1、 专题专题 09 09 二元一次方程组及其应用二元一次方程组及其应用 1 1二元一次方程：二元一次方程： 含有两个未知数，并且未知数的指数都是 1 的方程整式方程叫做二元一次方程.一般形式是 ax+by=c(a0,b0)。 2 2二元一次方程组：二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成一个二元一次方程组。 3 3二元一次方程的解：二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。 4 4二元一次方程组的解：二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。 5.5.解二元一次方程组的方法解二元一次方程组的方法 将
2、未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。 (1)代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而 求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。 (2)加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就 能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 6.6.列方程列方程( (组组) )解应用题的一般步骤解应用题的一般步骤 (1)审：有什么，求什么，干什么； (2)设：设未知数，并注意单位； (3)找：等量关系； (4)列：用数学语言表达出来； (5)解：解方程(组 ) (6)验
3、：检验方程(组)的解是否符合实际题意 (7)答：完整写出答案(包括单位) 注意：找出相等关系“未知”转化为“已知”.有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方 程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等 【例题 1】(2020(2020嘉兴嘉兴) )用加减消元法解二元一次方程组 + 3 = 4， 2 = 1时，下列方法中无法消元的 是( ) A2 B(3) C(2)+ D3 【答案】D 【分析】方程组利用加减消元法变形即可 【解析】 A.2可以消元x，不符合题意； B.(3)可以消元y，不符合题意； C.(2)+可以消元x，不符合题意； D.3 无法
4、消元，符合题意 【对点练习】【对点练习】(2020(2020 年广州模拟年广州模拟) )解方程组： 【答案】见解析。 【解析】运用加减消元解答即可 ， 得，4y2，解得y2， 把y2 代入得，x21，解得x3， 故原方程组的解为 【点拨】本题利用加减消元解方程。 【例题【例题 2 2】(2020(2020台州台州) )解方程组： = 1， 3 + = 7. 【答案】见解析。 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可 【解析】 = 1 3 + = 7， +得：4x8， 解得：x2， 把x2 代入得：y1， 则该方程组的解为 = 2 = 1. 【对点练习】【对点练习】(2020(2020 海南模拟海
5、南模拟) )解方程组： 【答案】见解析。 【解析】根据二元一次方程组代入消元解方程即可. , 由得：x=-2y 将代入得：3(-2y)+4y=6， 解得：y=-3, 将 y=-3 代入得：x=6， 原方程组的解为： 【点拨】本题利用代入消元解方程。 【例题【例题 3 3】(2020(2020岳阳岳阳) )我国古代数学名著九章算术上有这样一个问题： “今有醇酒一斗，直钱五十；行 酒一斗，直钱一十今将钱三十，得酒二斗问醇、行酒各得几何？”其大意是：今有醇酒(优质酒)1 斗， 价值 50 钱；行酒(劣质酒)1 斗，价值 10 钱现用 30 钱，买得 2 斗酒问醇酒、行酒各能买得多少？设醇 酒为x斗，
6、行酒为y斗，根据题意，可列方程组为 【答案】 + = 2 50 + 10 = 30 【分析】根据“现用 30 钱，买得 2 斗酒” ，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解 【解析】依题意，得： + = 2 50 + 10 = 30 故答案为： + = 2 50 + 10 = 30 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 年江苏省淮安市年江苏省淮安市) )某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示： 所用火车车皮数量(节) 所用汽车数量(辆) 运输物资总量(吨) 第一批 2 5 130 第二批 4 3 218 试问每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资多少吨？ 【答案】每节
7、火车车皮装物资 50 吨，每辆汽车装物资 6 吨； 【解析】本题考查二元一次方程组的应用；能够根据题意列出准确的方程组，并用加减消元法解方程组是 关键 设每节火车车皮装物资x吨，每辆汽车装物资y吨， 根据题意，得， ， 每节火车车皮装物资 50 吨，每辆汽车装物资 6 吨。 【点拨】本题属于二元一次方程组的应用。 一、选择题一、选择题 1 (2020(2020齐齐哈尔齐齐哈尔) )母亲节来临， 小明去花店为妈妈准备节日礼物 已知康乃馨每支 2 元， 百合每支 3 元 小 明将 30 元钱全部用于购买这两种花(两种花都买)，小明的购买方案共有( ) A3 种 B4 种 C5 种 D6 种 【答案
8、】B 【分析】设可以购买x支康乃馨，y支百合，根据总价单价数量，即可得出关于x，y的二元一次方程， 结合x，y均为正整数即可得出小明有 4 种购买方案 【解析】设可以购买x支康乃馨，y支百合， 依题意，得：2x+3y30， y10 2 3x x，y均为正整数， = 3 = 8， = 6 = 6， = 9 = 4， = 12 = 2 ， 小明有 4 种购买方案 2.2.(2019(2019 广西贺州广西贺州) )已知方程组 23 25 xy xy ，则26xy的值是( ) A2 B2 C4 D4 【答案】C 【解析】两式相减，得32xy ，2(3 )4xy ，即264xy ，故选：C 3.3.(
9、2019(2019 湖南邵阳湖南邵阳) )某出租车起步价所包含的路程为0 2km， 超过2km的部分按每千米另收费 津津乘坐这 种出租车走了7km， 付了 16 元； 盼盼乘坐这种出租车走了13km， 付了 28 元 设这种出租车的起步价为x元， 超过2km后每千米收费y元，则下列方程正确的是( ) A 716 1328 xy xy B (72)16 1328 xy xy C 716 (132)28 xy xy D (72)16 (132)28 xy xy 【答案】D 【解析】设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元， 则所列方程组为 (72)16 (132)28 xy xy 4
10、. (20194. (2019 黑龙江省龙东地区黑龙江省龙东地区) )某学校计划用 34 件同样的奖品全部用于奖励在“经典诵读”活动中表现突出 的班级，一等奖奖励 6 件，二等奖奖励 4 件，则分配一、二等奖个数的方案有( ) A4 种 B3 种 C2 种 D1 种 【答案】B 【解析】根据题意可列二元一次方程，再根据问题的实际意义，取正整数解即可. 设分配一等奖 x 个，二等奖 y 个，依题意得 6x+4y=34， 其正整数解有 1 7 x y ， 3 4 x y ， 5 1 x y ，故选 B. 5.(20195.(2019 吉林长春吉林长春) )九章算术是中国古代重要的数学著作，其中“盈
11、不足术”记载：今有共买鸡，人出 九，盈十一；人出六，不足十六.问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出 11 钱； 每人出 6 钱，又差 16 钱.问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为 A. yx yx 166 119 B. yx yx 166 119 C. yx yx 166 119 D. yx yx 166 11-9 【答案】D. 【解析】设人数为x，买鸡的钱数为y， 可列方程组为： 9 -11 616 xy xy 二、填空题二、填空题 6(2020(2020南京南京) )已知x、y满足方程组 + 3 = 1， 2 + = 3， ，则x+y
12、的值为_ 【答案】1 【分析】求出方程组的解，代入求解即可 【解析】 + 3 = 1 2 + = 3 ， 2得：5y5， 解得：y1， 3 得：5x10， 解得：x2， 则x+y211， 故答案为 1 7(2020(2020北京北京) )方程组 = 1 3 + = 7的解为 【答案】 = 2 = 1 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可 【解析】 = 1 3 + = 7， +得：4x8， 解得：x2， 把x2 代入得：y1， 则方程组的解为 = 2 = 1 8(2020(2020无锡无锡) )我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井 深几何？这段话的意思
13、是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺， 井深几尺？则该问题的井深是 尺 【答案】8 【分析】 可设绳长为x尺， 井深为y尺， 根据等量关系： 绳长的1 3 井深4 尺； 绳长的1 4 井深1 尺； 列出方程组求解即可 【解析】设绳长是x尺，井深是y尺，依题意有 1 3 = 4 1 4 = 1 ， 解得 = 36 = 8 故井深是 8 尺 9.(20199.(2019 江苏常州江苏常州) )若 1 2 x y 是关于x、y的二元一次方程axy3 的解，则a_ 【答案】1 【解析】本题考查了二元一次方程的解的定义， 将 1 2 x y 代入方程axy3，得a23
14、，a1， 因此本题答案为 1 10.(201910.(2019湖南张家界湖南张家界) )田亩比类乘除捷法是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题： “直 田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”意思是：一块矩形田地的面积为 864 平方步，只 知道它的长与宽共60 步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多 步 【答案】12 【解析】二元方程组的应用；整体思想；完全平方公式。 设矩形的长为x步，宽为y步，根据题意，得 864 60 xy xy ， 从而(xy) 24xy602486436003456144， 即(xy) 2144，于是，xy12 三、应用题三、应用题 11(
15、2020(2020连云港连云港) )解方程组2 + 4 = 5， = 1 【答案】见解析。 【分析】把组中的方程直接代入，用代入法求解即可 【解析】2 + 4 = 5 = 1 把代入，得 2(1y)+4y5， 解得y= 3 2 把y= 3 2代入，得 x= 1 2 原方程组的解为 = 1 2 = 3 2 12(2020(2020乐山乐山) )解二元一次方程组：2 + = 2， 8 + 3 = 9 【答案】见解析。 【分析】方程组利用加减消元法与代入消元法求出解即可 【解析】2 + = 2 8 + 3 = 9， 法 1：3，得 2x3， 解得：x= 3 2， 把x= 3 2代入，得 y1， 原方
16、程组的解为 = 3 2 = 1 ； 法 2：由得：2x+3(2x+y)9， 把代入上式， 解得：x= 3 2， 把x= 3 2代入，得 y1， 原方程组的解为 = 3 2 = 1 13.(201913.(2019 年福建省年福建省) )解方程组 【答案】方程组的解为 【解析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法方 程组利用加减消元法求出解即可 ， +得：3x9，即x3， 把x3 代入得：y2， 则方程组的解为 14.(201914.(2019 年丽水年丽水) )解方程组 【答案】 【解析】根据二元一次方程组的解法，先将式子化简，再用加减消元法(或代
17、入消元法)求解； ， 将化简得：x+8y5 ， +，得y1， 将y1 代入，得x3， 15.(201915.(2019 年山东潍坊年山东潍坊) )己知关于x，y的二元一次方程组的解满足xy，求k的取值范围 【答案】k5 【解析】先用加减法求得xy的值(用含k的式子表示)，然后再列不等式求解即可 得：xy5k， xy， xy0 5k0 解得：k5 16(2020(2020江西江西) )放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种 笔芯每盒 10 支，如果整盒买比单支买每支可优惠 0.5 元小贤要买 3 支笔芯，2 本笔记本需花费 19 元；小 艺要买 7 支笔芯
18、，1 本笔记本需花费 26 元 (1)求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格； (2)小贤和小艺都还想再买一件单价为 3 元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还 剩 2 元钱他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明 【答案】见解析。 【分析】(1)设笔记本的单价为x元，单独购买一支笔芯的价格为y元，根据“小贤要买 3 支笔芯，2 本笔 记本需花费 19 元；小艺要买 7 支笔芯，1 本笔记本需花费 26 元” ，即可得出关于x，y的二元一次方程组， 解之即可得出结论； (2)先求两人带的总钱数，再求出两人合在一起买文具所需费用，由二者的差大于 2
19、个小工艺品所需钱数， 可找出：他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品 【解析】(1)设笔记本的单价为x元，单独购买一支笔芯的价格为y元， 依题意，得：2 + 3 = 19 + 7 = 26 ， 解得： = 5 = 3 答：笔记本的单价为 5 元，单独购买一支笔芯的价格为 3 元 (2)小贤和小艺带的总钱数为 19+2+2647(元) 两人合在一起购买所需费用为 5(2+1)+(30.5)1040(元) 47407(元)，326(元)，76， 他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品 17.(201917.(2019 年山东烟台年山东烟台) )亚洲文明对话大会召
20、开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作某大学计划组织本 校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配 36 座新能源客车若干辆，则有 2 人没有座位；若只调配 22 座 新能源客车，则用车数量将增加 4 辆，并空出 2 个座位 (1)计划调配 36 座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？ (2)若同时调配 36 座和 22 座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 【答案】见解析。 【解析】(1)设计划调配 36 座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，则需调配 22 座新能源客车(x+4) 辆， 依题意，得：， 解得： 答：计划调配 36 座新能源客车 6 辆，该
21、大学共有 218 名志愿者 (2)设需调配 36 座客车m辆，22 座客车n辆， 依题意，得：36m+22n218， n 又m，n均为正整数， 答：需调配 36 座客车 3 辆，22 座客车 5 辆 18.(201918.(2019 年山东淄博年山东淄博) )“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的A，B两种产品在欧洲 市场热销今年第一季度这两种产品的销售总额为 2060 万元，总利润为 1020 万元(利润售价成本)其 每件产品的成本和售价信息如下表： A B 成本(单位：万元/件) 2 4 售价(单位：万元/件) 5 7 问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？ 【答案】A，
22、B 两种产品的销售件数分别为 160 件、180 件 【解析】设A，B两种产品的销售件数分别为x件、y件； 由题意得：， 解得：； 所以 A，B两种产品的销售件数分别为 160 件、180 件 19.(201919.(2019 年湖南益阳年湖南益阳) )为了提高农田利用效益， 某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的 “虾稻”轮作模式某农户有农田 20 亩，去年开始实施“虾稻”轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利 润为 32 元(利润售价成本)由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下 降 25%，售价下降 10%，出售小龙虾每千克获得利润为 30 元求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价。 【答案】去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为 8 元、40 元； 【解析】设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元， 由题意得： 解得：； 所以去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为 8 元、40 元。
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