1、 专题专题 27 涉及圆的证明与计算问题涉及圆的证明与计算问题 圆的证明与计算是中考必考点，也是中考的难点之一。纵观全国各地中考数学试卷，能够看出，圆的 证明与计算这个专题内容有三种题型：选择题、填空题和解答题。 一、与圆有关的概念一、与圆有关的概念 1圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为，定长称为。圆的半径或直 径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。 2：顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。 3.：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。 4. 外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心，叫
2、 做三角形的外心。外心是三角形三条边垂直平分线的交点。外心到三角形三个顶点的距离相等。 5若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。 6.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的，其圆心称为内心。内心是三角形三个角的角平分线 的交点。内心到三角形三边的距离相等。 二、与圆有关的规律二、与圆有关的规律 1.圆的性质： (1)圆具有旋转不变性； (2)圆具有轴对称性； (3)圆具有中心对称性。 2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 3推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 4在同圆或等圆中，相等的圆心角
3、所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也 相等。在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦 心距也相等。 5.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 6半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径 7圆内接四边形的特征 圆内接四边形的对角互补； 圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。 三、点和圆、线和圆、圆和圆的位置关系三、点和圆、线和圆、圆和圆的位置关系 1. 点和圆的位置关系 点在圆内点到圆心的距离小于半
4、径 点在圆上点到圆心的距离等于半径 点在圆外点到圆心的距离大于半径 2.直线与圆有 3 种位置关系 如果O 的半径为 r，圆心 O 到直线 的距离为 d，那么 直线 和O 相交； 直线 和O 相切； 直线 和O 相离。 3圆与圆的位置关系 设圆 1 O的半径为 1 r，圆 2 O的半径为 2 r，两个圆的圆心距 12 |dOO，则： l lrd lrd lrd 两圆外离 12 drr；两圆外切 12 drr； 两圆相交 1212 |rrdrr；两圆内切 12 |drr； 两圆内含 12 |drr 四、切线的规律四、切线的规律 1.切线的性质 (1)经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。 (2
5、)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。 (3)圆的切线垂直于经过切点的半径。 2.切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 3.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心和这一点的连线平分两条切 线的夹角。 四、求解圆的周长和面积的公式 设圆的周长为 r，则： 1. 求圆的直径公式 d=2r 2.求圆的周长公式 C=2r 3.求圆的面积公式 S=r 2 五、解题要领五、解题要领 1.判定切线的方法 (1)若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时 可通过计算结合相似、勾股定理证垂直； (2)若切点不
6、明确，则“作垂直，证半径”。常见手法有角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分 线；总而言之，要完成两个层次的证明： 直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点)； 直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此 及彼的联想、要总结常添加的辅助线. 2.与圆有关的计算 计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式 复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是 要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已 知，解决问
7、题。其中重要而常见的数学思想方法有： (1)构造思想：构建矩形转化线段；构建“射影定理”基本图研究线段(已知任意两条线段可求其它所 有线段长)；构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；构造勾股定理模型；构造三角函数. (2)方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解 决问题。 (3)建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本 图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。 3.攻克典型基本模型图是解决圆的所有难题的宝剑 类型类型 1 1 图形：图形： (1)(1)如图
8、1,AB是O的直径，点E、C是O上的两点. 基本结论有：在“AC平分BAE”；“ADCD”；“DC是O的切线”三个论断中，知二推一。 （2）如图 2、3，DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF(或弓形BCE的半弦EF)。 (3)如图(4)：若CKAB于K，则： CK=CD；BK=DE；CK= 2 1 BE=DC；AE+AB=2BK=2AD; ADCACBAC 2=ADAB (4)在(1)中的条件、中任选两个条件，当BGCD于E时(如图 5)，则： DE=GB；DC=CG；AD+BG=AB；ADBG= 2 4 1 DG=DC 2 类型类型 2 2 图形图形：如图：RtABC中，ACB=9
9、0。点O是AC上一点，以OC为半径作O交AC于点E，基本结 论有： (1)在“BO平分CBA”;“BODE”;“AB是O的切线”;“BD=BC”。四个论断中，知一推三。 (2)G是BCD的内心； ；BCOCDEBODE=COCE= 2 1 CE 2； (3)在图(1)中的线段BC、CE、AE、AD中，知二求四。 (4)如图(3)，若BC=CE，则： AD AE = 2 1 =tanADE；BC：AC：AB=3：4：5 ；(在、中知一推二) 设BE、CD交于点H，,则BH=2EH 类型类型 3 3 图形：图形：如图：RtABC中，ABC=90,以 AB 为直径作O 交 AC 于 D，基本结论有：
10、基本结论有： 如图： CG=GD (1)DE切OE是BC的中点； (2)若DE切O，则： DE=BE=CE； D、O、B、E四点共圆CED=2A CDCA=4BE 2, BA BC BD CD R DE 图形特殊化：在图形特殊化：在(1)(1)的条件下的条件下 如图：DEABABC、CDE是等腰直角三角形； 如图：若DE的延长线交AB的延长线于点F，若AB=BF，则： 3 1 EF DE ; 2 1 R BE 类型类型 4 4 图形：图形：如图，ABC中，AB=AC，以AB为直径作O，交BC于点D，交AC于点F， 基本结论有：基本结论有： (1)DEACDE切O； (2)在DEAC或DE切O下
11、，有： DFC是等腰三角形； EF=EC；D是 的中点。与基本图形基本图形 1 1 的结论重合。 连 AD，产生母子三角形。 类型类型 5 5 图形图形：以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于， 基本结论有基本结论有： (1)如图 1：AD+BCCD； COD=AEB=90； OD平分ADC(或OC平分BCD)；(注：在、 BF 及“CD是O的切线”四个论断中，知一推三) ADBCAB 4 1 2=R2； (2)如图 2，连AE、CO，则有：COAE，COAE=2R 2(与基本图形 2 重合) (3)如图 3，若EFAB于F，交AC于G，则：EG=FG. 类型类型 6 6 图形：图形：如图
12、：直线PRO的半径OB于E，PQ切O于Q，BQ 交直线PQ于R。 基本结论有：基本结论有： (1)PQ=PR (PQR是等腰三角形)； (2)在“PROB”、“PQ切O”、“PQ=PR”中，知二推一 (3)2PRRE=BRRQ=BE2R=AB 2 类型类型 7 7 图形：图形：如图，ABC内接于O，I为ABC的内心。基本结论有：基本结论有： (1)如图 1，BD=CD=ID；DI 2DEDA；AIB=90+ 2 1 ACB; (2)如图 2，若BAC=60，则：BD+CE=BC. 类型类型 8 8 图形：图形：已知，AB是O的直径，C是 中点，CDAB于D。BG交CD、AC 于E、F。基本结论
13、有：基本结论有： (1)CD= 2 1 BG；BE=EF=CE；GF=2DE (反之，由CD= 2 1 BG或BE=EF可得：C是 中点) (2)OE= 2 1 AF，OEAC；ODEAGF (3)BEBG=BDBA (4)若D是OB的中点，则：CEF是等边三角形； 【例题 1】(2020(2020武汉武汉) )如图，在半径为 3 的O中，AB是直径，AC是弦，D是 的中点，AC与BD交于点 E若E是BD的中点，则AC的长是( ) BC=CG=AG BG BG A5 23 B33 C32 D42 【答案】D 【解析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理得出ODAC，AFCF，进而证得DFBC，根
14、据三角形中位线 定理求得OF= 1 2BC= 1 2DF，从而求得 BCDF2，利用勾股定理即可求得AC 连接OD，交AC于F， D是 的中点，ODAC，AFCF，DFE90， OAOB，AFCF，OF= 1 2BC， AB是直径，ACB90， 在EFD和ECB中 = = 90 = = EFDECB(AAS)， DFBC， OF= 1 2DF， OD3，OF1，BC2， 在 RtABC中，AC 2AB2BC2， AC= 2 2= 62 22=42， 【对点练习】【对点练习】(2019(2019山东省聊城市山东省聊城市) )如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于 点A
15、，连接OD，OE如果A70，那么DOE的度数为( ) A35 B38 C40 D42 【答案】C 【解析】考点是圆周角定理、直角三角形的性质。连接CD，由圆周角定理得出BDC90，求出ACD 90A20，再由圆周角定理得出DOE2ACD40即可， 连接CD，如图所示： BC是半圆O的直径，BDC90，ADC90， ACD90A20，DOE2ACD40 【例题【例题 2 2】(2020(2020牡丹江牡丹江) )AB是O的弦，OMAB，垂足为M，连接OA若AOM中有一个角是 30，OM 23，则弦AB的长为 【答案】12 或 4 【解析】分OAM30，AOM30，两种情况分别利用正切的定义求解即
16、可 OMAB， AMBM， 若OAM30， 则 tanOAM= = 23 = 3 3 ， AM6， AB2AM12； 若AOM30， 则 tanAOM= = 23 = 3 3 ， AM2， AB2AM4 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 安徽安徽) )如图，ABC内接于O，CAB30，CBA45，CDAB于点D，若O的 半径为 2，则CD的长为 【答案】 【解析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是 解题的关键 连接CO并延长交O于E， 连接BE， 于是得到EA30， EBC90， 解直角三角形即可得到结论 连接CO并延长交O于E，连
17、接BE， 则EA30，EBC90， O的半径为 2，CE4，BCCE2， CDAB，CBA45，CDBC 【例题【例题 3 3】(2020(2020 贵州黔西南贵州黔西南) )古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”请研究如 下美丽的圆如图，线段 AB 是O 的直径，延长 AB 至点 C，使 BCOB，点 E 是线段 OB 的中点，DEAB 交 O 于点 D，点 P 是O 上一动点(不与点 A，B 重合)，连接 CD，PE，PC (1)求证：CD 是O 的切线； (2)小明在研究的过程中发现 PE PC 是一个确定的值回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证 明 【答案
18、】(1)见解析；(2) 1 2 ，解析 【解析】本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质(1)连接 OD，DB，由已知可得 DE 垂直 平分 OB，于是 DBDO，而 OBOD，所以 DBDOOB，即ODB 是等边三角形，于是BDO60，再由等 腰三角形的性质及三角形的外角性质可得CDB30，从而可得ODC90，所以 ODCD，所以 CD 是 O 的切线；(2)连接 OP，由已知条件得 OPOBBC2OE，再利用“两组边成比例，夹角相等”证明OEP OPC，最后由相似三角形的对应边成比例得到结论 【详解】解：(1)如答图，连接 OD，DB，点 E 是线段 OB 的中点，DEAB 交O
19、 于点 D，DE 垂直平分 OB， DBDODOOB，DBDOOB，ODB 是等边三角形，BDODBO60BCOBBD，且 DBE 为BDC 的外角，BCDBDC 1 2 DBODBO60，CDB30ODCBDO BDC603090，ODCD，CD 是O 的切线； (2)这个确定的值是 1 2 证明：如答图，连接 OP，OPOBBC2OE， OE OP OP OC 1 2 ，又COPPOE，OEPOPC， PE PC OP OC 1 2 【点拨】本题考查切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质，掌握相关性质及定理是解题的关键 【对点练习】【对点练习】( (20192019湖北湖北十堰十堰) )
20、如图，ABC中，ABAC，以AC为直径的O交BC于点D，点E为C延长线 上一点，且CDEBAC (1)求证：DE是O的切线； (2)若AB3BD，CE2，求O的半径 【答案】见解析。 【解析】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质， 解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形 (1)如图，连接OD，AD， AC是直径， ADC90， ADBC， ABAC， CADBADBAC， CDEBAC CDECAD， OAOD， CADADO， ADO+ODC90， ODC+CDE90 ODE90 又OD是O的半径 DE是O的切线； (2)解：ABAC，
21、ADBC， BDCD， AB3BD， AC3DC， 设DCx，则AC3x， AD2x， CDECAD，DECAED， CDEDAE， ，即 DE4，x， AC3x14， O的半径为 7 一、选择题一、选择题 1(2020(2020宜昌宜昌) )如图，E，F，G为圆上的三点，FEG50，P点可能是圆心的是( ) A B C D 【答案】C 【解析】利用圆周角定理对各选项进行判断 FEG50， 若P点圆心， FPG2FEG100 2(2020(2020营口营口) )如图，AB为O的直径，点C，点D是O上的两点，连接CA，CD，AD若CAB40， 则ADC的度数是( ) A110 B130 C140
22、 D160 【答案】B 【解析】连接BC，如图，利用圆周角定理得到ACB90，则B50，然后利用圆的内接四边形的性 质求ADC的度数 如图，连接BC， AB为O的直径，ACB90， B90CAB904050， B+ADC180， ADC18050130 3(2020(2020荆门荆门) )如图，O中，OCAB，APC28，则BOC的度数为( ) A14 B28 C42 D56 【答案】D 【解析】根据垂径定理，可得 = ，APC28，根据圆周角定理，可得BOC 在O中，OCAB， = ， APC28， BOC2APC56 4(2020(2020临沂临沂) )如图，在O中，AB为直径，AOC80
23、点D为弦AC的中点，点E为 上任意一点则 CED的大小可能是( ) A10 B20 C30 D40 【答案】C 【解析】连接OD、OE，设BOEx，则COE100 x，DOE100 x+40，根据等腰三角形的性质 和三角形内角和定理求出DEO和CEO，即可求出答案 连接OD、OE， OCOA， OAC是等腰三角形， 点D为弦的中点， DOC40，BOC100， 设BOEx，则COE100 x，DOE100 x+40， OCOE，COE100 x， OECOCE40+ 1 2x， ODOE，DOE100 x+40140 x， OED20+ 1 2x， CEDOECOED(40+ 1 2x)(20
24、+ 1 2x)20， CEDABC40， 20CED40 5 (2020(2020内江内江) )如图所示， 点A、B、C、D在O上， AOC120， 点B是 的中点， 则D的度数是( ) A30 B40 C50 D60 【答案】A 【解析】连接OB，如图，利用圆心角、弧、弦的关系得到AOBCOB= 1 2AOC60，然后根据圆周角 定理得到D的度数 连接OB，如图， 点B是 的中点， AOBCOB= 1 2AOC= 1 2 12060， D= 1 2AOB30 6(2020(2020湖州湖州) )如图，已知四边形ABCD内接于O，ABC70，则ADC的度数是( ) A70 B110 C130
25、D140 【答案】B 【解析】根据圆内接四边形的性质即可得到结论 四边形ABCD内接于O，ABC70， ADC180ABC18070110 7(2020(2020泰安泰安) )如图，ABC是O的内接三角形，ABBC，BAC30，AD是直径，AD8，则AC的长 为( ) A4 B43 C8 33 D23 【答案】B 【分析】连接CD，根据等腰三角形的性质得到ACBBAC30，根据圆内接四边形的性质得到D 180B60，求得CAD30，根据直角三角形的性质即可得到结论 【解析】连接CD， ABBC，BAC30， ACBBAC30， B1803030120， D180B60， CAD30， AD是直
26、径，ACD90， AD8，CD= 1 2AD4， AC= 2 2= 82 42=43， 8(2020(2020嘉兴嘉兴) )如图，正三角形ABC的边长为 3，将ABC绕它的外心O逆时针旋转 60得到ABC，则 它们重叠部分的面积是( ) A23 B3 43 C3 23 D3 【答案】C 【解析】根据重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形， 据此即可求解 作AMBC于M，如图： 重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形 ABC是等边三角形，AMBC， ABBC3，BMCM= 1 2BC= 3 2，BAM30， AM
27、= 3BM= 33 2 ， ABC的面积= 1 2BCAM= 1 2 3 33 2 = 93 4 ， 重叠部分的面积= 6 9ABC 的面积= 6 9 93 4 = 33 2 ； 9(2020(2020随州随州) )设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论 不正确的是( ) AhR R+r BR2r Cr= 3 4 a DR= 3 3 a 【答案】C 【解析】根据等边三角形的内切圆和外接圆是同心圆，设圆心为O，根据 30角所对的直角边是斜边的一 半得：R2r；等边三角形的高是R与r的和，根据勾股定理即可得到结论 如图，ABC是等边三角形， ABC的内切
28、圆和外接圆是同心圆，圆心为O， 设OEr，AOR，ADh， hR R+r，故A正确； ADBC， DAC= 1 2BAC= 1 2 6030， 在 RtAOE中， R2r，故B正确； ODOEr， ABACBCa， AE= 1 2AC= 1 2a， (1 2a) 2+r2(2r)2，(1 2a) 2+(1 2R) 2R2， r= 3 6 ，R= 3 3 a，故C错误，D正确； 10(2020(2020凉山州凉山州) )如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于O，则AD：AB( ) A22：3 B2：3 C3：2 D3：22 【答案】B 【分析】连接OA、OB、OD，过O作OHAB于H，由
29、垂径定理得出AHBH= 1 2AB，证出AOD 是等腰直角三 角形，AOHBOH60，AHBH= 1 2AB，得出 AD= 2OA，AH= 3 2 OA，则AB2AH= 3OA，进而得出答案 【解析】连接OA、OB、OD，过O作OHAB于H，如图所示： 则AHBH= 1 2AB， 正方形ABCD和等边三角形AEF都内接于O， AOB120，AOD90， OAODOB， AOD是等腰直角三角形，AOHBOH= 1 2 12060， AD= 2OA，AHOAsin60= 3 2 OA， AB2AH2 3 2 OA= 3OA， = 2 3 = 2 3 二、填空题二、填空题 11(2020(2020黑
30、龙江黑龙江) )如图，AD是ABC的外接圆O的直径，若BCA50，则ADB 【答案】50 【解析】根据圆周角定理即可得到结论 AD是ABC的外接圆O的直径， 点A，B，C，D在O上， BCA50， ADBBCA50 12(2020(2020无锡无锡) )已知圆锥的底面半径为 1cm，高为3cm，则它的侧面展开图的面积为 cm 2 【答案】2 【解析】先利用勾股定理求出圆锥的母线l的长，再利用圆锥的侧面积公式：S侧rl计算即可 根据题意可知，圆锥的底面半径r1cm，高h= 3cm， 圆锥的母线l=2+ 2 =2， S侧rl122(cm 2) 13 (2020(2020湖州湖州) )如图， 已知A
31、B是半圆O的直径， 弦CDAB，CD8，AB10， 则CD与AB之间的距离是 【答案】3 【分析】过点O作OHCD于H，连接OC，如图，根据垂径定理得到CHDH4，再利用勾股定理计算出OH 3，从而得到CD与AB之间的距离 【解析】过点O作OHCD于H，连接OC，如图，则CHDH= 1 2CD4， 在 RtOCH中，OH= 52 42=3， 所以CD与AB之间的距离是 3 14(2020(2020枣庄枣庄) )如图，AB是O的直径，PA切O于点A，线段PO交O于点C连接BC，若P36， 则B 【答案】27 【解析】直接利用切线的性质得出OAP90，再利用三角形内角和定理得出AOP54，结合圆周
32、角 定理得出答案 PA切O于点A， OAP90， P36， AOP54， B= 1 2AOP27 15(2020(2020连云港连云港) )用一个圆心角为 90，半径为 20cm的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面 圆半径为 cm 【答案】5 【分析】设这个圆锥的底面圆半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的 周长和弧长公式得到 2r= 9020 180 ，然后解关于r的方程即可 【解析】设这个圆锥的底面圆半径为r， 根据题意得 2r= 9020 180 ， 解得r5(cm) 16.(201916.(2019南京南京) )如图，PA.PB是O的切线，A.B为
33、切点，点 C.D在O上若P102，则 A+C 【答案】219 【解析】 连接AB， 根据切线的性质得到PAPB， 根据等腰三角形的性质得到PABPBA(180102) 39，由圆内接四边形的性质得到DAB+C180，于是得到结论 连接AB， PA.PB是O的切线，PAPB， P102，PABPBA(180102)39， DAB+C180， PAD+CPAB+DAB+C180+39219 17. (201917. (2019 山东东营山东东营) )如图，AC是O的弦，AC=5，点B是O 上的一个动点，且ABC=45，若点M、N分 别是 AC、BC的中点，则 MN的最大值是_ 【答案】 5 2 2
34、 【解析】MN 是ABC 的中位线，MN= 1 2 AB 当 AB 为O 的直径时，AB 有最大值，则 MN 有最大值 当 AB 为直径时，ACB=90， ABC=45，AC=5，AB=5 2， MN= 5 2 2 18.(201918.(2019 黑龙江省龙东地区黑龙江省龙东地区) )如图，在O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上，且ADC30，则AOB 的度数为_ 【答案】60. 【解析】OABC，ABAC ，AOB2ADC, ADC30，AOB60. 19.(2020(2020 山东济宁模拟山东济宁模拟 ) )如图，O 为Rt ABC 直角边 AC 上一点， 以 OC 为半径的O 与斜边
35、 AB 相切于点 D， 交 OA 于点 E，已知 BC，AC3则图中阴影部分的面积是 A O B C D 【答案】 【解析】本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用，熟记和圆有关的 各种性质定理是解题的关键 在Rt ABC 中，BC，AC3 AB 2 ， BCOC，BC 是圆的切线， O 与斜边 AB 相切于点 D，BDBC， ADABBD2 ； 在 Rt ABC 中，sinA ，A30， O 与斜边 AB 相切于点 D，ODAB，AOD90A60， tanAtan30， ，OD1， S 阴影 20.(201920.(2019湖北省鄂州市湖北省鄂州市) )如图，在平面直角坐标系中
36、，已知C(3，4)，以点C为圆心的圆与y轴相切点A、 B在x轴上，且OAOB点P为C上的动点，APB90，则AB长度的最大值为 【答案】16 【解析】连接OC并延长，交C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作O，交x轴于A、B，此时AB的长 度最大， C(3，4)，OC5， 以点C为圆心的圆与y轴相切C的半径为 3，OPOAOB8， AB是直径，APB90，AB长度的最大值为 16。 三、解答题三、解答题 21.(202021.(2020咸宁咸宁) )如图，在 RtABC中，C90，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交 AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F (1)求证
37、：BFDF； (2)若AC4，BC3，CF1，求半圆O的半径长 【解析】见解析。 【分析】(1)连接OD，由切线性质得ODF90，进而证明BDF+AA+B90，得BBDF， 便可得BFDF； (2)设半径为r，连接OD，OF，则OC4r，求得DF，再由勾股定理，利用OF为中间变量列出r的方程便 可求得结果 【解析】(1)连接OD，如图 1， 过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F， ODF90， ADO+BDF90， OAOD， OADODA， OAD+BDF90， C90， OAD+B90， BBDF， BFDF； (2)连接OF，OD，如图 2， 设圆的半径为r，则ODOEr， AC4，B
38、C3，CF1， OC4r，DFBF312， OD 2+DF2OF2OC2+CF2， r 2+22(4r)2+12， = 13 8 故圆的半径为13 8 22(2020(2020怀化怀化) )如图，在O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CDCA，且D30 (1)求证：CD是O的切线 (2)分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G求证： CG 2AEBF 【解析】见解析。 【分析】(1)连接OC，CADD30，由OCOA，进而得到OCACAD30，由三角形外角定理 得到CODA+OCA60，在OCD中由内角和定理可知OCD90即可证明；
39、 (2)证明AC是EAG的角平分线，CB是FCG的角平分线，得到CECG，CFCG，再证明AECCFB， 对应线段成比例即可求解 【解答】(1)证明：连接OC，如右图所示， CACD，且D30， CADD30， OAOC， CADACO30， CODCAD+ACO30+3060， OCD180DCOD180306090， OCCD， CD是O的切线； (2)COB60，且OCOB， OCB为等边三角形， CBG60， 又CGAD， CGB90， GCBCGBCBG30， 又GCD60， CB是GCD的角平分线， BFCD，BGCG， BFBG， 又BCBC， RtBCGRtBCF(HL)， C
40、FCG D30，AEED，E90， EAD60， 又CAD30， AC是EAG的角平分线， CEAE，CGAB， CECG， EBFC90，EAC30BCF， AECCFB， = ，即 AEBFCFCE， 又CECG，CFCG， AEBFCG 2 23(2020(2020铜仁市铜仁市) )如图，AB是O的直径，C为O上一点，连接AC，CEAB于点E，D是直径AB延长线 上一点，且BCEBCD (1)求证：CD是O的切线； (2)若AD8， = 1 2，求 CD的长 【答案】见解析。 【分析】 (1)连接OC， 根据圆周角定理得到ACB90， 根据余角的性质得到AECB， 求得ABCD， 根据等
41、腰三角形的性质得到AACO，等量代换得到ACOBCD，求得DCO90，于是得到结论； (2)设BCk，AC2k，根据相似三角形的性质即可得到结论 【解析】(1)证明：连接OC， AB是O的直径，ACB90， CEAB，CEB90， ECB+ABCABC+CAB90，AECB， BCEBCD，ABCD， OCOA，AACO，ACOBCD， ACO+BCOBCO+BCD90， DCO90， CD是O的切线； (2)解：ABCE， tanA= =tanBCE= = 1 2， 设BCk，AC2k， DD，ABCD， ACDCBD， = = 1 2， AD8， CD4 24(2020(2020温州温州)
42、 )如图，C，D为O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是 上一点，ADC G (1)求证：12 (2)点C关于DG的对称点为F，连结CF当点F落在直径AB上时，CF10，tan1= 2 5，求O 的半径 【答案】见解析。 【分析】(1)根据圆周角定理和AB为O的直径，即可证明12； (2)连接DF，根据垂径定理可得FDFC10，再根据对称性可得DCDF，进而可得DE的长，再根据锐角三 角函数即可求出O的半径 【解析】(1)ADCG， = ， AB为O的直径， = ， 12； (2)如图，连接DF， = ，AB是O的直径， ABCD，CEDE， FDFC10， 点C，F关于DG对
43、称， DCDF10， DE5， tan1= 2 5， EBDEtan12， 12， tan2= 2 5， AE= 2 = 25 2 ， ABAE+EB= 29 2 ， O的半径为29 4 25(2020(2020衢州衢州) )如图，ABC内接于O，AB为O的直径，AB10，AC6，连结OC，弦AD分别交OC， BC于点E，F，其中点E是AD的中点 (1)求证：CADCBA (2)求OE的长 【答案】见解析。 【分析】(1)利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可 (2)证明AECBCA，推出 = ，求出 EC即可解决问题 【解析】(1)证明：AEDE，OC是半径， = ， CADCBA (2)解
44、：AB是直径， ACB90， AEDE， OCAD，AEC90， AECACB， AECBCA， = ， 6 = 6 10， CE3.6， OC= 1 2AB5， OEOCEC53.61.4 26(2020(2020嘉兴嘉兴) )已知：如图，在OAB中，OAOB，O与AB相切于点C求证：ACBC小明同学的证 明过程如下框： 证明：连结OC， OAOB， AB， 又OCOC， OACOBC， ACBC 小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“”；若错误，请写出你的证明过程 【答案】见解析。 【分析】连结OC，根据切线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论 【解析】证法错误； 证明：连结OC， O与
45、AB相切于点C， OCAB， OAOB， ACBC 27(2020(2020湖州湖州) )如图，已知ABC是O的内接三角形，AD是O的直径，连结BD，BC平分ABD (1)求证：CADABC； (2)若AD6，求 的长 【答案】见解析。 【分析】(1)由角平分线的性质和圆周角定理可得DBCABCCAD； (2)由圆周角定理可得 = ，由弧长公式可求解 【解析】(1)BC平分ABD， DBCABC， CADDBC， CADABC； (2)CADABC， = ， AD是O的直径，AD6， 的长= 1 2 1 2 6= 3 2 28(2020(2020遵义遵义) )如图，AB是O的直径，点C是O上一
46、点，CAB的平分线AD交 于点D，过点D作DE BC交AC的延长线于点E (1)求证：DE是O的切线； (2)过点D作DFAB于点F，连接BD若OF1，BF2，求BD的长度 【答案】见解析。 【分析】(1)连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出ADODAE，从而ODAE，由DEBC 得E90，由两直线平行，同旁内角互补得出ODE90，由切线的判定定理得出答案； (2)先由直径所对的圆周角是直角得出ADB90，再由OF1，BF2 得出OB的值，进而得出AF和BA 的值，然后证明DBFABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD 2的值，求算术平方根即可得出 BD的值 【解析】(1)连接OD，如图： OAOD，OADADO， AD平分CAB，DAEOAD，ADODAE，ODAE， DEBC，E90，ODE180E90，DE是O的切线； (2)AB是O的直径，ADB90， OF1，BF2，OB3， AF4，BA6 DFAB， DFB90，ADBDFB， 又DBFABD， DBFABD， = ， BD 2BFBA2612 BD23 29(2020(2020淮安淮安) )如图，AB是O的弦，C是O外一点，OCOA，CO交AB于点P，交O于点D，且CP CB (1)判断直线BC与O的
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