平分线，则 OD 的解析式是 y=x 根据题意得：， 解得： 则 D 的坐标是(，)， OA 的中垂线的解析式是 x=，则 C 的坐标是(，)，则 k= 以 CD 为边的正方形的面积为 ， 2() 2= ， 则 a 2= ， k= =7 【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，正确求得 C 和 D 的坐标是解决本题的关键 设 OA=3a，则 OB=4a，利用待定系数法即可求得直线 AB 的解析式，直线 CD 的解析式是 y=x，OA 的中垂线的 解析式是 x=，解方程组即可求得 C 和 D 的坐标，根据以 CD 为边的正方形的面积为 ，即 CD 2= ，据此即 可列方程求得 a 2的值
7、，则 k 即可求解 【例题【例题 2 2】(2020(2020遂宁遂宁) )如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(1，0)，连 结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y (k0)于 D、E两点，连结CE，交x 轴于点F (1)求双曲线y= (k0)和直线 DE的解析式 (2)求DEC的面积 【答案】见解析。 【分析】(1)作DMy轴于M，通过证得AOBDMA(AAS)，求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得 双曲线y= (k0)和直线 DE的解析式 (2)解析式联立求得E的坐标，然后根据勾股定理求得DE和DB，进而求得CN的长，即可根据
8、三角形面积公 式求得DEC的面积 【解析】点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(1，0)， OA2，OB1， 作DMy轴于M， 四边形ABCD是正方形， BAD90，ABAD， OAB+DAM90， OAB+ABO90， DAMABO， 在AOB和DMA中 = = = 90 = ， AOBDMA(AAS)， AMOB1，DMOA2， D(2，3)， 双曲线y (k0)经过 D点， k236， 双曲线为y= 6 ， 设直线DE的解析式为ymx+n， 把B(1，0)，D(2，3)代入得 + = 0 2 + = 3，解得 = 3 = 3， 直线DE的解析式为y3x3； (2)连接AC，交BD于N，
9、四边形ABCD是正方形， BD垂直平分AC，ACBD， 解 = 3 3 = 6 得 = 2 = 3或 = 1 = 6， E(1，6)， B(1，0)，D(2，3)， DE= (2 + 1)2+ (3 + 6)2=310，DB= (2 1)2+ 32= 10， CN= 1 2BD= 10 2 ， SDEC= 1 2DECN= 1 2 310 10 2 = 15 2 【对点练习】【对点练习】(2019 湖北黄冈)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(2，2)，B(2，0)，C(0，2)， D(2，0)四点，动点M以每秒个单位长度的速度沿BCD运动(M不与点B、点D重合)，设运动时间为 t(秒)
10、(1)求经过A、C、D三点的抛物线的解析式； (2)点P在(1)中的抛物线上，当M为BC的中点时，若PAMPBM，求点P的坐标； (3)当M在CD上运动时，如图过点M作MFx轴，垂足为F，MEAB，垂足为E设矩形MEBF与BCD 重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值； (4)点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H，与y轴交于点K是否存在点Q，使得HOK为等腰三 角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】见解析。 【解析】(1)设函数解析式为yax 2+bx+c， 将点A(2，2)，C(0，2)，D(2，0)代入解析式可得 ， ，
11、yx+2； (2)PAMPBM， PAPB，MAMB， 点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点， AB2， 点P的纵坐标是 1， 1x+2， x1+或x1， P(1，1)或P(1+，1)； (3)CMt2，MGCM2t4， MD4(BC+CM)4(2+t2)4t， MFMD4t， BF44+tt， S(GM+BF)MF(2t4+t)(4t)+8t8(t) 2+ ； 当t时，S最大值为； (3)设点Q(m，0)，直线BC的解析式yx+2， 直线AQ的解析式y(x+2)+2， K(0，)，H(，)， OK 2 ，OH 2 +，HK 2 +， 当OKOH时，+， m 24m80， m2+2或m22；
12、当OHHK时，+， m 280， m2或m2； 当OKHK时，+，不成立； 综上所述：Q(2+2，0)或Q(22，0)或Q(2，0)或Q(2，0)； 【点拨】本题考查二次函数综合；熟练应用待定系数法求函数解析式，掌握三角形全等的性质，直线交 点的求法是解题的关键 一、选择题一、选择题 1.(20201.(2020乐山乐山) )直线ykx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+b2 的解集是( ) Ax2 Bx4 Cx2 Dx4 【答案】C 【分析】根据待定系数法求得直线的解析式，然后求得函数y2 时的自变量的值，根据图象即可求得 【解析】直线ykx+b与x轴交于点(2，0)，与y轴
13、交于点(0，1)， 2 + = 0 = 1 ，解得 = 1 2 = 1 直线为y= 1 2 +1， 当y2 时，2= 1 2 +1，解得 x2， 由图象可知：不等式kx+b2 的解集是x2 2 2(2019(2019 桂林桂林) )如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A(4，0)，B(2，1)，C(3，0)，D(0，3)，当过 点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线l所表示的函数表达式为( ) Ayx+ Byx+ Cyx+1 Dyx+ 【答案】D 【解析】由A(4，0)，B(2，1)，C(3，0)，D(0，3)， AC7，DO3， 四边形ABCD分成面积AC(|yB|+3)1
14、4， 可求CD的直线解析式为yx+3， 设过B的直线l为ykx+b， 将点B代入解析式得ykx+2k1， 直线CD与该直线的交点为(，)， 直线ykx+2k1 与x轴的交点为(，0)， 7(3)(+1)， k或k0， k， 直线解析式为yx+ 3 明君社区有一块空地需要绿化， 某绿化组承担了此项任务， 绿化组工作一段时间后， 提高了工作效率 该 绿化组完成的绿化面积 S(单位：m 2)与工作时间 t(单位：h)之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作 效率前每小时完成的绿化面积是( ) A300m 2 B150m2 C330m2 D450m2 【答案】B 【解析】根据待定系数法可求直线 AB
15、 的解析式，再根据函数上点的坐标特征得出当 x=2 时，y 的值，再根 据工作效率=工作总量工作时间，列出算式求出该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积如图， 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，则 ， 解得 故直线 AB 的解析式为 y=450 x600， 当 x=2 时，y=4502600=300， 3002=150(m 2) 答：该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是 150m 2 4. 已知关于 x 的分式方程 2 1 a x 1 的解是非正数，则 a 的取值范围是( ) A.a1 B.a1，且 a2 C.a1，且 a2 D.a1 【解析】去分母，得 a2x1， 解得 x
16、a1 x0且 x10， a10，且 a11， a1，且 a2， a1，且 a2故选 B 5.(2019浙江绍兴)若三点(1，4)，(2，7)，(a，10)在同一直线上，则 a 的值等于( ) A1 B0 C3 D4 【答案】C 【解析】设经过(1，4)，(2，7)两点的直线解析式为 ykx+b， ， y3x+1， 将点(a，10)代入解析式，则 a3 二、填空题二、填空题 6.(2020(2020 年浙江金华模拟年浙江金华模拟) )如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数 k y(x0) x 的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F. 若点D的坐标为(
17、6，8)，则点F的坐 标是 【答案】 8 12 3 ，. 【解析】反比例函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；待定系数法的应用；菱形的性质；中点坐标； 方程思想的应用. 菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，点D的坐标为(6，8)， 22 ODDCOD6810.点B的坐标为(10，0)，点C的坐标为(16，8). 菱形的对角线的交点为点A，点A的坐标为(8，4). 反比例函数 k y(x0) x 的图象经过点A，k8 432 . 反比例函数为 32 y x . 设直线BC的解析式为ymxn， 4 m 16mn8 3 10mn040 n 3 . 7.若一个二次函数的二次项系数为1，且图象的顶点坐
18、标为(0,3).则这个二次函数的表达式为_ 【答案】y=x 23 【解析】抛物线二次项系数为-1，顶点坐标为(0，-3)， 抛物线的顶点式为 y=-(x0) 2-3, 即 y=-x 2-3 故答案为：y=-x 2-3。 三、解答题三、解答题 8 8 (2020(2020苏州苏州) )某商店代理销售一种水果， 六月份的销售利润y(元)与销售量x(kg)之间函数关系的图象如 图中折线所示请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题： (1)截止到 6 月 9 日，该商店销售这种水果一共获利多少元？ (2)求图象中线段BC所在直线对应的函数表达式 日期 销售记录 6 月 1 日 库存
19、 600kg，成本价 8 元/kg，售价 10 元/kg(除了促销降价，其他时间售价 保持不变) 6 月 9 日 从 6 月 1 日至今，一共售出 200kg 6 月 10、 11 日 这两天以成本价促销，之后售价恢复到 10 元/kg 6 月 12 日 补充进货 200kg，成本价 8.5 元/kg 6 月 30 日 800kg水果全部售完，一共获利 1200 元 【答案】见解析。 【分析】 (1)由表格信息可知， 从 6 月 1 日到 6 月 9 日， 成本价 8 元/kg， 售价 10 元/kg， 一共售出 200kg， 根据利润每千克的利润销售量列式计算即可； (2)设B点坐标为(a，
20、400)，根据题意列方程求出点B的坐标，设线段BC所在直线对应的函数表达式为 ykx+b，利用待定系数法解答即可 【解析】(1)200(108)400(元) 答：截止到 6 月 9 日，该商店销售这种水果一共获利 400 元； (2)设点B坐标为(a，400)，根据题意得： (108)(600a)+(108.5)2001200400， 解这个方程，得a350， 点B坐标为(350，400)， 设线段BC所在直线对应的函数表达式为ykx+b，则： 350 + = 400 800 + = 1200，解得 = 16 9 = 2000 9 ， 线段BC所在直线对应的函数表达式为 = 16 9 2000
21、 9 9 9(2020(2020陕西陕西) )某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术这种瓜苗早期在农科所的 温室中生长，长到大约 20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长研究表明，60 天内，这种瓜苗 生长的高度y(cm)与生长时间x(天)之间的关系大致如图所示 (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当这种瓜苗长到大约 80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后继续生长大约多少天，开始 开花结果？ 【分析】(1)分段函数，利用待定系数法解答即可； (2)利用(1)的结论，把y80 代入求出x的值即可解答 【解析】(1)当 0 x15 时，设ykx(k0)， 则：
22、2015k， 解得k= 4 3， y= 4 3； 当 15x60 时，设ykx+b(k0)， 则：20 = 15 + 170 = 60+ ， 解得 = 10 3 = 30 ， y= 10 3 30， = 4 3(0 15) 10 3 30(15 60) ； (2)当y80 时，80= 10 3 30，解得x33， 331518(天)， 这种瓜苗移至大棚后继续生长大约 18 天，开始开花结果 1010(2020(2020河北河北) )表格中的两组对应值满足一次函数ykx+b，现画出了它的图象为直线 1，如图而某同 学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图
23、象为直线l x 1 0 y 2 1 (1)求直线 1 的解析式； (2)请在图上画出直线l(不要求列表计算)，并求直线l被直线l和y轴所截线段的长； (3)设直线ya与直线 1，l及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值 【分析】(1)根据待定系数法求得即可； (2)画出直线l，求得两直线的交点，根据勾股定理即可求得直线l被直线l和y轴所截线段的长； (3)求得两条直线与直线ya的交点横坐标，分三种情况讨论求得即可 【解析】(1)直线l：ybx+k中，当x1 时，y2；当x0 时，y1， + = 2 = 1 ，解得 = 1 = 3， 直线 1的解析式为y3x+1； 直线
24、 1 的解析式为yx+3； (2)如图，解 = + 3 = 3 + 1得 = 1 = 4， 两直线的交点为(1，4)， 直线 1：y3x+1 与y轴的交点为(0，1)， 直线l被直线l和y轴所截线段的长为：12+ (4 1)2= 10； (3)把ya代入y3x+1 得，a3x+1，解得x= 1 3 ； 把ya代入yx+3 得，ax+3，解得xa3； 当a3+ 1 3 =0 时，a= 5 2， 当1 2(a3+0)= 1 3 时，a7， 当1 2( 1 3 +0)a3 时，a= 17 5 ， 直线ya与直线 1，l及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，则a的值为5 2或 7 或 17
25、 5 11.已知： 2 2 3232 xxABC x xxxxx ，求 A、B、C 的值。 【答案】A 1 3 、B 8 15 、C 4 5 【解析】去分母，得 x 2x2 A(x3)(x2)Bx(x2)Cx(x3) 根据恒等式定义，选择 x 的适当特定值，带入恒等式可直接求出 A，B，C 的值， 当 x0 时，有 26A，得 A 1 3 ； 当 x3 时，有 815B，得 B 8 15 ； 当 x2 时，有 810C，得 C 4 5 1212 20202020 上海模拟上海模拟某工厂生产一种产品，当生产数量至少为 10 吨，但不超过 50 吨时，每吨的成本 y万 元/吨与生产数量 x吨的函数
26、关系式如下图、 1求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域； 2当生产这种产品的总成本为 280 万元时，求该产品的生产数量。 注：总成本=每吨的成本生产数量 【答案】(1)y=x/10+1110 x50 (2)该产品的生产数量为 40 吨. 【解析】 1利用图象设 y 关于 x 的函数解析式为 y=kx+b， 将10，10 50，6代入解析式得： 解得： y=x/10+1110 x50 2当生产这种产品的总成本为 280 万元时， xx/10+11=280， 解得：x1=40，x2=70不合题意舍去 ， 故该产品的生产数量为 40 吨. 1313(2019(2019 辽宁抚顺辽宁抚顺
27、) )如图，抛物线yx 2+bx+c 与直线ymx+n交于B(0，4)，C(3，1)两点直线ymx+n 与x轴交于点A，P为直线AB上方的抛物线上一点，连接PB，PO (1)求抛物线的解析式 (2)如图 1，连接PC，OC，OPC和OPB面积之比为 1：2，求点P的坐标； (3)如图 2，PB交抛物线对称轴于M，PO交AB于N，连接MN，PA，当MNPA时，直接写出点P的坐标 【答案】见解析。 【解析】(1)直接将B(0，4)，C(3，1)代入yx 2+bx+c，解方程组即可； (2)待定系数法求BC解析式：yx+4，OC解析式：yx，设P(m，m 2+2m+4)，由OPC 和OPB面积 之比
28、为 1：2，可得：2m2(+m+6)，求解即可得点P的坐标； (3)过点P作PDy轴于点D，交抛物线对称轴于点E，过点N作NFy轴于点F，设点P(m，m 2+2m+4)， 根据相似三角形性质可得方程求解即可 解：(1)B(0，4)，C(3，1)代入yx 2+bx+c， 可得b2，c4， yx 2+2x+4； (2)B(0，4)，C(3，1)代入ymx+n， 可得m1，n4， yx+4， 易求直线OC解析式为：yx P为直线AB上方的抛物线上一点， 设P(m，m 2+2m+4)，则 0m3，过点 P作PDy轴于D，作PFx轴于F，交OC于G，过C作CEx轴 于E， G(m，m)，E(3，0)，
29、PDm，PG(m 2+2m+4) mm 2+ m+4，OE3 SOBPOBPD2m， SOPCOEPG+m+6， OPC和OPB面积之比为 1：2， 2m2(+m+6)，解得：m1，m2(舍去)； P(，)； (3)yx 2+2x+4(x1)2+5 抛物线对称轴为：直线x1 如图 2，过点P作PDy轴于点D，交抛物线对称轴于点E，过点N作NFy轴于点F， 设点P(m，m 2+2m+4)，则 PEm1，DE1，DPm 易得直线OP解析式为：yx，联立方程组 解得：，FN， MNPA MEy轴， ， FNx轴， ， ，即：DEOAFNDP，14m， 解得：(舍去)， P(，) 14在平面直角坐标系
30、 xOy 中，抛物线 y=mx 22mx+m1(m0)与 x 轴的交点为 A，B (1)求抛物线的顶点坐标； (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点 当 m=1 时，求线段 AB 上整点的个数； 若抛物线在点 A，B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域内(包括边界)恰有 6 个整点，结合函数的图象， 求 m 的取值范围 【答案】见解析。 【解析】(1)y=mx 22mx+m1=m(x1)21， 抛物线顶点坐标(1，1) (2)m=1， 抛物线为 y=x 22x， 令 y=0，得 x=0 或 2，不妨设 A(0，0)，B(2，0)， 线段 AB 上整点的个数为 3 个 如图所示，抛物线在点 A，B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域内(包括边界)恰有 6 个整点， 点 A 在(1，0)与(2，0)之间(包括(1，0)， 当抛物线经过(1，0)时，m=， 当抛物线经过点(2，0)时，m=， m 的取值范围为m 【点拨】本题考查抛物线与 x 轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运 用这些知识解决问题，属于中考常考题型
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