1、 专题专题 36 一次函数问题一次函数问题 一、一次函数一、一次函数 1一次函数的定义 一般地，形如 ykxb (k，b是常数，且 0k )的函数，叫做一次函数，其中 x 是自变量。 2一次函数的图像：是不经过原点的一条直线。 3一次函数的性质 (1)当 k0 时，图象主要经过第一、三象限；此时，y 随 x 的增大而增大； (2)当 k0 时，直线交 y 轴于正半轴； (4)当 b0 时，直线 y=kx 经过三、一象限，y 随 x 的增大而增大； (2)当 k0时， 向上平移；当 b0 时，向下平移) 四、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤四、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤 (1)根据
2、已知条件写出含有待定系数的函数关系式； (2)将 x、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程； (3)解方程得出未知系数的值； (4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式. 【例题【例题 1 1】(2020(2020 贵州黔西南贵州黔西南) )如图，正比例函数的图象与一次函数 yx1 的图象相交于点 P，点 P 到 x 轴的距离是 2，则这个正比例函数的解析式是_ 【答案】y2x 【解析】首先将点 P 的纵坐标代入一次函数的解析式求得其横坐标，然后代入正比例函数的解析式即可求 解 点 P 到 x 轴的距离为 2， 点 P 的纵坐
3、标为 2， 点 P 在一次函数 yx1 上， 2x1，解得 x1， 点 P 的坐标为(1，2) 设正比例函数解析式为 ykx， 把 P(1，2)代入得 2k，解得 k2， 正比例函数解析式为 y2x 【点拨】本题考查了用待定系数法求正比例函数解析式，及两函数交点问题的处理能力，熟练的进行点与 线之间的转化计算是解题的关键 【对点练习】【对点练习】 (2019(2019 广西桂林广西桂林) )如图， 四边形ABCD的顶点坐标分别为( 4,0)A ，( 2, 1)B ，(3,0)C，(0,3)D， 当过点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线l所表示的函数表达式为( ) A 116
4、 105 yx B 21 33 yx C1yx D 53 42 yx 【答案】D 【解析】由( 4,0)A ，( 2, 1)B ，(3,0)C，(0,3)D， 7AC，3DO ， 四边形ABCD分成面积 11 (| 3)7414 22 B ACy ， 可求CD的直线解析式为3yx ， 设过B的直线l为ykxb， 将点B代入解析式得21ykxk， 直线CD与该直线的交点为 42 ( 1 k k ， 51) 1 k k ， 直线21ykxk与x轴的交点为 12 ( k k ，0)， 11251 7(3)(1) 21 kk kk ， 5 4 k或0k ， 5 4 k， 直线解析式为 53 42 yx
5、 【例题【例题 2 2】(2020(2020杭州杭州) )在平面直角坐标系中，已知函数yax+a(a0)的图象过点P(1，2)，则该函数的图 象可能是( ) AB CD 【答案】A 【分析】求得解析式即可判断 【解析】函数yax+a(a0)的图象过点P(1，2)， 2a+a，解得a1， yx+1， 直线交y轴的正半轴，且过点(1，2)。 【对点练习】【对点练习】 (2019(2019 年陕西省年陕西省) )对于正比例函数2yx ， 当自变量x的值增加 1 时， 函数y的值增加( ) A2 B2 C 1 3 D 1 3 【答案】A 【解析】因为正比例函数2yx ，所以当自变量x的值增加 1 时，
6、函数y的值减少 2，故，当自变量x的 值增加 1 时，函数y的值增加2 【例题【例题 3 3】 (2020(2020上海上海) )小明从家步行到学校需走的路程为 1800 米 图中的折线OAB反映了小明从家步行到 学校所走的路程s(米)与时间t(分钟)的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行 15 分钟时，到学校还需步行 米 【答案】350 【分析】当 8t20 时，设skt+b，将(8，960)、(20，1800)代入求得s70t+400，求出t15 时s的 值，从而得出答案 【解析】当 8t20 时，设skt+b， 将(8，960)、(20，1800)代入，得： 8 + =
7、 960 20 + = 1800， 解得： = 70 = 400， s70t+400； 当t15 时，s1450， 18001450350， 当小明从家出发去学校步行 15 分钟时，到学校还需步行 350 米。 【对点练习】【对点练习】 (2019(2019贵贵州安顺州安顺)安顺市某商贸公司以每千克 40 元的价格购进一种干果， 计划以每千克 60 元 的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y(千元)与每千元降价 x(元)(0 x20)之间满足一次函数关系，其图象如图所示： (1)求y与x之间的函数关系式； (2)商贸公司要想获利 2090 元，则这种干果每千
8、克应降价多少元？ 【答案】见解析。 【解析】(1)设一次函数解析式为：ykx+b 当x2，y120；当x4，y140； ， 解得：， y与x之间的函数关系式为y10 x+100； (2)由题意得： (6040 x)(10 x+100)2090， 整理得：x 210 x+90， 解得：x11x29， 让顾客得到更大的实惠， x9， 答：商贸公司要想获利 2090 元，则这种干果每千克应降价 9 元 【例题【例题 4 4】 (2020(2020北京北京) )在平面直角坐标系xOy中， 一次函数ykx+b(k0)的图象由函数yx的图象平移 得到，且经过点(1，2) (1)求这个一次函数的解析式； (
9、2)当x1 时，对于x的每一个值，函数ymx(m0)的值大于一次函数ykx+b的值，直接写出m的取值 范围 【答案】见解析。 【分析】(1)先根据直线平移时k的值不变得出k1，再将点A(1，2)代入yx+b，求出b的值，即可得到 一次函数的解析式； (2)根据点(1，2)结合图象即可求得 【解析】(1)一次函数ykx+b(k0)的图象由直线yx平移得到， k1， 将点(1，2)代入yx+b， 得 1+b2，解得b1， 一次函数的解析式为yx+1； (2)把点(1，2)代入ymx求得m2， 当x1 时，对于x的每一个值，函数ymx(m0)的值大于一次函数yx+1 的值， m2 【对点练习】【对点
10、练习】 (2019(2019上海上海) )在平面直角坐标系xOy中(如图)， 已知一次函数的图象平行于直线yx， 且经 过点A(2，3)，与x轴交于点B (1)求这个一次函数的解析式； (2)设点C在y轴上，当ACBC时，求点C的坐标 【答案】(1)一次函数的解析式为yx+2； (2)点C的坐标是(0，) 【解析】设一次函数的解析式为ykx+b，解方程即可得到结论； 求得一次函数的图形与x轴的解得为B(4，0)，根据两点间的距离公式即可得到结论 (1)设一次函数的解析式为：ykx+b， 一次函数的图象平行于直线yx， k， 一次函数的图象经过点A(2，3)， 3+b， b2， 一次函数的解析式
11、为yx+2； (2)由yx+2，令y0，得x+20， x4， 一次函数的图形与x轴的解得为B(4，0)， 点C在y轴上， 设点C的坐标为(0，y)， ACBC， ， y， 经检验：y是原方程的根， 点C的坐标是(0，) 一、一、选择题选择题 1 1(2020(2020甘孜州甘孜州) )函数y= 1 +3中，自变量 x的取值范围是( ) Ax3 Bx3 Cx3 Dx3 【答案】C 【分析】根据分母不等于 0 列式计算即可得解 【解析】由题意得x+30， 解得x3 2 2(2020(2020内江内江) )将直线y2x1 向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为( ) Ay2x5 By2x
12、3 Cy2x+1 Dy2x+3 【答案】C 【分析】根据函数图象向上平移加，向下平移减，可得答案 【解析】直线y2x1 向上平移两个单位，所得的直线是y2x+1， 3 3(2020(2020凉山州凉山州) )若一次函数y(2m+1)x+m3 的图象不经过第二象限，则m的取值范围是( ) Am 1 2 Bm3 C 1 2m3 D 1 2m3 【答案】D 【分析】根据题意得到关于m的不等式组，然后解不等式组即可 【解析】根据题意得2 + 10 3 0 ， 解得 1 2m3 4.(20204.(2020菏泽菏泽) )函数y= 2 5 的自变量x的取值范围是( ) Ax5 Bx2 且x5 Cx2 Dx
13、2 且x5 【答案】D 【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解 【解析】由题意得x20 且x50， 解得x2 且x5 5 5(2020(2020安徽安徽) )如图，ABC和DEF都是边长为 2 的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上， 点C，E重合现将ABC在直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动在此过程中，设点C移动的 距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为( ) A B C D 【答案】A 【分析】分为 0 x2、2x4 两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得y与x 的函数关系式，于是可求得问题的答
14、案 【解析】如图 1 所示：当 0 x2 时，过点G作GHBF于H ABC和DEF均为等边三角形， GEJ为等边三角形 GH= 3 2 EJ= 3 2 x， y= 1 2EJGH= 3 4 x 2 当x2 时，y= 3，且抛物线的开口向上 如图 2 所示：2x4 时，过点G作GHBF于H y= 1 2FJGH= 3 4 (4x) 2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上 6.(20196.(2019江苏扬州江苏扬州) )若点 P 在一次函数4xy的图像上，则点 P 一定不在( ) A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】坐标系中，一次函数4xy经
15、过第一、二、四象限，所以不经过第三象限。 7.(20197.(2019 贵州省毕节市贵州省毕节市) )已知一次函数ykx+b(k，b为常数，k0)的图象经过一、三、四象限，则下列结 论正确的是( ) Akb0 Bkb0 Ck+b0 Dk+b0 【答案】B 【解析】ykx+b的图象经过一、三、四象限，k0，b0，kb0；故选：B 8.(2019(2019 广西梧州广西梧州) )直线31yx向下平移 2 个单位，所得直线的解析式是( ) A33yx B32yx C32yx D31yx 【答案】D 【解析】直线31yx向下平移 2 个单位，所得直线的解析式是：31231yxx 9.9.(2019(2
16、019 湖南邵阳湖南邵阳) )一次函数 111 yk xb的图象 1 l如图所示， 将直线 1 l向下平移若干个单位后得直线 2 l，2l的 函数表达式为 222 yk xb下列说法中错误的是( ) A 12 kk B 12 bb C 12 bb D当 5x 时， 12 yy 【答案】B 【解析】将直线 1 l向下平移若干个单位后得直线 2 l， 直线 1/ / l直线 2 l， 12 kk， 直线 1 l向下平移若干个单位后得直线 2 l， 12 bb， 当5x 时， 12 yy 10.(201910.(2019浙江杭州浙江杭州) )已知一次函数y1ax+b和y2bx+a(ab)，函数y1和
17、y2的图象可能是( ) A B C D 【答案】A 【解析】根据直线判断出a、b的符号，然后根据a、b的符号判断出直线经过的象限即可，做出判断 A.由可知：a0，b0 直线经过一、二、三象限，故A正确； B.由可知：a0，b0 直线经过一、二、三象限，故B错误； C.由可知：a0，b0 直线经过一、二、四象限，交点不对，故C错误； D.由可知：a0，b0， 直线经过二、三、四象限，故D错误 二、填空题二、填空题 1111(2020(2020黑龙江黑龙江) )在函数y= 1 23中，自变量 x的取值范围是 【答案】x1.5 【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解 【解
18、析】由题意得 2x30， 解得x1.5 1212(2020(2020上海上海) )已知f(x)= 2 1，那么 f(3)的值是 【答案】1 【分析】根据f(x)= 2 1，可以求得 f(3)的值，本题得以解决 【解析】f(x)= 2 1， f(3)= 2 31 =1 1313(2020(2020黔东南州黔东南州) )把直线y2x1 向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，则平移后所得 直线的解析式为 【答案】y2x+3 【分析】直接利用一次函数的平移规律进而得出答案 【解析】把直线y2x1 向左平移 1 个单位长度，得到y2(x+1)12x+1， 再向上平移 2 个单位长度，得到
19、y2x+3 1414(2020(2020遵义遵义) )如图，直线ykx+b(k、b是常数k0)与直线y2 交于点A(4，2)，则关于x的不等式 kx+b2 的解集为 【答案】x4 【分析】结合函数图象，写出直线ykx+2 在直线y2 下方所对应的自变量的范围即可 【解析】直线ykx+b与直线y2 交于点A(4，2)， x4 时，y2， 关于x的不等式kx+b2 的解集为x4 15.(202015.(2020绥化绥化) )黑龙江省某企业用货车向乡镇运送农用物资，行驶 2 小时后，天空突然下起大雨，影响车 辆行驶速度， 货车行驶的路程y(km)与行驶时间x(h)的函数关系如图所示， 2小时后货车的
20、速度是 km/h 【答案】65 【分析】根据函数图象得出 2 小时后货车的解析式后解答即可 【解析】由图象可得：货车行驶的路程y(km)与行驶时间x(h)的函数关系为y78x(x2)，和x2 时设其 解析式为：ykx+b， 把(2，156)和(3，221)代入解析式，可得：2 + = 156 3 + = 221， 解得： = 65 = 26， 所以解析式为：y65x+26(x2)， 所以 2 小时后货车的速度是 65km/h。 16.(201916.(2019江苏无锡江苏无锡) )已知一次函数ykx+b的图象如图所示，则关于x的不等式 3kxb0 的解 集为 【答案】x2 【解析】 直接利用图
21、象把(6， 0)代入， 进而得出k，b之间的关系， 再利用一元一次不等式解法得出答案 图象过(6，0)，则 06k+b， 则b6k， 故 3kxb3kx6k0， k0， x20， 解得：x2 17.(201917.(2019贵阳贵阳) )在平面直角坐标系内，一次函数yk1x+b1与yk2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方 程组的解是 【答案】 【解析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解 一次函数yk1x+b1与yk2x+b2的图象的交点坐标为(2，1)， 关于x，y的方程组的解是 18.18.(2019(2019 贵州黔西南州贵州黔西南州) )如图所示，一次函数yax
22、+b(a、b为常数，且a0)的图象经过点A(4，1)，则不 等式ax+b1 的解集为 【答案】x4 【解析】函数yax+b的图象如图所示，图象经过点A(4，1)，且函数值y随x的增大而增大， 故不等式ax+b1 的解集是x4 19. (2019(2019 山东东营山东东营) )如图，在平面直角坐标系中，函数y= 3 3 x 和 y=3x 的图象分别为直线l1，l2，过l1 上的点 A1(1， 3 3 )作 x 轴的垂线交l2于点 A2，过点 A2作 y 轴的垂线交 l1于点 A3，过点 A3作 x 轴的垂线交 l2于点 A4，依次进行下去，则点 A2019的横坐标为_ 【答案】3 1009 【
23、解析】从简单的入手，分别求出 A2到 A9的横坐标，找出循环，依此规律结合 2019=5044+3 即可找出点 A2019的坐标 当 x=1 时，y=3x=3，A2(1，3)；当 y= 3 3 x=3，x=3，A3(3，3)；当 x=3 时， y=3x=33， A4(3， 33)； 当 y= 3 3 x=33时， x=9， A5(9， 33)； 同理可得 A6(9， 93)， A7(27，93)，A8(27，273)，A9(81，273)，A4n+1(3 2n，32n 3 3 )，A4n+2(3 2n，32n 3)， A4n+3(3 2n+1，32n+1 3 3 )，A4n+4(3 2n+1，
24、32n+1 3)，(n 为自然数)2019=5044+3，点 A2019的横坐 标为3 2504+1= 3 3 10091009 20.20.(2019(2019 江苏徐州江苏徐州)函数yx1 的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在x轴上，若ABC为等腰 三角形，则满足条件的点C共有_个. 【答案】4 【解析】本题解答时要分类讨论.作AB的垂直平分线，交于坐标原点，OAB为等腰三角形；以B为圆心 BA长为半径交x轴于C2，C2AB为等腰三角形，以A为圆心，AB长为半径，交x轴于C3，C4，则C3AB， C4AB为等腰三角形，所以满足条件的C点的有 4 个. 三、解答题三、解答题 2121
25、(2020(2020嘉兴嘉兴) )经过实验获得两个变量x(x0)，y(y0)的一组对应值如下表 x 1 2 3 4 5 6 y 6 2.9 2 1.5 1.2 1 (1)请画出相应函数的图象，并求出函数表达式 (2)点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上若x1x2，则y1，y2有怎样的大小关系？请说明理由 【答案】见解析。 y x C3C4 A O 【分析】(1)利用描点法即可画出函数图象，再利用待定系数法即可得出函数表达式 (2)根据反比例函数的性质解答即可 【解析】(1)函数图象如图所示，设函数表达式为 = ( 0)， 把x1，y6 代入，得k6， 函数表达式为 = 6 (0)
26、； (2)k60， 在第一象限，y随x的增大而减小， 0 x1x2时，则y1y2 22.(2020(2020 浙江绍兴浙江绍兴) )我国传统的计重工具秤的应用，方便了人们的生活如图 1，可以用秤砣到秤纽的 水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x(厘米)时，秤钩所 挂物重为y(斤)，则y是x的一次函数下表中为若干次称重时所记录的一些数据 x(厘米) 1 2 4 7 11 12 y(斤) 0.75 1.00 1.50来 源:Zxxk.Com 2.75 3.25 3.50 (1)在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误在图 2 中，通过描点的方法，观察判断哪
27、一对是错 误的？ (2)根据(1)的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为 16 厘米时，秤钩所挂物重是多少？ 【分析】(1)利用描点法画出图形即可判断 (2)设函数关系式为ykx+b，利用待定系数法解决问题即可 【解答】解：(1)观察图象可知：x7，y2.75 这组数据错误 (2)设ykx+b，把x1，y0.75，x2，y1 代入可得， 解得， yx+， 当x16 时，y4.5， 答：秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为 16 厘米时，秤钩所挂物重是 4.5 斤 23.(202023.(2020武威武威) )通过课本上对函数的学习， 我们积累了一定的经验 下表是一个函数的自变量x与函数值y 的部分对应
28、值，请你借鉴以往学习函数的经验，探究下列问题： x 0 1 2 3 4 5 y 6 3 2 1.5 1.2 1 (1)当x 时，y1.5； (2)根据表中数值描点(x，y)，并画出函数图象； (3)观察画出的图象，写出这个函数的一条性质： 【答案】见解析。 【分析】(1)观察函数的自变量x与函数值y的部分对应值表可得当x3 时，y1.5； (2)根据表中数值描点(x，y)，即可画出函数图象； (3)观察画出的图象，即可写出这个函数的一条性质 【解析】(1)当x3 时，y1.5； 故答案为：3； （2）函数图象如图所示： (3)观察画出的图象，这个函数的一条性质： 函数y随x的增大而减小 故答案
29、为：函数y随x的增大而减小 2424(2020(2020贵阳贵阳) )第 33 个国际禁毒日到来之际，贵阳市策划了以“健康人生 绿色无毒”为主题的禁毒宣传 月活动，某班开展了此项活动的知识竞赛学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下： (1)请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了； (2)学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能 辨认出单价是小于 10 元的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？ 【答案】见解析。 【解析】(1)设单价为 6 元的钢笔买了x支，则单价为 10 元的钢笔买了(100 x)支，根据题意，得： 6x+10(100 x)1300378， 解得x19.5， 因为钢笔的数量不可能是小数，所以学习委员搞错了； (2)设笔记本的单价为a元，根据题意，得： 6x+10(100 x)+a1300378， 整理，得：x= 1 4 + 39 2 ， 因为 0a10，x随a的增大而增大，所以 19.5x22， x取整数， x20，21 当x20 时，a420782； 当x21 时，a421786， 所以笔记本的单价可能是 2 元或 6 元
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