1、2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题专题 5.2 平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 目录 一、题型全归纳 . 1 题型一 平面向量基本定理及其应用. 1 题型二 平面向量的坐标运算 . 4 题型三 平面向量共线的坐标表示 . 5 命题角度一 利用两向量共线求参数或坐标 . 5 命题角度二 利用向量共线求解三点共线问题 . 6 题型四 平面向量与三角形的“四心”问题 . 7 一、平面向量与三角形的“重心”问题 . 8 二、平面向量与三角形的“内心”问题 . 8 三、平面向量与三角形的“垂心”问题 .
2、9 四、平面向量与三角形的“外心”问题 . 10 二、高效训练突破 . 11 一、题型全归纳一、题型全归纳 题型一题型一 平面向量基本定理及其应用平面向量基本定理及其应用 【题型要点】【题型要点】1平面向量基本定理 如果 e1， e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任意向量 a， 有且只有一对实数 1， 2， 使 a1e12e2 其中，不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2.平面向量基本定理应用的实质和一般思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运 算 (2)用向量基本定理解决问题的一般思
3、路是先选择一组基底， 并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式， 再通过向量的运算来解决 【易错提醒】【易错提醒】在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便另外，要熟练运用平面几何的 一些性质定理 【例【例 1】如图，在直角梯形 ABCD 中，AB2AD2DC，E 为 BC 边上一点，BC 3EC，F 为 AE 的中点， 则BF ( ) A.2 3AB 1 3AD B1 3AB 2 3AD C2 3AB 1 3AD D1 3AB 2 3AD 【答案】C 【解析】法一：如图 取 AB 的中点 G， 连接 DG， CG， 则易知四边形 DCBG 为平行四边形， 所以BC GD AD AG
4、 AD 1 2AB ， 所以AE AB BE AB 2 3BC AB 2 3 AD 1 2AB 2 3AB 2 3AD ，于是BF AF AB 1 2AE AB 1 2 2 3AB 2 3AD AB 2 3AB 1 3AD ，故选 C. 法二：BF BAAFBA1 2AE AB1 2 AD 1 2AB CE AB 1 2 AD 1 2AB 1 3CB AB 1 2AD 1 4AB 1 6(CD DA AB )2 3AB 1 3AD . 【例【例 2】 (2020 西安调研西安调研)如图， 在平行四边形 ABCD 中， O 是对角线 AC， BD 的交点， N 是线段 OD 的中点， AN 的延
5、长线与 CD 交于点 E，若AE mABAD ，则实数 m 的值为_ 【答案】1 3 【解析】由 N 是 OD 的中点，得AN 1 2AD 1 2AO 1 2AD 1 4(AD AB )3 4AD 1 4AB ，又因为 A，N，E 三点共 线，故AE AN，即 mABAD 3 4AD 1 4AB ，又AB 与AD 不共线，所以 m1 4， 13 4， 解得 m1 3， 4 3， 故实数 m1 3. 题型二题型二 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 【题型要点】【题型要点】向量坐标运算的策略 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行； 若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标；
6、 解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则 【例【例 1】已知 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设AB a，BCb，CAc，且CM 3c，CN 2b. (1)求 3ab3c； (2)求满足 ambnc 的实数 m，n； (3)求 M，N 的坐标及向量MN 的坐标 【答案】见解析 【解析】 由已知得 a(5，5)，b(6，3)，c(1,8) (1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42) (2)因为 mbnc(6mn，3m8n)， 所以 6mn5， 3m8n5， 解得 m1， n1. (3)设 O 为坐标原点， 因为CM OM OC 3c，
7、 所以OM 3cOC (3,24)(3，4)(0,20)， 所以 M(0,20)， 又因为CN ON OC 2b， 所以ON 2bOC (12,6)(3，4)(9,2)， 所以 N(9,2)所以MN (9，18) 【例【例 2】(2020 厦门外国语学校模拟厦门外国语学校模拟)已知点 A(1,1)，B(0,2)，若向量AC (2,3)，则向量BC( ) A(3，2) B(2，2) C(3，2) D(3,2) 【答案】D 【解析】由已知，得AB OB OA (1,1)，则BC ACAB(2,3)(1,1)(3,2) 【例 3】已知 a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则 c 等于( ) A
8、1 2a 3 2b B.1 2a 3 2b C3 2a 1 2b D3 2a 1 2b 【答案】B 【解析】设 cab.则(1,2)(1,1)(1，1)， 所以 1， 2， 解得 1 2， 3 2， 所以 c1 2a 3 2b. 题型三题型三 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示 命题角度一命题角度一 利用两向量共线求参数或坐标利用两向量共线求参数或坐标 【题型要点】【题型要点】1平面向量共线的充要条件的两种形式 (1)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件是 x1y2x2y10 (2)若 ab(b0)，则 ab. 2利用向量共线求参数值 向量共线的坐标表示既可以
9、判定两向量平行，也可以由向量平行求参数值当两向量的坐标均非零时，可 以利用坐标对应成比例来求解 【例【例 1】(2020 开封模拟开封模拟)已知平面向量 a，b，c，a(1，1)，b(2，3)，c(2，k)，若(ab)c，则 实数 k_ 【答案】8 【解析】由题意，得 ab(1，4)，由(ab)c，得 1 k4 (2)，解得 k8. 【例【例 2】已知梯形 ABCD，其中 ABCD，且 DC2AB，三个顶点 A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点 D 的 坐标为_ 【答案】(2，4) 【解析】因为在梯形 ABCD 中，ABCD，DC2AB，所以DC 2AB .设点 D 的坐标为(x，y
10、)，则DC (4， 2)(x，y)(4x，2y)，AB (2，1)(1，2)(1，1)，所以(4x，2y)2(1，1)，即(4x，2y) (2，2)，所以 4x2， 2y2，解得 x2， y4，故点 D 的坐标为(2，4) 命题角度二命题角度二 利用向量共线求解三点共线问题利用向量共线求解三点共线问题 【例【例 3】已知 a(1，0)，b(2，1) (1)当 k 为何值时，kab 与 a2b 共线？ (2)若AB 2a3b，BCamb 且 A，B，C 三点共线，求 m 的值 【答案】见解析 【解析】 ：(1)kabk(1，0)(2，1)(k2，1)， a2b(1，0)2(2，1)(5，2) 因
11、为 kab 与 a2b 共线，所以 2(k2)(1) 50， 即 2k450，得 k1 2. (2)法一：因为 A，B，C 三点共线， 所以AB BC，即 2a3b(amb)， 所以 2 3m，解得 m 3 2. 法二：AB 2a3b2(1，0)3(2，1)(8，3)， BC amb(1，0)m(2，1)(2m1，m) 因为 A，B，C 三点共线， 所以AB BC.所以 8m3(2m1)0， 即 2m30，所以 m3 2. 【例【例 3】(2020 江西吉安一中、新余一中等八所中学联考江西吉安一中、新余一中等八所中学联考)已知向量OA (k，12)，OB (4，5)，OC (k， 10)，且
12、A，B，C 三点共线，则 k 的值是( ) A2 3 B 4 3 C. 1 2 D 1 3 【答案】A 【解析】AB OB OA (4k，7)，AC OC OA (2k，2)因为 A，B，C 三点共线，所以AB ，AC 共线，所以2 (4k)7 (2k)，解得 k2 3. 题型四题型四 平面向量与三角形的平面向量与三角形的“四心四心”问题问题 【题型要点】【题型要点】 设 O 为 ABC 所在平面上一点，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 则 (1)O 为 ABC 的外心 |OA |OB |OC | a 2sin A. (2)O 为 ABC 的重心 OA OB OC 0. (3)O
13、为 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA . (4)O 为 ABC 的内心 aOA bOB cOC 0. 一、平面向量与三角形的一、平面向量与三角形的“重心重心”问题问题 【例【例 1】(2020 江西上饶重点中学六校联考江西上饶重点中学六校联考)已知 A，B，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点 P 满足OP 1 3(1)OA (1)OB (12) OC ，R，则点 P 的轨迹一定经过( ) A ABC 的内心 B ABC 的垂心 C ABC 的重心 DAB 边的中点 【答案】C 【解析】 取 AB 的中点 D，则 2OD OA OB ， 因为OP 1 3(1)OA
14、(1)OB (12)OC ， 所以OP 1 32(1)OD (12)OC 2（1） 3 OD 12 3 OC ， 而2（1） 3 12 3 1，所以 P，C，D 三点共线， 所以点 P 的轨迹一定经过 ABC 的重心 二、平面向量与三角形的二、平面向量与三角形的“内心内心”问题问题 【例【例 2】在 ABC 中，AB5，AC6，cos A1 5，O 是 ABC 的内心，若OP xOB yOC ，其中 x，y0， 1，则动点 P 的轨迹所覆盖图形的面积为( ) A.10 6 3 B14 6 3 C4 3 D6 2 【答案】B 【解析】 根据向量加法的平行四边形法则可知，动点 P 的轨迹是以 OB
15、，OC 为邻边的平行四边形及其内 部，其面积为 BOC 面积的 2 倍 在 ABC 中，设内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，由余弦定理 a2b2c22bccos A，得 a7. 设 ABC 的内切圆的半径为 r，则1 2bcsin A 1 2(abc)r，解得 r 2 6 3 ， 所以 S BOC1 2 a r 1 2 7 2 6 3 7 6 3 . 故动点 P 的轨迹所覆盖图形的面积为 2S BOC14 6 3 . 三、平面向量与三角形的三、平面向量与三角形的“垂心垂心”问题问题 【例【例 3】 已知 O 是平面上的一个定点， A， B， C 是平面上不共线的三个点， 动点 P
16、满足OP OA ( AB |AB |cos B AC |AC |cos C)，(0，)，则动点 P 的轨迹一定通过 ABC 的( ) A重心 B垂心 C外心 D内心 【答案】B 【解析】 因为OP OA AB |AB |cos B AC |AC |cos C ， 所以AP OP OA AB |AB |cos B AC |AC |cos C ， 所以BC APBC AB |AB |cos B AC |AC |cos C (|BC |BC|)0， 所以BC AP，所以点 P 在 BC 的高线上，即动点 P 的轨迹一定通过 ABC 的垂心 四、平面向量与三角形的四、平面向量与三角形的“外心外心”问题
17、问题 【例 4】 已知在 ABC 中，AB1，BC 6，AC2，点 O 为 ABC 的外心，若AO xAB yAC，则有序 实数对(x，y)为( ) A. 5 3 5 4， B 5 4 5 3， C. 5 3 5 4 -， D 5 4 5 3 -， 【答案】 A 【解析】 取 AB 的中点 M 和 AC 的中点 N，连接 OM，ON，则OM AB ，ON AC ， OM AM AO 1 2AB (xAByAC) 1 2x AB yAC， ON AN AO 1 2AC (xAByAC) 1 2y AC xAB. 由OM AB ，得 1 2x AB 2yAC AB0， 由ON AC ，得 1 2y
18、 AC 2xAC AB0， 又因为BC 2(ACAB)2AC22AC ABAB2 ， 所以AC ABAC 2AB2BC2 2 1 2， 把代入，得 12xy0， 4x8y0，解得 x 4 5，y 3 5. 故实数对(x，y)为 4 5， 3 5 . 二、高效训练突破二、高效训练突破 一、选择题一、选择题 1(2020 绍兴模拟绍兴模拟)已知点 M(5，6)和向量 a(1，2)，若MN 3a，则点 N 的坐标为( ) A(2,0) B(3,6) C(6,2) D(2,0) 【答案】A 【解析】因为ON OM MN OM 3a(5，6)3(1，2)(2,0)，所以点 N 的坐标为(2,0) 2(2
19、020 山东德州一模山东德州一模)已知 ABC 的三边分别是 a，b，c，设向量 m(sinBsinA， 3ac)，n(sinC， ab)，且 mn，则 B 的大小是( ) A. 6 B.5 6 C. 3 D.2 3 【答案】B 【解析】因为 mn， 所以(ab)(sinBsinA)sinC( 3ac) 由正弦定理得，(ab)(ba)c( 3ac)， 整理得 a2c2b2 3ac， 由余弦定理得 cosBa 2c2b2 2ac 3ac 2ac 3 2 . 又 0B，所以 B5 6 . 3.在平面直角坐标系中，已知向量 a(1，2)，a1 2b(3，1)，c(x，3)，若(2ab)c，则 x(
20、) A2 B4 C3 D1 【答案】D. 【解析】 ：因为 a1 2b(3，1)，所以 a(3，1) 1 2b，则 b(4，2)所以 2ab(2，6)又(2ab)c， 所以66x，x1.故选 D. 4(2020 安徽合肥第一次质检安徽合肥第一次质检)设向量 a(3，4)，向量 b 与向量 a 方向相反，且|b|10，则向量 b 的坐标 为( ) A. 5 8 5 6 -， B(6，8) C. 5 8 - 5 6， D(6，8) 【答案】D. 【解析】 ：因为向量 b 与向量 a 方向相反，所以可设 ba(3，4)，0，则|b|92162 252 5|510，所以 2，所以 b(6，8)故选 D
21、. 5.(2020 宁波模拟宁波模拟)在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，设向量 p(ac，b)，q(ba， ca)，若 pq，则角 C 的大小为( ) A30 B60 C90 D120 【答案】B 【解析】由题意得(ac)(ca)b(ba)0，得 a2b2c2ab，故 cosC ab 2ab 1 2，0 C180 ，故 C60 . 6(2020 绵阳模拟绵阳模拟)如图，四边形 ABCD 是正方形，延长 CD 至 E，使得 DECD，若点 P 为 CD 的中点， 且AP ABAE，则 ( ) A3 B.5 2 C2 D1 【答案】B 【解析】 由题知AP ABBCCP
22、ABAD 1 2AB 1 2AB AD ， 又 AB AEAB(AD AB )()AB AD . 1 2， 1， 3 2， 1， 5 2，故选 B. 7.已知向量AC ， AD 和AB 在边长为 1 的正方形网格中的位置如图所示， 若ACABAD ， 则 等于( ) A2 B2 C3 D3 【答案】A. 【解析】 ：如图所示，建立平面直角坐标系， 则AD (1，0)，AC (2，2)，AB(1，2) 因为AC ABAD ，所以(2，2)(1，2)(1，0)(，2)，所以 2， 22，解得 1， 3. 所以 2.故选 A. 8.(2020 山东师范大学附中模拟山东师范大学附中模拟)在 ABC 中
23、，AB2，BC3，ABC60 ，AD 为 BC 边上的高，O 为 AD 的中点，若AO AB BC，则 ( ) A1 B.1 2 C.1 3 D.2 3 【答案】D 【解析】在 ABD 中，BD1 2AB1.又 BC3，所以 BD 1 3BC.AD AB BD AB 1 3BC .O 为 AD 的中 点，AO 1 2AD 1 2AB 1 6BC ，AO AB BC，1 2， 1 6， 2 3. 9(2020 南充摸底南充摸底)原点 O 是 ABC 内一点，顶点 A 在 x 轴上，AOB150 ，BOC90 ，|OA |2，|OB |1，|OC |3，若OC OA OB ，则 ( ) A 3 3
24、 B. 3 3 C 3 D. 3 【答案】 D 【解析】 建立如图所示的直角坐标系，则 A(2，0)，B 2 1 2 3 -，C 2 33 - 2 3 -， 因为OC OA OB ， 由向量相等的坐标表示可得 2 3 2 3 2， 2 3 3 2 ， 解得 3， 3 3， 即 3. 10 (2020 包河区校级月考包河区校级月考)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时， 提出了分线段的“中末比”问题： 将一线段 AB 分为两线段 AC， CB， 合得其中较长的一段 AC 是全长与另一段 CB 的比例中项， 即满足AC AB BC AC 51 2 ，后人把这个数称为黄金分割数，把点 C 称为
25、线段 AB 的黄金分割点，在 ABC 中，若点 P，Q 为 线段 BC 的两个黄金分割点，设AP x 1AB y 1AC ，AQ x2AB y 2AC ，则x1 x2 y1 y2( ) A. 51 2 B2 C. 5 D 51 【答案】C. 【解析】 ：由题意， AP ABBPAB 1 51 2 BC AB3 5 2 (AC AB) 13 5 2 AB 3 5 2 AC 51 2 AB 3 5 2 AC ， 同理，AQ AB BQ AB 51 2 BC AB 51 2 (AC AB) 3 5 2 AB 51 2 AC . 所以 x1y2 51 2 ，x2y13 5 2 . 所以x1 x2 y1
26、 y2 51 3 5 3 5 51 5. 二、填空题二、填空题 1.已知向量 a(1，)，b(，2)，若(ab)(ab)，则 _. 【答案】 2 【解析】ab(1，2)，ab(1，2)因为(ab)(ab)，所以(1)(2)(2)(1)， 解得 2. 2 已知点 A(2,3)， B(4,5)， C(7,10)， 若AP ABAC (R)， 且点 P 在直线 x2y0 上， 则 的值为_ 【答案】2 3 【解析】设 P(x，y)，则由AP ABAC，得(x2，y3)(2,2)(5,7)(25，27)，所以 x54， y75.又点 P 在直线 x2y0 上，故 542(75)0，解得 2 3. 3在
27、 ABC 中，点 M，N 满足AM 2MC ，BN NC ，若MN xAB yAC，则 x_；y_. 【答案】 1 2 1 6 【解析】 如图 在 ABC 中，MN MA AB BN2 3AC AB1 2BC 2 3AC AB1 2(AC AB)1 2AB 1 6AC ，所以 x1 2， y1 6. 4.(2020 湖北荆门阶段检测湖北荆门阶段检测)在 AOB 中，AC 1 5AB ，D 为 OB 的中点，若DC OA OB ，则 的值为 _ 【答案】 ： 6 25 【解析】 ：因为AC 1 5AB ，所以AC1 5(OB OA )，因为 D 为 OB 的中点，所以OD 1 2OB ， 所以D
28、C DO OC 1 2OB (OA AC )1 2OB OA 1 5(OB OA )4 5OA 3 10OB ，所以 4 5， 3 10， 则 的值为 6 25. 5已知 O 为坐标原点，向量OA (1，2)，OB (2，1)，若 2AP AB，则|OP |_. 【答案】 ： 2 2 【解析】 ：设 P 点坐标为(x，y)，AB OB OA (2，1)(1，2)(3，3)，AP (x1，y2)，由 2AP AB得，2(x1，y2)(3，3)，所以 2x23， 2y43，解得 x 1 2， y1 2. 故|OP | 1 4 1 4 2 2 . 6已知 A(3，0)，B(0， 3)，O 为坐标原点
29、，C 在第二象限，且AOC30 ，OC OA OB ，则实数 的值为_ 【答案】 ：1 【解析】 ：由题意知OA (3，0)，OB (0， 3)， 则OC (3， 3)， 由AOC30 知，以 x 轴的非负半轴为始边，OC 为终边的一个角为 150 ，所以 tan 150 3 3， 即 3 3 3 3，所以 1. 7.已知梯形 ABCD， 其中 ABDC， 且 DC2AB， 三个顶点 A(1,2)， B(2,1)， C(4,2)， 则点 D 的坐标为_ 【答案】(2,4) 【解析】 在梯形 ABCD 中，DC2AB，ABDC， DC 2AB .设点 D 的坐标为(x，y)， 则DC (4x,2
30、y)，AB (1，1)， (4x,2y)2(1，1)， 4x2， 2y2， 解得 x2， y4， 故点 D 的坐标为(2,4) 8(2020 安徽省马鞍山二中高考模拟安徽省马鞍山二中高考模拟)已知向量AC (1，sin1)，BA(3,1)，BD (2，cos)，若 B，C，D 三点共线，则 tan(2019)_. 【答案 2 【解析】B，C，D 三点共线， BD xBC x(BAAC)，即(2，cos)x(4，sin)， 则 24x， cosxsin， 得 x1 2，即 cos 1 2sin，得 tan2， 则 tan(2019)tan()tan2. 9.若 ， 是一组基底，向量 xy(x，y
31、R)，则称(x，y)为向量 在基底 ， 下的坐标，现已知向量 a 在基底 p(1，1)，q(2，1)下的坐标为(2，2)，则 a 在另一组基底 m(1，1)，n(1，2)下的坐标 为_ 【答案】 ：(0，2) 【解析】 ：因为 a 在基底 p，q 下的坐标为(2，2)， 即 a2p2q(2，4)， 令 axmyn(xy，x2y)， 所以 xy2， x2y4， 即 x0， y2. 所以 a 在基底 m，n 下的坐标为(0，2) 10 已知非零不共线向量OA ， OB ， 若 2OP xOA yOB ， 且PA AB(R)， 则点 P(x， y)的轨迹方程是_ 【答案】 ：xy20 【解析】 ：由
32、PA AB，得OA OP (OB OA )， 即OP (1)OA OB . 又 2OP xOA yOB ， 所以 x22， y2， 消去 得 xy20. 三三 解答题解答题 1.已知点 A，B 为单位圆 O 上的两点，点 P 为单位圆 O 所在平面内的一点，且OA 与OB 不共线 (1)在 OAB 中，点 P 在 AB 上，且AP 2PB，若APrOB sOA ，求 rs 的值； (2)已知点 P 满足OP mOA OB (m 为常数)，若四边形 OABP 为平行四边形，求 m 的值 【答案】见解析 【解析】 ：(1)因为AP 2PB，所以AP2 3AB ， 所以AP 2 3(OB OA )2
33、 3OB 2 3OA ， 又因为AP rOB sOA ， 所以 r2 3，s 2 3， 所以 rs0. (2)因为四边形 OABP 为平行四边形， 所以OB OP OA ， 又因为OP mOA OB ， 所以OB OB (m1)OA ， 依题意OA ，OB 是非零向量且不共线， 所以 m10， 解得 m1. 2.已知 ABC 中，AB2，AC1，BAC120 ，AD 为角平分线 (1)求 AD 的长度； (2)过点 D 作直线交 AB，AC 的延长线于不同两点 E，F，且满足AE xAB，AFyAC，求1 x 2 y的值，并说明 理由 【答案】见解析 【解析】 ：(1)根据角平分线定理：DB DC AB AC2，所以 BD BC 2 3， 所以AD AB BD AB 2 3BC AB2 3(AC AB)1 3AB 2 3AC ， 所以AD 21 9AB 24 9AB AC4 9AC 24 9 4 9 4 9 4 9，所以 AD 2 3. (2)因为AE xAB，AFyAC，所以AD 1 3AB 2 3AC 1 3xAE 2 3yAF ， 因为 E，D，F 三点共线，所以 1 3x 2 3y1，所以 1 x 2 y3.
浙公网安备33030202001339号