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    2021年高考数学(理)一轮复习题型归纳与训练 专题4.3 三角函数的图象与性质(教师版含解析)

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    2021年高考数学(理)一轮复习题型归纳与训练 专题4.3 三角函数的图象与性质(教师版含解析)

    1、2021 年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破 专题专题 4.3 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 目录 一、题型全归纳 . 1 题型一 三角函数的定义域和值域 . 1 题型二 三角函数的单调性 . 3 类型一 求三角函数的单调区间 . 3 类型二 根据单调性求参数 . 4 题型三 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 . 7 类型一 三角函数的周期性 . 7 类型二 三角函数的奇偶性 . 8 类型三 三角函数的对称性 . 9 题型四 三角函数中 值的求法 . 11 类型一、利用三角函数的单调性求解. 11 类型二、利用三角函数的

    2、对称性求解. 11 类型三、利用三角函数的最值求解. 12 二、高效训练突破 . 13 一、题型全归纳一、题型全归纳 题型一题型一 三角函数的定义域和值域三角函数的定义域和值域 【题型要点】【题型要点】1三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图象来求解 2.求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型 (1)形如 yasin xbcos xc 的三角函数化为 yAsin(x)c 的形式,再求值域(最值) (2)形如 yasin2xbsin xc 的三角函数,可先设 sin xt,化为关于 t 的二次函数求值域(最值) (3)形如

    3、yasin3xbsin2xcsin xd,类似于(2)进行换元,然后用导数法求最值 【例【例 1】函数 y sin xcos x的定义域为_ 【答案】 :x|2k 4x2k 5 4 ,kZ 【解析】 :法一:要使函数有意义,必须使 sin xcos x0.利用图象,在同一坐标系中画出0,2上 ysin x 和 ycos x 的图象,如图所示 在0,2内,满足 sin xcos x 的 x 为 4, 5 4 ,再结合正弦、余弦函数的周期是 2,所以原函数的定义域为 x|2k 4x2k 5 4 ,kZ 法二:利用三角函数线,画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示) 所以定义域为x|2k 4x2k

    4、 5 4 ,kZ 法三:sin xcos x 2sin(x 4)0, 将 x 4视为一个整体,由正弦函数 ysin x 的图象和性质可知 2kx 42k(kZ), 解得 2k 4x2k 5 4 (kZ) 所以定义域为x|2k 4x2k 5 4 ,kZ 【例【例 2】 】 (2020 长沙质检长沙质检)函数 ysinxcosxsinxcosx 的值域为_ 【答案】 1 ,2 2 1 【解析】令 tsinxcosx,则 t 2sin 4 x 2, 2由(sinxcosx)212sinxcosx 得 sinxcosx 1 2(1t 2), 所以 yt1 2(1t 2),t 2, 2的值域即为所求 因

    5、为 yt1 2(1t 2)1 2(t1) 21, 当 t 2时,ymin1 2 2, 当 t1 时,ymax1, 所以原函数的值域为 1 ,2 2 1 题型二题型二 三角函数的单调性三角函数的单调性 类型一类型一 求三角函数的单调区间求三角函数的单调区间 【题型要点】【题型要点】三角函数单调性的求法 (1)形如 yAsin(x)的函数的单调性问题,一般是将 x 看成一个整体,再结合图象利用 ysin x 的 单调性求解; (2)如果函数中自变量的系数为负值,要根据诱导公式把自变量系数化为正值,再确定其单调性 【例【例 1】(2019 全国卷全国卷)下列函数中,以 2为周期且在区间 2 , 4

    6、上单调递增的是( ) Af(x)|cos2x| Bf(x)|sin2x| Cf(x)cos|x| Df(x)sin|x| 【答案】A 【解析】作出函数 f(x)|cos2x|的图象,如图 由图象可知 f(x)|cos2x|的周期为 2,在区间 2 , 4 上单调递增同理可得 f(x)|sin2x|的周期为 2,在区间 2 , 4 上单调递减,f(x)cos|x|的周期为 2.f(x)sin|x|不是周期函数,排除 B,C,D.故选 A. 【例 2】 已知 3为函数 f(x)sin(2x) 2 0 的零点,则函数 f(x)的单调递增区间是( ) A.Zkkk 12 2 , 12 5 2 B.Zk

    7、kk 12 7 2 , 12 2 C.Zkkk 12 , 12 5 D.Zkkk 12 7 , 12 【答案】C 【解析】由于 3为函数 f(x)sin(2x) 2 0 的零点,则 3 f0,所以 sin 3 2 0, 解得 3,故 f(x)sin 3 2 x,令 22k2x 32k 2(kZ), 解得 k5 12xk 12(kZ),故函数 f(x)的单调递增区间为 Zkkk 12 , 12 5 类型二类型二 根据单调性求参数根据单调性求参数 【题型要点】已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法 (1)子集法:求出原函数的相应单调区间,由已知区间是所求某区间的子集,列不等式(组)求解;

    8、 (2)反子集法:由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集,列 不等式(组)求解; (3)周期法:由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过1 4周期列不等式(组)求解 【易错提醒】 要注意求函数 yAsin(x)的单调区间时 的符号, 若 0)在区间 2, 2 3 上是增函数,则 的取值范围是_ 【答案】(0,3 4 【解析】法一:因为 x 2, 2 3 (0), 所以 x 2 ,2 3 , 因为 f(x)2sin x 在 2, 2 3 上是增函数, 所以 2 2, 2 3 2, 0, 故 00)的图象如图所示 要使 f(x)在 2, 2 3 上是增

    9、函数,需 2 2, 2 3 2 (0),即 00), 从而有 2 2, 2 2 3 , 即 00,函数 f(x)sin(x 4)在( 2,)上单调递减,则 的取值范围是_ 【答案】 :1 2, 5 4 【解析】 : 法一: 由 2x0, 得 2 4x 40,kZ,得 k0,所以 1 2, 5 4 法二:由已知T 2 2,所以 02,又 2x,得 4x 40, 2 的图象的相邻两条对称轴间的 距离为 2,则 8 3 f( ) A. 2 2 B 2 C 3 D. 2 【答案】B 【解析】因为 f(x)是偶函数,所以 6k 2(kZ),即 k 2 3 (kZ)又由题知 20)在区间 2 , 3 上单

    10、调递减,则 的取值范围是 _ 【答案】 3 , 2 3 【解析】令 22kx 3 22k(kZ),得 2 2k x 3 2 2k ,因为 f(x)在 2 , 3 上单调递减,所以 2 2k 3, 2 3 2 2k , 得 6k3 24k3.又 0,所以 k0,又 6k 3 24k3,得 0k0)的一条对称轴为 x 3, 一个对称中心为点 0 , 12 , 则 有( ) A最小值 2 B最大值 2 C最小值 1 D最大值 1 【答案】A 【解析】 因为函数的中心到对称轴的最短距离是T 4,两条对称轴间的最短距离是 T 2,所以中心 0 , 12 到对 称轴 x 3间的距离用周期可表示为 3 12

    11、 T 4 kT 2 (kN,T 为周期),解得(2k1)T,又 T2 ,所以(2k 1) 2 ,则 2(2k1),当 k0 时,2 最小故选 A. 【例 3】若函数 ycos 6 x(N*)图象的一个对称中心是 0 , 6 ,则 的最小值为_ 【答案】2 【解析】依题意得 cos 66 0,则 6 6 2k(kZ)6k2(kZ),又 N *,所以 的最小 值为2. 类型三、利用三角函数的最值求解类型三、利用三角函数的最值求解 【例 4】已知函数 f(x)2sin x 在区间 4 , 3 上的最小值为2,则 的取值范围是_ 【答案】 (1)(,2 , 2 3 【解析】 (1)显然 0. 若 0,

    12、当 x 4 , 3 时, 3x 4,因为函数 f(x)2sin x 在区间 4 , 3 上的最小值为2, 所以 3 2,解得 3 2. 若 0), 6 f 3 f,且 f(x)在区间 3 , 6 内有最小值无最大值,则 _ 【答案】14 3 【解析】 因为 6 f 3 f, 而1 2 36 4, 所以 f(x)的图象关于直线 x 4对称, 又 f(x)在区间 3 , 6 内有最小值无最大值,所以 f(x)min 4 fsin 34 1,所以 4 3k 3 2 ,kZ,解得 4k14 3 .再由 f(x)在区间 3 , 6 内有最小值无最大值,得2 T 3 6,解得 12,所以 k0, 14 3

    13、 . 二、高效训练突破二、高效训练突破 一、选择题一、选择题 1函数 y|cos x|的一个单调增区间是( ) A 2, 2 B0, C,3 2 D3 2 ,2 【答案】D. 【解析】 :将 ycos x 的图象位于 x 轴下方的图象关于 x 轴对称翻折到 x 轴上方,x 轴上方(或 x 轴上)的图象 不变,即得 y|cos x|的图象(如图)故选 D. 2设函数 f(x)cos 3 x,则下列结论错误的是( ) Af(x)的一个周期为2 Byf(x)的图象关于直线 x8 3 对称 Cf(x)的一个零点为 x 6 Df(x)在 , 2 上单调递减 【答案】D. 【解析】 : 函数 f(x)co

    14、s 3 x的图象可由 ycos x 的图象向左平移 3个单位得到, 如图可知, f(x)在 , 2 上先递减后递增,D 选项错误 3(2020 河北衡水第十三中学质检河北衡水第十三中学质检(四四)同时满足 f(x)f(x)与 xf 4 xf 4 的函数 f(x)的解析 式可以是( ) Af(x)cos 2x Bf(x)tan x Cf(x)sin x Df(x)sin 2x 【答案】D. 【解析】 :由题意得所求函数的周期为 ,且图象关于 x 4对称 Af(x)cos 2x 的周期为 ,而 4 f0 不是函数的最值 所以其图象不关于 x 4对称 Bf(x)tan x 的周期为 ,但图象不关于

    15、x 4对称 Cf(x)sin x 的周期为 2,不合题意 Df(x)sin 2x 的周期为 ,且 4 f1 为函数最大值, 所以 D 满足条件,故选 D. 4 (2020 河南六市联考河南六市联考)已知函数 f(x)2sin 6 x(0)的图象与函数 g(x)cos(2x) 2 的图象 的对称中心完全相同,则 为( ) A. 6 B 6 C. 3 D 3 【答案】D. 【解析】 : 因为函数 f(x)2sin 6 x(0)的图象与函数 g(x)cos(2x) 2 的图象的对称中心完 全相同, 所以 2, 6 22k(kZ), 即 32k(kZ), 因为|0)在同一周期内,当 x 6时取最大值,

    16、当 x 3时取最小值,则 的值可能为( ) A. 12 B 3 C.13 6 D7 6 【答案】C. 【解析】 :T2 2 36 ,故 2,又 2 62k 2,kZ,所以 2k 6,kZ,所以 的值可能为13 6 .故答案为 C. 6.已知函数 f(x)tan2x,则下列说法不正确的是( ) Ayf(x)的最小正周期是 Byf(x)在 4 , 4 上单调递增 Cyf(x)是奇函数 Dyf(x)的对称中心是 0 , 4 k (kZ) 【答案】A 【解析】函数 yf(x)的最小正周期是 2,故 A 错误当 x 4 , 4 时,2x 2 , 2 ,此时函数 f(x) tan2x 为增函数, 故 B

    17、正确 因为 f(x)tan2(x)tan2xf(x), 所以 f(x)tan2x 是奇函数, 故 C 正确 由 2xk 2 ,kZ,得 xk 4 ,kZ,所以 f(x)tan2x 的对称中心是 0 , 4 k ,kZ,故 D 正确 7(2020 福建六校联考福建六校联考)若函数 f(x)2sin(x)对任意 x 都有 xf 3 f(x),则 6 f( ) A2 或 0 B0 C2 或 0 D2 或 2 【答案】D 【解析】因为 xf 3 f(x)对任意 xR 都成立,所以函数 f(x)的图象的一个对称轴是直线 x 6,所以 6 f 2. 8已知函数 f(x)cos(x) 2 0 , xf 4

    18、是奇函数,则( ) Af(x)在 , 4 上单调递减 Bf(x)在 4 , 0 上单调递减 Cf(x)在 , 4 上单调递增 Df(x)在 4 , 0 上单调递增 【答案】B 【解析】因为 f(x)cos(x),所以 xf 4 cos x 4 ,又因为 xf 4 是奇函数,所以 4 k 2,kZ,所以 k 4,kZ,又 0|0),已知 f(x)在0,2有且仅有 5 个零点下述四个结 论: f(x)在(0,2)有且仅有 3 个极大值点 f(x)在(0,2)有且仅有 2 个极小值点 f(x)在 10 , 0 单调递增 的取值范围是 10 29 , 5 12 其中所有正确结论的编号是( ) A B

    19、C D 【答案】D. 【解析】 :如图 根据题意知,xA2xB,根据图象可知函数 f(x)在(0,2)有且仅有 3 个极大值点,所以正确;但可能会有 3 个极小值点,所以错误;根据 xA2xB,有24 52 29 5,得 12 5 29 10,所以正确;当 x(0, 10)时, 5x 5 10 5,因为 12 5 29 10,所以 10 5 49 100 2,所以函数 f(x)在(0, 10)单调递增,所以正确 12.(2019 高考全国卷高考全国卷)关于函数 f(x)sin|x|sin x|有下述四个结论: f(x)是偶函数; f(x)在区间 , 2 单调递增; f(x)在,有 4 个零点;

    20、 f(x)的最大值为 2. 其中所有正确结论的编号是( ) A B C D 【答案】C. 【解析】 : 通解:通解: f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|f(x), 所以 f(x)为偶函数, 故正确; 当 2x 时, f(x)sin xsin x2sin x,所以 f(x)在 , 2 单调递减,故不正确;f(x)在,的图象如图所示,由图 可知函数 f(x)在,只有 3 个零点,故不正确;因为 ysin|x|与 y|sin x|的最大值都为 1 且可以同时 取到, 所以 f(x)可以取到最大值 2,故正确综上,正确结论的编号是.故选 C. 优解:优解:因为 f(x)sin|

    21、x|sin(x)|sin|x|sin x|f(x),所以 f(x)为偶函数,故正确,排除 B;当 2x0),f( 6)f( 2)0,且 f(x)在区间( 6, 2)上递减,则 _. 【答案】 :2 【解析】 :因为 f(x)sin x 3cos x2sin(x 3), 由 22kx 3 3 2 2k,kZ, 得 6 2k x7 6 2k , 因为 f(x)在区间( 6, 2)上递减, 所以( 6, 2) 6 2k , 7 6 2k , 从而有 6 6 2k 2 7 6 2k , 解得 12k1712k 3 ,kZ, 所以 17 3,因为 f( 6)f( 2)0, 所以 x 6 2 2 3为 f

    22、(x)2sin(x 3)的一个对称中心的横坐标, 所以 3 3k(kZ),3k1,kZ, 又 17 3,所以 2. 5(2020 江赣十四校第二次联考江赣十四校第二次联考)如果圆 x2(y1)2m2至少覆盖函数 f(x)2sin2 12 5 x m 3 cos 3 2 x m (m0)的一个最大值点和一个最小值点,则 m 的取值范围是_ 【答案】 : , 8 158 【解析】 :化简 f(x)2sin2 12 5 x m 3cos 3 2 x m 得 f(x)2sin2x m 1,所以,函数 f(x)的图象靠近 圆心(0,1)的最大值点为 3 , 4 m ,最小值点为 1, 4 m , 所以只

    23、需 m 4 2 (31)2m2, m 4 2 (11)2m2, 解得 m8 15 15 . 6.(2020 赣州摸底赣州摸底)已知函数 f(x)sin 6 x1 2, 0, xR, 且 f() 1 2, f() 1 2.若|的最小值为 3 4 , 则 4 3 f_,函数 f(x)的单调递增区间为_ 【答案】 31 2 Zkkk 3,3 2 【解析】函数 f(x)sin 6 x1 2,0,xR, 由 f()1 2,f() 1 2,且|的最小值为 3 4 , 得T 4 3 4 ,即 T32 ,所以 2 3. 所以 f(x)sin 63 2 x1 2. 则 4 3 fsin 3 1 2 31 2 .

    24、 由 22k 2 3x 6 22k,kZ, 得 23kx3k,kZ, 即函数 f(x)的单调递增区间为Zkkk 3,3 2 . 三、解答题三、解答题 1.已知函数 f(x)(sin xcos x)22cos2x2. (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)当 x 4 3 , 4 时,求函数 f(x)的最大值和最小值 【答案】(1)Zkkk 8 , 8 3 ;(2)函数 f(x)的最大值为 1,最小值为 2. 【解析】 :f(x)sin 2xcos 2x 2sin 4 2 x. (1)令 2k 22x 42k 2,kZ, 则 k3 8 xk 8,kZ. 故 f(x)的单调递增区间为Zkkk 8

    25、 , 8 3 . (2)因为 x 4 3 , 4 , 所以3 4 2x 4 7 4 , 所以1sin 4 2 x 2 2 , 所以 2f(x)1,所以当 x 4 3 , 4 时,函数 f(x)的最大值为 1,最小值为 2. 2已知函数 f(x)4sin(x 3)cos x 3. (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (2)若函数 g(x)f(x)m 在0, 2上有两个不同的零点 x1, x2, 求实数 m 的取值范围, 并计算 tan(x1x2)的值 【答案】(1)k 12,k 5 12(kZ) ;(2) 3 3 【解析】 :(1)f(x)4sin(x 3)cos x 34( 1

    26、 2sin x 3 2 cos x)cos x 32sin xcos x2 3cos2x 3sin 2x 3cos 2x2sin(2x 3) 所以函数 f(x)的最小正周期为 T. 由 2k 22x 32k 2(kZ),得 k 12xk 5 12(kZ) 所以函数 f(x)的单调递增区间为k 12,k 5 12(kZ) (2)函数 g(x)f(x)m 在0, 2上有两个不同的零点 x1,x2,即函数 yf(x)与 ym 在0, 2上的图象有两个 不同的交点,在直角坐标系中画出函数 yf(x)2sin(2x 3)在0, 2上的图象,如图所示, 由图象可知,当且仅当 m 3,2)时,方程 f(x)

    27、m 有两个不同的解 x1,x2,且 x1x22 5 12 5 6 , 故 tan(x1x2)tan5 6 tan 6 3 3 . 3.已知函数 f(x) 2sin 4 x(0)的最小正周期为 . (1)求函数 yf(x)图象的对称轴方程; (2)讨论函数 f(x)在 2 , 0 上的单调性 【答案】(1)xk 2 3 8 (kZ)(2)见解析 【解析】(1)f(x) 2sin 4 x的最小正周期为 , 2,f(x) 2sin 4 2 x. 令 2x 4k 2(kZ),得 x k 2 3 8 (kZ), 即函数 f(x)图象的对称轴方程为 xk 2 3 8 (kZ) (2)令2k 22x 42k

    28、 2(kZ), 得函数f(x)的单调递增区间为 k 8,k 3 8 (kZ) 注意到x 2 , 0 , 所以令 k0,得函数 f(x)在 2 , 0 上的单调递增区间为 8 3 , 0 ;令 22k2x 4 3 2 2k(kZ),得函数 f(x)的单调递减区间为 k3 8 ,k7 8 (kZ),令 k0,得 f(x)在 2 , 0 上的单调递减区间为 2 , 8 3 4已知函数 f(x)2sin2 x 4 3cos2x1,xR. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)若 h(x)f(xt)的图象关于点 0 , 6 对称,且 t(0,),求 t 的值; (3)当 x 2 , 4 时,不等式|f(x)m|3 恒成立,求实数 m 的取值范围 【解析】(1)因为 f(x)cos x2 2 3cos2xsin2x3cos2x2 xx2cos 2 3 2sin 2 1 2sin 3 2 x,故 f(x)的最小正周期为 . (2)由(1)知 h(x)2sin 3 22 tx. 令 2 6 2t 3k(kZ), 得 tk 2 3(kZ), 又 t(0,),故 t 3或 5 6 . (3)当 x 2 , 4 时,2x 3 3 2 , 6 , 所以 f(x)1,2 又|f(x)m|3,即 f(x)3mf(x)3, 所以 23m13,即1m4. 故实数 m 的取值范围是(1,4)


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