1、2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题专题 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 目录 一、考点全归纳一、考点全归纳 1直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 设直线 l：AxByC0(A2B20)， 圆：(xa)2(yb)2r2(r0)， d 为圆心(a，b)到直线 l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为 . 方法方法 位置关系位置关系 几何法几何法 代数法代数法 相交相交 d0 相切相切 dr 0 相离相离 dr 0)， 圆 O2：(xa2)2(yb2)2r22(r2
2、0) 方法方法 位置关系位置关系 几何法：圆心距几何法：圆心距 d 与与 r1，r2 的关系的关系 代数法： 两圆方程联立组成方代数法： 两圆方程联立组成方 程组的解的情况程组的解的情况 外离外离 dr1r2 无解 外切外切 dr1r2 一组实数解 相交相交 |r1r2|dr1r2 两组不同的实数解 内切内切 d|r1r2|(r1r2) 一组实数解 内含内含 0d0，所以直线 l 与圆相交 法二：由题意知，圆心(0，1)到直线 l 的距离 d |m| m2110)上恒有 4 个点到直线 xy20 的距离为 1，则实数 r 的取值范围是( ) A( 21，) B( 21， 21) C(0， 21
3、) D(0， 21) 【答案】 (1)D (2)A 【解析】 (1)由 x2y22x2y10 得(x1)2(y1)21，因为直线 xmy2m 与圆 x2y22x2y 10 相交，所以|1m2m| 1m2 1，所以 m0，即 m(，0)(0，) (2)计算得圆心到直线 l 的距离为 2 2 21，如图 直线 l：xy20 与圆相交，l1，l2与 l 平行，且与直线 l 的距离为 1，故可以看出，圆的半径应该大于圆 心到直线 l2的距离 21.故选 A. 题型二题型二 圆的切线问题圆的切线问题 【规律与方法】【规律与方法】1求过圆上一点求过圆上一点(x0，y0)的切线方程的方法的切线方程的方法 先
4、求切点与圆心连线的斜率 k，若 k 不存在，则结合图形可直接写出切线方程为 yy0；若 k0，则结合图 形可直接写出切线方程为 xx0；若 k 存在且 k0，则由垂直关系知切线的斜率为1 k，由点斜式可写出切线 方程 2求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的两种方法 几何 法 当斜率存在时，设为 k，则切线方程为 yy0k(xx0)，即 kxyy0kx00.由圆心到直线的距离等 于半径，即可求出 k 的值，进而写出切线方程 代数 法 当斜率存在时，设为 k，则切线方程为 yy0k(xx0)，即 ykxkx0y0，代入圆的方程，得到一 个关于 x 的一元二次方程，由 0，求得 k，切线方程即
5、可求出 【例【例 1】 (2020 丹东二模丹东二模)经过点 M(3,0)作圆 x2y22x4y30 的切线 l，则 l 的方程为( ) Axy30 Bxy30 或 x3 Cxy30 Dxy30 或 x3 【答案】C 【解析】由 x2y22x4y30，得(x1)2(y2)28，则圆心坐标为(1,2)，半径为 2 2，当过点 M(3,0) 的切线存在斜率 k 时，则设切线方程为 yk(x3)，即 kxy3k0，圆心到它的距离为 2 2，有 |1k23k| k21 2 2k1； 当过点 M(3,0)的切线不存在斜率时， 即 x3， 显然圆心到它的距离为 22 2， x3 不是圆的切线因此切线方程为
6、 xy30. 【例 2】已知点 P( 21，2 2)，点 M(3，1)，圆 C：(x1)2(y2)24. (1)求过点 P 的圆 C 的切线方程； (2)求过点 M 的圆 C 的切线方程，并求出切线长 【答案】见解析 【解析】 由题意得圆心 C(1，2)，半径长 r2. (1)因为( 211)2(2 22)24， 所以点 P 在圆 C 上 又 kPC2 22 2111，所以切线的斜率 k 1 kPC1. 所以过点 P 的圆 C 的切线方程是 y(2 2)1x( 21)，即 xy12 20. (2)因为(31)2(12)254，所以点 M 在圆 C 的外部 当过点 M 的直线斜率不存在时，直线方
7、程为 x3， 即 x30. 又点 C(1，2)到直线 x30 的距离 d312r， 即此时满足题意，所以直线 x3 是圆的切线 当切线的斜率存在时，设切线方程为 y1k(x3)， 即 kxy13k0， 则圆心 C 到切线的距离 d|k213k| k21 r2， 解得 k3 4.所以切线方程为 y1 3 4(x3)，即 3x4y50.综上可得，过点 M 的圆 C 的切线方程为 x3 0 或 3x4y50. 当切线为 3x4y50 时， 因为|MC|（31）2（12）2 5，所以过点 M 的圆 C 的切线长为 |MC|2r2 541. 当切线为 x3 时，切线长为 1. 题型三题型三 圆的弦长问题
8、圆的弦长问题 【解题要点】求直线与圆相交时弦长的两种方法【解题要点】求直线与圆相交时弦长的两种方法 (1)几何法：直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，设弦心距为 d，圆 C 的半径为 r，则|AB|2 r2d2. (2)代数法：将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的交点分别是 A(x1，y1)，B(x2，y2) 则|AB| x1x22y1y22 1k2|x1x2|1 1 k2|y1y2|(直线 l 的斜率 k 存在) 【例 2】若 a，b，c 是ABC 三个内角的对边，且 csin C3asin A3bsin B，则直线 l：axbyc0 被圆 O：x2y212 所截得的弦长为( ) A4
9、 6 B2 6 C6 D5 【答案】 C 【解析】 因为 a sin A b sin B c sin C. 故由 csin C3asin A3bsin B 可得 c23(a2b2) 圆 O：x2y212 的圆心为 O(0，0)，半径为 r2 3，圆心 O 到直线 l 的距离 d |c| a2b2 3，所以直线 l 被圆 O 所截得的弦长为 2 r2d22（2 3）2（ 3）26，故选 C. 【例2】 设直线yx2a与圆C： x2y22ay20相交于A， B两点， 若|AB|2 3， 则圆C的面积为_ 【答案】 4 【解析】 圆 C 的方程可化为 x2(ya)2a22，可得圆心的坐标为 C(0，
10、a)，半径 r a22，所以圆心 到直线 xy2a0 的距离为|a2a| 2 |a| 2，所以 |a| 2 2 ( 3)2( a22)2，解得 a22，所以圆 C 的半径 为 2，所以圆 C 的面积为 4. 【例【例 3】 (2020 遵义航天高级中学月考遵义航天高级中学月考)直线 l：xay2 被圆 x2y24 所截得的弦长为 2 3，则直线 l 的 斜率为( ) A. 3 B 3 C. 3 3 D 3 3 【答案】D 【解析】 圆心(0,0)到直线 l： xay20的距离 d 2 1a2， 因为直线 l被圆 x 2y24所截得的弦长为 2 3， 所以 2 1a2 2 2 3 2 24，解得
11、 a 3，所以直线 l 的斜率为1 a 3 3 . 【例【例 4】在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 与 y 轴相切，且过点 M(1， 3)，N(1， 3) (1)求圆 C 的方程； (2)已知直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，且直线 OA 与直线 OB 的斜率之积为2.求证：直线 l 恒过定点，并 求出定点的坐标 【答案】见解析 【解析】 (1)因为圆 C 过点 M(1， 3)，N(1， 3)， 所以圆心 C 在线段 MN 的垂直平分线上，即在 x 轴上， 故设圆心为 C(a，0)，易知 a0， 又圆 C 与 y 轴相切，所以圆 C 的半径 ra， 所以圆 C 的方程为(xa)2
12、y2a2. 因为点 M(1， 3)在圆 C 上， 所以(1a)2( 3)2a2，解得 a2. 所以圆 C 的方程为(x2)2y24. (2)记直线 OA 的斜率为 k(k0)， 则其方程为 ykx. 联立，得 （x2）2y24， ykx， 消去 y，得(k21)x24x0，解得 x10，x2 4 k21. 所以 A 4 k21， 4k k21 . 由 k kOB2，得 kOB2 k，直线 OB 的方程为 y 2 kx， 在点 A 的坐标中用2 k代换 k，得 B 4k2 k24， 8k k24 . 当直线 l 的斜率不存在时， 4 k21 4k2 k24，得 k 22，此时直线 l 的方程为
13、x4 3. 当直线 l 的斜率存在时， 4 k21 4k2 k24，即 k 22. 则直线 l 的斜率为 4k k21 8k k24 4 k21 4k2 k24 4k（k24）8k（k21） 4（k24）4k2（k21） 3k（k22） 4k4 3k 2k2. 故直线 l 的方程为 y 4k k21 3k 2k2 x 4 k21 . 即 y 3k 2k2 x4 3 ，所以直线 l 过定点 4 3，0 . 综上，直线 l 恒过定点，定点坐标为 4 3，0 . 题型题型四四 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 【规律方法】【规律方法】(1)判断两圆位置关系的方法判断两圆位置关系的方法 常用几何法，即
14、用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法 (2)两圆公共弦长的求法两圆公共弦长的求法 两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距 d，半弦长l 2，半径 r 所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求 解 【提醒】【提醒】(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前 提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方 程 (2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心 (3)求公共弦长时，几何法比代数法简单且易求 【例【例 1】 (2020 揭阳模拟揭阳模拟)若圆 x2y21 与圆 x2y26x8ym0 相
15、切，则 m 的值为_ 【答案】 9 或 11 【解析】因为 x2y26x8ym0，所以(x3)2(y4)225m，因为两圆相切，所以 32421 25m或 3242|1 25m|，解得 m9 或 11. 【例 2】 已知圆 C1：x2y22x6y10 和 C2：x2y210 x12y450. (1)求证：圆 C1和圆 C2相交； (2)求圆 C1和圆 C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长 【答案】见解析 【解析】 (1)证明：圆 C1的圆心 C1(1,3)，半径 r1 11， 圆 C2的圆心 C2(5,6)，半径 r24， 两圆圆心距 d|C1C2|5，r1r2 114，|r1r2|4 11，
16、 |r1r2|d0)因为圆 O1的方程为 x2(y1)26，所以直线 AB 的 方程为 4x4yr2100，圆心 O1到直线 AB 的距离 d|r 214| 4 2 ，由 d2226，得（r 214）2 32 2，所以 r214 8，r26 或 22.故圆 O2的方程为(x2)2(y1)26 或(x2)2(y1)222. 7(2020 广东湛江一模广东湛江一模)已知圆 C：(x3)2(y3)272，若直线 xym0 垂直于圆 C 的一条直径，且 经过这条直径的一个三等分点，则 m( ) A2 或 10 B4 或 8 C4 或 6 D2 或 4 【答案】B. 【解析】 ：圆 C：(x3)2(y3
17、)272 的圆心 C 的坐标为(3，3)，半径 r6 2， 因为直线 xym0 垂直于圆 C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点， 所以圆心到直线的距离为 2， 则有 d|6m| 11 2， 解得 m4 或 8，故选 B. 8(2020 合肥模拟合肥模拟)设圆 x2y22x2y20 的圆心为 C，直线 l 过(0，3)，且与圆 C 交于 A，B 两点，若 |AB|2 3，则直线 l 的方程为( ) A3x4y120 或 4x3y90 B3x4y120 或 x0 C4x3y90 或 x0 D3x4y120 或 4x3y90 【答案】B. 【解析】 ：因为圆 x2y22x2y20 即(x1)
18、2(y1)24，所以圆心为 C(1，1)，圆的半径 r2，当直 线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x0，圆心到直线 l 的距离为 d1，所以|AB|2 412 3，符合 题意当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykx3，易知圆心 C(1，1)到直线 ykx3 的距离 d |k13| k21 |k2| k21，因为 d 2 |AB| 2 2 r2，所以（k2） 2 k21 34，解得 k3 4，所以直线 l 的方程为 y 3 4x3，即 3x4y120.综上，直线 l 的方程为 3x4y120 或 x0.故选 B. 9.(2020 安徽马鞍山二模安徽马鞍山二模)在平面直角坐
19、标系 xOy 中，若圆 C：(x3)2(ya)24 上存在两点 A，B 满足： AOB60，则实数 a 的最大值是( ) A5 B3 C. 7 D2 3 【答案】C. 【解析】 ：根据题意，圆 C 的圆心为(3，a)，在直线 xa 上， 分析可得：当圆心距离 x 轴的距离越远，AOB 越小， 如图：当 a0 时，圆心 C 在 x 轴上方，若 OA、OB 为圆的切线且AOB60，此时 a 取得最大值， 此时AOC30， 有|OC|2|AC|4，即(30)2(a0)216， 解得 a 7，故实数 a 的最大值是 7，故选 C. 10(2020 安徽合肥二模安徽合肥二模)在平面直角坐标系 xOy 中
20、，圆 C 经过点(0，1)，(0，3)，且与 x 轴正半轴相切，若 圆 C 上存在点 M，使得直线 OM 与直线 ykx(k0)关于 y 轴对称，则 k 的最小值为( ) A.2 3 3 B 3 C2 3 D4 3 【答案】D. 【解析】 ：如图， 因为圆 C 经过点(0，1)，(0，3)，且与 x 轴正半轴相切， 所以圆心的纵坐标为 2，半径为 2，则圆心的横坐标为 2212 3， 所以圆心坐标为( 3，2)，设过原点与圆相切的直线方程为 yk1x， 由圆心到直线的距离等于半径，得| 3k12| k211 2，解得 k10(舍去)或 k14 3. 所以若圆 C 上存在点 M，使得直线 OM
21、与直线 ykx(k0)关于 y 轴对称，则 k 的最小值为 4 3. 故选 D. 11(2020 安徽皖南八校联考安徽皖南八校联考)圆 C 与直线 2xy110 相切，且圆心 C 的坐标为(2，2)，设点 P 的坐标为 (1，y0)若在圆 C 上存在一点 Q，使得CPQ30 ，则 y0的取值范围是( ) A. 1 2， 9 2 B1，5 C2 11，2 11 D22 3，22 3 【答案】C. 【解析】 ：由点 C(2，2)到直线 2xy110 的距离为|4211| 5 5，可得圆 C 的方程为(x2)2(y2)2 5.若存在这样的点 Q，当 PQ 与圆 C 相切时，CPQ30，可得 sinC
22、PQCQ CP 5 CPsin 30，即 CP2 5，则 9（y02）22 5，解得 2 11y02 11.故选 C. 12.已知在圆 M：x2y24x2y0 内，过点 E(1,0)的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的 面积为( ) A3 5 B6 5 C4 15 D2 15 【答案】 D 【解析】 圆 x2y24x2y0 可化为(x2)2(y1)25，圆心 M(2，1)，半径 r 5，最长弦为圆的 直径，|AC|2 5.BD 为最短弦，AC 与 BD 垂直，易求得|ME| 2，|BD|2|BE|2 522 3.S 四边形ABCDSABDSBDC1 2|BD| |EA
23、| 1 2|BD| |EC| 1 2|BD| (|EA|EC|) 1 2|BD| |AC| 1 22 32 52 15.故 选 D. 二、填空题二、填空题 1已知直线 axbyc0 与圆 O：x2y21 相交于 A，B 两点，且|AB| 3，则OA OB _ 【答案】 ：1 2 【解析】 ：在OAB 中，|OA|OB|1，|AB| 3，可得AOB120，所以OA OB 11cos 120 1 2. 2 已知圆 C： (x1)2(y2)22 截 y 轴所得线段与截直线 y2xb 所得线段的长度相等， 则 b_ 【答案】 ： 5 【解析】 ：记圆 C 与 y 轴的两个交点分别是 A，B，由圆心 C
24、 到 y 轴的距离为 1，|CA|CB| 2可知，圆心 C(1，2)到直线 2xyb0 的距离也等于 1 才符合题意，于是|212b| 5 1，解得 b 5. 3.由直线 yx1 上的一点向圆(x3)2y21 引切线，则切线长的最小值为_ 【答案】 ： 7 【解析】 ：设圆心为 C(3，0)，P 为直线 yx1 上一动点，过 P 向圆引切线，切点设为 N，所以|PN|min ( |PC|21)min|PC|2min1，又|PC|min |301| 12（1）22 2，所以|PN| min 7. 4 (2020 广东天河一模广东天河一模)已知圆 C 的方程为 x22xy20， 直线 l： kxy
25、22k0 与圆 C 交于 A， B 两点， 则当ABC 面积最大时，直线 l 的斜率 k_ 【答案】 ：1 或 7 【解析】 ：由 x22xy20，得(x1)2y21，则圆的半径 r1，圆心 C(1，0)， 直线 l：kxy22k0 与圆 C 交于 A，B 两点， 当 CA 与 CB 垂直时，ABC 面积最大， 此时ABC 为等腰直角三角形，圆心 C 到直线 AB 的距离 d 2 2 ， 则有 |2k| 1k2 2 2 ，解得 k1 或 7. 5.直线 y 3 3 xm 与圆 x2y21 在第一象限内有两个不同的交点，则 m 的取值范围是_ 【答案】 ： 1，2 3 3 【解析】 ：当直线经过
26、点(0，1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时 m1；当直线与圆相切时有圆心到直 线的距离 d |m| 1 3 3 21，解得 m 2 3 3 (切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不 同的交点，则 1m0)相交于 A，B 两点，C 为圆周上一点， 线段 OC 的中点 D 在线段 AB 上，且 3AD 5DB ，则 r_ 【答案】 ： 10 【解析】 ：如图，过 O 作 OEAB 于点 E，连接 OA，则|OE|002| 1212 2， 易知|AE|EB|， 不妨令|AD|5m(m0)，由 3AD 5DB 可得|BD|3m，|AB|8m， 则|DE|4m3mm， 在 RtODE
27、 中，有 1 2r 2 ( 2)2m2， 在 RtOAE 中，有 r2( 2)2(4m)2， 联立，解得 r 10. 三三 解答题解答题 1.(2020 柳州摸底柳州摸底)已知过点 A(0，1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x2)2(y3)21 交于 M，N 两点 (1)求 k 的取值范围； (2)若OM ON 12，其中 O 为坐标原点，求|MN|. 【答案】见解析 【解析】 ：(1)由题设可知直线 l 的方程为 ykx1. 因为直线 l 与圆 C 交于两点， 所以|2k31| 1k2 1. 解得4 7 3 k4 7 3 . 所以 k 的取值范围为 4 7 3 ，4 7 3 . (2
28、)设 M(x1，y1)，N(x2，y2) 将 ykx1 代入方程(x2)2(y3)21， 整理得(1k2)x24(1k)x70. 所以 x1x24（1k） 1k2 ，x1x2 7 1k2. OM ON x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)14k（1k） 1k2 8. 由题设可得4k（1k） 1k2 812，解得 k1， 所以直线 l 的方程为 yx1. 故圆心 C 在直线 l 上，所以|MN|2. 2.已知抛物线 C：y22x，过点(2，0)的直线 l 交 C 于 A，B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆 (1)证明：坐标原点 O 在圆 M 上； (2)设圆 M 过点 P(
29、4，2)，求直线 l 与圆 M 的方程 【答案】见解析 【解析】 ：(1)证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xmy2. 由 xmy2， y22x 可得 y22my40，则 y1y24. 又 x1y 2 1 2，x2 y22 2，故 x1x2 （y1y2）2 4 4. 因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为y1 x1 y2 x2 4 4 1，所以 OAOB.故坐标原点 O 在圆 M 上 (2)由(1)可得 y1y22m，x1x2m(y1y2)42m24. 故圆心 M 的坐标为(m22，m)，圆 M 的半径 r （m22）2m2. 由于圆 M 过点 P(4，2)，因此AP BP0
30、， 故(x14)(x24)(y12)(y22)0， 即 x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200. 由(1)可得 y1y24，x1x24. 所以 2m2m10，解得 m1 或 m1 2. 当 m1 时，直线 l 的方程为 xy20，圆心 M 的坐标为(3，1)，圆 M 的半径为 10，圆 M 的方程为(x 3)2(y1)210. 当 m1 2时，直线 l 的方程为 2xy40，圆心 M 的坐标为 9 4， 1 2 ，圆 M 的半径为 85 4 ，圆 M 的方程 为 x9 4 2 y1 2 2 85 16. 3.如图，已知圆 C 与 y 轴相切于点 T(0，2)，与 x 轴的正半轴交于
31、两点 M，N(点 M 在点 N 的左侧)，且|MN| 3. (1)求圆 C 的方程； (2)过点 M 任作一直线与圆 O：x2y24 相交于 A，B 两点，连接 AN，BN，求证：kANkBN为定值 【答案】见解析 【解析】 ：(1)因为圆 C 与 y 轴相切于点 T(0，2)，可设圆心的坐标为(m，2)(m0)， 则圆 C 的半径为 m， 又|MN|3， 所以 m24 3 2 2 25 4 ，解得 m5 2， 所以圆 C 的方程为 x5 2 2 (y2)225 4 . (2)证明：由(1)知 M(1，0)，N(4，0)，当直线 AB 的斜率为 0 时，易知 kANkBN0， 即 kANkBN0. 当直线 AB 的斜率不为 0 时，设直线 AB：x1ty，将 x1ty 代入 x2y240，并整理得(t21)y22ty 30. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所 以 y1y2 2t t21 y1y2 3 t21， ， 则kAN kBN y1 x14 y2 x24 y1 ty13 y2 ty23 2ty1y23（y1y2） （ty13）（ty23） 6t t21 6t t21 （ty13）（ty23）0. 综上可知，kANkBN为定值
浙公网安备33030202001339号