1、 专题专题 14 14 角平分线问题角平分线问题 1.1.角的平分线定义：角的平分线定义： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因 为 OC 是AOB 的平分线，所以1=2=AOB，或AOB=21=22. 类似地，还有角的三等分线等. 2.作角平分线 角平分线的作法(尺规作图) 以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 OA、OB 于 C、D 两点； 分别以 C、D 为圆心，大于 CD 长为半径画弧，两弧交于点 P； 过点 P 作射线 OP，射线 OP 即为所求 3.角平分线的性质 (1)定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 符号语言：OP
2、 平分AOB，APOA，BPOB，AP=BP. 1 2 (2)逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 符号语言： APOA，BPOB，AP=BP，点 P 在AOB 的平分线上. 注意：三角形的角平分线。三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫 做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言： 如下图，AD 是ABC 的角平分线，或BADCAD 且点 D 在 BC 上. 说明：AD 是ABC 的角平分线BADDACBAC (或BAC2BAD2DAC) . (1)三角形的角平分线是线段； (2)一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； (3)三角形三条角
3、平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心； (4)可以用量角器或圆规画三角形的角平分线. 4.角平分线的综合应用 2 1 (1)为推导线段相等、角相等提供依据和思路； (2)在解决综合问题中的应用 【例题【例题 1 1】(2020(2020襄阳襄阳) )如图，ABCD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分BEF，若EFG64， 则EGD的大小是( ) A132 B128 C122 D112 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得到BEF180EFG116，根据角平分线的定义得到BEG= 1 2BEF 58，由平行线的性质即可得到结论 【解析】ABCD，EFG64， BEF180
4、EFG116， EG平分BEF交CD于点G， BEG= 1 2BEF58， ABCD， EGD180BEG122 【对点练习】【对点练习】(2020 长春模拟 )如图，在ABC 中，CD 平分ACB 交 AB 于点 D，过点 D 作 DEBC 交 AC 于点 E若A=54，B=48，则CDE 的大小为( ) A44 B40 C39 D38 【答案】C 【解析】根据三角形内角和得出ACB，利用角平分线得出DCB，再用平行线的性质解答即可 A=54，B=48， ACB=1805448=78， CD 平分ACB 交 AB 于点 D， DCB=78=39， DEBC， CDE=DCB=39， 【点拨】
5、本题考查三角形内角和定理、平行线性质、角平分线定义。 【例题【例题 2 2】(2020(2020随州随州) )如图，点A，B，C在O上，AD是BAC的角平分线，若BOC120，则CAD的 度数为 【答案】30 【解析】先根据圆周角定理得到BAC= 1 2BOC60，然后利用角平分线的定义确定CAD 的度数 BAC= 1 2BOC= 1 2 12060， 而AD是BAC的角平分线， CAD= 1 2BAC30 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 四川自贡四川自贡) )如图，在 RtABC中，ACB90，AB10，BC6，CDAB，ABC的平 分线BD交AC于点E，DE 【答案】 【解析
6、】由CDAB，DABE，DCBE，所以CDBC6，再证明AEBCED，根据相似比求出 DE的长 ACB90，AB10，BC6， AC8， BD平分ABC， ABECDE， CDAB， DABE， DCBE， CDBC6， AEBCED， ， CEAC83， BE， DEBE 【点拨】本题考查相似三角形性质、勾股定理、角平分线性质。 【例题【例题 3 3】(2020(2020金华金华) )图 1 是一个闭合时的夹子，图 2 是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD(点A 与点B重合)，点O是夹子转轴位置，OEAC于点E，OFBD于点F，OEOF1cm，ACBD6cm，CEDF， CE：AE2：
7、3按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动 (1)当E，F两点的距离最大时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是 cm (2)当夹子的开口最大(即点C与点D重合)时，A，B两点的距离为 cm 【答案】(1)16 (2)60 13 【分析】(1)当E，F两点的距离最大时，E，O，F共线，此时四边形ABCD是矩形，求出矩形的长和宽即可 解决问题 (2)如图 3 中，连接EF交OC于H想办法求出EF，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题 解：(1)当E，F两点的距离最大时，E，O，F共线，此时四边形ABCD是矩形， OEOF1cm， EF2cm， ABCD2cm， 此时四边形ABCD的周长为
8、 2+2+6+616(cm)， 故答案为 16 (2)如图 3 中，连接EF交OC于H 由题意CECF= 2 5 6= 12 5 (cm)， OEOF1cm， CO垂直平分线段EF， OC= 2+ 2=(12 5 )2+ 12= 13 5 (cm)， 1 2OEEC= 1 2COEH， EH= 112 5 13 5 = 12 13(cm)， EF2EH= 24 13(cm) EFAB， = = 2 5， AB= 5 2 24 13 = 60 13(cm) 故答案为60 13 【对点练习】【对点练习】已知：点 P 是MON 内一点，PAOM 于 A，PBON 于 B，且 PAPB 求证：点 P
9、在MON 的平分线上 【答案】见解析。 【解析】证明：连结 OP 在 RtPAO 和 RtPBO 中， PA=PB OP=OP RtPAORtPBO(HL) 12 OP 平分MON 即点 P 在MON 的平分线上 【点拨】全等三角形性质、角平分线定义。 一、选择题一、选择题 1(2020(2020乐山乐山) )如图，E是直线CA上一点，FEA40，射线EB平分CEF，GEEF则GEB( ) A10 B20 C30 D40 【答案】B 【分析】根据平角的定义得到CEF180FEA18040140，由角平分线的定义可得 = 1 2 = 1 2 140 = 70，由GEEF可得GEF90，可得CEG
10、180AEFGEF180 409050，由GEBCEBCEG可得结果 【解析】FEA40，GEEF， CEF180FEA18040140，CEG180AEFGEF1804090 50， 射线EB平分CEF， = 1 2 = 1 2 140 = 70， GEBCEBCEG705020 2(2020(2020福建福建) )如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD5，则CD等于( ) A10 B5 C4 D3 【答案】B 【解析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解 AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD5， CD5 3.如图，在ABC中，C=90，AD平分BAC，过点D作DEAB于点E，测
11、得BC=9，BE=3，则BDE的周长 是( ) A.15 B.12 C.9 D.6 【答案】B 【解析】在ABC中，C=90，ACCD AD平分BAC，DEAB，DE=CD BC=9，BE=3， BDE的周长为BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=3+9=12 4如图，面积为 24 的ABCD中，对角线BD平分ABC，过点D作DEBD交BC的延长线于点E，DE6， 则 sinDCE的值为( ) A B C D 【答案】A 【解析】连接AC，过点D作DFBE于点E， BD平分ABC， ABDDBC， ABCD中，ADBC， ADBDBC， ADBABD， ABBC， 四边形ABCD是菱
12、形， ACBD，OBOD， DEBD， OCED， DE6， OC， ABCD的面积为 24， ， BD8， 5， 设CFx，则BF5+x， 由BD 2BF2DC2CF2可得：82(5+x)252x2， 解得x， DF， sinDCE 故选：A 5.已知：如图，点 P 在线段 AB 外，且 PA=PB，求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，在证明该结论时，需 添加辅助线，则作法不正确的是( ) A作APB 的平分线 PC 交 AB 于点 C B过点 P 作 PCAB 于点 C 且 AC=BC C取 AB 中点 C，连接 PC D过点 P 作 PCAB，垂足为 C 【答案】B 【解析】利用
13、判断三角形全等的方法判断即可得出结论 A利用 SAS 判断出PCAPCB，CA=CB，PCA=PCB=90，点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，符合 题意； C利用 SSS 判断出PCAPCB，CA=CB，PCA=PCB=90，点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，符合 题意； D利用 HL 判断出PCAPCB，CA=CB，点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，符合题意， B过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意。 6如图，ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE、BF 分别是BAC、ABC 的平分线，BAC=50，ABC=60， 则EAD+ACD=( ) A75
14、 B80 C85 D90 【答案】A 【解析】依据 AD 是 BC 边上的高，ABC=60，即可得到BAD=30，依据BAC=50，AE 平分BAC，即 可得到DAE=5，再根据ABC 中，C=180ABCBAC=70，可得EAD+ACD=75 AD 是 BC 边上的高，ABC=60， BAD=30， BAC=50，AE 平分BAC， BAE=25， DAE=3025=5， ABC 中，C=180ABCBAC=70， EAD+ACD=5+70=75 7 7(2019(2019 山东滨州山东滨州) )如图，在正方形ABCD中，对角线相交于点O，BN平分CBD，交边CD于点N，交对角 线AC于点M
15、，若OM1，则线段DN的长是多少( ) A1.5 B2 C D2 【答案】B 【解析】作NEBD于E，如图所示： 四边形ABCD是正方形， ACBD，ADCBCD90，ODC45，OBOD，BCDC， DEN是等腰直角三角形， DENE，DNNE， BN平分CBD， NENC， NENCDE， 设NENCDEx， 则DNx，DCx+x， BDDC2x+x，BEBDDEx+x， OBBDx+x， NEBD， NEAC， BOMBEN， ，即， 解得：x， DNx2 8.(2019 陕西)如图，在ABC 中，B=30，C=45，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，DEAB，垂足为 E。 若 DE
16、=1，则 BC 的长为( ) A.2+2 B.32 C.2+3 D.3 【答案】A 【解析】 过点 D 作 DFAC 于 F 如图所示，AD 为BAC 的平分线，且 DEAB 于 E，DFAC 于 F，DE=DF=1，在 Rt BED 中， B=30， BD=2DE=2， 在 RtCDF 中， C=45， CDF 为等腰直角三角形， CD=2DF=2， BC=BD+CD=22，故选 A 9(2019 内蒙古)如图，在 RtABC中，B90，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于 点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG 1
17、，AC4，则ACG的面积是( ) A1 B C2 D 【答案】C 【解析】利用基本作图得到AG平分BAC，利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为 1，然后根据三角 形面积公式计算ACG的面积 由作法得AG平分BAC， G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为 1， 所以ACG的面积412 二、填空题二、填空题 10(2020(2020扬州扬州) )如图，在ABC中，按以下步骤作图： 以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E 分别以点D、E为圆心，大于1 2DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点F 作射线BF交AC于点G 如果AB8，BC12，ABG的面积为 18，则
18、CBG的面积为 【答案】27 【分析】过点G作GMAB于点M，GNAC于点N，根据作图过程可得AG是ABC的平分线，根据角平分线 的性质可得GMGN，再根据ABG的面积为 18，求出GM的长，进而可得CBG的面积 【解析】如图，过点G作GMAB于点M，GNAC于点N， 根据作图过程可知： BG是ABC的平分线， GMGN， ABG的面积为 18， 1 2 ABGM18， 4GM18， GM= 9 2， CBG的面积为：1 2 BCGN= 1 2 12 9 2 =27 11如图，ABC 中，C=90，ABC=60，BD 平分ABC，若 AD=8cm，则 CD= 【答案】4cm 【解析】C=90，
19、ABC=60， A=30， BD 平分CBD， CBD=ABD=30， CD= BD，A=ABD， AD=BD=8cm， CD=4cm 12.如图，OC 为AOB 的平分线，CMOB，OC=5，OM=4，则点 C 到射线 OA 的距离为 【答案】3 【解析】过 C 作 CFAO，根据勾股定理可得 CM 的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得 CF=CM，进而可得答案 过 C 作 CFAO， OC 为AOB 的平分线，CMOB， CM=CF， OC=5，OM=4， CM=3，CF=3， 13 如图， 在ABC 中， AF 平分BAC， AC 的垂直平分线交 BC 于点 E， B=7
20、0， FAE=19， 则C= 度 【答案】24 【解析】根据线段的垂直平分线的性质得到 EA=EC，得到EAC=C，根据角平分线的定义、三角形内角和 定理计算即可 DE 是 AC 的垂直平分线， EA=EC，EAC=C， FAC=EAC+19， AF 平分BAC，FAB=EAC+19， B+BAC+C=180， 70+2(C+19)+C=180， 解得，C=24， 1414(2019(2019 内蒙古通辽内蒙古通辽) )如图，在矩形ABCD中，AD8，对角线AC与BD相交于点O，AEBD，垂足为点E， 且AE平分BAC，则AB的长为 【答案】 【解答】四边形ABCD是矩形 AOCOBODO，
21、AE平分BAO BAEEAO，且AEAE，AEBAEO， ABEAOE(ASA) AOAB，且AOOB AOABBODO，BD2AB， AD 2+AB2BD2，64+AB24AB2， AB 1515(2019(2019 宁夏宁夏) )如图，在 RtABC中，C90，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB， BC于点M，N， 再分别以点M，N为圆心， 大于MN的长为半径画弧， 两弧交于点P， 作射线BP交AC于点D 若 A30，则 【答案】 【解析】由作法得BD平分ABC， C90，A30， ABC60， ABDCBD30， DADB， 在 RtBCD中，BD2CD， AD2CD， =
22、三、解答题三、解答题 16(2020(2020泸州泸州) )如图，AC平分BAD，ABAD求证：BCDC 【答案】见解析。 【解析】由“SAS”可证ABCADC，可得BCDC 证明：AC平分BAD， BACDAC， 又ABAD，ACAC， ABCADC(SAS)， BCCD 17(2020(2020武汉武汉) )如图，在 RtABC中，ABC90，以AB为直径的O交AC于点D，AE与过点D的切线 互相垂直，垂足为E (1)求证：AD平分BAE； (2)若CDDE，求 sinBAC的值 【答案】见解析。 【分析】(1)连接OD，如图，根据切线的性质得到ODDE，则可判断ODAE，从而得到1ODA
23、，然后 利用2ODA得到12； (2)连接BD，如图，利用圆周角定理得到ADB90，再证明23，利用三角函数的定义得到 sin 1= ，sin3= ，则 ADBC，设CDx，BCADy，证明CDBCBA，利用相似比得到x：yy： (x+y)，然后求出x、y的关系可得到 sinBAC的值 【解析】(1)证明：连接OD，如图， DE为切线，ODDE， DEAE， ODAE， 1ODA， OAOD，2ODA，12，AD平分BAE； (2)解：连接BD，如图， AB为直径，ADB90， 2+ABD90，3+ABD90，23， sin1= ，sin3= ， 而DEDC，ADBC， 设CDx，BCADy，
24、 DCBBCA，32， CDBCBA， CD：CBCB：CA，即x：yy：(x+y)， 整理得x 2+xy+y20，解得 x= 1+5 2 y或x= 15 2 y(舍去)， sin3= = 51 2 ， 即 sinBAC的值为51 2 18.已知：OC 平分MON，P 是 OC 上任意一点，PAOM，PBON， 垂足分别为点 A、点 B 求证：PAPB 【答案】见解析。 【解析】证明：PAOM，PBON PAOPBO90 OC 平分MON 12 在PAO 和PBO 中， PAOPBO PAPB 19.已知：如图，在 RtABC 中，C90，D 是 AC 上一点，DEAB 于 E， 且 DEDC
25、 (1)求证：BD 平分ABC； (2)若A36，求DBC 的度数 【答案】见解析。 【解析】(1)证明：DCBC，DEAB，DEDC， 点 D 在ABC 的平分线上，BD 平分ABC (2)C90，A36，ABC54， BD 平分ABC，DBCABC27 20.已知：如图，锐角ABC 的两条高 BD、CE 相交于点 O，且 OB=OC. (1)求证：ABC 是等腰三角形； (2)判断点 O 是否在BAC 的角平分线上，并说明理由. 【答案】见解析。 【解析】(1)证明：OB=OC， OBC=OCB. BD、CE 是两条高， BDC=CEB=90. 又BC=CB， BDCCEB(AAS). D
26、CB=EBC. AB=AC，即ABC 是等腰三角形. (2)点 O 是在BAC 的角平分线上. 理由：连接 AO. BDCCEB， DC=EB,CE=BD. OB=OC， OD=OE. 又BDC=CEB=90，AO=AO， ADOAEO(HL). DAO=EAO. 点 O 是在BAC 的角平分线上. 21.如图，12，AEOB 于 E，BDOA 于 D，AE 与 BD 相交于点 C求证：ACBC 【答案】见解析。 【解析】证明：12，BDOA，AEOB， CDCE， DCAECB，ADCBEC90， ACDBCE， ACBC 22.如图，已知点 D 为等腰直角ABC 内一点，CAD=CBD=1
27、5，E 为 AD 延长线上的一点，且 CE=CA. (1)求证：DE 平分BDC； (2)若点 M 在 DE 上，且 DC=DM，求证：ME=BD. 【答案】见解析。 【解析】(1)证明：在等腰直角ABC 中，CAD=CBD=15， BAD=ABD=45-15=30， BD=AD， BDCADC， DCA=DCB=45. 由BDE=ABD+BAD=30+30=60，EDC=DAC+DCA=15+45=60， BDE=EDC， DE 平分BDC. (2)证明：连接 MC， DC=DM，且MDC=60， MDC 是等边三角形，即 CM=CD. 又EMC=180-DMC=180-60=120，ADC
28、=180-MDC=180-60=120， EMC=ADC. 又CE=CA， DAC=CEM=15， ADCEMC， EM=AD=DB. 23. 如图所示，在ABC 中，C90，ACBC，DA 平分CAB 交 BC 于 D，问能否在 AB 上确定一点 E，使 BDE 的周长等于 AB 的长？若能，请作出点 E，并给出证明；若不能，请说明理由 【答案】见解析。 【解析】由于点 D 在CAB 的平分线上，若过点 D 作 DEAB 于 E，则 DEDC于是有 BDDEBDDCBC AC，只要知道 AC 与 AE 的关系即可得出结论 能在 AB 上确定一点 E，使BDE 的周长等于 AB 的长。 过点
29、D 作 DEAB 于 E，则BDE 的周长等于 AB 的长理由如下： AD 平分CAB，DCAC，DEAB， DCDE 在 RtACD 和 RtAED 中， ， RtACDRtAED(HL) ACAE 又ACBC，AEBC BDE 的周长BDDEBEBDDCBEBCBEAEBEAB 24.如图，OC是AOB的平分线，P是OC上一点，PDOA交OA于点D，PEOB交OB于 点E，F是OC上的另一点，连接DF，EF求证：DF=EF 【答案】见解析。 【解析】证明：点P在AOB的平分线OC上，PEOB，PDAO， PD=PE，DOP=EOP，PDO=PEO=90. DPF=90-DOP，EPF=90
30、-EOP， DPF=EPF 在DPF和EPF中， , , , PD PE DPFEPF PF PF DPFEPF(SAS) DF=EF 25.如图，在四边形ABDC中，D=ABD=90，点O为BD的中点，且OA平分BAC 求证：(1)OC平分ACD；(2)OAOC；(3)AB+CD=AC 【答案】见解析。 【解析】证明： (1)如图，过点O作OEAC于点E. ABD=90，OA平分BAC， OB=OE. O为BD的中点， OB=OD， OE=OD，且OEAC,ODCD, OC平分ACD. (2)在 RtABO和 RtAEO中， , , AO AO OB OE RtABORtAEO(HL)， A
31、OB=AOE. 同理得出COD=COE， AOC=AOE+COE=12180=90， OAOC. (3)RtABORtAEO， AB=AE. 同理可得CD=CE. AC=AE+CE， AB+CD=AC 26.如图，在 RtABC 中，ACB=90，A=40，ABC 的外角CBD 的平分线 BE 交 AC 的延长线于点 E (1)求CBE 的度数； (2)过点 D 作 DFBE，交 AC 的延长线于点 F，求F 的度数 【答案】见解析。 【解析】先根据直角三角形两锐角互余求出ABC=90A=50，由邻补角定义得出CBD=130再根 据角平分线定义即可求出CBE=CBD=65；先根据三角形外角的性质得出CEB=9065=25，再 根据平行线的性质即可求出F=CEB=25 (1)在 RtABC 中，ACB=90，A=40， ABC=90A=50， CBD=130 BE 是CBD 的平分线， CBE=CBD=65； (2)ACB=90，CBE=65， CEB=9065=25 DFBE， F=CEB=25
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