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    2021年高考数学(理)一轮复习题型归纳与训练 专题2.4 二次函数与幂函数(教师版含解析)

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    2021年高考数学(理)一轮复习题型归纳与训练 专题2.4 二次函数与幂函数(教师版含解析)

    1、2021 年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破 专题专题 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数 目录 一、题型全归纳 . 1 题型一 求二次函数的解析式 . 1 题型二 二次函数的图象与性质 . 3 命题角度 1 二次函数的图象 . 3 命题角度 2 二次函数的单调性 . 5 命题角度 3 二次函数的最值 . 6 命题角度 4 与二次函数有关的恒成立问题 . 7 题型三 分类讨论思想在二次函数问题中的应用 . 8 题型四 幂函数的图象与性质 . 9 二、高效训练突破 . 11 一、题型全归纳一、题型全归纳 题型一题型一 求二次函数

    2、的解析式求二次函数的解析式 【题型要点】【题型要点】用待定系数法求二次函数的解析式 (1)关键:恰当选取二次函数解析式的形式 (2)选法 已知条件 解析式的形式 三点坐标 一般式 yax2bxc(a0) 顶点坐标 顶点式 ya(xh)2k(a0) 对称轴 最大(小)值 与 x 轴两交点的坐标 两根式 ya(xx1)(xx2)(a0) 【例【例 1】已知二次函数 f(x)满足 f(2)1,f(1)1,且 f(x)的最大值是 8,试确定此二次函数的解析式 【解】 法一:法一:(利用一般式利用一般式) 设 f(x)ax2bxc(a0) 由题意得 4a2bc1, abc1, 4acb2 4a 8, 解

    3、得 a4, b4, c7. 所以所求二次函数的解析式为 f(x)4x24x7. 法二:法二:(利用顶点式利用顶点式) 设 f(x)a(xm)2n(a0) 因为 f(2)f(1), 所以抛物线的对称轴为 x2(1) 2 1 2. 所以 m1 2.又根据题意函数有最大值 8,所以 n8, 所以 f(x)a 2 2 1 x8. 因为 f(2)1,所以 a 2 2 1 x81, 解得 a4,所以 f(x)4 2 2 1 x84x24x7. 法三:法三:(利用零点式利用零点式) 由已知 f(x)10 的两根为 x12,x21, 故可设 f(x)1a(x2)(x1), 即 f(x)ax2ax2a1. 又函

    4、数有最大值 8,即4a(2a1)a 2 4a 8. 解得 a4 或 a0(舍去), 所以所求函数的解析式为 f(x)4x24x7. 题型二题型二 二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质 命题角度命题角度 1 二次函数的图象二次函数的图象 【题型要点】【题型要点】识别二次函数图象应学会“三看” 【例【例 1】已知 abc0,则二次函数 f(x)ax2bxc 的图象可能是( ) 【答案】 D 【解析】 A 项,因为 a0, b 2a0,所以 b0,所以 c0,而 f(0)c0,故 A 错 B 项,因为 a0,所以 b0. 又因为 abc0,所以 c0,故 B 错 C 项,因为 a0, b 2a0

    5、.又因为 abc0, 所以 c0,而 f(0)c0, b 2a0,所以 b0,所以 c0,而 f(0)c4ac;2ab1;abc0;5a0,即 b24ac,正确;二次函数 的图象的对称轴为直线 x1,即 b 2a1,2ab0,错误;结合图象知,当 x1 时,y0,即 a bc0,错误;由对称轴为直线 x1 知,b2a, 又函数的图象开口向下,a0, 5a2a, 即 5a0)在区间 A 上单调递减(单调递增),则 A a b 2 , , a b A 2 , 即区间 A 一定在函数图象对称轴的左侧(右侧) 【例【例 3】(2020 河南中原名校联考河南中原名校联考)已知函数 f(x)2ax24(a

    6、3)x5 在区间(,3)上是减函数,则 a 的取 值范围是( ) A. 4 3 0, B. 4 3 0, C. 4 3 0, D. 4 3 0, 【答案】 D 【解析】 因为函数 f(x)2ax24(a3)x5 在区间(,3)上是减函数, 当 a0 时,a 须满足 2a0, 4a3 2 2a 3, 解得 0a3 4; 当 a0 时,f(x)12x5 在(,3)上是减函数 综上可知,a 的取值范围是 4 3 0, 【例【例 4】函数 f(x)ax2(a3)x1 在区间1,)上是单调递减的,则实数 a 的取值范围是_ 【答案】 3,0 【解析】 当 a0 时,f(x)3x1 在1,)上单调递减,满

    7、足条件 当 a0 时,f(x)的对称轴为 x3a 2a , 由 f(x)在1,)上单调递减知 a0, 3a 2a 1, 解得3a0.综上,a 的取值范围为3,0 命题角度命题角度 3 二次函数的最值二次函数的最值 【题型要点】二次函数最值问题的解法【题型要点】二次函数最值问题的解法 抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单 调性及分类讨论的思想即可完成 【例【例 5】已知 f(x)4x24ax4aa2在0,1内的最大值为5,则 a 的值为( ) A.5 4 B1 或5 4 C1 或5 4 D5 或5 4 【答案】D 【解析】 f(x)4

    8、2 2 a x4a,对称轴为直线 xa 2. 当a 21,即 a2 时,f(x)在0,1上递增, f(x)maxf(1)4a2. 令4a25,得 a 1(舍去) 当 0a 21,即 0a2 时,f(x)max 2 a f4a. 令4a5,得 a5 4. 当a 20,即 a0 时,f(x)在0,1上递减, f(x)maxf(0)4aa2. 令4aa25, 解得 a5 或 a1(舍去) 综上所述,a5 4或5.故选 D. 【例【例 6】设函数 f(x)x22x2,xt,t1,tR,求函数 f(x)的最小值 【解】 f(x)x22x2(x1)21,xt,t1,tR,函数图象的对称轴为 x1.当 t1

    9、1, 即 t1 时,函数图象如图(3)所示,函数 f(x)在区间t,t1上为增函数,所以最小值 f(t)t22t2. 综上可知,f(x)min t 21,t1. 命题角度命题角度 4 与二次函数有关的恒成立问题与二次函数有关的恒成立问题 【题型要点】与二次函数有关的不等式恒成立的条件【题型要点】与二次函数有关的不等式恒成立的条件 (1)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是 a0, b24ac0. (2)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是 a0, b24ac0. 如举例说明 4. (3)af(x)恒成立af(x)max,af(x)恒成立af(x)min. (4)f(x)ax2bxc0)

    10、在(m,n)上恒成立 fm0, fn0. 如举例说明 5. (5)f(x)ax2bxc0(a0, fn0. 【例【例 7】 已知 a 是实数, 函数 f(x)2ax22x3 在 x1, 1上恒小于零, 则实数 a 的取值范围为_ 【答案】 2 1 -, 【解析】 2ax22x30 在1,1上恒成立 当 x0 时,30,成立; 当 x0 时,a3 2 2 3 11 x 1 6,因为 1 x(,11,),当 x1 时,右边取最小值 1 2,所以 af(2mmt2)对任意实数 t 恒成立,则实数 m 的取值范围是( ) A(, 2) B( 2,0) C(,0)( 2,) D(, 2)( 2,) 【答

    11、案】A 【解析】当 xf(2m mt2)对任意实数 t 恒成立,知4t2mmt2对任意实数 t 恒成立,即 mt24t2m0 对任意实数 t 恒成立, 故有 m0, 168m20 时,f(x)ax22x 的图象开口向上且对称轴为 x1 a. 当 01,即 0a1 时, f(x)ax22x 的对称轴在0,1的右侧, 所以 f(x)在0,1上单调递减 所以 f(x)minf(1)a2; (3)当 a0 时,f(x)ax22x 的图象开口向下且对称轴 x1 a0,在 y 轴的左侧, 所以 f(x)ax22x 在0,1上单调递减, 所以 f(x)minf(1)a2. 综上所述,f(x)min a2,a

    12、0 时,函数 f(x)在区间1,2上是增函数,最大值为 f(2)8a14,解得 a3 8; (3)当 a1 01 cba Babcd Cdcab Dabdc 【答案】B 【解析】观察图象联想 yx2,yx1 2,yx 1在第一象限内的图象,可知 c0,d0,0b12d,所以 cd.综上知 abcd. 【例【例 2】幂函数 f(x)xa210a23(aZ)为偶函数,且 f(x)在区间(0,)上是减函数,则 a 等于( ) A3 B4 C5 D6 【答案】C. 【解析】 :因为 a210a23(a5)22, f(x)x(a5)2 2(aZ)为偶函数, 且在区间(0,)上是减函数, 所以(a5)22

    13、0,从而 a4,5,6, 又(a5)22 为偶数,所以只能是 a5,故选 C. 【例【例 3】若 a 3 2 2 1 ,b 3 2 5 1 2 3,c 3 1 2 1 ,则 a,b,c 的大小关系是( ) Aabc Bcab Cbca Dbab 3 2 5 1 ,因为 y x 2 1 是减函数, 所以 a 3 2 2 1 c 3 1 2 1 ,所以 ba0,则一次函数 yaxb 为增函数,二次函数 yax2bxc 的图象开口向上,故可排除 A; 若 a0,b0,从而 b 2a0,f(p)4ac;2ab1;abc0;5a0,即 b24ac,正确;对称轴为 x1,即 b 2a1,2ab0,错误;结

    14、合图象,当 x1 时,y0,即 abc0,错误;由对称轴为 x 1 知,b2a,又函数图象开口向下,所以 a0,所以 5a2a,即 5a0, 若 a,bR,且 ab0,则 f(a)f(b)的值( ) A恒大于 0 B恒小于 0 C等于 0 D无法判断 【答案】A 【解析】对任意的 x1,x2(0,),且 x1x2,满足fx1fx2 x1x2 0,幂函数 f(x)在(0,)上是增函数, m2m11, 4m9m510, 解得 m2,则 f(x)x2015. 函数 f(x)x2015在 R 上是奇函数,且为增函数,由 ab0,得 ab,f(a)f(b)f(b), f(a)f(b)0.故选 A. 二、

    15、填空题二、填空题 1.已知二次函数 f(x)ax2bxc 满足条件: f(3x)f(x); f(1)0; 对任意实数 x, f(x) 1 4a 1 2恒成立, 则其解析式为 f(x)_. 【答案】x23x2 【解析】由得,对称轴方程为 x b 2a 3 2. 由得,abc0. 由得,f(x)min4acb 2 4a 1 4a 1 2,且 a0. 解得 a1,b3,c2.所以 f(x)x23x2. 2.已知二次函数的图象与 x 轴只有一个交点, 对称轴为 x3, 与 y 轴交于点(0, 3), 则它的解析式为_ 【答案】 :y1 3x 22x3 【解析】 :由题意知,可设二次函数的解析式为 ya

    16、(x3)2,又图象与 y 轴交于点(0,3), 所以 39a,即 a1 3. 所以 y1 3(x3) 21 3x 22x3. 3.若 f(x)x22ax 与 g(x) a x1在区间1,2上都是减函数,则实数 a 的取值范围是_ 【答案】 :(0,1 【解析】 :因为 f(x)x22ax 在1,2上是减函数,所以 a1,又因为 g(x) a x1在1,2上是减函数,所 以 a0,所以 00 时,f(x)(x1)2,若当 x 2 1 -2- ,时,nf(x)m 恒成立,则 mn 的最小 值为_ 【答案】 :1 【解析】 :当 x0,f(x)f(x)(x1)2,因为 x 2 1 -2- ,所以 f

    17、(x)minf(1)0,f(x)maxf( 2)1,所以 m1,n0,mn1.所以 mn 的最小值是 1. 7.(2019 南阳模拟南阳模拟)设二次函数 f(x)ax22ax1 在3,2上有最大值 4,则实数 a 的值为_ 【答案】3 或3 8 【解析】此函数图象的对称轴为直线 x1, 当 a0 时,图象开口向上, 所以当 x2 时取得最大值,即 f(2)4a4a14, 解得 a3 8; 当 a0 时,图象开口向下,所以当 x1 时取得最大值,即 f(1)a2a14, 解得 a3.故实数 a 的值为3 或3 8. 8.已知函数 f(x)x22x1,如果使 f(x)kx 对任意实数 x(1,m都

    18、成立的 m 的最大值是 5,则实数 k _. 【答案】 36 5 【解析】 设 g(x)x2(2k)x1. 设不等式 g(x)0 的解集为 axb. 则 (2k)240,解得 k4 或 k0, 又因为函数 f(x)x22x1,且 f(x)kx 对任意实数 x(1,m恒成立; 所以(1,ma,b,所以 a1,bm,所以 g(1)4k4,m 的最大值为 b,所以有 b5. 即 x5 是方程 g(x)0 的一个根,代入 x5, 解得 k36 5 . 三、解答题三、解答题 1.已知函数 f(x)ax2bxc(a0,bR,cR) (1)若函数 f(x)的最小值是 f(1)0,且 c1, F(x) f(x

    19、),x0, f(x),x0,求 F(2)F(2)的值; (2)若 a1,c0,且|f(x)|1 在区间(0,1上恒成立,试求 b 的取值范围 【答案】(1)8;(2)2,0 【解析】 :(1)由已知 c1,abc0, 且 b 2a1, 解得 a1,b2, 所以 f(x)(x1)2. 所以 F(x) (x1)2,x0, (x1)2,x0. 所以 F(2)F(2)(21)2(21)28. (2)由题意知 f(x)x2bx,原命题等价于1x2bx1 在(0,1上恒成立, 即 b1 xx 且 b 1 xx 在(0,1上恒成立 又当 x(0,1时,1 xx 的最小值为 0, 1 xx 的最大值为2.所以2b0. 故 b 的取值范围是2,0 2.已知函数 f(x)ax22ax2b(a0),若 f(x)在区间2,3上有最大值 5,最小值 2. (1)求 a,b 的值; (2)若 b0 时,f(x)在2,3上为增函数, 故 f35, f22 3a2b5, 2b2 a1, b0. 当 a0 时,a1,b0,当 a0 时,a1,b3. (2)b1,a1,b0,即 f(x)x22x2. g(x)x22x2mxx2(2m)x2, g(x)在2,4上单调,2m 2 2 或2m 2 4. m2 或 m6. 故 m 的取值范围为(,26,)


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