1、 2021 年湖南省娄底市四校联合中考数学模拟试题年湖南省娄底市四校联合中考数学模拟试题 满分 120 分 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 36 分，每小题分，每小题 3 分）分） 12021 的相反数是（ ） A2021 B2021 C D 2下列运算正确的是（ ） Aa2a5a10 B （a2）2a24 Ca6a2a3 D （a2）4a8 32020 年新冠肺炎席卷全球据经济日报 3 月 8 日报道，为支持发展中国家应对新冠肺炎疫情，中国向世 卫组织捐款 2000 万美元其中的 2000 万用科学记数法表示为（ ） A20106 B2107 C2108 D0.2108
2、 4下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 5有 15 名学生参加学校举办的“最强大脑”智力竞赛，比赛结束后根据每个学生的成绩计算平均数、中 位数、众数、方差，若去掉一个最高分，一个最低分，则一定不会发生变化的是（ ） A平均数 B中位数 C众数 D方差 6若反比例函数 y的图象经过点（3，2） ，则下列各点在该函数图象上的为（ ） A （2，3） B （6，1） C （1，6） D （2，3） 7下列命题是假命题的是（ ） A对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 B对角线互相垂直的矩形是正方形 C对角线相等的菱形是正方形 D对角线互相垂直且平分的四边形是正
3、方形 8若关于 x 的方程0 有增根，则 m 的值是（ ） A B C3 D3 9已知关于 x 的不等式组的整数解共有 5 个，则 a 的取值范围是（ ） A4a3 B4a3 Ca3 D4a 10已知正比例函数 ykx（k0）的图象过点（2，3） ，把正比例函数 ykx（k0）的图象平移，使它过 点（1，1） ，则平移后的函数图象大致是（ ） ABCD 11如图，等边ABC 内接于O，已知O 的半径为 2，则图中的阴影部分面积为（ ） A B C D4 12抛物线 yx2+bx+3 的对称轴为直线 x1，若关于 x 的一元二次方程x2+bx+3t0（t 为实数） 在2x3 的范围内有实数根，则
4、 t 的取值范围是（ ） A12t3 B12t4 C12t4 D12t3 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 13已知关于 x 的一元二次方程 x2+5xm0 的一个根是 2，则另一个根是 14已知正多边形的一个外角等于 40，则这个正多边形的内角和的度数为 15如图，在ABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，若 AD13，AC12，则点 D 到 AB 的距离为 16某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有 2 个红球和 2 个黑球，这些球除颜色外都相同， 顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得 1 份奖品，若
5、摸到黑球，则没有奖品，如果小芳有两次摸球 机会（摸出后不放回） ，小芳获得 2 份奖品的概率为 17已知如图，在射线 AB 上依次作正方形 A1B1B2C1、正方形 A2B2B3C2、正方形 A3B3B4C3，点 A1，A2， A3，在射线 OA 上，点 B1，B2，B3，在射线 OB 上，若 AB1A1B11，则正方形 AnBnBn+1n的边长 为 18 已知 tan （+） ， tan2（其中 和 都表示角度） ， 比如求 tan105， 可利用公式得 tan105tan（60+45）2，又如求 tan120，可利用公式得 tan120 tan（260）请你结合材料，若 tan（120+）
6、（ 为锐角） ，则 的 度数是 三解答题（共三解答题（共 2 小题，满分小题，满分 12 分）分） 19 （6 分）计算：|12cos30|+（） 1（5）0 20 （6 分）先化简，再求值：，从2，1，2 中选取一个合适的数作为 a 的值代 入求值 四解答题（共四解答题（共 2 小题，满分小题，满分 16 分）分） 21 （8 分）某校在以“青春心向党，筑梦新时代”为主题的校园文化艺术节期间，举办了 A 合唱，B 舞蹈， C 书法，D 演讲共四个项目的比赛，要求每位学生必须参加且仅参加一项，小丽随机调查了部分学生的 报名情况，并绘制了下列两幅不完整的统计图，请根据统计图中信息解答下列问题：
7、（1）本次调查的学生总人数是 人；扇形统计图中“D”部分的圆心角是 （2）请将条形统计图补充完整； （3）若全校共有 1600 名学生，请估计该校报名参加书法和演讲比赛的学生共有多少人？ 22 （8 分）B，D 两地间有一段笔直的高速铁路，长度为 100km，某时发生的地震对地面上以点 A 为圆心， 30km 为半径的圆形区域内的建筑物有影响，分别从 B，D 两地处测得点 A 的方位角如图所示，高速铁路 是 否 会 受 到 地 震 的 影 响 ？ 请 通 过 计 算 说 明 理 由 （ 结 果 精 确 到0.1km ， 参 考 数 据 ： ） 五解答题（共五解答题（共 2 小题，满分小题，满分
8、 18 分）分） 23 （9 分）某超市对甲、乙两种商品进行打折销售，其中甲种商品打八折，乙种商品打七五折，已知打折 前，买 6 件甲种商品和 3 件乙种商品需 600 元；打折后，买 50 件甲种商品和 40 件乙种商品需 5200 元 （1）打折前甲、乙两种商品每件分别为多少元？ （2）某人购买甲种商品 80 件，乙种商品 100 件，问打折后购买这些商品比不打折可节省多少元？ 24 （9 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 AD 的中点，点 F，G 在 AB 上，EF AB，OGEF （1）OE AE（填、） ； （2）求证：四边形 OEFG 是矩形；
9、（3）若 AD10，EF4，求 OE 和 BG 的长 六综合题（共六综合题（共 2 小题，满分小题，满分 20 分）分） 25 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（4，0） ，B 是 y 轴正半轴上的一个动点，以 OA 为直径作圆，交 AB 于点 C （1）求证：AOBACO； （2）当OAB30时，求点 C 到 x 轴的距离； （3）求的最大值 26 （10 分）综合与探究： 如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，OA2，OC6，连接 AC 和 BC （1）求抛物线的解析式； （2）点 E 是第四象限内抛物线上的动点，连接
10、CE 和 BE求BCE 面积的最大值及此时点 E 的坐标； （3）若点 M 是 y 轴上的动点，在坐标平面内是否存在点 N，使以点 A、C、M、N 为顶点的四边形是菱 形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案参考答案 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 36 分，每小题分，每小题 3 分）分） 12021 的相反数是（ ） A2021 B2021 C D 【解答】解：2021 的相反数是 2021 故选：A 2下列运算正确的是（ ） Aa2a5a10 B （a2）2a24 Ca6a2a3 D （a2）4a8 【解答】解：A、a2a5a7，故选项计算
11、错误； B、 （a2）2a24a+4，故选项计算错误； C、a6a2a4，故选项计算错误； D、 （a2）4a8，故选项计算正确； 故选：D 32020 年新冠肺炎席卷全球据经济日报 3 月 8 日报道，为支持发展中国家应对新冠肺炎疫情，中国向世 卫组织捐款 2000 万美元其中的 2000 万用科学记数法表示为（ ） A20106 B2107 C2108 D0.2108 【解答】解：2000 万200000002107 故选：B 4下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，
12、是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意 故选：A 5有 15 名学生参加学校举办的“最强大脑”智力竞赛，比赛结束后根据每个学生的成绩计算平均数、中 位数、众数、方差，若去掉一个最高分，一个最低分，则一定不会发生变化的是（ ） A平均数 B中位数 C众数 D方差 【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响 故选：B 6若反比例函数 y的图象经过点（3，2） ，则下列各点在该函数图象上的为（ ） A （2，3） B （6，1） C （1，6） D （2，3） 【解答】解：反比
13、例函数 y的图象经过点（3，2） ， xy3k6， A、 （2，3） ，此时 xy2366，不合题意； B、 （6，1） ，此时 xy6166，不合题意； C、 （1，6） ，此时 xy166，合题意； D、 （2，3） ，此时 xy2（3）66，不符合题意； 故选：C 7下列命题是假命题的是（ ） A对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 B对角线互相垂直的矩形是正方形 C对角线相等的菱形是正方形 D对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 【解答】解：A、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形是真命题，故选项 A 不合题意； B、对角线互相垂直的矩形是正方形是真命题，故选项 B 不合题意；
14、 C、对角线相等的菱形是正方形是真命题，故选项 C 不合题意； D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即对角线互相垂直且平分的四边形是正方形是假命题，故 选项 D 符合题意； 故选：D 8若关于 x 的方程0 有增根，则 m 的值是（ ） A B C3 D3 【解答】解：由0 得 6x2m0， 关于 x 的方程0 有增根， x3， 当 x3 时，632m0， 解得 m， 故选：A 9已知关于 x 的不等式组的整数解共有 5 个，则 a 的取值范围是（ ） A4a3 B4a3 Ca3 D4a 【解答】解：解不等式 xa0，得：xa， 解不等式 32x0，得：x1.5， 不等式组的整数解有 5
15、个， 4a3 故选：B 10已知正比例函数 ykx（k0）的图象过点（2，3） ，把正比例函数 ykx（k0）的图象平移，使它过 点（1，1） ，则平移后的函数图象大致是（ ） A B C D 【解答】解：把点（2，3）代入 ykx（k0）得 2k3， 解得， 正比例函数解析式为， 设正比例函数平移后函数解析式为， 把点（1，1）代入得， ， 平移后函数解析式为， 故函数图象大致为： 故选：D 11如图，等边ABC 内接于O，已知O 的半径为 2，则图中的阴影部分面积为（ ） A B C D4 【解答】解：连接 OB、OC，连接 AO 并延长交 BC 于 H， 则 AHBC， ABC 是等边三
16、角形， BHAB，OH1， OBC 的面积BCOH， 则OBA 的面积OAC 的面积OBC 的面积， 由圆周角定理得，BOC120， 图中的阴影部分面积22， 故选：A 12抛物线 yx2+bx+3 的对称轴为直线 x1，若关于 x 的一元二次方程x2+bx+3t0（t 为实数） 在2x3 的范围内有实数根，则 t 的取值范围是（ ） A12t3 B12t4 C12t4 D12t3 【解答】解：抛物线 yx2+bx+3 的对称轴为直线 x1， b2， yx22x+3， 一元二次方程x2+bx+3t0 的实数根可以看作 yx22x+3 与函数 yt 的有交点， 方程在2x3 的范围内有实数根，
17、当 x2 时，y3； 当 x3 时，y12； 函数 yx22x+3 在 x1 时有最大值 4； 12t4 故选：C 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 13已知关于 x 的一元二次方程 x2+5xm0 的一个根是 2，则另一个根是 7 【解答】解：设另一个根为 x，则 x+25， 解得 x7 故答案为7 14已知正多边形的一个外角等于 40，则这个正多边形的内角和的度数为 1260 【解答】解：正 n 边形的每个外角相等，且其和为 360， 40， 解得 n9 （92）1801260， 即这个正多边形的内角和为 1260 故答案为：12
18、60 15如图，在ABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，若 AD13，AC12，则点 D 到 AB 的距离为 5 【解答】解：在 RtACD 中，AD13，AC12，由勾股定理得：CD5， 过 D 作 DEAB 于 E， C90，AD 平分BAC， DECD5， 即点 D 到 AB 的距离为 5， 故答案为：5 16某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有 2 个红球和 2 个黑球，这些球除颜色外都相同， 顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得 1 份奖品，若摸到黑球，则没有奖品，如果小芳有两次摸球 机会（摸出后不放回） ，小芳获得 2 份奖品的概率为 【解答】解：
19、根据题意画图如下： 共有 12 种等情况数，其中小芳获得 2 份奖品的有 2 种， 则小芳获得 2 份奖品的概率是， 故答案为： 17已知如图，在射线 AB 上依次作正方形 A1B1B2C1、正方形 A2B2B3C2、正方形 A3B3B4C3，点 A1，A2， A3，在射线 OA 上，点 B1，B2，B3，在射线 OB 上，若 AB1A1B11，则正方形 AnBnBn+1n的边长 为 2n 1 【解答】解：AB1A1B11， A45，AB2A2B22， 正方形 A1B1B2C1的边长为 120、正方形 A2B2B3C2，的边长为 221，正方形 A3B3B4C3的边长为 4 22 正方形 An
20、BnBn+1n的边长为 2n 1 故答案为：2n 1 18 已知 tan （+） ， tan2（其中 和 都表示角度） ， 比如求 tan105， 可利用公式得 tan105tan（60+45）2，又如求 tan120，可利用公式得 tan120 tan（260）请你结合材料，若 tan（120+）（ 为锐角） ，则 的 度数是 30 【解答】解：根据题中的新定义得：tan（120+）， 整理得：tan+31+tan，即 2tan2， 解得：tan， 为锐角， 30 故答案为：30 三解答题（共三解答题（共 2 小题，满分小题，满分 12 分）分） 19 （6 分）计算：|12cos30|+（
21、） 1（5）0 【解答】解：原式21+2（2）13 20 （6 分）先化简，再求值：，从2，1，2 中选取一个合适的数作为 a 的值代 入求值 【解答】解：原式 ， 当 a2，2 时，分式无意义， 当 a1 时，原式 四解答题（共四解答题（共 2 小题，满分小题，满分 16 分）分） 21 （8 分）某校在以“青春心向党，筑梦新时代”为主题的校园文化艺术节期间，举办了 A 合唱，B 舞蹈， C 书法，D 演讲共四个项目的比赛，要求每位学生必须参加且仅参加一项，小丽随机调查了部分学生的 报名情况，并绘制了下列两幅不完整的统计图，请根据统计图中信息解答下列问题： （1）本次调查的学生总人数是 20
22、0 人；扇形统计图中“D”部分的圆心角是 14.4 （2）请将条形统计图补充完整； （3）若全校共有 1600 名学生，请估计该校报名参加书法和演讲比赛的学生共有多少人？ 【解答】解： （1）次调查的学生总人数是 12060%200， 扇形统计图中“D”部分的圆心角是：36014.4， 故答案为：200，14.4； （2）选择 C 的有：20012052820（人） ， 补全的条形统计图如右图所示； （3）1600224（人） ， 即估计该校报名参加书法和演讲比赛的学生共有 224 人 22 （8 分）B，D 两地间有一段笔直的高速铁路，长度为 100km，某时发生的地震对地面上以点 A 为圆
23、心， 30km 为半径的圆形区域内的建筑物有影响，分别从 B，D 两地处测得点 A 的方位角如图所示，高速铁路 是 否 会 受 到 地 震 的 影 响 ？ 请 通 过 计 算 说 明 理 由 （ 结 果 精 确 到0.1km ， 参 考 数 据 ： ） 【解答】解：如图，过点 A 作 ACBD 于点 C， ACBACD90， 根据题意可知：ABC45，ADC30， BAC45， BCAC， 在 RtACD 中，tanADC， CDAC， BDBC+CD， AC+AC100， 解得 AC50（1）36.630， 高速铁路不会受到地震的影响 五解答题（共五解答题（共 2 小题，满分小题，满分 18
24、 分）分） 23 （9 分）某超市对甲、乙两种商品进行打折销售，其中甲种商品打八折，乙种商品打七五折，已知打折 前，买 6 件甲种商品和 3 件乙种商品需 600 元；打折后，买 50 件甲种商品和 40 件乙种商品需 5200 元 （1）打折前甲、乙两种商品每件分别为多少元？ （2）某人购买甲种商品 80 件，乙种商品 100 件，问打折后购买这些商品比不打折可节省多少元？ 【解答】解： （1）设打折前甲种商品每件 x 元，乙种商品每件 y 元， 依题意，得：， 解得： 答：打折前甲种商品每件 40 元，乙种商品每件 120 元 （2）8040+100120800.8401000.75120
25、3640（元） 答：打折后购买这些商品比不打折可节省 3640 元 24 （9 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 AD 的中点，点 F，G 在 AB 上，EF AB，OGEF （1）OE AE（填、） ； （2）求证：四边形 OEFG 是矩形； （3）若 AD10，EF4，求 OE 和 BG 的长 【解答】 （1）解：四边形 ABCD 是菱形， ACBD， E 是 AD 的中点， OEADAE， 故答案为：； （2）证明：四边形 ABCD 是菱形， OBOD， E 是 AD 的中点， OE 是ABD 的中位线， OEFG， OGEF， 四边形 OEFG 是平
26、行四边形， EFAB， EFG90， 平行四边形 OEFG 是矩形； （3）解：四边形 ABCD 是菱形， BDAC，ABAD10， AOD90， E 是 AD 的中点， OEAEAD5； 由（1）知，四边形 OEFG 是矩形， FGOE5， AE5，EF4， AF3， BGABAFFG10352 六综合题（共六综合题（共 2 小题，满分小题，满分 20 分）分） 25 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（4，0） ，B 是 y 轴正半轴上的一个动点，以 OA 为直径作圆，交 AB 于点 C （1）求证：AOBACO； （2）当OAB30时，求点 C 到 x 轴的距离； （
27、3）求的最大值 【解答】解： （1）证明：OA 为直径， OCA90， 又BAOOAC，BOA90， AOBACO； （2）过点 C 作 CDx 轴，垂足为 D，如图： A（4，0） ， OA4 在 RtOAC 中，OAC30， ， 在 RtDAC 中，DAC30， ， 即点 C 到 x 轴的距离为； （3）过点 C 作 CDx 轴，垂足为 D，如图： ABO90BOC，COD90BOC， ABOCOD， 且CDOAOB90， CODABO， 直径 OA4 为定值， 当 CD 最大，即 CD 为半径时，取得最大值，此时 CD 的最大值为 2， 的最大值为 26 （10 分）综合与探究： 如图，
28、抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，OA2，OC6，连接 AC 和 BC （1）求抛物线的解析式； （2）点 E 是第四象限内抛物线上的动点，连接 CE 和 BE求BCE 面积的最大值及此时点 E 的坐标； （3）若点 M 是 y 轴上的动点，在坐标平面内是否存在点 N，使以点 A、C、M、N 为顶点的四边形是菱 形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）OA2，OC6， A（2，0） ，C（0，6） ， 将 A（2，0） ，C（0，6） ，代入 yx2+bx+c， 得， 解得：b1，c6， 抛物线得解析式为：y
29、x2x6 （2）在函数 yx2x6 中，令 y0 得： x2x60， 解得：x12，x23， B（3，0） 如图 1，连接 OE， 设点 E（m，m2m6） ， SBCESOCE+SOBESOBC 6m+3（m2+m+6）36 ， 根据二次函数的图象及性质可知，当时，BCE 的面积有最大值， 此时点 E 的坐标为 （3）存在；点 N 坐标为， （2，0） ， A（2，0） ，C（0，6） ， AC 若 AC 为菱形的边长，如图 2， 则 MNAC，且 MNAC N1（） ，N2（） ，N3（2，0） 若 AC 为菱形的对角线，如图 3， 则 AN4CM4，AN4CN4， 设 N4（2，n） ， 则n， 解得：n N4（2，） 综上所述，点 N 坐标为， （2，0） ，
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