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    2021年高考数学(理)一轮复习题型归纳与训练 专题7.2 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题(教师版含解析)

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    2021年高考数学(理)一轮复习题型归纳与训练 专题7.2 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题(教师版含解析)

    1、2021 年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破 专题专题 7.2 二元一次不等式二元一次不等式(组组)及简单的线性规划问题及简单的线性规划问题 目录 一、考点全归纳 . 1 题型 一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 . 3 角度二 平面区域的形状 . 4 命题角度一 求线性目标函数的最值 . 7 命题角度三 求参数值或取值范围. 9 三、高效训练突破 . 13 一、考点全归纳一、考点全归纳 1二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式(组) 表示区域 AxByC0(0) 直线 AxByC0 某 一侧的所有点组成的平 面区域来源:Z

    2、xxk.Com 不包括边界直线来源:学科网来源:Zxxk.Com AxByC0(0)来源:学科网 ZXXK 包括边界直线 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 2.二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成的有序数对(x,y),叫做二元一次不等式(组)的解,所有这样的 有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集 3线性规划的有关概念 名称 意义 约束条件 由变量 x,y 组成的不等式(组) 线性约束条件 由 x,y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数 关于变量 x,y 的函数解析式,如 zx2y 线性目标函数 关于变量

    3、 x,y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x,y) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 常用结论 1画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界,特殊点定域; (1)直线定界:不等式中无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实数 (2)特殊点定域:若直线不过原点,特殊点常选原点;若直线过原点,则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证 2利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域 对于 AxByC0 或 AxByC0 时,区域为直线 AxByC0 的上方; (2)当 B(

    4、AxByC)0 时, 直线 zaxby 向上平移 z 变大, 向下平移 z 变小; 当 b0 时, 直线 zaxby 向上平移 z 变小, 向下平移 z 变大 二、题型全归纳二、题型全归纳 题型题型 一一 二元一次不等式二元一次不等式(组组)表示的平面区域表示的平面区域 【题型要点】(1)求平面区域面积的方法 首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从 而再作出平面区域; 对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积 公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和 (2)根据平面

    5、区域确定参数的方法 在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中,首先把不含参数的平面区域确定好,然后用数 形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状,根据求解要求确定问题的答案 命题角度一命题角度一 平面区域的面积平面区域的面积 【例【例 1】不等式组 x0, x3y4, 3xy4 所表示的平面区域的面积等于( ) A.3 2 B2 3 C.4 3 D3 4 【答案】 C 【解析】 由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示, A 0,4 3 , B(1, 1), C(0, 4), 则 ABC 的面积为1 2 1 8 3 4 3.故选 C. 【例 2】 不等式组 xy2,

    6、 2xy4, xy0 所围成的平面区域的面积为( ) A3 2 B6 2 C6 D3 【答案】D 【解析】如图 不等式组所围成的平面区域为 ABC,其中 A(2,0),B(4,4),C(1,1),所求平面区域的面积为 S ABOS ACO 1 2 (2 42 1)3. 角度二角度二 平面区域的形状平面区域的形状 【例【例 3】若不等式组 xy0, 2xy2, y0, xya 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是_ 【答案】 (0,1 , 3 4 【解析】 不等式组 xy0, 2xy2, y0 表示的平面区域如图所示(阴影部分) 解 yx, 2xy2得 A 2 3, 2 3 ;解 y

    7、0, 2xy2得 B(1,0)若原不等式组表示的平面区域是一个三角形,则直线 x ya 中的 a 的取值范围是 00,x,y 满足约束条件 x1, xy3, yax3, 若 z2xy 的最小值为 1, 则 a( ) A.1 2 B.1 3 C1 D2 【答案】A 【解析】作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分(含边界) 当直线 z2xy 过交点 A 时,z 取最小值,由 x1, yax3, 得 x1, y2a, zmin22a1,解得 a1 2. 题型三题型三 线性规划的实际应用线性规划的实际应用 【题型要点】【题型要点】线性规划解决实际问题的一般步骤 (1)能建立线性规划模型的实际问题 给定

    8、一定量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源,使完成的任务量最大,收益最大; 给定一项任务,问怎样统筹安排,使完成这项任务耗费的人力、物力资源最少 (2)解决线性规划实际问题的一般步骤 转化:设元,写出线性约束条件和目标函数,从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题; 求解:解决这个纯数学的线性规划问题; 作答:根据实际问题,得到实际问题的解,据此作出回答 【例【例 1】(2020 河北河北“五个一名校联盟五个一名校联盟”模拟模拟)某企业生产甲、乙两种产品均需用 A,B 两种原料,已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的限量如表所示 如果生产 1 吨甲、 乙产品可获利润分别为 3 万元、 4

    9、 万元, 则该企业每天可获得的最大利润为( ) 甲 乙 原料限量 A/吨 3 2 12 B/吨 1 2 8 A.16 万元 B17 万元 C18 万元 D19 万元 【答案】C 【解析】 设该企业每天生产 x 吨甲产品,y 吨乙产品,可获得利润为 z 万元,则 z3x4y,且 x,y 满足 不等式组 3x2y12, x2y8, x0, y0, 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,作出直线 3x4y0 并平移,可 知当直线经过点(2,3)时,z 取得最大值,zmax3 24 318(万元)故选 C. 【例【例 2】某旅行社租用 A,B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行,A,B 两种

    10、车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆,旅行社要求租车总数不超过 21 辆,且 B 型车不多于 A 型车 7 辆,则租金最少为_元 【答案】 :36 800 【解析】 : 设租用 A 型车 x 辆,B 型车 y 辆,目标函数为 z1 600 x2 400y,则约束条件为 36x60y900, xy21, yx7, x,yN, 作出可行域,如图中阴影部分所示,可知目标函数过点 A(5,12)时,有最小值 zmin36 800(元) 三、高效训练突破三、高效训练突破 一、选择题一、选择题 1(2020 贵阳期中贵阳期中)不等式组 y3x12,

    11、 x2y 表示的平面区域为( ) 【答案】B 【解析】选特殊点(0,6)检验,当 x0,y6 时,y3x12 成立,x2y 成立,所以点(0,6)在不等式组 y3x12, x2y 表示的平面区域内,另外注意到边界线是虚线,故选 B. 2(2020 揭阳模拟揭阳模拟)若 x,y 满足约束条件 xy10, 2xy10, x0, 则 zx 2y 的最小值为( ) A1 B2 C1 D2 【答案】A. 【解析】 :作出 x,y 满足约束条件 xy10, 2xy10, x0 的平面区域如图所示(阴影部分): 由图易得,目标函数 zx 2y 在点 A 处取最小值,为1.故选 A. 3(2020 福建漳州一

    12、模福建漳州一模)若实数 x,y 满足 3xy30, x2y20. 则 xy( ) A有最小值无最大值 B有最大值无最小值 C既有最小值也有最大值 D既无最小值也无最大值 【答案】A. 【解析】 :如图中阴影部分所示即为实数 x,y 满足 3xy30, x2y20 的可行域, 由 3xy30, x2y20 得 A 8 5, 9 5 . 由图易得当 x8 5,y 9 5时,xy 有最小值 17 5 ,没有最大值故选 A. 4(2020 琼海摸底琼海摸底)若实数 x,y 满足 xy2, yx1, y0, 则 z2x 8y的最大值是( ) A4 B8 C16 D32 【答案】D 【解析】先根据实数 x

    13、,y 满足 xy2, yx1, y0 画出可行域(如图阴影部分所示), 由 xy2, yx1, 解得 A 1 2, 3 2 , 当直线 ux3y 过点 A 时,u 取得最大值是1 23 3 25,则 z2 x 8y2x3y的最大值为 2532. 5(2020 华中师范大学第一附中模拟华中师范大学第一附中模拟)已知变量 x,y 满足约束条件 1xy2, x1, 则xy y 的取值范围是( ) A. 1 2, 2 3 B. 0,2 3 C. 1,1 3 D. 3 2,2 【答案】 B 【解析】作出约束条件表示的可行域,如图中阴影部分 由图可知ky x在点A(1,3)处取得最小值3, 且斜率k小于直

    14、线xy1的斜率1.故3k1.所以1 x y 1 3.故 0 xy y 2 3. 6已知点(x,y)满足 xy1, xy1, 2xy2, 目标函数 zaxy 仅在点(1,0)处取得最小值,则 a 的取值范围为( ) A(1,2) B(2,1) C. 1 2, D ,1 2 【答案】B. 【解析】 : 作出不等式组对应的平面区域,如图中阴影部分所示, 由 zaxy 可得 yaxz,直线的斜率 ka, 因为 kAC2,kAB1, 因为目标函数 zaxy 仅在点 A(1,0)处取得最小值,则有 kABkkAC, 即1a2,所以2a1, 即实数 a 的取值范围是(2,1)故选 B. 7.不等式组 x0,

    15、 xy3, yx1 表示的平面区域为 , 直线 ykx1 与区域 有公共点, 则实数 k 的取值范围为( ) A(0,3 B1,1 C(,3 D3,) 【答案】D. 【解析】 :直线 ykx1 过定点 M(0,1), 由图可知, 当直线ykx1经过直线yx1与直线xy3的交点C(1, 2)时, k最小, 此时kCM2(1) 10 3,因此 k3,即 k3,)故选 D. 8实数 x,y 满足 xa, yx, xy2 (a1),且 z2xy 的最大值是最小值的 4 倍,则 a 的值是( ) A. 2 11 B1 4 C.1 2 D3 4 【答案】B. 【解析】 :在直角坐标系中作出不等式组所表示的

    16、可行域如图中阴影部分(包括边界)所示 当目标函数 z2xy 经过可行域中的点 B(1, 1)时有最大值 3, 当目标函数 z2xy 经过可行域中的点 A(a, a)时有最小值 3a,由 34 3a,得 a1 4. 9.不等式组 x1, y2, xy4 的解集记为 D,则“(x,y)D,使 xya 成立”的必要不充分条件是( ) Aa0 Da2 【答案】A. 【解析】 :画出不等式组 x1, y2, xy4 表示的区域 D,如图中阴影部分所示 其中 A(2,2),B(1,2),C(1,3),(x,y)D,使 xya 成立,则 a(xy)min,平移直线 xy0,易知 当直线经过点 C(1,3)时

    17、,xy 取得最小值,(xy)min2,则 a2,故必要不充分条件可以是 a1, 则(x2)2y2的最小值为_ 【答案】 :5 【解析】 :作出不等式组对应的平面区域,如图中阴影部分所示, 设 z(x2)2y2,则 z 的几何意义为区域内的点到定点 D(2,0)的距离的平方, 由图知 C,D 间的距离最小,此时 z 最小 由 y1, xy10得 x0, y1,即 C(0,1), 此时 zmin(02)212415. 3 已知点 A(2, 1), O 是坐标原点, P(x, y)的坐标满足: 2xy0 x2y30 y0 , 设 zOP OA , 则 z 的最大值是_ 【答案】 :4 【解析】 :法

    18、一:由题意,作出可行域 如图中阴影部分所示zOP OA 2xy,作出直线 2xy0 并平移,可知当直线过点 C 时,z 取得最大 值,由 2xy0 x2y30,得 x1 y2,即 C(1,2),则 z 的最大值是 4. 法二:由题意,作出可行域,如图中阴影部分所示,可知可行域是三角形封闭区域zOP OA 2xy,易 知目标函数 z2xy 的最大值在顶点处取得,求出三个顶点的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,0),分别 将(0,0),(1,2),(3,0)代入 z2xy,对应 z 的值为 0,4,6,故 z 的最大值是 4. 4(2019 湖北湖北“四地七校四地七校”联考联考)若实数 x,

    19、y 满足 xy20, 2xy50, xy40, 则 zx2y4 的最大值是_ 【答案】21 【解析】画出 x,y 满足的可行域,如图中阴影部分所示,由 xy20, 2xy50, 解得点 B(7,9),则目标函数 z x2y4 经过点 B(7,9)时,z 取得最大值为 718421. 5(2019 河南安阳模拟河南安阳模拟)已知向量 a(2,3),b(x,y),且变量 x,y 满足 y0, yx, xy30, 则 za b 的最大 值为_ 【答案】 15 2 【解析】 a b2x3y,作出题中可行域,如图 OAB 内部(含边界), 作直线 l:2x3y0,向上平移直线 l.当直线过点 A 2 3

    20、 2 3, 时,z2x3y15 2 为最大值 6(2019 厦门模拟厦门模拟)若 x,y 满足约束条件 x2y50, x3y50, 2xy50, 则 zx2y2的最大值为_ 【答案】25 【解析】不等式组 x2y50, x3y50, 2xy50 所表示的平面区域如图中阴影部分所示 zx2y2表示可行域内的点到原点距离的平方zx2y2的最大值对应的点为 A.由 x3y50, 2xy50, 解得 x4, y3, 则 A(4,3)所以 zx2y2的最大值为|OA|2423225,因此 zx2y2的最大值为 25. 7.已知实数 x,y 满足约束条件 y0, yx10, y2x40. 若目标函数 zy

    21、ax(a0)取得最大值时的最优解有无数个, 则 zyax(a0)的最小值为_ 【答案】2 【解析】作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示 易得 A(1,0),B(2,0),C(3,2), 由 zyax(a0)得 yaxz. 当 a0 时,作直线 l0:yaxz,平移 l0可知,当 yaxz 与 xy10 重合时,z 取得最大值的最优解 有无数个,此时 a1. 当直线过 B 点时,z 有最小值 zmin01 22; 当 a0 时,数形结合知,zyax 取得最大值的最优解不可能无限多 综上可知 zmin2. 8已知实数 x,y 满足 6xy10, xy30, y0, 则 zyln x 的取

    22、值范围为_ 【答案】 :2,ln 6 【解析】 :作出可行域如图(阴影部分) 其中 A(1 6,0),B(3,0),C( 4 7, 17 7 ) 由图可知,当 yln xz 过点 A(1 6,0)时 z 取得最大值, zmax0ln1 6ln 6.设 yln xz 的图象与直线 yx3 相切于点 M(x0,y0),由 yln xz 得 y1 x,令 1 x01 得 x01 3 7 4, , 故 yln xz 与 yx3 切于点 M(1,2)时,z 取得最小值,zmin2ln 12. 所以 zyln x 的取值范围为2,ln 6 三三 解答题解答题 1已知点 A(5 3,5),直线 l:xmyn

    23、(n0)过点 A.若可行域 xmyn, x 3y0, y0 的外接圆的直径为 20,求 n 的 值 【答案】n10 3. 【解析】 :注意到直线 l:x 3y0 也经过点 A,所以点 A 为直线 l 与 l的交点 画出不等式组 xmyn, x 3y0, y0 表示的可行域,如图中阴影部分所示 设直线 l 的倾斜角为 ,则ABO. 在 OAB 中,OA(5 3)25210. 根据正弦定理,得 10 sin()20,解得 5 6 或 6. 当 5 6 时,1 mtan 5 6 ,得 m 3. 又直线 l 过点 A(5 3,5),所以 5 3 3 5n, 解得 n10 3. 当 6时,同理可得 m

    24、3,n0(舍去) 综上,n10 3. 2某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要 A,B,C 三种主要原料生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙 种肥料所需三种原料的吨数如下表所示: 原料 肥料 A B C 甲 4 8 3 乙 5 5 10 现有 A 种原料 200 吨,B 种原料 360 吨,C 种原料 300 吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料已知生产 1 车皮甲种肥料,产生的利润为 2 万元;生产 1 车皮乙种肥料,产生的利润为 3 万元分别用 x,y 表示计划 生产甲、乙两种肥料的车皮数 (1)用 x,y 列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (2)问分别生产甲、乙两种肥料

    25、各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润 【答案】见解析 【解析】 :(1)由已知得,x,y 满足的数学关系式为 4x5y200, 8x5y360, 3x10y300, x0, y0. 设二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1 中的阴影部分 (2)设利润为 z 万元,则目标函数为 z2x3y. 考虑 z2x3y,将它变形为 y2 3x z 3, 这是斜率为 2 3,随 z 变化的一族平行直线. z 3为直线在 y 轴上的 截距,当z 3取最大值时,z 的值最大又因为 x,y 满足约束条件,所以由图 2 可知,当直线 z2x3y 经过 可行域 上的点 M 时,截距z 3最大,即 z 最大 解方程组 4x5y200, 3x10y300, 得点 M 的坐标为(20,24) 所以 zmax2 203 24112. 即生产甲种肥料 20 车皮、乙种肥料 24 车皮时利润最大,且最大利润为 112 万元


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