1、2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题专题 2.7 函数的图像函数的图像 目录 一、题型全归纳 . 2 题型一 作函数的图象 . 2 题型二 函数图象的识别 . 3 命题角度一 知式选图 . 3 命题角度二 知图选式 . 4 命题角度三 由实际问题的变化过程探究函数图象 . 5 题型三 函数图象的应用 . 7 命题角度一 研究函数的性质 . 7 命题角度二 解不等式 . 8 命题角度三 求参数的值或取值范围. 10 题型四 数形结合思想在函数问题中的应用 . 11 题型五 高考中的函数图象及应用问题的解题方法 . 12
2、1特殊点法 . 12 2性质检验法 . 13 3导数法 . 13 4图象变换法 . 14 二、高效训练突破 . 14 一、题型全归纳一、题型全归纳 题型一题型一 作函数的图象作函数的图象 【题型要点】【题型要点】函数图象的三种画法 (1)直接法： 当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关 键点直接作出 (2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象 (3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，可利用图象变换 作出 【提醒】(1)画函数的图象时一定要注意定义域 (2)利用图象变换法时
3、要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与 伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响 【例题】【例题】作出下列函数的图象： (1)y2x x1； (2)y 1 2 1 x ； (3)y|log2x1|；(4)yx22|x|1. 【解】(1)易知函数的定义域为x|x1，xR y2x x11 3 x1，因此由函数 y 3 x的图象向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度即可得到 函数 y2x x1的图象，如图 1 所示 (2)先作出 y x 2 1 ，x0，)的图象，然后作其关于 y 轴的对称图象，再将整个图象向左平移 1 个单位 长度，即得到 y 1 2
4、 1 x 的图象，如图 2 所示 (3)先作出 ylog2x 的图象，再将图象向下平移 1 个单位长度，保留 x 轴上方的部分，将 x 轴下方的图象翻 折到 x 轴上方，即得到 y|log2x1|的图象，如图 3 所示 (4)y x22x1x0， x22x1x0，所以排除 C；因为 f(1) sin 11 cos 11，且 sin 1cos 1，所以 f(1)1，所以排除 B.故选 D. 【例【例 2】(2020 淄博模拟淄博模拟)函数 f(x)ln(x22)ex 1的图象可能是( ) 【答案】A 【解析】当 x时，f(x)，故排除 D；易知 f(x)在 R 上连续，故排除 B；且 f(0)l
5、n 2e 10，故 排除 C，故选 A. 命题角度二命题角度二 知图选式知图选式 【例【例 3】已知函数 f(x)的图象如图所示，则 f(x)的解析式可以是( ) Af(x)ln|x| x Bf(x)e x x Cf(x)1 x21 Df(x)x1 x 【答案】A 【解析】 (1)由函数图象可知，函数 f(x)为奇函数，应排除 B，C.若函数为 f(x)x1 x，则 x时，f(x) ，排除 D，故选 A. 【例【例 4】(2020 洛阳第一次统考洛阳第一次统考)已知 f(x)(xa)(xb)(ab)的大致图象如图所示，则函数 g(x)axb 的大 致图象是( ) 【答案】A 【解析】由函数 f
6、(x)的大致图象可知 3a4，1b0，所以 g(x)的图象是由 yax(3a4)的图象向下 平移b(0b1)个单位长度得到的，其大致图象应为选项 A 中的图象，故选 A. 命题角度三命题角度三 由实际问题的变化过程探究函数图象由实际问题的变化过程探究函数图象 【例【例 5】广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图，是由一 个半径为 2 的大圆和两个半径为 1 的半圆组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为 O，O1，O2，若一动点 P 从 点 A 出发，按路线 AOBCADB 运动(其中 A，O，O1，O2，B 五点共线)，设 P 的运动路程为 x， y|O1P
7、|2，y 与 x 的函数关系式为 yf(x)，则 yf(x)的大致图象为 ( ) 【答案】 A 【解析】 根据题图中信息，可将 x 分为 4 个区间，即0，)，2)，2，4)，4，6，当 x0，) 时，函数值不变，yf(x)1；当 x，2)时，设O2P 与O2O1 的夹角为 ，因为|O2P |1，|O2O1 |2，x ， 所以 y(O2P O2O1 )254cos 54cos x， 所以 yf(x)的图象是曲线， 且单调递增； 当 x2， 4) 时，O1P OP OO1 ，设OP 与OO1 的夹角为 ，|OP |2，|OO1 |1，21 2x，所以 y|O1P| 2(OPOO 1 )2 54c
8、os 54cos x 2，函数 yf(x)的图象是曲线，且单调递减 【例【例 6】如图，四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止用下面 对应的图象表示该容器中水面的高度 h 和时间 t 之间的关系，其中不正确的个数为( ) A1 B2 C3 D4 【答案】A. 【解析】 ：将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度 h 和时间 t 之间的关系可以 从高度随时间的变化率上反映出来中应该是匀速的，故下面的图象不正确；中的变化率应该是越来 越慢的，正确；中的变化率是先快后慢再快，正确；中的变化率是先慢后快再慢，也正确，故只有 是错误的 题型三题型三
9、函数图象的应用函数图象的应用 命题角度一命题角度一 研究函数的性质研究函数的性质 【题型要点】【题型要点】利用图象研究函数性质问题的思路利用图象研究函数性质问题的思路 对于已知解析式易画出其在给定区间上函数的图象，其性质常借助图象研究： 【例【例 1】 设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数， 且对任意的 xR 恒有 f(x1)f(x1)， 已知当 x0,1时， f(x) x 1 2 1 x，则下列说法： 2 是函数 f(x)的周期； 函数 f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； 函数 f(x)的最大值是 1，最小值是 0； 当 x(3,4)时，f(x) 3- 2 1 x . 其中
10、所有正确说法的序号是_ 【答案】 【解析】由已知条件，得 f(x2)f(x)， 故 yf(x)是以 2 为周期的周期函数，正确； 当1x0 时，0 x1， f(x)f(x) x 1 2 1 ， 函数 yf(x)的图象如图所示， 当 3x4 时，1x40， f(x)f(x4) 3- 2 1 x ，因此正确，不正确 【例【例 2】(2020 闽粤赣三省十校联考闽粤赣三省十校联考)已知函数 f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是 ( ) Af(x)是偶函数，递增区间是(0，) Bf(x)是偶函数，递减区间是(，1) Cf(x)是奇函数，递减区间是(1，1) Df(x)是奇函数，递增区间是(，0)
11、【答案】C 【解析】将函数 f(x)x|x|2x 去掉绝对值得 f(x) x22x，x0， x22x，x0，画出函数 f(x)的图象，如图， 观察图象可知，函数 f(x)的图象关于原点对称，故函数 f(x)为奇函数，且在(1，1)上单调递减 命题角度二命题角度二 解不等式解不等式 【题型要点】【题型要点】当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时， 常将不等式问题转化为两函数图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解 【例【例 3】(2020 昆明检测昆明检测)已知定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数，且 f(x)在(，0)上是减函数，f(2)0，g(x
12、) f(x2)，则不等式 xg(x)0 的解集是( ) A(，22，) B4，20，) C(，42，) D(，40，) 【答案】C 【解析】 依题意，画出函数 g(x)的大致图象如图， 则 xg(x)0 x0， gx0 或 x0， gx0， 由图可得 xg(x)0 的解集为(，42，) 【例【例 4】若不等式(x1)20，且 a1)在 x(1，2)内恒成立，则实数 a 的取值范围为( ) A(1，2 B 1 2 2 ， C(1， 2) D( 2，2) 【答案】 A 【解析】要使当 x(1，2)时，不等式(x1)2logax 恒成立， 只需函数 y(x1)2在(1，2)上的图象在 ylogax
13、的图象的下方即可当 0a1 时，如图， 要使 x(1， 2)时， y(x1)2的图象在 ylogax 的图象的下方， 只需(21)2loga2， 即 loga21， 解得 1a2， 故实数 a 的取值范围是(1，2 命题角度三命题角度三 求参数的值或取值范围求参数的值或取值范围 【题型要点】利用函数图象解答求取值范围问题【题型要点】利用函数图象解答求取值范围问题 (1)借助函数图象由参数满足的等量关系分析出参数满足的其他等量关系或不等关系. (2)解不等式恒成立问题，通常在同一坐标系中分别作出两函数的图象，利用数形结合求解. 【例【例 5】设函数 f(x)|xa|，g(x)x1，对于任意的 x
14、R，不等式 f(x)g(x)恒成立，则实数 a 的取值范围 是_ 【答案】 1，) 【解析】 如图 作出函数 f(x)|xa|与 g(x)x1 的图象，观察图象可知，当且仅当a1，即 a1 时，不等式 f(x)g(x) 恒成立，因此 a 的取值范围是1，) 【例【例 6】 】 设奇函数 f(x)在(0，)上为增函数，且 f(1)0，则不等式f（x）f（x） x 0 的解集为( ) A(1，0)(1，) B(，1)(0，1) C(，1)(1，) D(1，0)(0，1) 【答案】D. 【解析】 ：因为 f(x)为奇函数，所以不等式f（x）f（x） x 0 可化为f（x） x 0，即 xf(x)0，
15、f(x)的大致图 象如图所示 所以 xf(x)0 的解集为(1，0)(0，1) 题型四题型四 数形结合思想在函数问题中的应用数形结合思想在函数问题中的应用 【例【例 1】已知函数 f(x) x22x1，x0， x22x1，x0，则对任意 x 1，x2R，若 0|x1|x2|，下列不等式成立的是( ) Af(x1)f(x2)0 Cf(x1)f(x2)0 Df(x1)f(x2)0 【答案】 D 【解析】 函数 f(x)的图象如图所示： 且 f(x)f(x)，从而函数 f(x)是偶函数，且在0，)上是增函数又 0|x1|f(x1)，即 f(x1) f(x2)0. 【例【例 2】函数 yln|x1|的
16、图象与函数 y2cos x(2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于( ) A3 B6 C4 D2 【答案】B. 【解析】 ：由图象变换的法则可知，yln x 的图象关于 y 轴对称后和原来的一起构成 yln|x|的图象，向右平 移 1 个单位得到 yln|x1|的图象；y2cos x 的周期 T2.如图所示， 两图象都关于直线 x1 对称， 且有 3 对交点， 每对交点关于直线 x1 对称， 故所有交点的横坐标之和为 2 3 6. 题型五题型五 高考中的函数图象及应用问题的解题方法高考中的函数图象及应用问题的解题方法 【题型要点】【题型要点】 1.用特殊点法破解函数图象问题需寻找特殊的点， 即
17、根据已知函数的图象或已知函数的解析式， 取特殊点，判断各选项的图象是否经过该特殊点，从而得正确的选项在求函数值的过程中运算一定要认 真，从而准确进行判断 2已知函数解析式，判断其图象的关键：由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期 性等性质，根据这些性质对函数图象进行具体的分析和判断，即可得出正确选项若能熟记基本初等函数 的性质，则此类题就不攻自破 3判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极 值或最值，从而对选项进行筛选要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数的定义域 会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数
18、的极值和最值 4有关函数 yf(x)与函数 yaf(bxc)h 的图象问题的判断，熟练掌握图象的平移变换(左加右减，上加 下减)、对称变换、伸缩变换等，便可破解此类问题 1特殊点法特殊点法 【例【例 1】函数 ylg 1 |x1|的大致图象为( ) 【答案】D 【解析】函数 ylg 1 |x1|的定义域为x|x1，由此排除 A，C.当 x9 时，ylg 1 1010.由此排除 B.故选 D. 2性质检验法性质检验法 【例【例 2】(2019 全国卷全国卷)函数 y 2x3 2x2 x在6,6的图象大致为( ) 【答案】B 【解析】yf(x) 2x3 2x2 x，x6,6，f(x)2x 3 2
19、x2x 2x3 2 x2xf(x)，f(x)是奇函数，排除 C. 当 x4 时，y 2 43 242 4 128 16 1 16 (7,8)，排除 A，D.故选 B. 3导数法导数法 【例【例 3】若函数 f(x)的部分图象如图所示，则函数 f(x)的解析式是( ) Af(x)xsinx Bf(x)cosx x Cf(x)xcosx Df(x)x 2 3 2 xx 【答案】C 【解析】 由图象知函数为奇函数， 排除 D， 又 2 f0， 排除 A， 又当 0x1， 则 yf(1x)的图象是( ) 【答案】C 【解析】因为 f(x) 3x，x1， log1 3x，x1， 所以 f(1x) 31
20、x，x0， log1 31x，x0 1 3 x1，x0， log1 31x，x0， 故选 C. 二、高效训练突破二、高效训练突破 一、选择题一、选择题 1(2020 山西吕梁山西吕梁 4 月模拟月模拟)函数 f(x)|x|sin x 的图象大致是( ) 【答案】A. 【解析】 ：函数 f(x)|x|sin x 为奇函数，图象关于原点对称，可排除，B，C；又 f()|sin 0，故排除 D. 故选 A. 2(2020 南昌模拟南昌模拟)已知函数 f(x)ln (1x)，若函数 g(x)的图象与 f(x)的图象关于直线 x1 对称，则 g(3) ( ) Aln 2 Bln 2 C0 Dln 3 【
21、答案】A 【解析】因为函数 g(x)的图象与 f(x)的图象关于直线 x1 对称，所以 g(3)f(1)ln 1(1)ln 2. 3.已知 f(x) 2x，1x0， x，0 x1， 则下列函数的图象错误的是( ) 【答案】D. 【解析】 ：在坐标平面内画出函数 yf(x)的图象，将函数 yf(x)的图象向右平移 1 个单位长度，得到函数 y f(x1)的图象，因此 A 正确；作函数 yf(x)的图象关于 y 轴的对称图形，得到 yf(x)的图象，因此 B 正确；yf(x)在1，1上的值域是0，2，因此 y|f(x)|的图象与 yf(x)的图象重合，C 正确；yf(|x|)的定 义域是1，1，且
22、是偶函数，当 0 x1 时，yf(|x|) x，这部分的图象不是一条线段，因此选项 D 不正 确故选 D. 4(2020 福州模拟福州模拟)已知偶函数 yf(x)(xR)在区间1,0上单调递增，且满足 f(1x)f(1x)0，给出下 列五个结论： f(5)0； f(x)在1,2上是减函数； 函数 f(x)没有最小值； 函数 f(x)在 x0 处取得最大值； f(x)的图象关于直线 x1 对称 其中所有正确结论的编号是( ) A B C D 【答案】B 【解析】因为 f(1x)f(1x)0，所以 f(1x)f(1x)f(x1)，所以 f(2x)f(x)，所以 f(x4) f(x)，即函数 f(x
23、)是周期为 4 的周期函数由题意知，函数 yf(x)(xR)关于点(1,0)对称，画出满足条件的 图象如图所示，结合图象可知正确 5.(2020 湖南娄底二模湖南娄底二模)函数 f(x)（e xex）cos x x2 的部分图象大致是( ) 【答案】A. 【解析】 ： f(x)的定义域(， 0)(0， )， 且 f(x)f(x)， 所以 f(x)是奇函数， 排除 C 和 D， 因为 f()0， 所以排除 B.故选 A. 6.(2020 郑州模拟郑州模拟)我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好， 隔裂分家万事休在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的
24、性质，也常用函数的解析式来琢 磨函数的图象的特征如函数 f(x) x4 |4x1|的图象大致是( ) 【答案】D 【解析】由 f(x) x4 |4 x1| x4 4x |4x1|，易得 f(x)为非奇非偶函数，排除 A，B.当 x时，f(x) x4 |4x1|0， 排除 C，故选 D. 7.若函数 f(x)(ax2bx)ex的图象如图所示，则实数 a，b 的值可能为( ) Aa1，b2 Ba1，b2 Ca1，b2 Da1，b2 【答案】B. 【解析】 ：令 f(x)0，则(ax2bx)ex0，解得 x0 或 xb a，由图象可知， b a1，又当 x b a时，f(x) 0，故 a0，结合选项
25、知 a1，b2 满足题意，故选 B. 8.(2020 山西四校联考山西四校联考)已知函数 f(x)|x21|，若 0ab 且 f(a)f(b)，则 b 的取值范围是( ) A(0，) B(1，) C(1， 2) D(1，2) 【答案】C. 【解析】 ：作出函数 f(x)|x21|在区间(0，)上的图象如图所示， 作出直线 y1， 交 f(x)的图象于点 B， 由 x211 可得 xB 2， 结合函数图象可得 b 的取值范围是(1， 2) 9(2020 昆明检测昆明检测)若平面直角坐标系内 A、B 两点满足：(1)点 A、B 都在 f(x)图象上；(2)点 A、B 关于原点 对称，则称点对(A，
26、B)是函数 f(x)的一个“和谐点对”，已知函数 f(x) x 22x（x0）， 2 ex（x0）， 则 f(x)的“和谐点对” 有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】B. 【解析】 ：作出函数 yx22x(x0)的图象关于原点对称的图象， 看它与函数 y2 ex(x0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为 2，即 f(x)的“和谐点对”有 2 个选 B. 10.若函数 yf(2x1)是偶函数，则函数 yf(x)图象的对称轴方程是( ) Ax1 Bx1 Cx2 Dx2 【答案】A 【解析】因为 yf(2x1) 2 1 2 xf，所以将函数 yf(x)图象的纵坐标不变
27、，横坐标缩短为原来的1 2， 可以得到函数 yf(2x)的图象，将函数 yf(2x)的图象向左平移1 2个单位，可以得到 yf(2x1) 2 1 2 xf的图象因为函数 yf(2x1)是偶函数，所以函数 yf(2x1)的图象的对称轴方程为 x0. 所以函数 yf(2x)的图象的对称轴方程为 x1 2，函数 yf(x)的图象的对称轴方程为 x1.故选 A. 二、填空题二、填空题 1.函数 f(x)x1 x 的图象与直线 ykx1 交于不同的两点(x1，y1)，(x2，y2)，则 y1y2_. 【答案】2 【解析】因为 f(x)x1 x 11 x，所以 f(x)的图象关于点(0,1)对称因为直线
28、ykx1 的图象过点(0,1)，所 以两图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)关于点(0,1)对称，所以y1y2 2 1，所以 y1y22. 2若直线 y1 与曲线 yx2|x|a 有四个交点，则 a 的取值范围是_ 【答案】 4 5 1， 【解析】 yx2|x|a x2xa，x0， x2xa，x0， 作出函数图象如图所示 此曲线与 y 轴交于点(0，a)，最小值为 a1 4，要使 y1 与其有四个交点，只需 a 1 41a，所以 1a 5 4. 3.若函数 f(x) axb，x1， ln（xa），x1的图象如图所示，则 f(3)等于_ 【答案】 ：1 【解析】 ：由图象可得 a(1)b3，
29、ln(1a)0，所以 a2，b5， 所以 f(x) 2x5，x1， ln（x2），x1，故 f(3)2 (3)51. 4定义在 R 上的奇函数 f(x)，满足 2 1 f0，且在(0，)上单调递减，则 xf(x)0 的解集为_ 【答案】 ： 2 1 00 2 1 -， 【解析】 ： 因为函数 f(x)是奇函数， 在(0， )上单调递减， 且 2 1 f0， 所以 2 1 f0， 且在区间(， 0)上单调递减，因为当 x0，若1 2x0 时，f(x)0，此时 xf(x)0，当 x0，若 0 x 1 2时，f(x)0， 此时 xf(x)0，综上 xf(x)0 的解集为 2 1 00 2 1 -，.
30、 5给定 mina，b a，ab， b，ba，已知函数 f(x)minx，x 24x44，若动直线 ym 与函数 yf(x)的图 象有 3 个交点，则实数 m 的取值范围为_ 【答案】 ：(4，5) 【解析】 ：函数 f(x)minx，x24x44 的图象如图所示， 由于直线 ym 与函数 yf(x)的图象有 3 个交点，数形结合可得 m 的取值范围为(4，5) 6.函数 f(x)是定义在4,4上的偶函数， 其在0,4上的图象如图所示， 那么不等式 fx cosx0，当 x 4 2 ， 时，ycosx0. 结合 yf(x)，x0,4上的图象知， 当 1x 2时， fx cosx0.又函数 y fx cosx为偶函数， 所以在4,0上， fx cosx0 的解集为 1- 2 -， ， 所以不等式 fx cosx0 的解集为 2 11- 2 - ，.
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