1、 专题专题 18 18 等腰、等边三角形问题等腰、等边三角形问题 一、等腰三角形一、等腰三角形 1. 定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶 角，底边和腰的夹角叫底角. 2.等腰三角形的性质 性质 1：等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”) 性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合(简称“三线合一”) 3.等腰三角形的性质的作用 性质 1 证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据 性质 2 用来证明线段相等，角相等，垂直关系等 4.等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形底边上的高(顶角平分线或底边
2、上的中线)所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴 5.等腰三角形的判定 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”). 要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的 相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 二、等边三角形二、等边三角形 1. 定义：三边都相等的三角形叫等边三角形 2. 性质 性质 1：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60； 性质 2：等边三角形是轴对称图形，并且有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线。 3.判定 (1)三个角都相等的三角形是等边三角形；
3、(2)有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形； (3)有两个角是 60的三角形是等边三角形。 三、解题方法要领三、解题方法要领 1.等腰(边)三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在 等腰(边)三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰(边)三角形，然后利用其 定义和有关性质，快捷地证出结论。 2.常用的辅助线有：(1)作顶角的平分线、底边上的高线、中线。(2)在三角形的中线问 题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。 3.分类讨论是等腰三角形问题中常用的思想方法，在已知等腰三角形的边和角的情况下求其他三角形的边 或
4、角，要对已知的边和角进行讨论，分类的标准一般是根据边是腰还是底来分类。 【例题【例题 1】(2020临沂临沂)如图，在ABC 中，ABAC，A40，CDAB，则BCD( ) A40 B50 C60 D70 【答案】D 【解析】根据等腰三角形的性质可求ACB，再根据平行线的性质可求BCD 在ABC 中，ABAC，A40， ACB70， CDAB， ACD180A140， BCDACDACB70 【对点练习】【对点练习】如图所示，点 D 是ABC 的边 AC 上一点(不含端点)，AD=BD，则下列结论正确 的是( ) AACBC BAC=BC CAABC DA=ABC 【答案】A 【解析】本题考查
5、了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰 三角形的两个底角相 等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合根据等腰三角形的 两个底角相等，由 AD=BD 得到A=ABD，所以ABCA，则对各 C、D 选项进行判断； 根据大边对大角可对 A、B 进行判断 AD=BD， A=ABD， ABCA，所以 C 选项和 D 选项错误； ACBC，所以 A 选项正确；B 选项错误 【例题【例题 2】(2020宁波宁波)BDE 和FGH 是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形 ABC 内若求五边形 DECHF 的周长，则只需知道( ) AABC 的周长 BAFH 的周
6、长 C四边形 FBGH 的周长 D四边形 ADEC 的周长 【答案】A 【解析】证明AFHCHG(AAS)，得出 AFCH由题意可知 BEFH，则得出五边形 DECHF 的周长 AB+BC，则可得出答案 GFH 为等边三角形， FHGH，FHG60， AHF+GHC120， ABC 为等边三角形， ABBCAC，ACBA60， GHC+HGC120， AHFHGC， AFHCHG(AAS)， AFCH BDE 和FGH 是两个全等的等边三角形， BEFH， 五边形 DECHF 的周长DE+CE+CH+FH+DFBD+CE+AF+BE+DF， (BD+DF+AF)+(CE+BE)， AB+BC
7、只需知道ABC 的周长即可 【对点练习】【对点练习】如图所示，在等边三角形 ABC 的边 BC、AC 上分别取点 D、E，使 BD=CE，AD 与 BE 相交于 点 P则APE 的度数为 【答案】60 【解析】根据 BD=CE 可得 CD=AE，即可证明ACDBAE，得CAD=ABE，再根据内角和为 180的 性质即可解题。 BD=CE， BCBD=ACCE， 即 CD=AE， 在ACD 与BAE 中， ACDBAE(SAS)， CAD=ABE， CAD+APE+AEB=180， ABE+BAE+AEB=180， APE=BAE=60 【例题【例题 3】(2020台州台州)如图，已知 ABAC
8、，ADAE，BD 和 CE 相交于点 O (1)求证：ABDACE； (2)判断BOC 的形状，并说明理由 【答案】见解析。 【分析】(1)由“SAS”可证ABDACE； (2)由全等三角形的性质可得ABDACE，由等腰三角形的性质可得ABCACB，可求OBC OCB，可得 BOCO，即可得结论 【解答】证明：(1)ABAC，BADCAE，ADAE， ABDACE(SAS)； (2)BOC 是等腰三角形， 理由如下： ABDACE， ABDACE， ABAC， ABCACB， ABCABDACBACE， OBCOCB， BOCO， BOC 是等腰三角形 【对点练习】【对点练习】如图，已知 AC
9、BC，BDAD，AC 与 BD 交于点 O，AC=BD.求证： (1)BC=AD； (2)OAB 是等腰三角形. 【答案】见解析。 【解析】证明：(1)ACBC，BDAD， D=C=90. 在 RtACB 和 RtBDA 中， ABBA ACBD ， ， ACBBDA(HL). BC=AD. (2)由ACBBDA，得CAB=DBA， OAB 是等腰三角形. 【对点练习】【对点练习】已知：在ABC 中，AB=AC，D 为 AC 的中点，DEAB，DFBC，垂足分别为点 E，F， 且 DE=DF求证：ABC 是等边三角形 【答案】见解析。 【解析】 只要证明 RtADERtCDF， 推出A=C，
10、推出 BA=BC， 又 AB=AC， 即可推出 AB=BC=AC； 证明：DEAB，DFBC，垂足分别为点 E，F， AED=CFD=90 ， D 为 AC 的中点， AD=DC， 在 RtADE 和 RtCDF 中， ， RtADERtCDF， A=C， BA=BC，AB=AC， AB=BC=AC， ABC 是等边三角形 【对点练习】【对点练习】如图，ABC 中，AB=AC，A=36，AC 的垂直平分线交 AB 于 E，D 为垂足，连接 EC (1)求ECD 的度数；(2)若 CE=5，求 BC 长 【答案】(1)ECD 的度数是 36； (2)BC 长是 5 【解析】(1)DE 垂直平分
11、AC CE=AE， ECD=A=36 (2)AB=AC，A=36， B=ACB=72， BEC=A+ECD=72， BEC=B， BC=EC=5 一、选择题一、选择题 1(2020聊城聊城)如图，在ABC 中，ABAC，C65，点 D 是 BC 边上任意一点，过点 D 作 DFAB 交 AC 于点 E，则FEC 的度数是( ) A120 B130 C145 D150 【答案】B 【解析】由等腰三角形的性质得出BC65，由平行线的性质得出CDEB65，再由三角形 的外角性质即可得出答案 ABAC，C65， BC65， DFAB， CDEB65， FECCDE+C65+65130. 2(2020南
12、充南充)如图，在等腰ABC 中，BD 为ABC 的平分线，A36，ABACa，BCb，则 CD ( ) A+ 2 B 2 Cab Dba 【答案】C 【解析】根据等腰三角形的性质和判定得出 BDBCAD，进而解答即可 在等腰ABC 中，BD 为ABC 的平分线，A36， ABCC2ABD72， ABD36A， BDAD， BDCA+ABD72C， BDBC， ABACa，BCb， CDACADab 3(2020徐州徐州)如图，AB 是O 的弦，点 C 在过点 B 的切线上，OCOA，OC 交 AB 于点 P若BPC 70，则ABC 的度数等于( ) A75 B70 C65 D60 【答案】B
13、【解析】先利用对顶角相等和互余得到A20，再利用等腰三角形的性质得到OBAA20，然 后根据切线的性质得到 OBBC，从而利用互余计算出ABC 的度数 OCOA，AOC90， APOBPC70，A907020， OAOB，OBAA20， BC 为O 的切线，OBBC，OBC90，ABC902070 4.已知等边三角形的边长为 3，点 P 为等边三角形内任意一点，则点 P 到三边的距离之和为 ( ) A B C D不能确定 【答案】B 【解析】本题考查了等边三角形的性质，根据三角形的面积求点 P 到三边的距离之和等于等 边三角形的高是解题的关键，作出图形更形象直观 作出图形，根据等边三角形的性质
14、求出高 AH 的长，再根据三角 形的面积公式求出点 P 到 三边的距离之和等于高线的长度，从而得解 如图，等边三角形的边长为 3， 高线 AH=3=， S ABC=B CAH=ABPD+BCPE+ACPF， 3AH=3PD+3PE+3PF， PD+PE+PF=AH=， 即点 P 到三角形三边距离之和为 5.(2019浙江衢州浙江衢州)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能 三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒 OA，OB 组成，两根棒在 O 点相连并可绕 O 转动，C 点固 定，OC=CD=DE，点 D，E 可在槽中滑动，若BDE=75 ，则C
15、DE 的度数是( ) A. 60 B. 65 C. 75 D. 80 【答案】D 【解析】考点是三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质。 OC=CD=DE， O=ODC，DCE=DEC， 设O=ODC=x， DCE=DEC=2x， CDE=180 -DCE-DEC=180 -4x， BDE=75 ， ODC+CDE+BDE=180 ， 即 x+180 -4x+75 =180 ， 解得：x=25 ， CDE=180 -4x=80 . 6.(2019湖南长沙湖南长沙)如图，RtABC 中，C90，B30，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于AB 的长 为半径作弧，两弧相交于 M、N
16、两点，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD，则CAD 的度数是( ) A20B30C45 D60 【答案】B 【解析】在ABC 中，B30，C90， BAC180BC60， 由作图可知 MN 为 AB 的中垂线， DADB， DABB30， CADBACDAB30 二、填空题二、填空题 7(2020台州台州)如图，等边三角形纸片 ABC 的边长为 6，E，F 是边 BC 上的三等分点分别过点 E，F 沿着 平行于 BA，CA 方向各剪一刀，则剪下的DEF 的周长是 【答案】6 【解析】根据三等分点的定义可求 EF 的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解 等边三角形纸片 ABC 的边
17、长为 6，E，F 是边 BC 上的三等分点， EF2， DEAB，DFAC， DEF 是等边三角形， 剪下的DEF 的周长是 236 8(2020牡丹江牡丹江)如图，在 RtABC 中，CACB，M 是 AB 的中点，点 D 在 BM 上，AECD，BFCD， 垂足分别为 E，F，连接 EM则下列结论中： BFCE； AEMDEM； AECE= 2ME； DE2+DF22DM2； 若 AE 平分BAC，则 EF：BF= 2：1； CFDMBMDE， 正确的有 (只填序号) 【解析】 【分析】证明BCFCAE，得到 BFCE，可判断；再证明BFMCEM，从而判断EMF 为等 腰直角三角形，得到
18、EF= 2EM，可判断，同时得到MEFMFE45，可判断；再证明DFM NEM，得到DMN 为等腰直角三角形，得到 DN= 2，DM，可判断；根据角平分线的定义可逐步 推断出 DEEM，再证明ADEACE，得到 DECE，则有 = = = 2 =2，从而判断 ；最后证明CDMADE，得到 = ，结合 BMCM，AECF，可判断 【解析】ACB90， BCF+ACE90， BCF+CBF90， ACECBF， 又BFD90AEC，ACBC， BCFCAE(AAS)， BFCE，故正确； 由全等可得：AECF，BFCE， AECECFCEEF， 连接 FM，CM， 点 M 是 AB 中点， CM=
19、 1 2ABBMAM，CMAB， 在BDF 和CDM 中，BFDCMD，BDFCDM， DBFDCM， 又 BMCM，BFCE， BFMCEM(SAS)， FMEM，BMFCME， BMC90， EMF90，即EMF 为等腰直角三角形， EF= 2EMAECE，故正确，MEFMFE45， AEC90， MEFAEM45，故正确， 设 AE 与 CM 交于点 N，连接 DN， DMFNME，FMEM，DFMDEMAEM45， DFMNEM(ASA)， DFEN，DMMN， DMN 为等腰直角三角形， DN= 2DM，而DEA90， DE2+DF2DN22DM2，故正确； ACBC，ACB90，
20、CAB45， AE 平分BAC， DAECAE22.5，ADE67.5， DEM45， EMD67.5，即 DEEM， AEAE，AEDAEC，DAECAE， ADEACE(ASA)， DECE， MEF 为等腰直角三角形， EF= 2EM， = = = 2 =2，故正确； CDMADE，CMDAED90， CDMADE， = = ， BMCM，AECF， = ， CFDMBMDE，故正确。 9如图所示，D 是等边ABC 的 AC 边上的中点，点 E 在 BC 的延长线上，DE=DB，ABC 的周长是 9，则 E= ，CE= 【答案】30； 【解析】由ABC 为等边三角形，且 BD 为边 AC
21、 的中线，根据“三线合一”得到 BD 平分ABC，而ABC 为 60，得到DBE 为 30，又因为 DE=DB，根据等边对等角得到E 与DBE 相等，故E 也为 30； 由等边三角形的三边相等且周长为 9，求出 AC 的长为 3，且ACB 为 60，根据ACB 为DCE 的外角， 根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，求出CDE 也为 30，根据等角对等边得到 CD=CE， 都等于边长 AC 的一半，从而求出 CE 的值 解：ABC 为等边三角形，D 为 AC 边上的中点， BD 为ABC 的平分线，且ABC=60， 即DBE=30，又 DE=DB， E=DBE=30， 等边ABC 的
22、周长为 9，AC=3，且ACB=60， CDE=ACBE=30，即CDE=E， CD=CE= AC= 1010.(2019.(2019 黑龙江绥化黑龙江绥化) )如图,在ABC 中,ABAC,点 D 在 AC 上,且 BDBCAD,则A_度. 【答案】16 【解析】BDAD,设AABDx,BDC2x,BDBC,CBDC2x,ABAC,ABCC 2x,x+2x+2x180,x36. 三、解答题三、解答题 11 (2020绍兴绍兴)问题： 如图， 在ABD 中， BABD 在 BD 的延长线上取点 E， C， 作AEC， 使 EAEC 若 BAE90，B45，求DAC 的度数 答案：DAC45 思
23、考：(1)如果把以上“问题”中的条件“B45”去掉，其余条件不变，那么DAC 的度数会改变吗？ 说明理由 (2)如果把以上“问题”中的条件“B45”去掉，再将“BAE90”改为“BAEn” ，其余条 件不变，求DAC 的度数 【答案】见解析。 【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到AED2C，求得DAE90BAD90(45+C) 45C，由，即可得到结论； (2)设ABCm，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论 【解析】(1)DAC 的度数不会改变； EAEC， AED2C， BAE90， BAD= 1 2180(902C)45+C， DAE90BAD90(45+C)45C，
24、由，得，DACDAE+CAE45； (2)设ABCm， 则BAD= 1 2(180m)90 1 2m，AEB180nm， DAEnBADn90+ 1 2m， EAEC， CAE= 1 2AEB90 1 2n 1 2m， DACDAE+CAEn90+ 1 2m+90 1 2n 1 2m= 1 2n 12(2020凉山州凉山州)如图，点 P、Q 分别是等边ABC 边 AB、BC 上的动点(端点除外)，点 P、点 Q 以相同的 速度，同时从点 A、点 B 出发 (1)如图 1，连接 AQ、CP求证：ABQCAP； (2)如图 1，当点 P、Q 分别在 AB、BC 边上运动时，AQ、CP 相交于点 M
25、，QMC 的大小是否变化？若变 化，请说明理由；若不变，求出它的度数； (3)如图 2，当点 P、Q 在 AB、BC 的延长线上运动时，直线 AQ、CP 相交于 M，QMC 的大小是否变化？ 若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数 【答案】见解析。 【分析】(1)根据等边三角形的性质，利用 SAS 证明ABQCAP 即可； (2)先判定ABQCAP，根据全等三角形的性质可得BAQACP，从而得到QMC60； (3)先判定ABQCAP，根据全等三角形的性质可得BAQACP，从而得到QMC120 【解析】(1)证明：如图 1，ABC 是等边三角形 ABQCAP60，ABCA， 又点 P、Q 运动
26、速度相同， APBQ， 在ABQ 与CAP 中， = = = ， ABQCAP(SAS)； (2)点 P、Q 在 AB、BC 边上运动的过程中，QMC 不变 理由：ABQCAP， BAQACP， QMC 是ACM 的外角， QMCACP+MACBAQ+MACBAC BAC60， QMC60； (3)如图 2，点 P、Q 在运动到终点后继续在射线 AB、BC 上运动时，QMC 不变 理由：同理可得，ABQCAP， BAQACP， QMC 是APM 的外角， QMCBAQ+APM， QMCACP+APM180PAC18060120， 即若点 P、Q 在运动到终点后继续在射线 AB、BC 上运动，QMC 的度数为 120
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