1、 2021 年北京市海淀区年北京市海淀区二二校校联考联考七年级（下）期中数学试卷（五四学制）七年级（下）期中数学试卷（五四学制） 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 30 分，每小分，每小 3 分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1 （3 分）以下国产新能源电动车的车标图案不是轴对称图形的是（ ） A北汽新能源 B长城新能源 C东风新能源 D江淮新能源 2 （3 分）计算（）3的结果是（ ） A B C D 3 （3 分）下列计算正确的是（ ） Ax+x2x3 Bx2x2x3 Cx9x3x3 D （x3）2x6 4 （3 分）如图
2、，ABAC，点 D，E 分别在 AB，AC 上，补充下列一个条件后，不能判断ABEACD 的是（ ） ABC BADAE CBDCCEB DBECD 5 （3 分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） Ax2+3x+2（x+1） （x+2） B3x23x+13x（x1）+1 Cm（a+b）ma+mb D （a+2）2a2+4a+4 6 （3 分）如图，ABC 中，A40，AB 的垂直平分线分别交 AB，AC 于点 D，E，连接 BE，则BEC 的大小为（ ） A40 B50 C80 D100 7 （3 分）如图，在ABC 中，AB3，AC4，BC5，EF 是 BC 的垂直平分线，P
3、是直线 EF 上的任意 一点，则 PA+PB 的最小值是（ ） A3 B4 C5 D6 8 （3 分）如图，每个小方格的边长为 1，A，B 两点都在小方格的顶点上，点 C 也是图中小方格的顶点， 并且ABC 是等腰三角形，那么点 C 的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 9 （3 分）如图，已知MON 及其边上一点 A以点 A 为圆心，AO 长为半径画弧，分别交 OM，ON 于点 B 和 C再以点 C 为圆心，AC 长为半径画弧，恰好经过点 B错误的结论是（ ） ASAOCSABC BOCB90 CMON30 DOC2BC 10 （3 分）已知 OP 平分AOB，点 Q 在 OP 上，点 M
4、 在 OA 上，且点 Q，M 均不与点 O 重合在 OB 上 确定点 N，使 QNQM，则满足条件的点 N 的个数为（ ） A1 个 B2 个 C1 或 2 个 D无数个 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 24 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11 （3 分）因式分解：a39a 12 （3 分）计算： （2a）3 （a）4a2 13 （3 分）点 M（3，4）关于 x 轴的对称点的坐标是 14 （3 分）若等腰三角形的一个内角为 50，则它的底角的度数为 15 （3 分）如图，ABC 中，ABAC，BAC120，ADAC 交 BC 于点 D，AD3，则 BC 16 （3 分）育英学校四
5、初二数学兴趣小组的小桃桃同学提出这样一个问题：如图，从边长为 a+4 的正方形 纸片中剪去一个边长为 a 的正方形（a0） ，剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形（不重叠无缝隙） ， 你认为长方形的面积为 17 （3 分）如图，在ABC 中，C90，以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AC，AB 于点 M， N，再分别以点 M，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 AP 交 BC 于点 D， 若 CD1，AB4，则ABD 的面积是 18 （3 分）我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，其中“杨辉三角” （如图）就是一例，它的发 现比欧洲早五百年左右 杨辉三角
6、两腰上的数都是 1， 其余每个数为它的上方 （左右） 两数之和， 事实上， 这个三角形给出了 （a+b） n（n1，2，3，4，5，6）的展开式（按 a 的次数由大到小的顺序排列）的系数规律例如，在三角形 中第三行的三个数 1，2，1，恰好对应着（a+b） 2a2+2ab+b2 展开式中各项的系数；第四行的四个数 1， 3，3，1，恰好对应着（a+b）3a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数，等等 （1）当 n4 时， （a+b）4的展开式中第 3 项的系数是 ； （2）人们发现，当 n 是大于 6 的自然数时，这个规律依然成立，那么（a+b）7的展开式中各项的系数 的和为 三、解答
7、题（本大题共三、解答题（本大题共 46 分，第分，第 19 题题 8 分，每个小题各分，每个小题各 4 分，分，2022 题每题题每题 5 分，第分，第 23 题题 6 分，第分，第 24 题题 5 分，第分，第 25-26 题题 6 分）分） 19 （8 分） （1）计算： （3）03836+（） 1； （2）因式分解：3x212y2 20 （5 分）如图，已知 ABAC，E 为 AB 上一点，EDAC，EDAE求证：BDCD 21 （5 分）已知 2a2+3a40，求代数式 3a（2a+1）（2a+1） （2a1）的值 22 （5 分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，A
8、BC 的顶点都在网格线的交点上， 点 B 关于 y 轴的对称点的坐标为（2，0） ，点 C 关于 x 轴的对称点的坐标为（1，2） （1）根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系 xOy； （2）画出ABC 分别关于 y 轴的对称图形A1B1C1； （3）写出点 A 关于 x 轴的对称点的坐标 23 （6 分）如图，已知ABC （1）尺规作图：过点 C 作 AB 的垂线交 AB 于点 O不写作法，保留作图痕迹； （2）分别以直线 AB，OC 为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，使点 B，C 均在正半轴上若 AB7.5， OC4.5，A45，写出点 B 关于 y 轴的对称点 D 的坐标； （3
9、）在（2）的条件下，求ACD 的面积 24 （5 分）阅读图中的材料： 利用分组分解法解决下面的问题： （1）分解因式：x22xy+y24； （2）已知ABC 的三边长 a，b，c 满足 a2abac+bc0，判断ABC 的形状并说明理由 25 （6 分）如图，在等边三角形 ABC 右侧作射线 CP，ACP（060） ，点 A 关于射线 CP 的对 称点为点 D，BD 交 CP 于点 E，连接 AD，AE （1）求DBC 的大小（用含 的代数式表示） ； （2）在 （060）的变化过程中，AEB 的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变 化的范围；如果不发生变化，请直接写出AEB 的大小
10、； （3）用等式表示线段 AE，BD，CE 之间的数量关系，并证明 26 （6 分）对于ABC 及其边上的点 P，给出如下定义：如果点 M1，M2，M3，Mn都在ABC 的边 上，且 PM1PM2PM3PMn，那么称点 M1，M2，M3，Mn为ABC 关于点 P 的等距点， 线段 PM1，PM2，PM3，PMn为ABC 关于点 P 的等距线段 （1）如图 1，ABC 中，A90，ABAC，点 P 是 BC 的中点 点 B，C ABC 关于点 P 的等距点，线段 PA，PB ABC 关于点 P 的等距线段； （填“是” 或“不是” ） ABC 关于点 P 的两个等距点 M1，M2分别在边 AB，
11、AC 上，当相应的等距线段最短时，在图 1 中画 出线段 PM1，PM2； （2）ABC 是边长为 4 的等边三角形，点 P 在 BC 上，点 C，D 是ABC 关于点 P 的等距点，且 PC 1，求线段 DC 的长； （3）如图 2，在 RtABC 中，C90，B30点 P 在 BC 上，ABC 关于点 P 的等距点恰好 有四个，且其中一个是点 C若 BCa，直接写出 PC 长的取值范围 （用含 a 的式子表示） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 30 分，每小分，每小 3 分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个分）下面各题均有四个选项，符
12、合题意的选项只有一个 1 （3 分）以下国产新能源电动车的车标图案不是轴对称图形的是（ ） A北汽新能源 B长城新能源 C东风新能源 D江淮新能源 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个 图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可 【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，故此选项正确； D、是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C 【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念 2 （3 分）计算（）3的结果是（ ） A B C D 【分析】原式分子分
13、母分别乘方即可得到结果 【解答】解：原式， 故选：A 【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键 3 （3 分）下列计算正确的是（ ） Ax+x2x3 Bx2x2x3 Cx9x3x3 D （x3）2x6 【分析】根据同底数幂的乘除法，积的乘方与幂的乘方以及整式的加减的计算方法逐项进行判断即可 【解答】解：由于 x 与 x2不是同类项，因此 x+x2不能合并，所以选项 A 不符合题意； x2x2x2+2x4，因此选项 B 不符合题意； x9x3x9 3x6，因此选项 C 不符合题意； （x3）2x3 2x6，因此选项 D 符合题意； 故选：D 【点评】本题考查同底数幂的乘除法
14、，积的乘方与幂的乘方以及合并同类项法则，应用运算性质和计算 法则逐项计算是正确判断的前提 4 （3 分）如图，ABAC，点 D，E 分别在 AB，AC 上，补充下列一个条件后，不能判断ABEACD 的是（ ） ABC BADAE CBDCCEB DBECD 【分析】根据三角形全等的判定方法一一判断即可 【解答】解：A、根据 ASA 即可证明三角形全等，本选项不符合题意 B、根据 SAS 即可证明三角形全等，本选项不符合题意 C、根据 AAS 或 ASA 即可证明三角形全等，本选项不符合题意 D、SSA 不能判定三角形全等，本选项符合题意 故选：D 【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是
15、熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 5 （3 分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） Ax2+3x+2（x+1） （x+2） B3x23x+13x（x1）+1 Cm（a+b）ma+mb D （a+2）2a2+4a+4 【分析】多项式的因式分解是将多项式变形为几个整式的乘积形式，由此解答即可 【解答】解：A、x2+3x+2（x+1） （x+2） ，符合因式分解的定义，故本选项符合题意； B、3x23x+13x（x1）+1，右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不合题意； C、m（a+b）ma+mb，是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不合题意； D、 （a+2）2a2
16、+4a+4，是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不合题意 故选：A 【点评】本题考查因式分解的定义解题的关键是掌握因式分解的定义 6 （3 分）如图，ABC 中，A40，AB 的垂直平分线分别交 AB，AC 于点 D，E，连接 BE，则BEC 的大小为（ ） A40 B50 C80 D100 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到 EAEB，根据等腰三角形的性质得到EBAA40， 根据三角形的外角性质计算即可 【解答】解：DE 是 AB 的垂直平分线， EAEB， EBAA40， BECEBA+A80， 故选：C 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两
17、个端点的距 离相等是解题的关键 7 （3 分）如图，在ABC 中，AB3，AC4，BC5，EF 是 BC 的垂直平分线，P 是直线 EF 上的任意 一点，则 PA+PB 的最小值是（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得 BEEC，根据两点之间线段最短即可求解 【解答】解：如图，连接 BE， EF 是 BC 的垂直平分线， BECE， 根据两点之间线段最短， PA+PBPA+PCAC，最小， 此时点 P 与点 E 重合 所以 PA+PB 的最小值即为 AC 的长，为 4 所以 PA+PB 的最小值为 4 故选：B 【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，解决本题的关
18、键是利用线段的垂直平分线的性质 8 （3 分）如图，每个小方格的边长为 1，A，B 两点都在小方格的顶点上，点 C 也是图中小方格的顶点， 并且ABC 是等腰三角形，那么点 C 的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】分 AB 为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点 C 的个数 【解答】解：当 AB 为腰时，点 C 的个数有 2 个； 当 AB 为底时，点 C 的个数有 1 个， 故选：C 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题 9 （3 分）如图，已知MON 及其边上一点 A以点 A 为圆心，AO 长为半径画弧，分别交 OM，ON 于点
19、B 和 C再以点 C 为圆心，AC 长为半径画弧，恰好经过点 B错误的结论是（ ） ASAOCSABC BOCB90 CMON30 DOC2BC 【分析】由题意可知 OAACABBC，ABC 是等边三角形，OAC 是等腰三角形，即可判断选项 【解答】解：由题意可知 OAACABBC， ABC 是等边三角形， CAB60， MONOCA30， OCB30+6090 SAOCSABC， A，B，C，正确 故选：D 【点评】本题考查三角形的性质；熟练掌握等腰三角形和等边三角形的性质是解题的关键 10 （3 分）已知 OP 平分AOB，点 Q 在 OP 上，点 M 在 OA 上，且点 Q，M 均不与点
20、 O 重合在 OB 上 确定点 N，使 QNQM，则满足条件的点 N 的个数为（ ） A1 个 B2 个 C1 或 2 个 D无数个 【分析】如图，过点 Q 作 EQOA 于点 E，作 QFOB 于 F，由“AAS”可证OEQOFQ，可得 EQ QF，再分类讨论可求解 【解答】解：如图，过点 Q 作 EQOA 于点 E，作 QFOB 于 F， OP 平分AOB， AOPBOP，且 OQQO，OEQOFQ90， OEQOFQ（AAS） EQQF， 若点 M 与点 E 重合，则点 N 与点 F 重合，此时满足条件的点 N 的个数为 1 个， 若点 M 与点 E 不重合，则以 Q 为圆心，MQ 为半
21、径作圆，与 OB 有两个交点 N，N，此时满足条件的点 N 的个数为 2 个， 故选：C 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的 关键 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 24 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11 （3 分）因式分解：a39a a（a+3） （a3） 【分析】原式提取 a，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式a（a29） a（a+3） （a3） ， 故答案为：a（a+3） （a3） 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 12 （3 分）计算： （2a）3 （a）4a
22、2 8a5 【分析】原式利用积的乘方与幂的乘方运算法则，以及单项式乘除单项式法则计算即可求出值 【解答】解：原式8a3a4a28a5， 故答案为：8a5 【点评】此题考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，以及同底数幂的除法，熟练掌握运算法则 是解本题的关键 13 （3 分）点 M（3，4）关于 x 轴的对称点的坐标是 （3，4） 【分析】根据“关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答 【解答】解：点 M（3，4）关于 x 轴的对称点 M的坐标是（3，4） 故答案为： （3，4） 【点评】本题考查了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
23、（1）关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数 14 （3 分）若等腰三角形的一个内角为 50，则它的底角的度数为 65或 50 【分析】由等腰三角形的一个内角为 50，可分别从 50的角为底角与 50的角为顶角去分析求解， 即可求得答案 【解答】解：等腰三角形的一个内角为 50， 若这个角为顶角，则底角为： （18050）265， 若这个角为底角，则另一个底角也为 50， 其一个底角的度数是 65或 50 故答案为：65或 50 【点评】此题考查了等腰三角形的性质，比较
24、简单，注意等边对等角的性质和分类讨论思想的应用 15 （3 分）如图，ABC 中，ABAC，BAC120，ADAC 交 BC 于点 D，AD3，则 BC 9 【分析】根据三角形内角和定理，等腰三角形的性质得到BC30，根据直角三角形的性质求出 CD，根据等腰三角形的性质求出 BD，计算即可 【解答】解：ABAC，BAC120， BC30， ADAC， DAC90，又C30， CD2AD6， BAC120，DAC90， BAD30， DABB， BDAD3， BCBD+CD9， 故答案为：9 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，直角三角形的性质，掌握直角三角形中，30角所对的直角 边等于斜边的
25、一半是解题的关键 16 （3 分）育英学校四初二数学兴趣小组的小桃桃同学提出这样一个问题：如图，从边长为 a+4 的正方形 纸片中剪去一个边长为 a 的正方形（a0） ，剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形（不重叠无缝隙） ， 你认为长方形的面积为 8a+16 【分析】根据平方差公式进行计算即可 【解答】解：拼成的长方形的面积为（a+4）2a28a+16， 故答案为：8a+16 【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提 17 （3 分）如图，在ABC 中，C90，以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AC，AB 于点 M， N，再分别以点 M，N 为圆心，大于M
26、N 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 AP 交 BC 于点 D， 若 CD1，AB4，则ABD 的面积是 2 【分析】作 DEAB 于 E，根据角平分线的性质得到 DECD1，根据三角形面积公式计算即可 【解答】解：作 DEAB 于 E， 由尺规作图可知，AD 为CAB 的平分线，又C90，DEAB， DECD1， ABD 的面积ABDE412， 故答案为：2 【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键 18 （3 分）我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，其中“杨辉三角” （如图）就是一例，它的发 现比欧洲早五百年左右 杨辉三角两腰上
27、的数都是 1， 其余每个数为它的上方 （左右） 两数之和， 事实上， 这个三角形给出了 （a+b） n（n1，2，3，4，5，6）的展开式（按 a 的次数由大到小的顺序排列）的系数规律例如，在三角形 中第三行的三个数 1，2，1，恰好对应着（a+b） 2a2+2ab+b2 展开式中各项的系数；第四行的四个数 1， 3，3，1，恰好对应着（a+b）3a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数，等等 （1）当 n4 时， （a+b）4的展开式中第 3 项的系数是 6 ； （2）人们发现，当 n 是大于 6 的自然数时，这个规律依然成立，那么（a+b）7的展开式中各项的系数 的和为 128 【
28、分析】 （1）根据“杨辉三角”确定出所求即可； （2）根据“杨辉三角”推出所求即可 【解答】解： （1）当 n4 时， （a+b）4的展开式中第 3 项的系数是 6； （2）人们发现，当 n 是大于 6 的自然数时，这个规律依然成立，当 n7 时，各项系数分别为 1，7，21， 35，35，21，71， 那么（a+b）7的展开式中各项的系数的和为 128， 故答案为： （1）6； （2）128 【点评】此题考查了完全平方公式，数学常识，以及规律型：数字的变化类，弄清“杨辉三角”中的数 字规律是解本题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 46 分，第分，第 19 题题 8 分，每个小
29、题各分，每个小题各 4 分，分，2022 题每题题每题 5 分，第分，第 23 题题 6 分，第分，第 24 题题 5 分，第分，第 25-26 题题 6 分）分） 19 （8 分） （1）计算： （3）03836+（） 1； （2）因式分解：3x212y2 【分析】 （1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及同底数幂的除法法则计算即可求出值； （2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可 【解答】解： （1）原式132+319+35； （2）原式3（x24y2）3（x+2y） （x2y） 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的 关键
30、20 （5 分）如图，已知 ABAC，E 为 AB 上一点，EDAC，EDAE求证：BDCD 【分析】由平行线的性质和等腰三角形的性质可得EADDAC，由“SAS”可证ADBADC，可 得 BDCD 【解答】证明：EDAC， EDADAC， EDAE， EADEDA， EADDAC， 在ADB 和ADC 中， ADBADC（SAS） ， BDCD 【点评】 本题考查了全等三角形的判定和性质， 平行线的性质， 等腰三角形的性质， 证明ADBADC 是本题的关键 21 （5 分）已知 2a2+3a40，求代数式 3a（2a+1）（2a+1） （2a1）的值 【分析】根据单项式乘多项式、平方差公式可
31、以化简题目中的式子，然后根据 2a2+3a40，即可得到 化简后式子的值 【解答】解：3a（2a+1）（2a+1） （2a1） 6a2+3a4a2+1 2a2+3a+1， 2a2+3a40， 2a2+3a4， 原式4+15 【点评】本题考查整式的混合运算化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法 22 （5 分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，ABC 的顶点都在网格线的交点上， 点 B 关于 y 轴的对称点的坐标为（2，0） ，点 C 关于 x 轴的对称点的坐标为（1，2） （1）根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系 xOy； （2）画出ABC 分别关于 y 轴的
32、对称图形A1B1C1； （3）写出点 A 关于 x 轴的对称点的坐标 【分析】 （1）依据点 B 关于 y 轴的对称点的坐标为（2，0） ，点 C 关于 x 轴的对称点的坐标为（1， 2） ，即可得到坐标轴的位置； （2）依据轴对称的性质，即可得到ABC 分别关于 y 轴的对称图形A1B1C1； （3） 依据关于 x 轴的对称点的横坐标相同， 纵坐标互为相反数， 即可得到点 A 关于 x 轴的对称点的坐标 【解答】解： （1）如图所示，建立平面直角坐标系 xOy （2）如图所示，A1B1C1即为所求； （3）点 A（4，4）关于 x 轴的对称点的坐标（4，4） 【点评】本题主要考查作图轴对称变
33、换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质 23 （6 分）如图，已知ABC （1）尺规作图：过点 C 作 AB 的垂线交 AB 于点 O不写作法，保留作图痕迹； （2）分别以直线 AB，OC 为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，使点 B，C 均在正半轴上若 AB7.5， OC4.5，A45，写出点 B 关于 y 轴的对称点 D 的坐标； （3）在（2）的条件下，求ACD 的面积 【分析】 （1）根据尺规作图过点 C 作 AB 的垂线交 AB 于点 O 即可； （2）根据作图过程即可写出点 B 关于 y 轴的对称点 D 的坐标； （3）在（2）的条件下，即可求ACD 的面积 【解答】解：
34、 （1）如图所示：即为所求作的图形； （2）CO 是 BD 的垂直平分线， ODOB， A45， ACO45， OAOC4.5， OBOD7.54.53， D（3，0） ； （3）SACDADCO 【点评】本题考查了作图基本作图、关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是根据题意准 确画出图形 24 （5 分）阅读图中的材料： 利用分组分解法解决下面的问题： （1）分解因式：x22xy+y24； （2）已知ABC 的三边长 a，b，c 满足 a2abac+bc0，判断ABC 的形状并说明理由 【分析】 （1）先分组，再用公式分解 （2）先因式分解，再求 a，b，c 的关系，判断三角形
35、的形状 【解答】解： （1）x22xy+y24 （xy）24 （xy+2） （xy2） x22xy+y24（xy+2） （xy2） （2）a2abac+bc0 a（ab）c（ab）0 ab 或 ac ABC 是等腰三角形 【点评】本题考查分组分解法及三角形形状的判定，正确分组是求解本题的关键 25 （6 分）如图，在等边三角形 ABC 右侧作射线 CP，ACP（060） ，点 A 关于射线 CP 的对 称点为点 D，BD 交 CP 于点 E，连接 AD，AE （1）求DBC 的大小（用含 的代数式表示） ； （2）在 （060）的变化过程中，AEB 的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出
36、变 化的范围；如果不发生变化，请直接写出AEB 的大小； （3）用等式表示线段 AE，BD，CE 之间的数量关系，并证明 【分析】 （1）如图，在 BE 上取点 F，使FCE60，连接 CD，设 CP 与 AD 交于点 H，证CBF CAE， 再证CFE 是等边三角形， 可推出CEF60， 进一步得出HEDHEACEF60， 由外角的性质可求出DBC 的度数； （2）由（1）知，CEF60，则HEDHEACEF60，再由平角的定义即可求出AEB 的大小不发生变化，始终为 60； （3）证明BFAEED，由（1）知，CFE 是等边三角形，所以 CEEF，即可推出结论 2AE+CE BD 【解答】
37、解： （1）如图，在 BE 上取点 F，使FCE60，连接 CD，设 CP 与 AD 交于点 H， ABC 是等边三角形， ACB60，ACBC， ACBACFFCEACF， 即BCFACE， 点 A 与点 D 关于 PC 对称， PC 垂直平分 AD， 则 EAED，CACD， EADEDA，CADCDA， CADEADCDAEDA， 即CAECDE， BCACCD， CBFCDE， CBFCAE， CBFCAE（ASA） ， CFCE， 又FCE60， CFE 是等边三角形， CEF60， HEDHEACEF60， CAE+ECAHEA， CAE60ECA60， 即DBC60； （2）在
38、（060）的变化过程中，AEB 的大小不发生变化，AEB60，理由如下： 由（1）知，CEF60， HEDHEACEF60， AEB180HEAHED60， AEB 的大小不发生变化，AEB60； （3）2AE+CEBD，理由如下： 由（1）知，CBFCAE， BFAE， 又由（1）知，AEED， BFAEED， 由（1）知，CFE 是等边三角形， CEEF， BF+EF+EDBD， 2AE+CEBD 【点评】本题考查了等边三角形的性质，轴对称变换，全等三角形的判定与性质等，解题的关键是能够 结合图形的变换作出合适的辅助线，构造全等三角形等 26 （6 分）对于ABC 及其边上的点 P，给出如
39、下定义：如果点 M1，M2，M3，Mn都在ABC 的边 上，且 PM1PM2PM3PMn，那么称点 M1，M2，M3，Mn为ABC 关于点 P 的等距点， 线段 PM1，PM2，PM3，PMn为ABC 关于点 P 的等距线段 （1）如图 1，ABC 中，A90，ABAC，点 P 是 BC 的中点 点 B， C 是 ABC 关于点 P 的等距点， 线段 PA， PB 不是 ABC 关于点 P 的等距线段；（填 “是” 或“不是” ） ABC 关于点 P 的两个等距点 M1，M2分别在边 AB，AC 上，当相应的等距线段最短时，在图 1 中画 出线段 PM1，PM2； （2）ABC 是边长为 4
40、的等边三角形，点 P 在 BC 上，点 C，D 是ABC 关于点 P 的等距点，且 PC 1，求线段 DC 的长； （3）如图 2，在 RtABC 中，C90，B30点 P 在 BC 上，ABC 关于点 P 的等距点恰好 有四个，且其中一个是点 C若 BCa，直接写出 PC 长的取值范围 （用含 a 的式子表示） 【分析】 （1）由新定义“ABC 关于点 P 的等距线段”即可得出答案； 作 PM1AB 于 M1，PM2AC 于 M2，由垂线段最短即可得出答案： （2）以 P 为圆心，PC 长为半径作圆 P，交 AC 于 D，交 BC 于 D，连接 PD，则 PDPCPD1，得 出 CDPC+P
41、D2；证出PCD 是等边三角形，得出 CDPC1 即可； （3） 分别求出当 PCBCa 时、 当 PCBCa 时， ABC 关于点 P 的等距点， 即可得出答案 【解答】解： （1）点 P 是 BC 的中点， PBPC， 点 B，C 是ABC 关于点 P 的等距点； ABAC， PABC，PAPB， 线段 PA，PB 不是ABC 关于点 P 的等距线段； 故答案为：是，不是； 作 PM1AB 于 M1，PM2AC 于 M2，连接 PA，如图 11 所示： ABAC，点 P 是 BC 的中点， PA 平分BAC， PM1PM2； 由垂线段最短可知：PM1，PM2是ABC 关于点 P 等距线段最
42、短的线段； （2）如图 12，以 P 为圆心，PC 长为半径作圆 P，交 AC 于 D，交 BC 于 D，连接 PD， 则 PDPCPD1， CDPC+PD2； ABC 是等边三角形， BCAC4，C60， PCD 是等边三角形， CDPC1； 即线段 DC 的长为 2 或 1； （3）当 PCBCa 时， 当 P 为 BC 的中点，则 PBPC， B、C 是，ABC 关于点 P 的等距点， 作 PEAB 于 E，截取 EFEB，连接 PF，如图 2 所示： 则 PFPBa， B30， PEBPa， AB 边上存在 2 个ABC 关于点 P 的等距点， ABC 关于点 P 的等距点恰好有四个，且其中一个是点 C PCBC，即 PC； 当 PCBCa 时，PBa，PEBPa， 则ABC 关于点 P 的等距点有 2 个在 BC 上，有 1 个在 AB 上， ABC 关于点 P 的等距点恰好有四个，且其中一个是点 C PCBC， PC 长的取值范围是PC 【点评】本题是三角形综合题目，考查了新定义“ABC 关于点 P 的等距线段” ，等腰三角形的性质、 等边三角形的判定与性质、含 30角的直角三角形的性质、圆的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判 定与性质和直角三角形的性质，理解新定义“ABC 关于点 P 的等距线段”是解题的关键
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